POLINOMIAL DE GRAU n

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LISTA 2: POLINOMIAL DE GRAU n 
 
 
1. FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Uma função do 2º grau é dada por: 
 
y = f(x) = ax2 + bx + c 
 
onde a ≠ 0. 
 
Para a obtenção do gráfico (parábola), temos os seguintes passos: 
 O coeficiente “a” determina se a concavidade é voltada para cima (a > 0) 
ou para baixo (a < 0). 
 O termo independente “c” dá o ponto em que a parábola corta o eixo y e 
pode ser obtido fazendo x = 0. 
 Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados 
pelas raízes da função y = f(x) = ax2 + bx + c e podem ser obtidos 
fazendo y = 0. 
 
Para a resolução dessa equação, utilizamos a fórmula de Báskara: 
 
x = – b ± √ ∆__ 
 2a 
 
Onde ∆ = b2 – 4ac 
 
 
 
Se ∆ > 0, temos duas raízes distintas 
 
x1 = – b + √ ∆_ 
 2a 
 
x2 = – b – √ ∆_ 
 2a 
 
 
Se ∆ = 0, temos duas raízes iguais 
 
x = – b 
 2a 
 
 
Se ∆ < 0, não existem raízes, ou seja, a parábola não cruza o eixo x 
 
 
O vértice da parábola é dado por: 
 
 
V = (xv; yv) = – b ; – ∆ 
 2a 4a 
 
 
Ou seja, o vértice da função é a média aritmética das raízes. 
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EXERCÍCIO 1 
O dono de um restaurante verificou que a demanda por prato vendido é dada 
por p = 13 – 0,015q. 
 
 
a) Obtenha a quantidade que deve ser vendido o prato do dia para maximizar o 
lucro semanal, considerando o custo unitário igual a $4,00. 
 
R = p q = q (13 – 0,015q) = – 0,015q2 + 13q 
 
CVT = 4q 
 
L = R – CVT = – 0,015q2 + 13q – 4q = – 0,015q2 + 9q 
 
– 0,015q2 + 9q = 0 
 
q(– 0,015q + 9) = 0 
 
– 0,015q + 9 = 0 
 q 
 
Como 0/q = 0 temos que a primeira raiz é zero. Portanto, q1 = 0. 
 
– 0,015q + 9 = 0 
 
– 0,015q = – 9 
 
q = – 9 = 600 
 – 0,015 
 
Portanto, e q2 = 600 
 
O vértice é o ponto central entre as duas raízes. Dessa forma, o vértice é: 
 
q = (0+600)/2 = 300 unidades para maximizar o lucro total 
 
 
b) Qual é o lucro máximo semanal? 
 
L = – 0,015q2 + 9q = – 0,015 ∙ 3002 + 9 ∙ 300 = – 1.350 + 2.700 = 1.350 
 
 
 
c) Qual é o preço que deve ser vendido o produto para obter o lucro máximo 
semanal? 
 
p = 13 – 0,015q 
 
p = 13 – 0,015 ∙ 300 = 13 – 4,5 = $8,50 
 
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d) Desenhe o gráfico do lucro total semanal. 
 
Sabemos que as raízes identificadas no item “a” nos mostram onde a curva 
corta o eixo das abscissas (eixo que representa a variável independente, 
qual seja, a quantidade vendida). Nesse caso, a curva corta o eixo no ponto 
zero e no ponto 600. Nesses pontos, o lucro total semanal é zero. 
 
Podemos identificar se a curva da função lucro total semanal é emborcada 
para cima ou para baixo analisando o sinal do elemento que acompanha a 
variável independente x de expoente 2. No caso, temos que o sinal é 
negativo e, portanto, concluímos que a curva é emborcada para baixo. 
 
Utilizando a informação identificada no item “a”, sabemos que o ponto 
máximo (porque a curva é emborcada para baixo) acontece quando a 
quantidade é de 300 unidades. Pelo item “b” sabemos que o valor 
correspondente à essa quantidade é R$1.350,00. 
 
Com essas informações podemos desenhar o gráfico a seguir. 
 
 
Qtde Lucro
0 -R$ 
100 750R$ 
200 1.200R$ 
300 1.350R$ 
400 1.200R$ 
500 750R$ 
600 -R$ 
 R$ -
 R$ 200
 R$ 400
 R$ 600
 R$ 800
 R$ 1.000
 R$ 1.200
 R$ 1.400
 R$ 1.600
0 100 200 300 400 500 600 700
R$
quantidade
Lucro Semanal
 
 
 
 
e) Identifique as quantidades onde o lucro total semanal é positivo, nulo e 
negativo. Não considere quando a quantidade é negativa!!! 
 
O lucro total semanal é positivo quando 0 < q < 600. 
 
O lucro total semanal é negativo quando q > 600 
 
O lucro total semanal é nulo quando q =0 e q = 600. 
 
 
 
 
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f) Identifique as quantidades quando o lucro total semanal é crescente, 
decrescente e constante. 
 
O lucro total semanal é crescente quando 0 < q < 300. 
 
O lucro total semanal é decrescente quando 300 < q < 600. 
 
O lucro total semanal é constante quando q = 300. 
 
 
 
2. FUNÇÃO POLINOMIAL SUPERIOR A 2 
 
Uma função polinomial de grau n é dada por: 
 
y = f(x) = an ∙ xn + an–1 · xn–1 + ... + a2 ∙ x2 + a1 ∙ x1 + a0 
 
onde: 
 
an ≠ 0 
 
n = é chamado de grau da função polinomial. 
 
an–1, a2, a1, a0 = são os coeficientes 
 
Muito utilizada em problemas que envolvem o estudo da produção em relação 
à utilização de insumos. 
 
 
EXERCÍCIO 2 
Em uma fábrica, o número q de peças produzidas por um operário depende do 
número t de horas trabalhadas a partir do início do turno (t=0), e tal produção é 
dada por: 
 
q = – t3 + 15t2 
 
onde t é dada em horas e q em unidades. 
 
 
a) Esboce o gráfico do número de peças produzidas num período de 0 a 10 
horas, sendo colocadas as horas trabalhadas no eixo das abscissas e a 
produção total no eixo das ordenadas. 
 
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t (horas) q (unidades)
Qtde produzida a 
cada hora
0 0
1 14 14
2 52 38
3 108 56
4 176 68
5 250 74
6 324 74
7 392 68
8 448 56
9 486 38
10 500 14
11 484 -16
12 432 -52
13 338 -94
14 196 -142
15 0 -196
16 -256 -256
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18qu
an
tid
ad
e (u
nid
ad
es)
horas
Produção
 
 
b) Identifique quais são as raízes da equação. Interprete diante do contexto 
estudado. É coerente utilizar essa equação para mais do que 10 horas de 
trabalho? Por quê? 
 
Temos 3 raízes, visto que a equação é de grau 3. Para achar as raízes, 
você deve assumir que q = 0. 
 
q = – t3 + 15t2 
 
– t3 + 15t2 = 0 
 
t2 (– t + 15) = 0 
 
t1 e t2 = 0 
 
t3 = 15 
 
No momento zero e na 15ª hora não há produção. Não é coerente utilizar 
essa equação para uma quantidade de horas superior a 10 porque isso 
significaria dizer que a produção seria destruída a partir da 10ª hora. 
 
 
 
c) Quantas peças foram produzidas na primeira hora? E na segunda hora? 
Utilize a tabela do item “a”. 
 
Na primeira hora foram produzidas 14 peças e na segunda hora foram 
produzidas 38 peças. 
 
 
 
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d) Observando o gráfico e a tabela do item “a”, comente as formas de 
crescimento (as diferentes taxas) para a produção, de acordo com o tempo 
trabalhado a partir do início do turno. 
 
A taxa é crescente no intervalo de 0 < t < 5, pois para aumentos iguais em t, 
os aumentos em q são cada vez maiores. 
 
A taxa passa a ser decrescente no intervalo t > 5, pois para aumentos 
iguais em t, os aumentos em q são cada vez menores. 
 
Quando t = 5 a taxa de crescimento é constante. 
 
 
 
e) De acordo com a tabela e o gráfico do item “a”, qual o instante em que a 
produção é máxima? Qual é essa produção máxima? 
 
A produção q é máxima em t = 10 e a produção máxima q é de 500 peças. 
 
 
 
f) Considere para esse problema a produtividade do operário, ou seja, a taxa 
de variação da produção (TVP) do operário, dada por: 
 
 
TVP = variação da quantidade produzida = ∆q 
 variação do tempo ∆t 
 
 
Analisando a produtividade para intervalos de 1 hora, qual o instante em 
que a produtividade do operário é máxima? Graficamente, qual é o 
significado desse instante? Utilize os dados da tabela do item “a”. 
 
O instante em que a produtividade é máxima é em t = 5. 
 
Graficamente, isso significa que t = 5 é ponto de inflexão (a curva passa de 
convexa para côncava). 
 
 
 
g) Observando o comportamento das diferentes variações na quantidade 
produzida de acordo com o tempo de produção, determine o intervalo em 
que a concavidade é positiva (taxas crescentes para o crescimento total da 
produção)e o intervalo onde a concavidade é negativa (taxas decrescentes 
para crescimento total da produção). Utilize os dados da tabela do item “a”. 
 
A concavidade é positiva para 0 < t < 5. A concavidade é negativa para 5 < t < 10. 
 
 
 
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3. FATORAÇÃO 
 
A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em 
um produto de diversos fatores. 
 
 
REGRAS DE FATORAÇÃO 
a) Fator comum em evidência 
ax + ay = a.(x+y) 
b) Função quadrática 
Ache as raízes e use a fórmula: a(x–x')(x–x") 
c) Fatoração por diferença de quadrados 
 x2 – 9 = (x + 3) (x – 3) 
d) Outras regras de fatoração 
 
 
 
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 
e) Fatoração por agrupamento 
 
ax + ay + bx + by = a.(x+y) + b.(x+y) = (x+y).(a+b) 
 
EXERCÍCIO 3 
Fatore os polinômios a seguir: 
 
L = – 0,015q2 + 9q 
 
Como as raízes são q1 = 0 e q2 = 600, e sabendo que: 
 
L = a (x – x’) (x – x”) 
 
Temos: 
 
L = – 0,015 (q – 0) (q – 600) 
 
 8 
L = – 0,015 q (q – 600) 
 
Verificando... 
 
L = – 0,015q² – 600 * (–0,015q) 
 
L = – 0,015q² + 9q 
 
 
 
EXERCÍCIO 4 
Ache as raízes da equação a seguir: 
 
y = x3 + 3x2 – x – 3 
 
y = x2(x + 3) – 1(x + 3) 
 
y = (x2 – 1)(x + 3) 
 
y = (x – 1)(x + 1)(x + 3) 
 
Para achar as raízes, iguale a zero: 
 
x – 1 = 0 
x = 1 
 
x + 1 = 0 
x = – 1 
 
x + 3 = 0 
x = – 3 
 
Portanto, as raízes são: x1 = 1, x2 = –1 e x3 = –3 
 
 
EXERCÍCIO 5 
Ache as raízes da equação a seguir: 
 
y = x3 – 3x + 2 
 
O primeiro passo é encontrar um número para x que faça y ser igual a zero. 
Sabe-se que essa equação é igual a zero quando x = 1. Portanto, a equação 
tem x = 1 como raiz. Dessa forma, extrairemos o (x – 1) da equação, para ver o 
que sobra. 
 
 
 
 
 
 
 9 
 x3 – 3x + 2 x – 1 
– x3 + x2 
 x2 – 3x + 2 x2 + x – 2 
– x2 + x 
 – 2x + 2 
 + 2x – 2 
 ---------- 
 
Portanto, 
 
x3 – 3x + 2 = (x – 1) (x2 + x – 2) 
 
Mas como x2 + x + 2 é uma quadrática, podemos identificar suas raízes: 
 
a = 1 b = 1 c = –2 
 
∆ = b2 – 4ac = 12 – 4 ∙ 1 ∙ (–2) = 1 + 8 = 9 
 
x = –b ± √ ∆ = –1 ± √ 9 = –1 ± 3 
 2 ∙ a 2 ∙ 1 2 
 
Portanto, x1 = 1 e x2 = – 2 
 
a (x-x')(x-x") = (x – 1) (x – (– 2)) = (x – 1)(x + 2) 
 
Dessa forma, temos: 
 
y = x3 – 3x + 2 = (x – 1) (x2 + x + 2) = (x – 1)(x – 1)(x + 2) = (x – 1)2 (x + 2)