FUNÇÃO POTÊNCIA, EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

Prévia do material em texto

1 
LISTA 3: FUNÇÃO POTÊNCIA, EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
 
OBTENÇÃO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL A PARTIR DA 
IDENTIFICAÇÃO DA EVOLUÇÃO DOS DADOS 
 
Se os quocientes y2/y1, y3/y2, y4/y3 ... forem iguais, temos um fenômeno que 
pode ser representado por uma função exponencial, sendo a base “a” da 
função o resultado das divisões assim realizadas. 
 
Para a obtenção de “b”, basta pegar um par (x; y) e substituir na equação 
juntamente com o valor de “a”. 
 
 
EXERCÍCIO 1 
A população de uma cidade nos anos de 1999 a 2003 é dada conforme a 
tabela a seguir: 
 
Ano (x) 1999 2000 2001 2002 2003 
População (y) 826.758 843.293 860.159 877.361 894.908 
 
 
a) Considerando que o ano de 1995 foi o ano inicial e que, de 1995 a 1999, o 
crescimento da população foi similar ao crescimento dado na tabela, 
reelabore a tabela considerando que 1995 é o ano inicial da série histórica. 
 
Ano (x) 4 5 6 7 8 
População (y) 826.758 843.293 860.159 877.361 894.908 
 
 
b) Calcule a taxa de variação anual a cada ano e conclua sobre sua evolução 
(utilize duas casas após a vírgula). 
 
 
843.293 = 1,01999981 ≈ 1,02 
826.758 
 
860.159 = 1,02999917 ≈ 1,02 
843.293 
 
877.361 = 1,01999863 ≈ 1,02 
860.159 
 
894.908 = 1,01999975 ≈ 1,02 
877.361 
 
Como os resultados são, aproximadamente, iguais, temos que a = 1,02. 
 
 
 2 
c) Elabore a equação que representa a evolução da população, supondo que 
a função seja uma exponencial y = b · ax. 
 
O coeficiente “b” será obtido substituindo os valores na equação: 
 
a = 1,02 
x = 4 
y = 826.758 
 
y = b · ax 
 
826.758 = b · 1,024 
 
b = 826.758 = 763.796,6 ≈ 763.797 
 1,08243 
 
Assim, a função população é dada por y = 763.797 · 1,02x. 
 
 
d) Utilize a equação para prever quando a população atingirá 931.000 
habitantes. Para o cálculo utilize 6 casas após a vírgula. 
 
931.000 = 763.797 · 1,02x 
 
931.000 = 1,02x 
763.797 
 
1,218910 = 1,02x 
 
ln 1,218910 = x * ln 1,02 
 
x = ln 1,218910 = 0,197957 = 9,996314 ≈ 10 anos 
 ln 1,02 0,019803 
 
 
e) Converta o resultado em ano. Verifique se está correto calculando a 
população em 2005 utilizando a fórmula obtida no item “c”. 
 
Contador 4 5 6 7 8 9 10 
Ano (x) 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 
 
No ano de 2005, a população atinge, aproximadamente, 310.000 
habitantes. 
 
763.797 * 1,0210 = 931.064 
 
 
 
 
 3 
OBTENÇÃO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL A PARTIR DE DOIS 
PONTOS 
 
Em alguns casos já é explicitado que se trata de uma função exponencial. 
Nesse caso, o procedimento consiste em substituir os dois pares de dados (x1; 
y1) e (x2; y2) na função y = f(x) = b · ax, formando um sistema de duas 
equações com duas incógnitas. 
 
 
EXERCÍCIO 2 
Em um silo de armazenamento, os grãos de cereais armazenados, com o 
tempo, começam a estragar, sendo que a quantidade de grãos ainda em 
condições de consumo começa a decair segundo um modelo exponencial. A 
tabela a seguir relaciona dois instantes e respectivas quantidades de grãos 
ainda em condições de consumo. 
 
Tempo após estocagem em anos (x) 2010 2013 
Quantidade aproveitável de cereais em toneladas (y) 576 243 
 
 
a) Sabendo que os grãos foram armazenados em 2008, reelabore a tabela. 
 
Ano 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Contador 0 1 2 3 4 5 
 
 
b) Obtenha a função que forneça a quantidade aproveitável de cereais como 
uma função do ano após a estocagem. Para calcular utilize seis casas 
após a vírgula. A função sugerida para expressar esse evento econômico é 
a função exponencial, qual seja, y = b * an, sendo a = 1 + i ( i = taxa de 
variação). O valor de “a” deve conter duas casas após a vírgula. 
 
b · a5 = 243 
 
b · a2 = 576 
 
 
Um modo rápido de resolver esse sistema de duas equações e duas 
incógnitas é realizar a divisão de uma equação pela outra. Portanto, 
 
b · a5 = 243 
b · a2 576 
 
a3 = 0,4219 
 
Tire a raiz terceira dos dois lados da equação e obtenha o valor de “a”. 
 
a = 0,75 
 
Substituindo a = 0,75 na equação b · a2 = 576, temos: 
 4 
b · 0,752 = 576 
 
b = 576 / 0,5625 = 1.024 
 
Portanto, a função que fornece a quantidade aproveitável de cereais é: 
 
y = 1.024 · 0,75x 
 
 
c) Qual a variação percentual anual dos cereais armazenados? 
 
a = 1 + i 
0,75 = 1 + i 
i = 0,75 – 1 = – 0,25 ou –25% 
 
Os cereais armazenados diminuem em 25%. 
 
 
d) Reescreva a equação y = b * an da forma y = b * (1 + i)n. 
 
y = 1.024 · (1 – 0,25)x 
 
 
e) Qual era a quantidade de cereais no armazém quando ele foi armazenado? 
 
Existia 1.024 toneladas de cereais armazenados. 
 
 
f) Após quanto tempo o armazém terá 100 toneladas de cereais? Especifique 
o ano. Utilize 6 casas após a vírgula para o cálculo. 
 
y = 1.024 · 0,75x 
 
100 = 1.024 · 0,75x 
 
 100 = 0,75x 
1.024 
 
0,097656 = 0,75x 
 
x ln 0,75 = ln 0,097656 
 
x = – 2,3263 = 8,086 ≈ 8 anos 
 – 0,28768 
 
Ano 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 
Contador 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
Em 2016 o armazém terá 100 toneladas de cereais.