Exercícios LOG 1 - Cálculo

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE JUNDIAÍ - FATECJD 
PROFA. DRA. VIVIANE REZI 
 
Função do 1º grau (ou Função Linear) 
 
1) Em cada item, determine a equação da reta que passa pelos pares de pontos dados e 
esboce o gráfico. 
Para cada item, faça no software Geogebra por dois métodos diferentes: marcando os 
pontos no plano cartesiano e inserindo as coordenadas dos pontos na área algébrica. 
a) (-2,0) e (0,2) 
b) (3,1) e (1,2) 
c) (-1,1) e (-3,2) 
d) (-1, -3) e (2,5) 
e) (-5/2, 1) e (2/3, -7/2) 
f) (-4, -7/2) e (3/5, 3) 
 
2) Construa os gráficos das retas de equações dadas: 
a) 
b) ( ) 
c) 
 
 
 
d) ( ) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
3) Em cada item: (I) Obtenha o gráfico da reta dada; (II) manualmente, reduza cada 
equação à forma y = ax+b: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
4) Invente uma função de 1º grau e represente-a no Geogebra. Toda função de primeiro 
grau pode ser escrita na forma y = ax +b. Movimentando a função, que conclusão você 
obtém sobre o valor do parâmetro “a”? E que conclusão você obtém sobre o valor do 
parâmetro “b”? 
 
5) Esboce o gráfico da função: 
a) ( ) {
 
 
 
b) {
 
 
 
 
 
 
c) ( ) {
 
 
 
 
 
 
6) Um operário recebe de salário $ 600,00, mais $ 10,00 por hora extra trabalhada. 
a) Determine uma expressão que relacione o salário em função da quantidade de horas extras 
trabalhadas no mês. 
b) Sabendo que 50 é o número máximo permitido de horas extras em um mês, esboce o 
gráfico da função obtida no item anterior. 
2 
 
 
7) Um vendedor de uma confecção recebe de salário $ 350,00, mais 3% do valor das 
vendas realizadas. 
a) Determine uma expressão que relacione o salário em função do valor das vendas realizadas 
no mês. 
b) Em um mês em que o salário foi de $ 800,00, qual o valor das vendas? 
c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 
 
8) O valor inicial de um carro é $ 20.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em $ 
1.250,00. 
a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos 
passados após a compra. 
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? 
c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 
 
9) Uma dona de casa deseja comprar legumes e frutas e dispõe de $ 24,00. Sabe-se que o 
preço médio por quilo de legumes é de $ 3,00 e por quilo de frutas é de $ 4,00. 
a) Obtenha a expressão da restrição orçamentaria. 
b) Represente graficamente a expressão obtida no item anterior. 
c) Obtenha a expressão que determina a quantidade de frutas em função da quantidade de 
legumes comprada. 
d) Obtenha a expressão que determina a quantidade de legumes em função da quantidade de 
frutas comprada. 
 
10) Um pintor de casas pretende comprar tinta e verniz e dispõe de $ 1.200,00. Sabe-se 
que o preço do litro de tinta é $ 4,00 e do litro de verniz é $ 6,00. 
a) Obtenha a expressão da restrição orçamentária. 
b) Represente graficamente a expressão obtida no item anterior. 
c) Supondo que o valor disponível para compra mude para $ 900,00 e para $ 1.500,00, obtenha 
as novas expressões para a restrição orçamentária e represente em um mesmo sistema de 
eixos as novas restrições e a restrição do item (a). 
d) Supondo que o preço da tinta aumente para $ 5,00, obtenha a nova expressão para a 
restrição orçamentária e represente em um mesmo sistema de eixos a nova restrição, 
juntamente com a do item (a). 
e) Supondo que o preço do verniz diminua para $ 5,00, obtenha a nova expressão para a 
restrição orçamentária e represente em um mesmo sistema de eixos a nova restrição, 
juntamente com a do item (a). 
 
11) Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo e Receita dadas, 
respectivamente, por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe 
ser a mesma para custo e receita. 
a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e 
indique no gráfico o break-even point. 
b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu gráfico e determine as quantidades necessárias 
para que o lucro seja negativo, nulo e positivo. 
 
 
 
 
 
3 
 
12) O valor da conta de um celular é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de 
acordo com o número de ligações. A tabela a seguir fornece os valores da conta nos últimos 
meses. 
Ligações 45 52 61 65 
Valor 77,50 81,00 85,50 87,50 
 
a) Determine a expressão que relaciona valor em função das ligações. 
b) Qual a tarifa fixa e o preço por ligação? 
c) Esboce o gráfico da função do item (a). 
 
13) Podemos enunciar a lei da demanda de um produto em relação ao preço da seguinte 
forma: "A demanda por um produto pelos consumidores no mercado geralmente aumenta 
quando o preço cai e diminui quando o preço aumenta". Em uma safra, a demanda e o preço 
de uma fruta estão relacionados de acordo com a tabela 
Demanda (q) 10 25 40 55 
Preço (p) 5,10 4,95 4,80 4,65 
 
a) Determine a expressão que relaciona preço e demanda. 
b) Esboce o gráfico da função do item anterior. A função é crescente ou decrescente? 
 
14) Podemos enunciar a lei da oferta de um produto em relação ao preço da seguinte 
forma: "A predisposição para a oferta de um produto pelos fornecedores no mercado 
geralmente aumenta quando o preço aumenta e diminui quando o preço diminui". Em uma 
safra, a oferta e o preço de uma fruta estão relacionados de acordo com a tabela 
 
Oferta (q) 10 25 40 55 
Preço (p) 4,50 4,80 5,10 5,40 
 
a) Determine a expressão que relaciona preço e oferta. 
b) Esboce o gráfico da função do item anterior. A função é crescente ou decrescente? 
 
15) Podemos dizer que "o preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que 
a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos 
fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta". Considerando as funções demanda 
e oferta dos dois problemas anteriores, determine: 
a) O preço de equilíbrio e a quantidade demandada/oferecida para esse preço. 
b) Um esboço dos gráficos sobrepostos da demanda e oferta dos problemas anteriores, 
indicando o preço de equilíbrio encontrado no item anterior. 
 
16) Uma locadora de automóveis aluga um "carro popular" ao preço de $ 30,00 a diária, 
mais $ 4,00 por quilômetro rodado. Outra locadora aluga o mesmo modelo de carro ao preço 
de $ 80,00 a diária, mais $ 2,00 por quilómetro rodado. 
a) Escreva as funções que descrevem, para cada locadora, o valor a ser pago por dia de aluguel 
em função do quilômetro rodado por dia. 
b) Represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos, as funções determinadas no 
item anterior. 
c) Qual das duas locadoras apresenta a melhor opção para uma pessoa alugar um carro 
popular? Justifique sua resposta. 
 
4 
 
17) Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Na casa A, em média, é consumido, por 
dia, 0,5 kg de gás. Na casa B, em média, é consumido, por dia, 0,3 kg de gás. Supondo que na 
casa A o botijão está cheio e que na casa B já foram gastos 5 kg de gás: 
a) Expresse, para cada uma das casas, a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de 
consumo). Depois de quanto tempo os botijões estarão vazios? 
b) Esboce o gráfico, em um mesmo sistema de eixos, das funções determinadas no item 
anterior. Nessa situação, as funções são crescentes ou decrescentes? A que tipo de taxa? 
c) Depois de quanto tempo as quantidades de gás nos dois botijões serão iguais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Função do 2º grau (ou Função Quadrática) 
 
1) Em cada item, construa o gráfico da função dada: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
e) ( ) 
f) ( ) 
 
2) O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 
E = t2 - 8t + 210, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = 1 a 
fevereiro, e assim sucessivamente. 
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh. 
b) Esboceo gráfico de E. 
 
3) O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros, pode ser obtido pela 
expressão N = -t2 + 14t + 32, onde t representa o mês da venda. 
a) Esboce o gráfico dessa função para os dez primeiros meses de vendas. 
b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máximo de 
apólices e qual o número máximo vendido? 
 
4) O valor, em reais (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias 
de pregão é dado pela expressão v = 0,5t² - 8t + 45. Considere t = O o momento inicial de 
análise; t = 1 após 1 dia; t = 2 após 2 dias etc. 
a) Esboce o gráfico indicando os principais pontos e o eixo de simetria. 
b) Após quanto tempo o valor da ação é mínimo? Qual o valor mínimo? 
c) Para quais dias o valor da ação é decrescente? E crescente? 
d) Determine a variação percentual do valor da ação após 20 dias de pregão. 
 
5) O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p = 0,25t² - 2,5t 
+ 60 para um período de um ano em que t = 0 representa o momento inicial de análise, t = 1 
após 1 mês; t = 2 após 2 meses etc. 
a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos. 
b) Em que momento o preço é mínimo? Qual o preço mínimo? 
c) Qual a variação percentual entre o momento inicial e final do terceiro mês? E a variação 
percentual entre os finais do terceiro e sétimo mês? 
 
6) O valor, em reais (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias 
de pregão é dado pela expressão v = 0,5t² - 8t + 45. Considere t = 0, o momento inicial de 
análise; t =1 após 1 dia; t = 2 após 2 dias etc. 
a) Esboce o gráfico indicando os principais pontos e o eixo de simetria. 
b) Após quanto tempo o valor da ação é mínimo? Qual o valor mínimo? 
c) Para quais dias o valor da ação é decrescente? E crescente? 
d) Determine a variação percentual do valor da ação após 20 dias de pregão. 
 
7) Uma pessoa investiu em papéis de duas empresas no mercado de ações durante 12 
meses. O valor das ações da primeira empresa variou de acordo com a função A = t + 10, e o 
valor para a segunda empresa obedeceu à função B = t² - 4t + 10. Considere t = 0 o momento 
da compra das ações; t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 meses etc. 
a) Em que momentos as ações têm o mesmo valor? Quais são esses valores? 
6 
 
b) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos para o período de um ano. 
c) Comente a evolução do valor de cada uma das ações. Qual foi a melhor aplicação após os 
três primeiros meses? E após um ano? 
 
8) A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, 
leva à função P = -2t² + 24t + 128. 
a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos. 
b) Em que momento a produção é máxima? Qual a produção máxima? 
c) Em que momento a produção é igual à produção inicial? 
d) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir? 
e) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento para produção? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Função Exponencial 
 
1) Expresse o fator multiplicativo que aplicado a uma quantia represente: 
a) Aumento de 25% 
b) Aumento de 13% 
c) Aumento de 3% 
d) Aumento de 1% 
e) Aumento de 100% 
f) Aumento de 4,32% 
g) Diminuição de 35% 
h) Diminuição de 18% 
i) Diminuição de 4% 
j) Diminuição de 2% 
k) Diminuição de 6,17% 
l) Diminuição de 0,5% 
 
 
2) O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por 
M(x) = 50.000 . 1,08x, onde x representa o ano após a aplicação e x = 0 o momento em que foi 
realizada a aplicação. 
a) Calcule o montante após 1 , 5 e 10 anos da aplicação inicial. 
b) Qual o valor aplicado inicialmente? Qual o percentual de aumento 
do montante em um ano? 
c) Esboce o gráfico de M(x). 
d) Após quanto tempo o montante será de $ 80.000,00? 
 
3) Um trator tem seu valor dado pela função V(x) = 125.000 . 0,91x, onde x representa o ano 
após a compra do trator e x = 0 o ano em que foi comprado o trator. 
a) Calcule o valor do trator após 1 , 5 e 10 anos da compra. 
b) Qual o valor do trator na data da compra? Qual o percentual de depreciação do valor em 
um ano? 
c) Esboce o gráfico de V(x). 
d) Após quanto tempo o valor do trator será $ 90.000,00? 
 
4) Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 10% ao ano. 
Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor na compra é 
de $ 45.000,00: 
a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra do automóvel, isto é, V = f (x). 
b) Obtenha o valor do automóvel após 1 , 5 e 10 anos da compra. 
c) Esboce o gráfico de V(x). 
d) Utilizando apenas a base da função, determine a depreciação percentual em 3 anos. 
e) Após quanto tempo o valor do automóvel será $ 25.000,00? 
 
5) Uma máquina copiadora após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 11,5% ao 
ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor na 
compra é de $ 68.500,00: 
a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra da máquina copiadora, isto é, V = 
f (x). 
b) Obtenha o valor da máquina copiadora após 1 , 5 e 10 anos da compra. 
c) Esboce o gráfico de V(x). 
d) Após quanto tempo o valor da máquina será a metade do valor inicial? 
 
 
 
 
 
8 
 
6) Uma pessoa faz um empréstimo de $ 35.000, que será corrigido a uma taxa de 3,5% ao mês 
a juros compostos. 
a) Obtenha o montante da dívida M como função dos meses x após a data do empréstimo, isto 
é, M = f(x). 
b) Obtenha o montante da dívida após 1, 12, 24 e 36 meses do empréstimo. 
c) Esboce o gráfico de M(x). 
d) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano. 
e) Após quanto tempo o valor do montante será $ 50.000,00? 
 
7) O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico aumenta conforme uma função 
exponencial. O preço médio inicial dos componentes é de $ 28,50, e a taxa percentual de 
aumento é de 4% ao mês. 
a) Obtenha o preço médio P como função dos meses í após o momento em que foi calculado o 
preço médio inicial, isto é, P = f(t). 
b) Calcule o preço médio dos componentes após 1 , 5 e 10 meses do momento em que foi 
calculado o preço médio inicial. 
c) Esboce o gráfico de P(t). 
d) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano. 
e) Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará? 
Após quanto tempo o preço médio quadruplicará? Compare os resultados. 
 
8) Uma cidade no ano 2000 tem 1.350.000 habitantes e, a partir de então, sua população 
cresce de forma exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano. 
a) Obtenha a população P como função dos anos í, isto é, P = f(t). 
(Considere t = O representando o ano 2000, t = 1 representando o ano 2001, e assim 
sucessivamente). 
b) Estime a população da cidade para os anos de 2000, 2001, 2005 e 2010. 
c) Esboce o gráfico de P(t). 
d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década? 
e) Em que ano a população será de 15.000.000 habitantes? 
f) Após quanto tempo a população duplicará? 
 
9) Em uma jazida de minério, os técnicos com aparelhos fazem estimativas da quantidade de 
estanho restante que pode ser extraída após a descoberta da jazida. Tais quantidades foram 
computadas, e duas dessas estimativas estão na tabela a seguir: 
 
Tempo após a descoberta da jazida (anos) 1 3 
Quantidade estimada de estanho na jazida 
(toneladas) 
917.504 702.464 
 
Sabe-se ainda que, com a extração mineral, a quantidade estimada de estanho restante vem 
diminuindo de forma exponencial. 
a) Obtenha a quantidade de estanho restante y como função dos anos x após a descoberta da 
jazida, isto é, y = f(x). 
b) Qual a diminuição percentual anual do estanho? 
c) Qual era a quantidade de estanho presente na jazida quando ela foi descoberta? 
d) Após quanto tempo a jazida terá a metade da quantidade inicial de estanho? 
 
 
 
9 
 
10) Após estudos, verificou-se que é exponencial o crescimento do consumo de energia 
elétrica em uma zona industrial de uma certa cidade. Foram computados os valores do 
consumoem relação ao número de anos transcorridos após o início do estudo, e dois desses 
valores são dados na tabela a seguir: 
Tempo após o início do estudo (anos) 3 7 
Consumo de energia (GWh) 192.000 468.750 
a) Obtenha o consumo de energia y como função dos anos x após o início do estudo, isto é, y = 
f(x). 
b) Qual o aumento percentual anual no consumo de energia? 
c) Qual era a quantidade de energia consumida no ano do início do estudo? 
d) Sabe-se que o limite para fornecimento de energia, antes de haver colapso do sistema, é de 
1.000.000 GWh para tal região industrial. Se o crescimento do consumo continuar com as 
mesmas características, após quanto tempo haverá colapso do sistema de distribuição de 
energia? 
 
11) Uma certa região tem uma população de 10 000 000 de habitantes e um crescimento 
anual de 2%. 
a) Em quantos anos essa população duplicará? 
b) Se em uma segunda região a população é de 300 000 habitantes, em quantos anos essa 
população duplicará crescendo a mesma taxa de 2%? Que conclusão você obteve? 
 
12) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é 
dado por N(t) = 1200 . 20,4t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a 
cultura terá 38 400 bactérias? 
 
13) Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 
horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias: 
a) Qual o tamanho da população após 15 horas? 
b) Qual o tamanho da população após t horas? 
c) Estime o tempo para a população atingir 50 000 bactérias. 
 
14) Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das 
seguintes formas de pagamento você prefere? 
I. Um milhão de dólares no fim do mês. 
II. Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro 
centavos no terceiro dia, e, em geral, 2n-1 centavos de dólar no n-ésimo dia. 
 
 
Função Logarítmica 
1) Esboce o gráfico: 
a) y = log x 
b) f(x) = ln x 
c) y = ln 2x 
d) f(x) = - ln x 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Limites 
 
1) Calcule os limites a seguir e localize-os graficamente: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule os limites a seguir e localize-os graficamente: 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
3) Determine os valores dos seguintes limites: 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
5) Construa os gráficos das funções a seguir, indique algebricamente e localize 
graficamente em que valores de x a função é descontínua: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)
) c)
) 
b)
) 
a)
) 
4)
) 
12 
 
Matrizes 
 
 Dados em muitos tipos de problemas podem ser representados através de um 
arranjo retangular de valores. Tal arranjo é chamado matriz. 
 Matrizes são conjuntos ordenados de números e estão associadas a duas 
dimensões: a dimensão das linhas e a das colunas. Em outras palavras, são 
números dispostos em uma tabela. Por exemplo, dados referentes à altura, peso e 
idade de um grupo de quatro pessoas, representados em uma tabela ou em uma 
matriz: 
 Altura 
(m) 
Peso 
(kg) 
Idade 
(anos) 
Pessoa 1 1,70 70 23 
Pessoa 2 1,75 60 45 
 Pessoa 3 1,60 52 25 
Pessoa 4 1,81 72 30 
 
Nesse exemplo, a matriz possui 4 linhas e três colunas. 
 
 Notação: AmXn = 












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.........
...
...
21
22221
11211
 
 
A = [aij]mXn, uma matriz com m linhas e n colunas, em que i representa a posição do 
elemento segundo a linha e j representa a posição do elemento segundo a coluna. 
 
 Igualdade entre matrizes: Duas matrizes AmXn = [aij]mXn e BrXs = [bij]rXs são iguais, A = 
B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s) e todos os seus 
elementos correspondentes são iguais (aij = bij). 
 
 Tipos especiais de matrizes: 
• Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas 
(m = n). Uma matriz quadrada possui uma diagonal principal (aii) e uma diagonal 
secundária. 
• Matriz Nula é aquela em que aij = 0, para todo i e j. 
• Matriz Coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
• Matriz Linha é aquela que possui uma única linha (m = 1). 
• Matriz Diagonal é uma matriz quadrada onde aij = 0, para todo i  j, isto é, os 
elementos que não estão na diagonal são nulos. 
• Matriz Identidade é uma matriz diagonal em que aii = 1, representada por In. 
• Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos 
abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j. 
• Matriz Triangular Inferior é aquela em que todos os elementos acima da 
diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i < j. 
 
13 
 
• Matriz Simétrica é uma matriz quadrada em que aij = aji, ou seja, utilizando a 
diagonal como referência, os elementos em posições equivalentes acima e abaixo 
da diagonal são iguais. Qualquer matriz diagonal é, portanto, simétrica. 
 
 Operações com matrizes 
 
• ADIÇÃO: A soma de duas matrizes de mesma ordem, AmXn = [aij] e BmXn = [bij] é uma 
matriz m X n, que denota-se A + B, cujos elementos são somas dos elementos 
correspondentes de A e B, isto é: 
A + B = [aij + bij]mXn 
 
• Propriedades: Dadas duas matrizes A, B e C de mesma ordem mXn, temos: 
i. A + B = B + A 
ii. A + (B + C) = (A + B) + C 
iii. A + 0 = A, onde 0 representa a matriz nula mXn. 
 
• MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: Seja A = [aij]mXn e k um número, então definimos 
uma nova matriz 
k . A = [k . aij]mXn 
 
• Propriedades: Dadas duas matrizes A e B de mesma ordem mXn e números reais k, 
k1 e k2, temos: 
i. k (A + B) = kA + kB 
ii. (k1 + k2 ) A = k1 A + k2 A 
iii. 0 . A = 0 
iv. 1. A = A 
v. k1 (k2 A) = (k1 k2)A 
 
Observação: Combinando as duas operações anteriores, temos a definição da 
subtração entre duas matrizes: A + (-1 B) = A – B. 
 
• MATRIZ TRANSPOSTA: Dada uma matriz AmXn = [aij], poderemos obter uma outra 
matriz At = [bij]nXm, matriz transposta de A, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = 
aji. 
 
• Propriedades: 
i. Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua transposta, isto é, se, e 
somente se A = At. 
ii. (At)t = A. 
iii. (A + B)t = At + Bt. 
iv. (k A)t = k At. 
 
• MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: Sejam A = [aij]mXn e B = [brs]nXp. Definimos AB = 
[cuv]mXp onde 
cuv = uk
n
k
ukba
1
 
 
14 
 
ou seja, é a soma dos produtos dos elementos de uma linha da primeira matriz pelos 
elementos de uma coluna da segunda matriz. 
 
• Observações: 
1. Só é possível efetuar o produto de duas matrizes A e B se o número de colunas da 
primeira for igual ao número de linhas da segunda. 
2. A matriz resultado da multiplicação entre AmXn e BnXp será a matriz C de ordem mXp. 
 
• Propriedades: 
i. Em geral, AB  BA. 
ii. AmXn . In = Im . AmXn = A, em que I é a matriz identidade. 
iii. A(B+C) = AB + AC 
iv. (A+B)C = AC + BC 
v. (AB)C = A(BC) 
vi. (kA)B = A k B = k (AB) 
vii. (AB)t = Bt At (note a mudança de ordem) 
viii. 0 A = 0 e A 0 = 0, em que 0 é a matriz nula. 
 
 MATRIZ INVERSA é uma matriz quadrada, denotada por A-1, tal que, 
A A-1 = A-1 A = I 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Sejam dadas as matrizes 





 















562
431
,
76
05
,
43
21
CBA 
Determinar 
a) 5A-2B 
b) 2A+3B 
c) AB 
d) (AB)C 
 
2) Calcule: 
a. ( 3 8 −2 4 ) . 











6
1
5
 
 
b. ( 1 8 3 4 ) . ( 6 1 −3 5 ) 
c. [
 
 
] [
 
 
] 
d. [
 
 
 
] [ ] 
e. [
 
 
] [
 
 
 
] 
15 
 
f. [
 
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
3) Determine AAT e ATA, onde A = 




 413
021
 
4) Sejam [
 
 
] e [
 
 
 
 
 
 
 
]. Seja a matriz C tal que C = AB. 
Determine os elementos c23, c14 e c21 diretamente. 
5) Determine as incógnitas na relação abaixo: 





















3
4
21
6
.3
wz
yx
w
x
wz
yx
 
 
6) Calcule os números reais a, b e c tais que 









 





 

























05
10
1
302
220
24
02
11
.
11
32
01
c
b
a
a
b
c
b
a T
 
 
7) Determine a matriz A = (aij)3X3 tal que aij= i – j. 
8) Determine a matriz B = (bij)2X3 tal que bij=i
2+j2. 
9) Determine a matriz C = (cij)1X4 tal que cij = 2ij. 
10) Construa as seguintes matrizes: 
a) A = (aij)3X3 tal que aij = 








jise
jise
,0
,1
 
b) B = (bij)3X3 tal que bij =








4,0
4,1
jise
jise
 
11) A é uma matriz 3X2 definida pela lei aij =








jisei
jise
,
,1
2
. Escreva a matriz A. 
12) Se A = [
 
 
] e B = [
 
 
], encontre x e y se A. B = B . A 
13) Dadas as matrizes A = [
 
 
], B = [
 
 
] e C = [
 
 
], determine a matriz X em 
cada uma das equações abaixo: 
a) 2X + A = 3B + C 
b) X + A = ½ (B-C) 
c) 3X + A = B – X 
d) ½ (X – A – B) = 1/3(X-C) 
 
 
16 
 
Sistemas Lineares 2X2 
 
Em cada um dos sistemas lineares a seguir, resolva-os: (I) por adição; (II) por 
substituição; e (III) por comparação. 
 
1) {
 
 
 
2) {
 
 
 
3) {
– 
 
 
4) {
 
 
 
5) {
 
 
 
 
 
6) {
 
 
 
 
 
 
 
 
7) {
 
 
 
8) {
 
 
 
9) {
 
 
 
10) {
 
 
 
11) {
 
 
 
12) {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Sistemas Lineares nXn 
 
 Uma matriz é dita MATRIZ ESCALONADA se satisfaz as seguintes condições: 
1) Todas as linhas zero, se houver, estão na base da matriz; 
2) Cada elemento principal não-nulo está à direita do elemento principal não-nulo da 
linha precedente. 
 
Uma matriz escalonada é obtida por meio de uma eliminação gaussiana. 
Observações: 
1) Se a última linha apresentar todos os elementos iguais a zero, então SPI. 
2) Se a última linha apresentar todos os elementos que representam coeficientes 
iguais a zero e o termo independente não-nulo, então SI. 
 
Em outras palavras, uma matriz escalonada, ou diz-se que está na forma 
escalonada, se o número de zeros precedendo o primeiro elemento não-nulo de uma 
linha aumenta linha por linha até sobrarem somente linhas nulas, isto é, se existirem 
elementos não-nulos. 
 
São permitidas as seguintes operações entre as linhas de uma matriz a fim de se 
obter uma matriz na forma escalonada: 
1) Permuta de linhas: Li  Lj 
2) Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo: Li  k. Li 
3) Substituição de uma linha pela soma desta linha com a proporcional de outra linha: 
Li  Li + k. Lj. 
 
 Uma matriz é dita MATRIZ CANÔNICA se satisfaz as seguintes condições: 
1) Cada elemento principal não-nulo é 1; 
2) Cada elemento principal não-nulo é o único elemento não-nulo em sua coluna. 
 
Uma matriz canônica é obtida por meio de uma eliminação de Gauss-Jordan. 
 Uma equação linear é uma expressão na forma 
 
a1x1+a2x2+ ...+anxn = b 
 
onde ai e b  IR e os xi são indeterminadas (ou incógnitas). Os escalares ai são 
chamados coeficientes de xi respectivamente, e b é chamado termo 
independente. 
 
 Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações lineares nas n 
incógnitas xi: 
a11x1+a12x2+ ...+a1nxn = b1 
a21x1+a22x2+ ...+a2nxn = b2 
... 
am1x1+am2x2+ ...+amnxn = bm 
18 
 
Um sistema linear será representado matricialmente por meio de uma matriz 
aumentada que contém seus coeficientes e seus termos independentes, em 
ordem. Sua matriz escalonada (ou também a canônica) possui o mesmo conjunto 
solução, por isso, a matriz representante do sistema e a matriz escalonada (e 
também a canônica) são ditas equivalentes. 
 
 Um sistema de equações lineares pode apresentar uma única solução, infinitas 
soluções ou nenhuma solução, como descrito no diagrama a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva o sistema através do método da substituição: 
2x – 3y + 5z – 2t = 9 
 5y – z + 3t = 1 
 7z – t = 3 
 2t = 8 
 
2) Resolva cada um dos sistemas abaixo por escalonamento: 
 
a) x – 2y + z = 7 
2x – y + 4z = 17 
3x – 2y + 2z = 14 
 
b) x + 2 y – 3z = 4 
3y – 4z + 7x = 5 
-4z + 8x – 9 y = 1 
 
c) 2x + y – 2z = 10 
 3x + 2y + 2z = 1 
 5x + 4y + 3z = 4 
 
 
Sistema de Equações Lineares 
Impossível (SI) 
Sem solução: S =  
Possível 
e Determinado (SPD) e Indeterminado (SPI) 
Solução única Infinitas soluções 
19 
 
3) Resolva os sistemas a seguir, usando o método de escalonamento: 
a) x – 2y + 4z = 2 
2x – 3y + 5z = 3 
3x – 4y + 6z = 7 
 
b) x + 2 y – z = 3 
x + 3y + z = 5 
3x + 8y + 4z = 17 
 
4) Resolva os seguintes sistemas pelo método de escalonamento: 
a) x1 + x2 – x3 = 3 b) x1 + x2 – x3 = 3 
 -x1 + x2 + x3 = 2 -x1 + x2 + x3 = 2 
 x1 + 3x2 – x3 = 8 x1 + 3x2 – x3 = 6 
 
c) x1 – x2 = 3 d) x1 + ½ x2 + 1/3 x3 = 11/6 
 2x1 + x2 = 4 ½ x1 + 1/3 x2 + ¼ x3 = 13/12 
 1/3 x1 + ¼ x2 + 1/5 x3 = 47/60 
 
5) Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de escalonamento: 
2x + 2y + z + t = 7 
x – y + 2z – t = 1 
3x + 2y – 3z – 2t = 4 
4x + 3y + 2z + t = 12 
 
6) Resolva os sistemas pelo método de escalonamento: 
a) x + 2y – 3z = 6 
 2x – y + 4z = 2 
 4x + 3y – 2z = 14 
 
b) x – y - 2z = 1 
-x + y + z = 2 
x - 2y + z = -2 
 
c) x + 3y + 2z = 2 
3x + 5y + 4z = 4 
5x + 3y + 4z = -10