P+¬ndulo de tor+º+úo - Relat+¦rio

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UNIFEI – Universidade Federal De Itajubá
Arian Rodrigues Batista. 21441
Marcos Paulo Ribeiro. 21528
Jhonathan Junior da Silva. 20896
Física Geral II
Pêndulo de Torção
Professor: Marcelos Peres
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Física e Química
Física
Itajubá
19 de Março – 2012
Pêndulo de Torção
Resumo
Neste relatório de Física Geral II, foi feito um experimento no qual obtemos o tempo e distância, obtidos através de um pêndulo de torção. A partir dos dados obtidos verificamos que o torque aplicado em um pêndulo de torção é proporcional ao ângulo de torção, e relacionamos a perda de energia com o decaimento de amplitude do pêndulo.
Sumário
Objetivos.......................................................................................................pag.2
Introdução Teórica.......................................................................................pag.2
Material Utilizado.........................................................................................pag.3
Procedimento Experimental........................................................................pag.5
Discussões...................................................................................................pag.
Conclusão.....................................................................................................pag.
Bibliografia...................................................................................................pag.
Objetivos:
	Demonstrar que o torque aplicado em um pêndulo de torção é proporcional ao ângulo de torção.
	 Relacionar o mecanismo de perda de energia com o decaimento de amplitude do movimento do pêndulo.
Introdução Teórica:
	Pêndulo de Torção
	O pêndulo de torção consiste em um disco, suspenso por fio que passa pelo seu centro de massa, que oscila angularmente num plano horizontal, conforme pode ser visto na figura abaixo.
	
									(Imagem 1 e 2)
	Na posição de equilíbrio do disco, uma linha radial OP é traçada. Fazendo-se o disco girar, de modo que OP coincida com OQ, o fio de suspensão sofrerá uma torção e exercerá um torque sobre o disco, de modo a faze-lo voltar a posição de equilíbrio. Esse torque é proporcional ao ângulo do giro; e para pequenos ângulos é dado por:
	
 (Equação 1)
	Onde k é uma constante dependente da espessura e comprimento do fio, chamada coeficiente de torção.
	Observe que está expressão análoga a da força restauradora de uma mola (F = -kx). Podemos então afirmar que o movimento oscilatório do pêndulo de torção é harmônico angular, e que o deslocamento angular do disco é dado por :
 (Equação 2)	
= é o deslocamento angular máximo do pêndulo(amplitude)
= é a ênfase do movimento
= é a fase inicial do movimento (quando t=0)
Oscilações Amortecidas
	O efeito de forças dissipativas leva as oscilações se extinguirem gradualmente, à medida que o sistema perde energia mecânica para a sua vizinhança.
	Em particular, se o pêndulo oscila em um fluido (meio viscoso), também estará atuando sobre o pêndulo, um torque resultante da ação da força de amortecimento viscoso, proporcional a velocidade angular:
 (Equação 3)
	Caso a constante de amortecimento R seja pequena a equação horário do movimento resultante é dada por:
 (Equação 4)	
	Onde 𝜸= R/I, onde I é o momento de inércia do disco. Consequentemente a energia mecânica, dada por:
 (Equação 5)	
Também diminui com o tempo.
Materiais Utilizados:
Laser
Anteparo com Escala
2 tornos de mesa
2 hastes
Haste de 25 cm
5 fixadores
Tensor de cordas
Fio Constatan d = 0,4 mm
Espelho com anel
Disco de torção
Gancho porta-pesos
Massas aferidas
Cronômetro
Becker com óleo
Paquímetro
Trena
Balança
Fotos do experimento e do material utilizado
(Imagem 3 a imagem 15)
Procedimento experimental:
1-Torque aplicado e ângulo de torção
	Primeiro determinamos a massa do disco, depois o diâmetro do eixo de rotação do pêndulo, como pêndulo de torção usamos um disco metálico suspenso por um fio. O torque será aplicado pelo peso das massas colocadas no gancho. Este colocado na ponta de um fio de seda apoiado em roldanas. As extremidades do fio dão 3 voltas em torno do eixo do pêndulo no mesmo sentido. Para a leitura do ângulo de torção, utilizamos um laser, este ilumina o espelho colocado sobre o pêndulo, formando um ponteiro luminoso sobre a escala, que após os ajustes, ele incidiu sobre o ponto zero da escala, a escala está perpendicular a direção de propagação do feixe luminoso. Sendo assim medimos a distância da escala até o espelho, então demos inicio ao experimento colocando as massas no porta pesos. Para cada massa foi calculado o deslocamento na escala.
2-Torque aplicado e ângulo de torção
	
	Retiramos as massas e o fio de seda ligados ao pêndulo, para que possa oscilar livremente. Logo ajustamos a escala e medimos a distância entre ela e o espelho. Então mergulhamos a parte inferior do pêndulo no óleo, que irá atuar como dissipador de energia do pêndulo. Sendo assim cronometramos o tempo gasto para completarem 5 oscilações, e então calculamos o período do movimento. Então demos uma pequena torção no disco e soltamos, assim medindo os deslocamentos máximos a direita e a esquerda do ponto de equilíbrio durante 8 oscilações consecutivas.
Resultados
Experiência: Torque aplicado e ângulo de torção
Tabelamos as grandezas envolvidas, com suas respectivas incertezas:
	Sobre distância, torque e ângulo de torção
	Distância percorrida pelo laser (10̄ˉ³m)
	Incerteza na distância (10̄ˉ³m)
	Ângulo φ de torção (rad)
	Incerteza em φ
	Torque aplicado T (Nm)
	Incerteza em T (Nm)
	6,0
	1,0
	0,81
	0,18
	2,0
	0,4
	24
	1
	3,2
	0,1
	16
	1
	58
	1
	7,8
	0,1
	59
	2
	74
	1
	9,9
	0,1
	99
	3
	90
	1
	12
	0
	150
	3
Agora, podemos ver que a razão torque-ângulo de torção é diretamente proporcional à força aplicada em cada caso:
	Sobre a razão torque-ângulo
	Força aplicada/Peso (N)
	Razão torque-ângulo de torção ( Nm/rad)
	0.03403
	2,5
	0.06708
	5
	0.10111
	7,5
	0.13368
	10
	0.16576
	12
Para uma melhor análise, fizemos dois gráficos. Traçamos, em cada caso, uma curva que melhor se ajusta aos dados experimentais com suas respectivas incertezas. 
No gráfico abaixo, uma curva razoável (a melhor dada pelo software usado, pelo método de mínimos quadrados) é aquela característica de um polinômio de segundo grau, cuja equação é, com X e Y representando o ângulo de torção e o torque, respectivamente:
Y = (4,8+5,0)∙ – (1,4+2,0)∙ X + (11,2+1,6∙)X²
Além disso, vemos que a relação entre o torque e o ângulo de torção é diretamente proporcional.
O segundo gráfico evidencia claramente uma constante na Lei de Hooke, pois temos, em geral, uma reta. Tal plotagem está perfeitamente em acordo com o primeiro gráfico, já que se aumenta o ângulo de torção (que é proveniente e diretamente proporcional à distância percorrida pelo laser), o torque também se eleva. E, por teria, a força também se deve elevar, o que de fato acontece nos gráficos. Isso em interpretação matemática. Na experiência, aumentamos a força e, consequentemente, o ângulo de torção e o torque.
Ainda numa análise gráfica, é interessante determinarmos uma constante de proporcionalidade entre o torque e o ângulo de torção. Para tal, utilizando o software, traçamos a melhor reta (em azul) que representa a situação no empirismo:
A reta deste gráfico tem a seguinte equação, com X representando o ângulo e Y o Torque:
Y = (-2+2) ∙ + (12,6+1,9) ∙ X
Já que a incerteza do coeficiente linear da reta permite o anulamento deste, podemos afirmar, então, que a constante de proporcionalidade é o próprio coeficiente angular da reta, ou seja, que é(12,6+1,9) ∙ Nm/rad.
Tal constante é correspondente ao Módulo de Torção. Com isso, vamos considerar, com muita conveniência, a seguinte lei empírica:
Y = (12,6+1,9) ∙ X,
com Y representando torque (em Nm) e X o ângulo de torção (em rad). Daí, podemos tabelar para cada valor do ângulo de torção um torque:
	Análise quantitativa de lei empírica: Y = (12,6+1,9) ∙ X
	Ângulo de torção (rad)
	Incerteza no ângulo (rad)
	Torque (Nm)
	Incerteza no torque (Nm)
	0,81
	0,18
	1,2.10-3
	 0,4. 10-3
	3,2
	0,1
	4,0. 10-3
	 0,6.10-3
	7,8
	0,1
	9,810-3
	0,8.10-3
	9,9
	0,1
	12,4. 10-3
	0,9.10-3
	12
	0
	15,1. 10-3
	1,2.10-3
Oscilações amortecidas
Pelos dados de medição podemos determinar o momento de inércia do pêndulo que é dado por 
I = mr²; onde m = 0,2907kg;	r = 0,00054m (raio de giração)
Assim, 
I = (4∙ + 1∙)kg m²
Das definições do período de um pêndulo de torção temos que β = I/(T/2π)²
β = 9∙ unidades (kg m²/s²)
Fazendo o análogo com K/m, temos que;
K = βm/I;	onde K = 6,5∙ kg/s²
Nota: Preocupamos em propagar erros apenas nas medidas que, de fato, nos interessam.
Assim podemos usar e equação para o cálculo de energia:
E = KA²
Abaixo, as tabelas:
	Deslocamento (m)
	Incerteza no Deslocamento (m)
	Ângulo (rad)
	Tempo (s)
	Incerteza no tempo (s)
	Incerteza no ângulo (rad)
	0.21
	0.01
	0.17π
	1.7
	0.17
	0.004
	0.20
	0.01
	0.16π
	3.4
	0.17
	0.004
	0.19
	0.01
	0.15π
	5.1
	0.17
	0.004
	0.18
	0.01
	0.14π
	6.8
	0.17
	0.004
	0.16
	0.01
	0.13π
	8.5
	0.17
	0.004
	0.16
	0.01
	0.13π
	10.2
	0.17
	0.004
	0.15
	0.01
	0.12π
	11.9
	0.17
	0.004
	0.14
	0.01
	0.12π
	13.6
	0.17
	0.004
	0.13
	0.01
	0.10π
	15.3
	0.17
	0.004
	0.13
	0.01
	0.10π
	17
	0.17
	0.004
	0.11
	0.01
	0.094π
	18.7
	0.17
	0.004
	0.11
	0.01
	0.094π
	20.4
	0.17
	0.004
	0.10
	0.01
	0.083π
	22.1
	0.17
	0.004
	0.09
	0.01
	0.078π
	23.8
	0.17
	0.004
	0.09
	0.01
	0.078π
	25.5
	0.17
	0.004
	0.08
	0.01
	0.067π
	27.2
	0.17
	0.004
	Deslocamento(m)
	Energia(J)
	Tempo(s)
	Incerteza na Energia (J)
	0.21
	15∙
	1.7
	3∙
	0.20
	13∙
	3.4
	2∙
	0.19
	12∙
	5.1
	2∙
	0.18
	11∙
	6.8
	1∙
	0.16
	9∙
	8.5
	1∙
	0.16
	9∙
	10.2
	1∙
	0.15
	8∙
	11.9
	1∙
	0.14
	7∙
	13.6
	1∙
	0.13
	60∙
	15.3
	9∙
	0.13
	60∙
	17
	9∙
	0.11
	40∙
	18.7
	7∙
	0.11
	40∙
	20.4
	7∙
	0.10
	30∙
	22.1
	6∙
	0.09
	20∙
	23.8
	4∙
	0.09
	20∙
	25.5
	4∙
	0.08
	20∙
	27.2
	5∙
Assim, conseguimos realizar duas plotagens. A primeira, abaixo, 
trata do ângulo de torção e o tempo decorrido nas oscilações. Tal como no primeiro experimento, traçamos a melhor curva que representa a experiência, cuja equação é:
φ = Yo + A (Equação exponencial de decaimento de Primeira Ordem)
Onde:
φ = (-0.04 + 0.11)rad
A = (0.60 + 0.10)rad
B = (32.3 + 9.3)s
e com φ e t representando o ângulo de torção e o tempo, respectivamente. A e B são constantes calculadas pelo software.
	A segunda plotagem, logo abaixo,
apresenta, também, uma curva que melhor se ajusta nas medidas. A equação dela também é uma do tipo Exponencial de decaimento de Primeira Ordem, dada por:
E = Ye + C 
Onde:
Ye = (-4.7 + 4.5)∙ J, constante;
C = (21,1 + 3.2)∙ J, constante;
D = (22.2 + 9.9)s, constante.
As constantes foram determinadas pelo software e E representa a Energia Total, dado em J.
Podemos observar, graficamente, que o pêndulo gasta cerca de 12s para perder metade de sua Energia. Para perder ¾ da Energia (ou, equivalentemente, 75%), ele gasta 18s (estimamos esse tempo intuitivamente, pois não é difícil interpretar isso no gráfico). Pode-se inferir, daí, que a partir de um instante (ao menos teoricamente), a Energia total sofre pequenos decaimento. Ou seja, no gráfico, teríamos uma Assíntota horizontal quando o tempo tende ao infinito.
	Ademais, como se trata de uma oscilação amortecida num meio viscoso (que independe da aceleração da gravidade local), podemos afirmar que se essa última experiência fosse feita na Lua (onde a aceleração gravitacional é 6 vezes menor que na Terra) nada mudaria nas equações e, assim, nos resultados obtidos. Na verdade, haveria pequenas flutuações devido a alterações no peso dos fios que sustentam o pêndulo e algum outro fator (como a condição de vácuo), mas essas flutuações estariam dentro dos limites das incertezas!
Conclusão
Os experimentos foram bem interessantes e diante dos resultados obtidos, percebe-se que quando a oscilação é amortecida, sua energia decai a ao passar do tempo, assim como a amplitude do movimento.
Bibliografia
H.M. NUSSENZVEIG, curso de Física Básica. S.Paulo, E. Blucher, 1983, V.2.
R.RESNICK E D.HALLIDAY, Física. Rio de Janeiro, LTC, 1983 - V.2.