P+¬ndulo de tor+º+úo - Relat+¦rio

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 UNIFEI – Universidade Federal De Itajubá 
 
Arian Rodrigues Batista. 21441 
Marcos Paulo Ribeiro. 21528 
Jhonathan Junior da Silva. 20896 
 
Física Geral II 
 
 
Pêndulo de Torção 
 
 
 
 
Professor: Marcelos Peres 
 
Instituto de Ciências Exatas 
Departamento de Física e Química 
Física 
 
 
Itajubá 
19 de Março – 2012 
2 
 
 
Pêndulo de Torção 
 
Resumo 
Neste relatório de Física Geral II, foi feito um experimento no qual obtemos o 
tempo e distância, obtidos através de um pêndulo de torção. A partir dos dados 
obtidos verificamos que o torque aplicado em um pêndulo de torção é proporcional ao 
ângulo de torção, e relacionamos a perda de energia com o decaimento de amplitude 
do pêndulo. 
Sumário 
Objetivos.......................................................................................................pag.2 
Introdução Teórica.......................................................................................pag.2 
Material Utilizado.........................................................................................pag.3 
Procedimento Experimental........................................................................pag.5 
Discussões...................................................................................................pag. 
Conclusão.....................................................................................................pag. 
Bibliografia...................................................................................................pag. 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Objetivos: 
 Demonstrar que o torque aplicado em um pêndulo de torção é proporcional ao 
ângulo de torção. 
 Relacionar o mecanismo de perda de energia com o decaimento de amplitude 
do movimento do pêndulo. 
Introdução Teórica: 
 Pêndulo de Torção 
 O pêndulo de torção consiste em um disco, suspenso por fio que passa pelo seu 
centro de massa, que oscila angularmente num plano horizontal, conforme pode ser 
visto na figura abaixo. 
 
 (Imagem 1 e 2) 
 Na posição de equilíbrio do disco, uma linha radial OP é traçada. Fazendo-se o 
disco girar, de modo que OP coincida com OQ, o fio de suspensão sofrerá uma torção e 
exercerá um torque sobre o disco, de modo a faze-lo voltar a posição de equilíbrio. 
Esse torque é proporcional ao ângulo do giro; e para pequenos ângulos é dado por: 
 
 (Equação 1) 
 Onde k é uma constante dependente da espessura e comprimento do fio, 
chamada coeficiente de torção. 
 Observe que está expressão análoga a da força restauradora de uma mola (F = 
-kx). Podemos então afirmar que o movimento oscilatório do pêndulo de torção é 
harmônico angular, e que o deslocamento angular do disco é dado por : 
 (Equação 2) 
4 
 
 = é o deslocamento angular máximo do pêndulo(amplitude) 
 = é a ênfase do movimento 
 = é a fase inicial do movimento (quando t=0) 
 
Oscilações Amortecidas 
 O efeito de forças dissipativas leva as oscilações se extinguirem gradualmente, 
à medida que o sistema perde energia mecânica para a sua vizinhança. 
 Em particular, se o pêndulo oscila em um fluido (meio viscoso), também estará 
atuando sobre o pêndulo, um torque resultante da ação da força de amortecimento 
viscoso, proporcional a velocidade angular: 
 
 
 
 
 (Equação 3) 
 Caso a constante de amortecimento R seja pequena a equação horário do 
movimento resultante é dada por: 
 (Equação 4) 
 Onde = R/I, onde I é o momento de inércia do disco. Consequentemente a 
energia mecânica, dada por: 
 
 
 
 (Equação 5) 
Também diminui com o tempo. 
Materiais Utilizados: 
 Laser 
 Anteparo com Escala 
 2 tornos de mesa 
 2 hastes 
 Haste de 25 cm 
 5 fixadores 
 Tensor de cordas 
 Fio Constatan d = 0,4 mm 
 Espelho com anel 
 Disco de torção 
5 
 
 Gancho porta-pesos 
 Massas aferidas 
 Cronômetro 
 Becker com óleo 
 Paquímetro 
 Trena 
 Balança 
Fotos do experimento e do material utilizado 
6 
 
(Imagem 3 a imagem 15) 
 
7 
 
Procedimento experimental: 
1-Torque aplicado e ângulo de torção 
 
 Primeiro determinamos a massa do disco, depois o diâmetro do eixo de 
rotação do pêndulo, como pêndulo de torção usamos um disco metálico 
suspenso por um fio. O torque será aplicado pelo peso das massas colocadas no 
gancho. Este colocado na ponta de um fio de seda apoiado em roldanas. As 
extremidades do fio dão 3 voltas em torno do eixo do pêndulo no mesmo 
sentido. Para a leitura do ângulo de torção, utilizamos um laser, este ilumina o 
espelho colocado sobre o pêndulo, formando um ponteiro luminoso sobre a 
escala, que após os ajustes, ele incidiu sobre o ponto zero da escala, a escala 
está perpendicular a direção de propagação do feixe luminoso. Sendo assim 
medimos a distância da escala até o espelho, então demos inicio ao 
experimento colocando as massas no porta pesos. Para cada massa foi 
calculado o deslocamento na escala. 
 
2-Torque aplicado e ângulo de torção 
 
 Retiramos as massas e o fio de seda ligados ao pêndulo, para que possa 
oscilar livremente. Logo ajustamos a escala e medimos a distância entre ela e o 
espelho. Então mergulhamos a parte inferior do pêndulo no óleo, que irá atuar 
como dissipador de energia do pêndulo. Sendo assim cronometramos o tempo 
gasto para completarem 5 oscilações, e então calculamos o período do 
movimento. Então demos uma pequena torção no disco e soltamos, assim 
medindo os deslocamentos máximos a direita e a esquerda do ponto de 
equilíbrio durante 8 oscilações consecutivas. 
Resultados 
1. Experiência: Torque aplicado e ângulo de torção 
Tabelamos as grandezas envolvidas, com suas respectivas incertezas: 
Sobre distância, torque e ângulo de torção 
Distância 
percorrida pelo 
 ˉ³m) 
Incerteza 
na 
distância 
 ˉ³m) 
Ângulo φ d 
torção (rad) 
Incerteza 
em φ 
Torque 
aplicado T 
( Nm) 
Incerteza 
em T 
( Nm) 
6,0 1,0 0,81 0,18 2,0 0,4 
24 1 3,2 0,1 16 1 
58 1 7,8 0,1 59 2 
74 1 9,9 0,1 99 3 
90 1 12 0 150 3 
8 
 
 
Agora, podemos ver que a razão torque-ângulo de torção é diretamente proporcional 
à força aplicada em cada caso: 
Sobre a razão torque-ângulo 
Força aplicada/Peso (N) Razão torque-ângulo de torção ( Nm/rad) 
0.03403 2,5 
0.06708 5 
0.10111 7,5 
0.13368 10 
0.16576 12 
 
Para uma melhor análise, fizemos dois gráficos. Traçamos, em cada caso, uma curva 
que melhor se ajusta aos dados experimentais com suas respectivas incertezas. 
No gráfico abaixo, uma curva razoável (a melhor dada pelo software usado, 
pelo método de mínimos quadrados) é aquela característica de um polinômio de 
segundo grau, cuja equação é, com X e Y representando o ângulo de torção e o torque, 
respectivamente: 
Y = (4,8+5, )∙ – (1,4+2, )∙ X + (11,2+1,6∙ )X² 
Além disso, vemos que a relação entre o torque e o ângulo de torção é diretamente 
proporcional. 
0 2 4 6 8 10 12
0.0
4.0x10
-3
8.0x10
-3
1.2x10
-2
1.6x10
-2
 
 Sobre o Torque e o ângulo de torção
T
or
qu
e 
(N
 m
)
Ângulo de Torção (rad)
 
9 
 
O segundo gráfico evidencia claramente uma constante na Lei de Hooke, pois 
temos, em geral, uma reta. Tal plotagem está perfeitamente emacordo com o 
primeiro gráfico, já que se aumenta o ângulo de torção (que é proveniente e 
diretamente proporcional à distância percorrida pelo laser), o torque também se eleva. 
E, por teria, a força também se deve elevar, o que de fato acontece nos gráficos. Isso 
em interpretação matemática. Na experiência, aumentamos a força e, 
consequentemente, o ângulo de torção e o torque. 
 
 
 
 
0.0 2.0x10
-2
4.0x10
-2
6.0x10
-2
8.0x10
-2
0.04
0.08
0.12
0.16
Sobre a Lei de Hooke
 
 
F
or
ça
 (
N
)
Distância (m)
 
Ainda numa análise gráfica, é interessante determinarmos uma constante de 
proporcionalidade entre o torque e o ângulo de torção. Para tal, utilizando o software, 
traçamos a melhor reta (em azul) que representa a situação no empirismo: 
10 
 
0 2 4 6 8 10 12
0.0
4.0x10
-3
8.0x10
-3
1.2x10
-2
1.6x10
-2
 
 Sobre o Torque e o ângulo de torção
T
or
qu
e 
(N
 m
)
Ângulo de Torção (rad)
 
 
 
A reta deste gráfico tem a seguinte equação, com X representando o ângulo e Y o 
Torque: 
Y = (-2+2) ∙ + (12,6+1,9) ∙ X 
Já que a incerteza do coeficiente linear da reta permite o anulamento deste, podemos 
afirmar, então, que a constante de proporcionalidade é o próprio coeficiente angular 
da reta, ou seja, que é 
(12,6+1,9) ∙ Nm/rad. 
Tal constante é correspondente ao Módulo de Torção. Com isso, vamos considerar, com muita 
conveniência, a seguinte lei empírica: 
Y = (12,6+1,9) ∙ X, 
com Y representando torque (em Nm) e X o ângulo de torção (em rad). Daí, podemos 
tabelar para cada valor do ângulo de torção um torque: 
Análise quantitativa de lei empírica: Y = (12,6+1,9) ∙ X 
Ângulo de torção 
(rad) 
Incerteza no 
ângulo (rad) 
Torque (Nm) 
Incerteza no 
torque (Nm) 
0,81 0,18 1,2.10-3 0,4. 10-3 
3,2 0,1 4,0. 10-3 0,6.10-3 
7,8 0,1 9,810-3 0,8.10-3 
9,9 0,1 12,4. 10-3 0,9.10-3 
12 0 15,1. 10-3 1,2.10-3 
 
 
11 
 
2. Oscilações amortecidas 
Pelos dados de medição podemos determinar o momento de inércia do pêndulo 
que é dado por 
I = 
 
 
 mr²; onde m = 0,2907kg; r = 0,00054m (raio de giração) 
Assim, 
I = (4∙ + 1∙ )kg m² 
 
Das definições do período de um pêndulo de torção temos que β = I/(T/2π)² 
β = 9∙ unidades (kg m²/s²) 
Fazendo o análogo com K/m, temos que; 
K = βm/I; onde K = 6,5∙ kg/s² 
Nota: Preocupamos em propagar erros apenas nas medidas que, de fato, nos 
interessam. 
Assim podemos usar e equação para o cálculo de energia: 
E = 
 
 
KA² 
Abaixo, as tabelas: 
Deslocamento 
(m) 
Incerteza no 
Deslocamento (m) 
Ângulo 
(rad) 
Tempo 
(s) 
Incerteza no 
tempo (s) 
Incerteza no 
ângulo (rad) 
0.21 0.01 . 7π 1.7 0.17 0.004 
0.20 0.01 . 6π 3.4 0.17 0.004 
0.19 0.01 . 5π 5.1 0.17 0.004 
0.18 0.01 . 4π 6.8 0.17 0.004 
0.16 0.01 . 3π 8.5 0.17 0.004 
0.16 0.01 . 3π 10.2 0.17 0.004 
0.15 0.01 . 2π 11.9 0.17 0.004 
0.14 0.01 . 2π 13.6 0.17 0.004 
0.13 0.01 . π 15.3 0.17 0.004 
0.13 0.01 . π 17 0.17 0.004 
0.11 0.01 . 94π 18.7 0.17 0.004 
0.11 0.01 . 94π 20.4 0.17 0.004 
0.10 0.01 . 83π 22.1 0.17 0.004 
0.09 0.01 . 78π 23.8 0.17 0.004 
0.09 0.01 . 78π 25.5 0.17 0.004 
0.08 0.01 . 67π 27.2 0.17 0.004 
12 
 
 
 
Deslocamento(m) Energia(J) Tempo(s) Incerteza na Energia (J) 
0.21 15∙ 1.7 3∙ 
0.20 13∙ 3.4 2∙ 
0.19 12∙ 5.1 2∙ 
0.18 11∙ 6.8 1∙ 
0.16 9∙ 8.5 1∙ 
0.16 9∙ 10.2 1∙ 
0.15 8∙ 11.9 1∙ 
0.14 7∙ 13.6 1∙ 
0.13 60∙ 15.3 9∙ 
0.13 60∙ 17 9∙ 
0.11 40∙ 18.7 7∙ 
0.11 40∙ 20.4 7∙ 
0.10 30∙ 22.1 6∙ 
0.09 20∙ 23.8 4∙ 
0.09 20∙ 25.5 4∙ 
0.08 2 ∙ 27.2 5∙ 
 
Assim, conseguimos realizar duas plotagens. A primeira, abaixo, 
0 10 20
0.2
0.3
0.4
0.5
Sobre o ângulo de torção e o tempo
 
 
Â
ng
ul
o 
de
 to
rç
ão
 (
ra
d)
Tempo (s)
 
13 
 
trata do ângulo de torção e o tempo decorrido nas oscilações. Tal como no primeiro 
experimento, traçamos a melhor curva que representa a experiência, cuja equação é: 
 
φ = Yo + A 
 
 (Equação exponencial de decaimento de Primeira Ordem) 
Onde: 
φ = (-0.04 + 0.11)rad 
A = (0.60 + 0.10)rad 
B = (32.3 + 9.3)s 
e com φ e t representando o ângulo de torção e o tempo, respectivamente. A e B são 
constantes calculadas pelo software. 
 A segunda plotagem, logo abaixo, 
0 10 20
4.0x10
-5
8.0x10
-5
1.2x10
-4
1.6x10
-4
Sobre a Energia Total e o tempo
 
 
E
ne
rg
ia
 T
ot
al
 (
J)
Tempo (s)
 
apresenta, também, uma curva que melhor se ajusta nas medidas. A equação dela 
também é uma do tipo Exponencial de decaimento de Primeira Ordem, dada por: 
 
14 
 
 
 
 
E = Ye + C 
 
 
Onde: 
Ye = (-4.7 + 4.5)∙ J, constante; 
C = (21,1 + 3.2)∙ J, constante; 
D = (22.2 + 9.9)s, constante. 
As constantes foram determinadas pelo software e E representa a Energia Total, dado 
em J. 
Podemos observar, graficamente, que o pêndulo gasta cerca de 12s para 
perder metade de sua Energia. Para perder ¾ da Energia (ou, equivalentemente, 75%), 
ele gasta 18s (estimamos esse tempo intuitivamente, pois não é difícil interpretar isso 
no gráfico). Pode-se inferir, daí, que a partir de um instante (ao menos teoricamente), 
a Energia total sofre pequenos decaimento. Ou seja, no gráfico, teríamos uma 
Assíntota horizontal quando o tempo tende ao infinito. 
 Ademais, como se trata de uma oscilação amortecida num meio viscoso (que 
independe da aceleração da gravidade local), podemos afirmar que se essa última 
experiência fosse feita na Lua (onde a aceleração gravitacional é 6 vezes menor que na 
Terra) nada mudaria nas equações e, assim, nos resultados obtidos. Na verdade, 
haveria pequenas flutuações devido a alterações no peso dos fios que sustentam o 
pêndulo e algum outro fator (como a condição de vácuo), mas essas flutuações 
estariam dentro dos limites das incertezas! 
Conclusão 
Os experimentos foram bem interessantes e diante dos resultados obtidos, 
percebe-se que quando a oscilação é amortecida, sua energia decai a ao passar do 
tempo, assim como a amplitude do movimento. 
Bibliografia 
 H.M. NUSSENZVEIG, curso de Física Básica. S.Paulo, E. Blucher, 1983, 
V.2. 
 R.RESNICK E D.HALLIDAY, Física. Rio de Janeiro, LTC, 1983 - V.2.