Funçoes Vetoriais

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FACULDADE  ESTÁCIO  DE  BELÉM  CÁLCULO  DIFERENCIAL  E  INTEGRAL  2  PROF.  IRAZEL     EXERCÍCIOS  DE  FUNÇÕES  VETORIAIS    01.  A  posição  de  uma  partícula  no  plano  xy  ,  no  tempo  t,  é  dada  por  𝑥 𝑡 = 𝑒!          𝑒          𝑦 𝑡 = 𝑡𝑒! .  a)  Escrever  a  função  vetorial  𝑓(𝑡)  que  descreve  o  movimento  da  partícula.  b)  qual  a  posição  da  partícula  em  𝑡 = 0?    02.  Determinar  uma  representação  paramétrica  da  reta  que  passa  pelo  ponto  A,  na  direção    do  vetor  𝑣,  em  cada  caso:  a)  A(1,  ½  ,  2  )    e  𝑣 = 2𝚤 − 𝚥  b)  A(  0,  2  )    e    𝑣 = 5𝚤 − 𝚥  c)  A(  -­‐1,  2,  0  )    e    𝑣 = 5𝚤 − 2𝚥 + 5𝑘    03.  Determine  𝑟′(𝑡),  para  cada  função  a  seguir:  a)  𝑟 𝑡 = 4+ 𝑡 𝚤 + (𝑡 − 𝑡!)𝚥  b)  𝑟 𝑡 = 4  𝚤 − 𝑐𝑜𝑠𝑡  𝚥  c)  𝑟 𝑡 = !! 𝚤 + 𝑡𝑔𝑡  𝚥 + 𝑒!!𝑘    04.  Calcule  a  integral  indefinida  ,  em  cada  caso:  𝑎)   3  𝑖 + 4𝑡  𝑗 𝑑𝑡  𝑏)   𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡    𝑖 +  𝑗 𝑑𝑡  𝑐)   𝑡!  𝑖 − 2𝑡  𝑗 + 1𝑡  𝑘   𝑑𝑡    05.  Determine  o  vetor  tangente  unitário  𝑇(𝑡)  e  o  vetor  normal  𝑁(𝑡),  para  cada  função  a  seguir,  no  ponto  dado:  𝑎)  𝑟 𝑡 = 𝑡! − 1 𝑖 + 𝑡  𝑗,      𝑡 = 1  𝑏)  𝑟 𝑡 = 5 cos 𝑡  𝑖 + 5  𝑠𝑒𝑛  𝑡  𝑗,          𝑡 = 𝜋/3  𝑐)  𝑟 𝑡 = 4 cos 𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛  𝑡  𝑗 + 𝑡𝑘,          𝑡 = 𝜋/2    06.   Considerando   que   o   comprimento   de   um   arco   L,   de   uma   curva   paramétrica  𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 =𝑦 𝑡  𝑒    𝑧 = 𝑧 𝑡 , 𝑐𝑜𝑚  𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,  é  dado  por  𝐿 = 𝑑𝑥𝑑𝑡 ! + 𝑑𝑦𝑑𝑡 ! + 𝑑𝑧𝑑𝑡 !!!  determine  o  comprimento  de  arco  da  parte  da  hélice  circular  𝑥 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡,        𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡,        𝑧 = 𝑡,𝑑𝑒  𝑡 = 0    𝑎    𝑡 = 𝜋     RESPOSTAS  01.    a)  𝑓 𝑡 = 𝑒!𝚤 + 𝑡𝑒!𝚥                              b)  (  1,  0  )  02.  a)  𝑟 𝑡 = 1+ 2𝑡 𝚤 + !! − 𝑡 𝚥 + 2𝑘  ;            𝑏)  𝑟 𝑡 = 5𝑡𝚤 + 2− 𝑡 𝚥      ;        𝑐)  𝑟 𝑡 = (−1+ 5𝑡, 2− 2𝑡, 5𝑡)  03.  a)  𝑟′ 𝑡 = 5𝚤 + (1− 2𝑡)𝚥    ;    b)  𝑟′ 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑡  𝚥          ;  c)  𝑟′ 𝑡 = − !!! 𝚤 + 𝑠𝑒𝑐!𝑡  𝚥 + 2𝑒!!𝑘  04.  𝑎)  3𝑡  𝑖 + 2𝑡!𝑗 + 𝐶;          𝑏)   −𝑡𝑐𝑜𝑠  𝑡 + 𝑠𝑒𝑛  𝑡 𝑖 + 𝑡  𝑗 + 𝐶    ;      𝑐)  !!!  𝑖 − 𝑡!  𝑗 + 𝑙𝑛 𝑡  𝑘 + 𝐶  05.    𝑎)  𝑇 1 = 25 𝑖 + 15  𝑗;    𝑁 1 = 15 𝑖 − 25  𝑗                                  𝑏)  𝑇(!!  ) = − 32  𝑖 + 12  𝑗  ;𝑁(𝑡) = 12 𝑖 − 32  𝑗  
𝑐)    𝑇 !! = − 417   𝑖 + 117 𝑘  ;    𝑁 𝑡 = −𝑗  06.  𝐿 = 2  𝜋