Física Experimental - Apostila 03

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica – CCEN
F´ısica Experimental 1
Apostila 3: Me´todos gra´ficos
Resumo
O gra´fico e´ uma ferramenta poderosa para descobrir como quantidades medidas se relaci-
onam umas com as outras. Ao se variar controladamente uma quantidade e se medir outra,
queremos determinar se existe alguma func¸a˜o que conecte ambas. A func¸a˜o pode advir de algum
modelo teo´rico, ou ser ate´ mesmo completamente determinada pelo experimento. Revisamos
aqui algumas te´cnicas para determinar a melhor relac¸a˜o funcional entre quantidades medidas.
Suma´rio
1 Relac¸a˜o linear 2
1.1 O lado human´ıstico da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Encontrando retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Escala logar´ıtmica 4
2.1 Lei de poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Ajuste linear por mı´nimos quadrados 6
3.1 Desvio quadra´tico me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Mı´nimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Qualidade do ajuste linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Propagac¸a˜o de incerteza entre eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Pape´is monolog e dilog 12
4.1 Interpretando gra´ficos log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
F´ısica Experimental 1
1 Relac¸a˜o linear
As relac¸o˜es mais simples que podem existir entre duas quantidades medidas sa˜o, por um lado,
a proporcionalidade e, por outro, um desvio constante. Juntando essas duas possibilidades, obte-
mos uma relac¸a˜o linear, representada num gra´fico pela figura geome´trica da reta. Sua expressa˜o
funcional e´ da forma
y = A · x+ B, (1)
em que x e y sa˜o as quantidades medidas e A e B sa˜o constantes que dependem do fenoˆmeno f´ısico
sob investigac¸a˜o, chamadas respectivamente de coeficiente angular e coeficiente linear da reta.
A ideia das te´cnicas de ajuste linear aos dados experimentais e´ encontrar os coeficientes A e
B que melhor representem a relac¸a˜o entre as grandezas x e y dentro da incerteza, bem como os
intervalos de confianc¸a desses coeficientes.
1.1 O lado human´ıstico da reta
Por ser a mais simples poss´ıvel, encontrar uma relac¸a˜o linear entre duas quantidades medidas e´ o
sonho de todo bom experimentador. Mas por que a reta? Simplesmente porque, por algum motivo
obscuro, nossa cognic¸a˜o esta´ bem preparada para analisar visualmente retas.
Esse pode parecer um argumento fraco a ouvidos na˜o treinados, mas a verdade e´ que e´ extre-
mamente perspicaz. Pois em u´ltima instaˆncia e´ sempre um ser humano que analisa o sentido dos
dados, e portanto as ferramentas que permitem embasar concluso˜es sobre relac¸o˜es entre grandezas
experimentais devem estar adaptadas a nosso uso.
E a reta e´ uma das func¸o˜es mais fa´ceis de se julgar visualmente1. Com a excec¸a˜o de contextos
muito espec´ıficos (embora important´ıssimos), na˜o somos bons em julgar a qualidade de curvas.
Se voceˆ na˜o acredita nisso, fac¸a um pequeno exerc´ıcio de convencimento analisando a Fig. 1. Na˜o
vale fazer conta nem vale pensar, estamos falando aqui da identificac¸a˜o visual da forma geome´trica!
Voceˆ pensa para identificar uma a´rvore? E´ a mesma coisa.
Aponte a curva x3. Dif´ıcil? Vamos para algo mais fa´cil enta˜o, ache a para´bola x2. Ainda
dif´ıcil? Bem, encontre a exponencial. Ooops, tambe´m na˜o conseguiu? A hipe´rbole, enta˜o... Pois e´,
curvaturas sa˜o todas mais ou menos parecidas, na˜o e´ mesmo?
Ache agora a reta. Voceˆ deve teˆ-la encontrado facilmente. Se voceˆ na˜o a encontrou, procure
desenvolver melhor seu lado human´ıstico (ou estudar mais...).
Mas nem todas as relac¸o˜es entre observa´veis f´ısicos sa˜o lineares, como bem sabemos. Func¸o˜es
polinomiais, exponenciais, harmoˆnicas (senos e cossenos) e mesmo sem nome especial podem re-
1O c´ırculo, que tem que ver com func¸o˜es harmoˆnicas, tambe´m e´ uma figura geome´trica facilmente reconhec´ıvel por
seres humanos. Por isso tambe´m existem ferramentas para analisar se a relac¸a˜o entre dados fornece c´ırculos ou desvios
de c´ırculos, nas figuras de Lissajous.
2
Me´todos gra´ficos
Figura 1: No gra´fico acima, existem dois polinoˆmios (de segunda e de terceira ordem), uma expo-
nencial, uma hipe´rbole e uma reta. Quais voceˆ consegue identificar visualmente?
presentar a relac¸a˜o procurada. Atualmente, existem ferramentas nume´ricas que permitem ajustar
facilmente dados experimentais a qualquer func¸a˜o. O que ocorre e´ que alguns ajustes sera˜o fa´ceis de
interpretar fisicamente e outros, nem tanto.
Mas neste curso estamos interessados em criar intuic¸a˜o sobre como julgar fatos, e na˜o em taxo-
nomia de ferramentas nume´ricas. E como e´ dif´ıcil julgar a qualidade de qualquer ajuste que na˜o seja
uma reta para seres que so´ conseguem identificar retas, vamos sempre buscar encontrar retas onde
nenhuma pessoa sem treinamento as veria.
1.2 Encontrando retas
Bons experimentadores na˜o esperam que retas caiam do ce´u. Se as retas na˜o aparecem por bem,
eles forc¸am seu aparecimento por mal. Podemos dizer que buscaremos ‘endireitar’ curvas sempre que
poss´ıvel (algo que Niemeyer jamais aprendeu a fazer).
A forma mais simples de se endireitar curvas e´ mudar de varia´veis (i.e., ‘curvamos o papel’). Voceˆ
viu um exemplo disso na experieˆncia do peˆndulo simples. Segundo o modelo teo´rico, o per´ıodo do
peˆndulo e´ esperado variar com a raiz quadrada de seu comprimento, da forma
τ =
2pi√
g
L
1
2 . (2)
Claramente, a relac¸a˜o entre as quantidades medidas τ e L na˜o e´ linear.
Mas se mudarmos para as varia´veis τ = y e L
1
2 = x, constru´ımos uma relac¸a˜o linear da forma
y = A · x+ B, em que A = 2pi√
g
e B = 0. (3)
3
F´ısica Experimental 1
Assim, verificar a relac¸a˜o linear entre x e y e´ o mesmo que checar a lei de poteˆncia entre τ e L.
Mas como saber qual e´ a mudanc¸a de varia´veis correta que transforma a relac¸a˜o desconhecida
entre duas quantidades numa reta? Em princ´ıpio, essa resposta e´ dada por um modelo teo´rico, como
no exemplo acima. Achar a reta procurada nesse caso valida o modelo. Na auseˆncia de modelo,
poder´ıamos tentar adivinhar a transformac¸a˜o correta por inspec¸a˜o visual da curva experimental.
Como voceˆ viu na figura 1, isso e´ bem dif´ıcil, e acaba virando na pra´tica um me´todo de tentativa
e erro. Embora o mesmo seja perfeitamente aplica´vel, existem formas melhores de se descobrir a
dependeˆncia procurada, em especial quando se trata de dependeˆncias tipo exponencial ou lei de
poteˆncia com expoentes reais.
2 Escala logar´ıtmica
2.1 Lei de poteˆncia
Existe uma troca de varia´veis especial que favorece um tipo de relac¸a˜o chamada lei de poteˆncia,
dada por uma func¸a˜o da forma
y = β xα, (4)
em que α e β sa˜o nu´meros reais. Note que essa expressa˜o inclui o caso particular da Eq. (2), com
α = 1/2 e β = 2pi/
√
g, assim como monoˆmios e seus inversos.
Se tomarmos o logaritmo da expressa˜o acima2, obtemos diretamente
log y = α log x+ log β, (5)
em que utilizamos as propriedades log(rs) = log r + log s e log(rs) = s log r, va´lidas para quaisquer
nu´meros reais r e s.
Portanto, a troca de varia´veis 
 X = log xY = log y (6)
nos permite escrever a lei de poteˆncia da Eq. (4) como
Y = A ·X + B, em que

 A = α,B = log β. (7)
Essa troca de varia´veis transforma a lei de poteˆncia das quantidades medidas numa relac¸a˜o linear
para seus logaritmos. A poteˆncia α que relacionaas varia´veis se torna o coeficiente angular A da
reta, e a constante multiplicativa β, seu coeficiente linear B.
2Trabalharemos sempre com logaritmos na base 10, por causa da convenc¸a˜o utilizada nos pape´is ‘log’.
4
Me´todos gra´ficos
Isso permite novamente utilizar inspec¸a˜o visual para investigar se a relac¸a˜o entre as quantidades
medidas e´ bem descrita por uma lei de poteˆncia.
Figura 2: Curvas da figura 1 com a mudanc¸a de varia´veis da Eq. (6). Voceˆ consegue dizer agora
quais curvas da figura 1 sa˜o leis de poteˆncia? Quanto valem seus expoentes?
2.2 Exponencial
Outra relac¸a˜o muito encontrada na natureza e´ dada pela func¸a˜o exponencial,
y = β eαx, (8)
em que α e β sa˜o constantes reais representando respectivamente a escala t´ıpica de variac¸a˜o da
exponencial e o valor inicial da func¸a˜o (valor de y em x = 0). Assim, α possui a dimensa˜o inversa
de x, enquanto β possui a mesma dimensa˜o de y.
Tomando o logaritmo da equac¸a˜o acima, obtemos a relac¸a˜o
log y = (α log e) x+ log β, (9)
que tambe´m pode ser entendida como uma relac¸a˜o linear entre as varia´veis x e Y = log y. Nesse
caso, obtemos para a reta a expressa˜o
Y = A · x+ B, em que

 A = α log e,B = log β, (10)
que transforma a exponencial numa relac¸a˜o linear na nova varia´vel.
Nesse caso, a constante α da exponencial se torna proporcional ao coeficiente angular A da reta,
enquanto o valor inicial β da´ origem a seu coeficiente linear B.
5
F´ısica Experimental 1
Figura 3: Curvas da figura 1 nas varia´veis x e Y = log y da Eq. (9). Voceˆ consegue agora identificar
a exponencial da figura 1? Quanto vale sua constante de decaimento?
3 Ajuste linear por mı´nimos quadrados
Me´todos de ajuste buscam em geral determinar a melhor func¸a˜o matema´tica a descrever a relac¸a˜o
entre dados experimentais.
O uso desses me´todos comec¸a pela hipo´tese ba´sica de que existe uma relac¸a˜o cont´ınua e un´ıvoca
entre dados de uma grandeza e dados da outra, ainda que apenas numa regia˜o restrita de paraˆmetros.
Os dados experimentais sa˜o amostras dessa func¸a˜o ideal. Quanto maior o nu´mero de dados e maior
o intervalo dispon´ıvel, melhor a reconstruc¸a˜o dessa relac¸a˜o.
Para determinarmos a melhor func¸a˜o, precisamos primeiro definir melhor. A ideia de melhor
passa pela definic¸a˜o de um quantificador de qualidade.
Ale´m disso, precisamos escolher ja´ de in´ıcio a forma aproximada da func¸a˜o. Trataremos nesta
sec¸a˜o apenas de func¸o˜es lineares, ou seja, retas. Como vimos, o ajuste de retas permite ajustar
tambe´m leis de poteˆncia e exponenciais, por troca de varia´veis.
3.1 Desvio quadra´tico me´dio
Dados sa˜o conjuntos de pares ordenados de medidas {xn, yn}, com n = 1, 2, . . . N . Queremos
encontrar a reta
y(x) = A · x+B, (11)
que melhor se ajuste aos dados obtidos (note que x e y podem ter sido obtidos por alguma substituic¸a˜o
de varia´veis, caso em que podem ser dados e.g. pelos logaritmos de valores medidos).
6
Me´todos gra´ficos
Para tanto, precisamos nos resignar primeiro ao fato de que a relac¸a˜o linear observada em qualquer
experimento na˜o e´ uma relac¸a˜o perfeita, e que portanto e´ quase imposs´ıvel encontrar uma reta que
passe por todos os dados de um conjunto com mais de dois pontos.
Isso ocorre porque medidas possuem flutuac¸o˜es e incertezas, existindo uma dispersa˜o natural nos
valores obtidos: pragmaticamente, a melhor reta sera´ sempre aquela que erra menos.
Precisamos nesse cena´rio realista definir o que significa errar menos. Precisamos de uma quan-
tidade que nos fornec¸a o desvio da reta com relac¸a˜o ao conjunto de dados, e nos contentar em
minimizar esse desvio. A reta a minimiza´-lo sera´ a melhor reta poss´ıvel (ou ‘menos ruim’, para os
pessimistas) dentro do conjunto de dados dispon´ıvel.
Para cada medida n, esse desvio e´ quantificado pelo res´ıduo δyn, definido como
δyn = yn − y(xn). (12)
O res´ıduo nos fornece o qua˜o distante uma reta escolhida passa de cada dado yn.
No entanto, o res´ıduo δyn pode ser tanto positivo quanto negativo, e portanto na˜o possui mı´nimo.
Precisamos enta˜o encontrar a reta que minimize os tamanhos dos res´ıduos de todas as medidas ao
mesmo tempo.
Uma forma de definir uma quantidade positiva simples, que seja suave (ao contra´rio da func¸a˜o
mo´dulo) e que possua significado mais profundo em distribuic¸o˜es de probabilidade e´ tomar o quadrado
de δyn. Definimos, assim, o res´ıduo quadra´tico pela expressa˜o
(δyn)
2 = [yn − y(xn)]2. (13)
Para avaliarmos a qualidade da reta com relac¸a˜o a todos os dados, somamos os res´ıduos quadra´ticos
para obter sua variaˆncia, denotada como σy, da forma
σ2y = 〈(δy)2〉 =
N∑
n=1
[yn − y(xn)]2
N
. (14)
Segundo a Eq. (11), no ponto xn a reta com paraˆmetros quaisquer A e B possui valor y(xn) =
Axn + B. Com essa substituic¸a˜o, a equac¸a˜o acima se torna
σ2y =
N∑
n=1
(yn − Axn −B)2
N
. (15)
Em outras palavras, a quantidade a ser minimizada e´ a variaˆncia das distaˆncias δyn entre yn medido
e o valor y(xn) da reta no ponto xn correspondente.
3.2 Mı´nimos quadrados
O processo de minimizac¸a˜o que buscamos implica que pequenas variac¸o˜es na posic¸a˜o da reta no
gra´fico na˜o devem mudar em primeira ordem a variaˆncia dos res´ıduos.
7
F´ısica Experimental 1
Mas a posic¸a˜o da reta e´ func¸a˜o dos coeficientes A e B que queremos determinar. Reinterpretando
a Eq. (15) como uma func¸a˜o de varia´veis A′ e B′, para deixar a reta ‘solta’, na forma
σ2y = f(A
′, B′), (16)
queremos encontrar os valores A′ = A e B′ = B para os quais f e´ mı´nima, ou seja, f(A,B) = min(f).
Variac¸a˜o nula em primeira ordem significa derivadas parciais primeiras nulas nessas duas varia´veis.
Portanto, queremos encontrar o ponto (A,B) que satisfac¸a a`s condic¸o˜es
∂f
∂A′
∣∣∣∣
A′=A
= 0 e
∂f
∂B′
∣∣∣∣
B′=B
= 0. (17)
A primeira condic¸a˜o nos fornece, com o aux´ılio da Eq. (15),
∂f
∂A′
=
∑
n
2
N
(Axn + B − yn)xn = 0 =⇒ A
∑
n
x2n + B
∑
n
xn −
∑
n
xnyn = 0. (18)
De maneira ana´loga, a segunda condic¸a˜o fornece
∂f
∂B′
=
∑
n
2
N
(Axn + B − yn) = 0 =⇒ A
∑
n
xn + B
∑
n
1−
∑
n
yn = 0. (19)
Para encontrar A e B, precisamos apenas resolver o sistema de equac¸o˜es acima. Para facilitar a
notac¸a˜o, definimos constantes, dependentes apenas de valores medidos, como
sx2 =
∑
n
x2n, sx =
∑
n
xn, sy =
∑
n
yn, e sxy =
∑
n
xnyn. (20)
Notando que
∑
n 1 = N , o sistema de equac¸o˜es se torna
 sx
2A+ sxB = sxy
sxA+NB = sy
. (21)
A soluc¸a˜o e´ facilmente encontrada como
A =
Nsxy − sxsy
∆
, B =
sx2sy − sxsxy
∆
, em que ∆ = Nsx2 − s2x. (22)
Algo na˜o muito elucidativo, e´ verdade, mas simples de calcular3. Suas incertezas se escrevem em
termos da incerteza σ de medida (igual para todas as medidas), como
σA =
√
1
∆
σ, σB =
√
sx2
∆
σ. (23)
O mesmo racioc´ınio pode ser utilizado para ajustar aos dados um polinoˆmio qualquer.
3A expressa˜o se torna mais simples nas varia´veis Sxx =
∑
n
(xn − 〈x〉)2, Syy =
∑
n
(yn − 〈y〉)2 e Sxy =
∑
n
(xn −
〈x〉)(yn − 〈y〉). Veja http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html.
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Me´todos gra´ficos
Ajuste linear em dados com incerteza inomogeˆnea
Nem sempre a incerteza de todos os dados e´ a mesma. Na situac¸a˜o em que ela varia entre
medidas, e´ preciso ‘pesar’ o res´ıduo com o inverso da incerteza do valor medido. Esse procedimento
visa aumentar no ajuste a contribuic¸a˜o relativa de dados mais precisos.
Nesse caso, os coeficientes da reta sa˜o calculados pelas relac¸o˜es
A =
s′σs
′
xy − s′xs′y
∆′
, B =
s′
x2
s′y − s′xs′xy
∆′
, (24)
em que
s′σ =
∑
n
1
σ2n
, s′x2 =
∑
n
x2n
σ2n
, s′x =
∑
n
xn
σ2n, s′y =
∑
n
yn
σ2n
, s′xy =
∑
n
xnyn
σ2n
,
∆′ = s′σs
′
x2 − s′x2. (25)
As incertezas em A e B sa˜o
σA =
√
s′σ
∆′
e σB =
√
s′
x2
∆′
. (26)
Essas expresso˜es se reduzem a`s Eqs. (22) e (23) para incertezas iguais (verifique!).
3.3 Qualidade do ajuste linear
Existem ferramentas de ana´lise mais precisas do que a inspec¸a˜o visual para se julgar a qualidade
de um ajuste. Se a relac¸a˜o correta entre as duas quantidades medidas for de fato linear, e´ de se
esperar que os dados flutuem aleatoriamente em torno da melhor reta ajustada.
Por argumentos estat´ısticos, esperamos obter uma grande parte dos dados nas imediac¸o˜es da
reta, uma pequena parte um pouco distante, e uma pequen´ıssima parte muito distante. Voceˆ ja´ sabe
aonde isso vai: se a flutuac¸a˜o for aleato´ria, a distribuic¸a˜o de res´ıduos deve seguir uma gaussiana.
Ale´m disso, se o ajuste for de boa qualidade, a escala dos res´ıduos (ou seja, aquilo que determina
se o ponto esta´ ‘perto’ ou ‘longe’ da reta ajustada) deve ser compat´ıvel com a incerteza dos dados.
A figura 4 ilustra o ajuste de reta a um conjunto de mil dados. Conforme vemos a` esquerda, os
dados flutuam aleatoriamente em torno da reta, mostrando se tratar visualmente de um bom ajuste.
O gra´fico central da figura mostra os res´ıduos como func¸a˜o de xn. Esse gra´fico e´ obtido sim-
plesmente subtraindo-se o valor medido yn do valor assumido pela reta no ponto xn, isto e´, δyn =
yn − y(xn) [Eq. (12)]. Os res´ıduos flutuam aleatoriamente em torno do valor nulo, fornecendo-nos
um indicador quantitativo da qualidade do ajuste.
9
F´ısica Experimental 1
Figura 4: Esquerda: conjunto de dados (pontos) com melhor reta ajustada (linha cont´ınua). Centro:
res´ıduos. Direita: histograma dos res´ıduos.
Isso fica mais claro na curva a` direita, na qual vemos o histograma dos res´ıduos. Para um bom
ajuste, essa curva deve ser uma gaussiana centrada no zero e com desvio padra˜o aproximadamente
igual a` incerteza t´ıpica σ de medida de cada ponto.
De forma geral, a incerteza de medida deve ser compat´ıvel com a flutuac¸a˜o dos dados em torno
da func¸a˜o ajustada: o histograma dos res´ıduos deve refletir a incerteza.
Assim, no exemplo da Fig. 4, contendo mil medidas, podemos esperar com maior probabilidade
que 683 ± 26 delas (i.e. 68,2% ± 2,6%) estejam a uma distaˆncia menor que 1σ da reta ajustada,
955± 31 (ou 95,5%± 3,1%) a uma distaˆncia menor que 2σ, e que apenas 3± 2 (0,3%± 0,2%) delas
estejam a uma distaˆncia maior que 3σ.
Figura 5: Esquerda: incerteza experimental subestimada. Centro: incerteza compat´ıvel com ajuste.
Direita: incerteza superestimada.
A figura 5 ilustra um caso de ajuste linear a dez pontos experimentais. A diferenc¸a entre os treˆs
gra´ficos e´ o valor adotado para a incerteza experimental, nesse caso tomada como a mesma para
todos os dados.
O gra´fico a` esquerda mostra a situac¸a˜o em que a incerteza e´ muito menor que a dispersa˜o das
medidas em torno da reta ajustada. Apenas treˆs medidas se encontram a menos de 1σ da reta (i.e.
30%, nu´mero ligeiramente abaixo dos esperados 68%±24%), e pelo menos treˆs medidas se encontram
a mais de 3σ de distaˆncia, um nu´mero (30%) claramente exagerado (existem tantos pontos pro´ximos
da reta quanto longe, em unidades de σ!). A reta de ajuste indica incerteza subestimada.
10
Me´todos gra´ficos
No meio, vemos a situac¸a˜o equilibrada em que as distaˆncias dos pontos experimentais a` reta,
retativas a σ, sa˜o compat´ıveis com a estat´ıstica gaussiana. Metade dos dados toca a reta dentro da
incerteza, e nenhum se encontra a mais de 3σ de distaˆncia (o que e´ esperado para 10 dados). Esse e´
um exemplo de um bom ajuste de dados com incerteza apropriada.
Mais a` direita, nada menos do que todos os pontos experimentais tocam a reta dentro do intervalo
de 1σ. Esse caso corresponde a` incerteza superestimada, pois a dispersa˜o do conjunto de dados e´
perceptivelmente menor que a incerteza de cada dado. Nesse caso, de forma equivalente, e´ correto
dizer que a melhor reta deve estar mal determinada (note que os pontos extremos sa˜o compat´ıveis
entre si dentro de apenas 2σ!). A tendeˆncia do conjunto de fato indica uma relac¸a˜o linear, mas seria
deseja´vel nesse caso obterem-se mais dados experimentais (e mais distantes).
3.4 Propagac¸a˜o de incerteza entre eixos
E´ comum que na˜o apenas a quantidade medida yn, mas tambe´m xn, possuam incerteza de medida.
Nesse caso, e´ preciso considerar essa fonte de erro na ana´lise gra´fica do ajuste.
A forma mais simples de lidar com a incerteza em xn e´ propaga´-la para yn utilizando o pro´prio
ajuste linear como estimador. A ideia e´ quantificar o quanto a incerteza em xn, conforme projetada
pela reta de ajuste, influencia yn.
Figura 6: Propagac¸a˜o de incerteza de xn para yn utilizando a reta ajustada.
De acordo com a figura 6, a incerteza σy′ correspondente a` projec¸a˜o de σx e´ dada por
σy′ = σx
sin θ
cos θ
= σx tan θ. (27)
Como tan θ e´ a derivada da reta ajustada y(x), segue que
σy′ = σx
dy
dx
. (28)
Se as fontes de incerteza em xn e yn sa˜o independentes, podemos compoˆ-las conforme a prescric¸a˜o
11
F´ısica Experimental 1
usual para obter a incerteza total σy,T em yn como
σy,T =
√
σ2y + σ
2
y′
=
√
σ2y +
(
σx
dy
dx
)2
. (29)
Essa expressa˜o vale para qualquer func¸a˜o de ajuste (desde que a incerteza seja muito menor que
a escala de variac¸a˜o da func¸a˜o no ponto a que ela se refere). Para o caso da reta, obtemos
σy,T =
√
σ2y + A
2σ2x. (30)
A incerteza total σy,T e´ aquela a ser utilizada no gra´fico de xn versus yn em vez de σy. Caso
a incerteza varie muito entre dados diferentes, e´ preciso utilizar a relac¸a˜o acima para cada ponto
experimental.
4 Pape´is monolog e dilog
Para transformar leis de poteˆncia e exponenciais em relac¸o˜es lineares, fizemos ate´ aqui as trocas de
varia´veis tomando explicitamente os logaritmos dos valores medidos para representa´-los num gra´fico
comum, i.e. com eixos graduados em escala linear.
De forma totalmente equivalente, e´ poss´ıvel ja´ ‘preparar’ o eixo do gra´fico em escala logar´ıtmica
e representar os valores de medida nos pontos apropriados conforme indicados pelos eixos, sem a
necessidade de se realizar va´rios ca´lculos tediosos. E´ como deformar a superf´ıcie do papel!
Com essa ideia de facilitar a conversa˜o, foram criados os pape´is dilog (ou log-log) e monolog,
que possuem eixos graduados em escala logar´ıtmica na base 10. Basta ler os ro´tulos dos eixos e
representar o ponto experimental no valor correspondente. Por assim dizer, o eixo ‘tira o logaritmo’
para voceˆ de forma a representar o ponto no local correto do papel.
A figura 7 ilustra treˆs poss´ıveis representac¸o˜es gra´ficas de uma func¸a˜o exponencial. A` esquerda,
a func¸a˜o e´ representada num gra´fico com escalas lineares, i.e. x versus y.
No gra´fico do meio, fizemos a conversa˜o da Eq. (10) explicitamente, calculando Y = log y e
colocando seu valor no mesmo tipo de gra´fico linear do exemplo anterior. Representamos, portanto,
x versus Y em escalas lineares.
A` direita, utilizamos um papel monolog na representac¸a˜o da mesma func¸a˜o exponencial. Em vez
de realizar contas tediosas, lemos diretamente nas escalas dos eixos os valores correspondentes a x
e y, e assim representamos novamente x versus y, pore´m dessa ver com um dos eixos com escala
alterada por construc¸a˜o pelo logaritmo.
12
Me´todos gra´ficos
Figura 7: Esquerda: func¸a˜o exponencial representada em gra´fico comum, com eixos em escala linear.
Centro: mesma func¸a˜o no mesmo tipo de gra´fico com a transformac¸a˜o da Eq. (9). Direita: func¸a˜o
exponencial representada em gra´fico monolog.
Figura 8: Esquerda: para´bola representadaem gra´fico comum, com eixos lineares. Centro: mesma
func¸a˜o com a transformac¸a˜o da Eq. (6). Direita: representac¸a˜o em gra´fico dilog.
O mesmo vale para o papel dilog (Fig. 8), em que ambos os eixos sa˜o graduados em escala
logar´ıtmica.
Note como o espac¸amento entre pontos varia com a forma de se escalonar os eixos, se linear ou
logar´ıtmica. Isso ocorre por causa da propriedade do logaritmo de que a multiplicac¸a˜o do valor por
uma constante implica na soma de uma constante a seu logaritmo.
Essa propriedade especial permite representar de forma compacta no gra´fico grandes variac¸o˜es
(ordens de grandeza) das quantidades medidas.
No gra´fico linear, o espac¸amento entre pontos corresponde diretamente a` diferenc¸a entre valores
medidos. Ja´ no gra´fico com escala log, o mesmo pedac¸o de papel e´ ocupado por cada de´cada, isto
e´, valores de 1 a 10 ocupam a mesma a´rea do papel que valores entre 10 e 100, e assim por diante.
Para se obter separac¸o˜es iguais entre pontos medidos no papel log, e´ preciso realizar medidas a in-
tervalos obtidos pela multiplicac¸a˜o por uma constante. Por exemplo, um gra´fico log com espac¸amento
uniforme entre pontos seria obtido medindo-se y para x com valores escolhidos como na sequeˆncia
x0, 2x0, 4x0 etc, desde que y e x estejam relacionadas por uma lei de poteˆncia (gra´fico dilog) ou
func¸a˜o exponencial (monolog).
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F´ısica Experimental 1
4.1 Interpretando gra´ficos log
A escala logar´ıtmica do gra´fico log nos impede de empregar uma re´gua para medir diretamente
do gra´fico diferenc¸as de valores (uma vez que o papel foi ‘deformado’). E´ preciso nesse caso fazer
sempre uso da escala dos eixos, bastando ler o valor de cada ponto na escala.
Da mesma forma, o procedimento para determinar os paraˆmetros da reta ajustada visualmente
precisa passar pela conversa˜o fornecida pela escala. Em gra´ficos monolog, o coeficiente linear da reta
e´ extra´ıdo estendendo-a ate´ o eixo x = 0 e lendo-se diretamente o valor de intersec¸a˜o na escala. O
coeficiente B e´ o logaritmo desse nu´mero, como vimos. Em gra´ficos dilog, o mesmo procedimento e´
realizado para o eixo x = 1.
Para o coeficiente angular, o melhor e´ escolher dois pontos distantes em que a reta encontre a
intersec¸a˜o entre linhas verticais e horizontais da grade logar´ıtmica. Para esses pontos e´ poss´ıvel ler
facilmente seus valores x e y na escala. O coeficiente angular e´ calculado da forma usual, com o
cuidado de utilizar o logaritmo do valor lido quando necessa´rio.
Questo˜es sobre o material dida´tico devem ser enderec¸adas no momento ao Prof. Alessandro S.
Villar, no e-mail villar@df.ufpe.br.
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