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Aula 03
Curso Regular de Matemática - Com videoaulas
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 03 
 
 
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AULA 03: ÁLGEBRA 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 30 
3. Questões apresentadas na aula 200 
4. Gabarito 261 
 
Caro aluno, 
 
 Nesta aula trataremos de tópicos de álgebra comumente cobrados em editais 
de matemática ou de raciocínio lógico-matemático: 
 
- equações e inequações de primeiro e segundo grau, sistemas de equações, 
matrizes e determinantes 
 
 Bons estudos! 
 
1. TEORIA 
1.1 EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
 Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte exemplo: 
³-RmR�WLQKD�uma quantidade de bolas cheias, porém 5 murcharam, restando apenas 
�� FKHLDV�� 4XDQWDV� ERODV� WLQKD� -RmR"´�� 1HVWH� FDVR�� D� YDULiYHO� TXH� SUHWHQGHPRV�
descobrir é o número de bolas. Chamando essa variável de x, sabemos que x 
menos 5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. 
Matematicamente, temos: 
x ± 5 = 3 
portanto, 
x = 8 bolas 
 Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada ao 
expoente 1 (lembra-se que 1x x ?) . Quando isso acontece, estamos diante de 
uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de se resolver: basta 
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isolar a variável x em um lado da igualdade, passando todos os demais membros 
para o outro lado, e assim obtemos o valor de x. 
 Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de 
XVDU� D� OHWUD� [�� PDV� VLP� XPD� OHWUD� TXH� ³OHPEUH´� R� TXH� HVWDPRV� EXVFDQGR�� 1R�
exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos 
o que representa aquela variável ± principalmente quando estivermos trabalhando 
com várias delas ao mesmo tempo. 
2�YDORU�GH�[�TXH�WRUQD�D�LJXDOGDGH�FRUUHWD�p�FKDPDGR�GH�³UDL]�GD�HTXDomR´��
Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo: 
3x - 15 = 0 
3x = 15 
x = 5 
 Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau: 
a) 2 16 0x � 
b) 30 0x x� � 
c) 
1
5 0x
x
� � 
Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 0ax b� , 
onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, 
necessariamente, 0a z (a deve ser diferente de zero, caso contrário 0.x = 0, e não 
estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando x em 
0ax b� , temos: 
b
x
a
� 
 Portanto, a raíz da equação é sempre dada por 
b
a
�
. Na equação de primeiro 
grau 2 13 0x � , a = 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x = ( 13) 13
2 2
b
a
� � � . 
 $JRUD� LPDJLQH� R� VHJXLQWH� SUREOHPD�� ³2� Q~PHUR� GH� ERODV� TXH� -RmR� WHP��
acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, menos 2. 
4XDQWDV�ERODV�-RmR�WHP"´ 
 Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o número de 
bolas acrescido em 5) é igual a 2B ± 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto 
é: 
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B + 5 = 2B ± 2 
 
 Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contém a 
incógnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que não contém para o 
outro lado. Veja: 
-(-2) + 5 = 2B ± B 
2 + 5 = B 
7 = B 
 Sobre este tema, resolva a questão a seguir: 
 
1. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) Antônio recebeu seu salário. As 
contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante 
foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor 
recebido por Antonio foi de: 
a) R$780,00 
b) R$795,00 
c) R$810,00 
d) R$825,00 
e) R$840,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S o salário recebido por Antonio. Se ele gastou a terça parte (isto é, 
3
S
) 
com as contas, sobraram 
2
3 3
S
S S� . Desse valor restante, a quinta parte (ou seja, 
1 2
5 3
Su ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que: 
2 1 2
440
3 5 3
S S� u 
 Vamos resolver a equação de primeiro grau acima, com a variável S: 
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2 1 2
440
3 5 3
10 2
440
15 15
8
440
15
15
440
8
825
S S
S S
S
S
S
� u 
� 
 
 u
 
 
Resposta: D. 
 
1.1.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (SISTEMAS LINEARES) 
 Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine 
que um exercício diga que: 
x + y = 10 
Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade 
verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação 
envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus valores exatos. 
Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que: 
x ± 2y = 4 
 Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis: 
10
2 4
x y
x y
� ­® � ¯ 
 A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da 
substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em duas etapas: 
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item 
anterior. 
 
A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação acima. 
Teremos, portanto: 
10x y � 
 Agora podemos substituir x por 10 ± y na segunda equação. Assim: 
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2 4
(10 ) 2 4
10 3 4
10 4 3
6 3
2
x y
y y
y
y
y
y
� 
� � 
� 
� 
 
 
 
 Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 ± y e obter 
o valor de x: 
10
10 2
8
x y
x
x
 �
 �
 
 
 Existem outros métodos de resolução de sistemas lineares, sendo que 
falaremos de um deles mais adiante nesta aula ± por agora tente conhecer bem o 
método da substituição, que auxiliará a resolver diversas questões de sua prova! 
Treine este método com a questão abaixo: 
 
2. CEPERJ ± SEFAZ/RJ ± 2011) Os professores de uma escola combinaram 
almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e o transporte 
até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam 
no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que: 
‡�&RP���SHVVRDV�HP�FDGD�FDUro, todos os professores podem ser transportados e 2 
carros podem permanecer no estacionamento. 
‡� 6H� �� SURIHVVRUHV� TXH� QmR� SRVVXHP� FDUUR� GHVLVWLUHP�� WRGRV� RV� FDUURV� SRGHP�
transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro. 
O número total de professores na reunião era: 
A) 40 
B)45 
C) 50 
D) 55 
E) 60 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de C o número de carros disponíveis. Com 5 pessoas em cada 
carro, seria possível deixar 2 carros no estacionamento, isto é, usar apenas C ± 2 
carros. Sendo P o número de professores, podemos dizer que P é igual ao número 
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de carros que foram usados (C ± 2) multiplicado por 5, que é a quantidade de 
professores em cada carro: 
( 2) 5P C � u 
 Se 2 professores desistirem, isto é, sobrarem P ± 2 professores, estes podem 
ser transportados nos C carros, ficando 4 pessoas em cada carro. Portanto, o 
número de professores transportados neste caso (P ± 2) é igual à multiplicação do 
número de carros (C) por 4, que é a quantidade de professores em cada carro: 
2 4P C� u 
 Temos assim um sistema linear com 2 equações e 2 variáveis: 
( 2) 5
2 4
P C
P C
 � u
� u 
 Vamos isolar a variável P na segunda equação: 
4 2P C u � 
 A seguir, podemos substituir essa expressão na primeira equação: 
( 2) 5
4 2 ( 2) 5
4 2 5 10
2 10 5 4
12
P C
C C
C C
C C
C
 � u
u � � u
� �
� �
 
 
 Descobrimos, portanto, que o total de carros é C = 12. O total de professores 
é dado por: 
4 2
12 4 2
50
P C
P
P
 u �
 u �
 
 
Resposta: C 
 
1.2 EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por possuírem a 
variável elevada à primeira potência (isto é, 1x ), as equações de segundo grau 
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possuem a variável elevada ao quadrado ( 2x ), sendo escritas na forma 
2 0ax bx c� � , onde a, b e c são os coeficientes da equação. Veja um exemplo: 
2 3 2 0x x� � 
 Nesta equação, a = 1 (pois 2x está sendo multiplicado por 1), b = -3 e c = 2. 
As equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que 
tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação acima, veja que x = 1 e x = 2 
são raízes, pois: 
21 3 1 2 0� u � 
e 
22 3 2 2 0� u � 
 
 Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: 
1 2( ) ( ) 0a x r x ru � u � 
 
 Nesta forma de escrever, 1r e 2r são as raízes da equação. Tratando do 
exemplo acima, como as raízes são 1 e 2, podemos escrever: 
1 ( 1) ( 2) 0x xu � u � 
 
 Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à equação inicial: 
2
2
1 ( 1) ( 2) 0
2 1 ( 1) ( 2) 0
3 2 0
x x
x x x
x x
u � u � 
� � � � u � 
� � 
 
 
 A fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. 
Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los nas seguintes fórmulas: 
2 4
2
b b ac
x
a
� � � 
e 
2 4
2
b b ac
x
a
� � � 
 
 Como a única diferença entre as duas fórmulas é um sinal, podemos 
escrever simplesmente: 
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2 4
2
b b ac
x
a
� r � 
 
 Para exemplificar, vamos calcular as raízes da equação 2 3 2 0x x� � 
utilizando a fórmula de Báskara. Recordando que a = 1, b = -3 e c = 2, basta 
substituir estes valores na fórmula: 
2
2
4
2
( 3) ( 3) 4 1 2
2 1
3 9 8
2
3 1
2
b b ac
x
a
x
x
x
� r � 
� � r � � u u u
r � 
r 
 
 
 Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, usando 
primeiro o sinal de adição (+) e depois o de subtração (-). Veja: 
1
3 1 4
2
2 2
x
� 
e 
2
3 1 2
1
2 2
x
� 
 
 1D�IyUPXOD�GH�%iVNDUD��FKDPDPRV�GH�³GHOWD´��' ) a expressão 2 4b ac� , que 
vai dentro da raiz quadrada. Na resolução acima, 2 4 1b ac� ��RX�VHMD��R�³GHOWD´�HUD�
um valor positivo ( 0' ! ). Quando 0' ! , teremos sempre duas raízes reais para a 
equação, como foi o caso. 
Veja que, se ' for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. Portanto, 
se 0' � , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau. 
 Já se 0' , a fórmula de Báskara fica 0
2 2
b b
x
a a
� r � . Isto significa que 
teremos apenas 1 raiz para a equação, ou melhor duas raízes idênticas. Por 
exemplo, vamos calcular as raízes de 2 2 1 0x x� � . Veja que a = 1, b = -2 e c = 1. 
&DOFXODQGR�R�YDORU�GH�³GHOWD´��WHPRV� 
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2
2
4
( 2) 4 1 1
4 4 0
b ac' �
' � � u u
' � 
 
 
 Na fórmula de Báskara, temos: 
2 4
2
2
( 2) 0
2 1
2
1
2
b b ac
x
a
b
x
a
x
x
� r � 
� r ' 
� � r u
 
 
 
 Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equação de segundo grau 
tem 0' , o que leva a apenas 1 raíz, isto é, a 2 raízes de mesmo valor (x = 1). 
Esta equação poderia ter sido escrita assim: 
1 x (x ± 1) x (x ± 1) = 0 
ou simplesmente 
(x ± 1)2 = 0 
 
 Tente resolver a questão abaixo: 
 
3. VUNESP ± ISS/SJC ± 2012) Em uma sala, o número de meninos excede o 
número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de 
meninas é um número que excede o número total de alunos em 129. O total de 
alunos nessa sala é 
(A) 25. 
(B) 27. 
(C) 30. 
(D) 32. 
(E) 36. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja A o número de meninas e B o número de meninos. O enunciado diz que 
B excede A em 3, ou seja, 
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B = A + 3 
 
 Além disso, é dito que o produto entre A e B (isto é, A x B) excede o número 
total de alunos em 129. Como o total de alunos é dado pela soma A + B, temos: 
A x B = A + B + 129 
 
 Temos um sistema com duas equações e duas variáveis: 
B = A + 3 
A x B = A + B + 129 
 
 Substituindo B por A + 3 na última equação, temos: 
A x (A + 3) = A + (A + 3) + 129 
A2 + 3A = 2A + 132 
A2 + A ± 132 = 0 
 
 Podemos resolver essa equação do 2º grau com a fórmula de Báskara, onde 
os coeficientes são a = 1, b = 1 e c = -132: 
2(1) 1 4 1 ( 132)
2 1
1 529
2
1 23
2
A
A
A
� r � u u � u
� r 
� r 
 
A = -12 ou A = 11 
 
 Como A é o número de meninas, ele deve necessariamente ser um número 
positivo. Assim, podemos descartar -12 e afirmar que A = 11 meninas. Portanto, o 
número de meninos é: 
B = A + 3 = 11 + 3 = 14 
 
 O total de alunos é: 
A + B = 11 + 14 = 25 
Resposta: A 
 
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 Resolva ainda essa questão: 
 
4. COPS/UEL ± CELEPAR ± 2010) Entre os númerosx e y existe a seguinte 
relação: x3 + 3xy + xy2 = 27. Nessas condições: 
a) Se x = 3 e y é negativo, então y = -3. 
b) Se x = 3 e y é positivo, então y = 3. 
c) Se x = 4 então y = 8. 
d) Se x = 8 então y = 4. 
e) Se x = -1 então y = -2. 
RESOLUÇÃO: 
 As alternativas a) e b) dessa questão tratam do caso onde x = 3. Se isto 
ocorrer, a expressão do enunciado se transforma em: 
33 + 3.3.y + 3y2 = 27 
27 + 9y + 3y2 = 27 
9y + 3y2 = 0 
 
 Para resolver esta equação do segundo grau, você pode utilizar a fórmula de 
Báskara que estudamos. Entretanto, veja a seguir uma forma diferente de resolver 
(esta forma é válida apenas quando não temos o termo independente, isto é, 
quando c = 0 em ay2 + by + c = 0). Basta colocar a variável em evidência: 
y . (9 + 3y) = 0 
 
 Só existem duas formas do produto acima ser zero. Ou y = 0, ou 9 + 3y = 0, o 
que implicaria em y = -3. Estas são as duas raízes. 
 
 Assim, veja que se x = 3 e y é negativo, então y = -3. Chegamos ao resultado 
da alternativa A. 
Resposta: A 
 
1.2.1 EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 Observe a equação abaixo: 
x4 ± 2x2 ± 3 = 0 
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 Aqui temos uma equação de quarto grau, pois temos a variável x elevada à 
quarta potência. Repare ainda que não temos o termo x3 e nem o termo x1 (ou 
simplesmente x). Isto é, estes dois termos possuem coeficiente igual a zero. 
 Essas equações, onde temos x4 e não temos nem x3 nem x, são chamadas 
de biquadradas. Elas são importantes porque podemos resolvê-las utilizando o 
mesmo método que vimos para as equações de segundo grau, com algumas 
adaptações. 
 2�SULPHLUR�SDVVR�p�³FULDU´�D�YDULiYHO�\��GHILQLQGR�TXH�\� �[2. Assim, podemos 
reescrever a equação inicial, agora em função de y. Basta lembrar que x4 = (x2)2: 
x4 ± 2x2 ± 3 = 0 
(x2)2 ± 2x2 ± 3 = 0 
y2 ± 2y ± 3 = 0 
 
 Veja que nesta última linha temos uma equação de segundo grau com a 
variável y. Sabemos resolvê-la, utilizando a fórmula de Báskara: 
2 4
2
2 4 12
2
2 4
2
b b ac
y
a
y
y
� r � 
r � 
r 
 
 
 Portanto, temos 2 valores para y: 
y1 = 3 e y2 = -1 
 
 Atenção: até aqui obtemos o valor de y apenas. Mas a equação original tinha 
a variável x, motivo pelo qual devemos buscar os valores de x. Para isto, basta 
lembrar que y = x2. Considerando y1 = 3, temos: 
y = x2 
3 = x2 
3x r 
 Veja que, a partir de y1, obtivemos 2 valores para x: 1 3x e 2 3x � . A 
partir de y2 devemos obter outros 2 valores de x, totalizando 4 valores de x (o que 
era previsível, afinal temos uma equação de 4º grau): 
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y = x2 
-1 = x2 
1x r � 
 
 Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números complexos (onde 
existe raiz quadrada de números negativos), estas seriam as outras duas raízes da 
equação original: 3 1x � e 4 1x � � . Entretanto, em regra devemos considerar 
que estamos no conjunto dos números reais, onde não existe raiz quadrada de 
número negativo. Portanto, diante de 1x r � , devemos dizer simplesmente que a 
equação biquadrada x4 ± 2x2 ± 3 = 0 só tem 2 raízes reais, e não 4. 
 Pratique a resolução de equações biquadradas utilizando a equação abaixo: 
x4 ± 13x2 + 36 
 
 Você deverá encontrar y1 = 4 e y2 = 9, e a seguir encontrar x1 = 2, x2 = -2, x3 
= 3 e x4 = -3. 
 
1.2.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais equações de 
primeiro grau, contendo duas ou mais variáveis. Utilizamos para isso o método da 
substituição. Podemos ter sistemas contendo também equações de segundo grau, 
onde aplicaremos o mesmo método para resolver. Veja um exemplo a seguir: 
2 2
3
3
x y
x y
� ­® � �¯
 
 Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 ± y. Efetuando a 
substituição na segunda equação, temos que: 
(3 ± y)2 ± y2 = -3 
9 ± 6y + y2 ± y2 = -3 
y = 2 
Logo, x = 3 ± y = 3 ± 2 = 1 
 
 Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y2 foi 
cancelada por ±y2. Entretanto, ainda que isso não ocorra é possível resolver o 
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sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2º grau. Veja este outro 
exemplo: 
2 3
1
x y
x y
­ � ® � �¯
 
 
 Isolando x na segunda equação, temos x = y ± 1. Substituindo na primeira 
equação, temos: 
(y ± 1)2 + y = 3 
y2 ± 2y + 1 + y = 3 
y2 ± y ± 2 = 0 
 
 Com o auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta equação de 
segundo grau na variável y: 
2( 1) ( 1) 4 1 ( 2)
2 1
y
� � r � � u u � u 
1 3
2
y r 
y = 2 ou y = -1 
 
 Para y = 2 temos que x = y ± 1 = 2 ± 1 = 1. Da mesma forma, para y = -1 
você pode ver que x = -2. Assim, este sistema possui duas soluções: 
x = 1 e y = 2 
ou 
x = -2 e y = -1 
 
1.3 INEQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS 
 Chamamos de inequação uma desigualdade que utiliza os símbolos > (maior 
que), < (menor que), t (maior ou igual a) ou d (menor ou igual a). Podemos ter 
inequações de primeiro grau, segundo grau ou outros graus, dependendo do maior 
expoente ao qual estiver elevada a variável. Veja alguns exemplos: 
 
x + 7 > 1 (x mais 7 unidades é maior que 1) 
 
01780543565
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3x2 < 27 (o triplo de x ao quadrado é menor que 27) 
 
 Ao resolver uma inequação não encontraremos o valor exato da variável, 
mas sim um intervalo onde esta variável pode se encontrar. Exemplificando, vamos 
resolver a primeira inequação acima: 
x + 7 > 1 
 
 Veja que esta é uma inequação de primeiro grau. Para resolvê-la, vamos 
isolar a variável x, somando -7 nos dois lados da inequação: 
x + 7 ± 7 > 1 ± 7 
x > -6 
 
 Portanto, sabemos que qualquer valor x que seja maior que ±6 atende a 
inequação. Por exemplo, x = 0 atende a inequação, pois 0 > -6. 
Uma maneira mais formal de representar todos os valores que atendem a 
inequação é dizer que o conjunto-solução desta inequação (S) é: 
 �  ! �{ | 6}S x R x 
( leia: o conjunto solução é formado por todo x pertencente ao conjunto dos 
números reais, tal que x é maior que -6) 
 
 Vamos resolver agora a seguinte inequação: 
-x + 18 < 2x 
 
 3RGHPRV�³SDVVDU´�R����SDUD�R� Oado direito da inequação (somando -18 nos 
GRLV�ODGRV�GD�LQHTXDomR��H�³SDVVDU´�R��[�SDUD�R�ODGR�HVTXHUGR� 
-x -2x < -18 
-3x < -18 
-x < -18/3 
-x < -6 
 
 Se quisermos obter o valor de x (ao invés de ±x), devemos multiplicar ambos 
os lados da inequação por -1. Entretanto, atenção: neste caso, você deve inverter o 
sinal da inequação. Observe: 
01780543565
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x > 6 
 Aqui, teríamos o conjunto solução: 
 �  !{ | 6}S x R x 
 
 Prosseguindo, vamos trabalhar um exemplo de inequação do segundo grau: 
-x2 +13x > 36 
 
 Para resolver uma inequação do segundo grau, você precisa: 1) passar todos 
os termos para o mesmo lado; 2) substituir o sinal da inequação pelo sinal de 
igualdade, resolvendo a equação através da fórmula de Báskara; 3) escrever o 
conjunto-solução da inequação. Vamos efetuar estes passos. 
 Passando todos os termos da inequação acima para o mesmo lado, temos: 
-x2 +13x ± 36 > 0 
 
 Vamos multiplicar os dois membros da inequação por -1, para substituir o 
sinal negativo de ±x2. Lembrando que devemos inverter o sinal da desigualdade, 
temos: 
x2 ± 13x ± 36 < 0 
 
 Agora, devemos substituir o sinal > por = , temporariamente, apenas para 
calcularmos as raízes da equação: 
x2 ± 13x ± 36 = 0 
 
 Utilizando a fórmula de Báskara, vemos que x1 = 4 e x2 = 9. O próximo passo 
é escrever o conjunto solução da inequação. 
 Como o fator x2 tem coeficiente positivo (1x2), a curva f(x) = x2 ± 13x ± 36 tem 
concavidade para cima, cruzando o eixo horizontal em x = 4 e em x = 9. O gráfico 
desta função seria mais ou menos assim: 
01780543565
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 Observe neste gráfico que f(x) tem valor negativo para x entre 4 e 9 (está 
abaixo do eixo horizontal). Da mesma forma, f(x) tem valor positivo para x abaixo de 
4 e também para x acima de 9 (pois está acima do eixo horizontal), e tem valor igual 
a zero para x = 4 e para x = 9. 
Como a inequação que temos é x2 ± 13x ± 36 < 0, estamos interessados 
apenas nos trechos onde f(x) é menor que zero (negativa). Marquei em vermelho 
esses trechos: 
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 Portanto, o nosso conjunto solução é: 
  � �{ | 4 9}S x R x 
 
 Vamos exercitar a manipulação de inequações do segundo grau encontrando 
o conjunto solução da inequação abaixo: 
- x2 + 3x - 2 t 0 
 Substituíndo o t pelo =, temos: 
- x2 + 3x - 2 = 0 
 Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos x1 = 1 e x2 = 2. O gráfico de 
f(x) = - x2 + 3x - 2 tem concavidade para baixo, pois x2 tem coeficiente negativo 
(-1x2). Este gráfico cruza o eixo x em 1 e 2: 
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Como queremos saber a região onde f(x) t 0, isto é, - x2 + 3x - 2 t 0, 
marquei a região que nos interessa no gráfico abaixo: 
 
 
 Portanto, o nosso conjunto solução é a região entre 1 e 2, isto é: 
  d d{ |1 2}S x R x 
 
Repare que, no primeiro exemplo que analisamos (x2 ± 13x ± 36 > 0) 
tínhamos o sinal >, enquanto no segundo exemplo (- x2 + 3x - 2 t 0) tínhamos o 
sinal t . No primeiro caso, os valores de x que tornavam x2 ± 13x ± 36 igual a zero 
não fizeram parte do conjunto solução. Já no segundo exemplo, os valores de x que 
tornavam - x2 + 3x - 2 fizeram parte do conjunto solução. 
Vamos treinar o conteúdo acima resolvendo essa questão: 
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5. ESAF ± AFRFB ± 2009) Considere as inequações dadas por: 
2 2( ) 2 1 0 ( ) 2 3 2 0f x x x e g x x x � � d � � � t 
 Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B é o conjunto solução de 
g(x), então o conjunto Y A B ˆ é igual a: 
a) 
1| 2
2
Y x R x­ ½  � � d® ¾¯ ¿ 
b) 
1| 2
2
Y x R x­ ½  � d d® ¾¯ ¿ 
c) ^ `| 1Y x R x  
d) ^ `| 0Y x R x  t 
e) ^ `| 0Y x R x  d 
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro passo da resolução é obter as raízes de f(x) e de g(x). Para isso, 
basta igualá-las a zero e utilizar a fórmula de Báskara. Acompanhe: 
f(x) = 0 Æ 2 2 1 0x x� � 
2( 2) ( 2) 4 1 1
2 1
x
� � r � � u u u 
2 0 1
2
x
r 
 
 Observe que nesta equação o ' foi igual a zero, de modo que temos duas 
raízes iguais a 1, e o gráfico da equação apenas toca no eixo horizontal. Esboçando 
o gráfico de f(x), temos algo assim: 
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 Observe que para x = 1 a função f(x) é igual a zero, porém para x > 1 ou x < 1 
a função assume valores positivos. Assim, o conjunto-solução da inequação 
( ) 0f x d é apenas x = 1, pois para qualquer valor x diferente de 1 teremos f(x) > 0. 
Assim, podemos dizer que: 
^ `| 1A x R x  
 
 Analise as alternativas de resposta e veja que nem precisamos trabalhar g(x), 
pois podemos eliminar as alternativas A, B, D e E, afinal a intersecção entre os 
conjuntos A e B (Y A B ˆ ) não pode conter elementos que não fazem parte de A. 
 De qualquer forma, vamos encontrar o conjunto-solução de g(x). Igualando-a 
a zero, temos: 
22 3 2 0x x� � � 
23 3 4 ( 2) 2
2 ( 2)x
� r � u � u u � 
3 5
4
x
� r � 
12 
2
x ou x � 
 Assim, g(x) é uma parábola com a concavidade para baixo (pois o termo x2 é 
multiplicado por um coeficiente negativo, -2), que toca o eixo horizontal nos pontos 
12 
2
x ou x � . Esboçando o gráfico, temos: 
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 Repare que g(x) é igual a zero em x = -1/2 e em x = 2. E g(x) é positiva para x 
entre -1/2 e 2. Como a nossa inequação é do tipo ( ) 0g x t , podemos escrever o 
seguinte conjunto-solução: 
1| 2
2
B x R x­ ½  � d d® ¾¯ ¿ 
 Repare que o ponto x = 1, que é a única solução de ( ) 0f x d , faz parte do 
intervalo 
1 2
2
x� d d . Ou seja, x = 1 também é solução da inequação ( ) 0g x t . É por 
isso que podemos afirmar que a intersecção entre os conjuntos-solução A e B é: 
^ `| 1Y x R x  
Resposta: C 
 
1.4 MATRIZES 
Uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os elementos desta 
tabela são representados na forma aij, onde i representa a linha e j representa a 
coluna deste termo. Ex.: abaixo temos uma matriz A2x3. Veja que o termo a13, por 
exemplo, é igual a -3: 
7 4 3
2 1 0
A
�ª º « »�¬ ¼ 
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 Dizemos que a ordem desta matriz é 2x3. A partir dela, podemos criar a 
matriz transposta AT, que é construída trocando a linha de cada termo pela suacoluna, e a coluna pela linha. Repare que a ordem de AT é 3x2: 
7 2
4 1
3 0
TA
�ª º« » « »« »�¬ ¼
 
 
Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e colunas. 
Ex.: abaixo temos uma matriz quadrada de ordem 3: 
1 3 0
3 1 5
0 5 1
A
ª º« » « »« »¬ ¼
 
 
 Esta matriz possui uma diagonal principal, que neste exemplo é formada 
pelos números 1. A outra diagonal é dita secundária. Repare que, em relação à 
diagonal principal, os demais termos dessa matriz são simétricos. Veja que, em uma 
matriz simétrica, a transposta é igual à matriz original, isto é, AT = A. 
 Para somar ou subtrair duas matrizes, basta somar ou subtrair os termos 
correspondentes. Repare que as matrizes precisam ser de mesma ordem. Ex.: 
1 3 0 1 3 0 2 6 0
3 1 5 3 1 5 6 2 10
0 5 1 0 5 1 0 10 2
ª º ª º ª º« » « » « »� « » « » « »« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
 
 
 Para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicar cada termo da 
matriz por aquele número. Ex: 
1 3 0 10 30 0
10 3 1 5 30 10 50
0 5 1 0 50 10
ª º ª º« » « »u « » « »« » « »¬ ¼ ¬ ¼
 
 
 Ao multiplicar 2 matrizes, cada termo da nova matriz é formado pela soma 
das multiplicações de cada termo de uma linha da primeira matriz por cada termo de 
uma coluna da segunda matriz. Veja: 
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1 2
7 4 3 7 1 4 0 ( 3) ( 1) 7 ( 2) 4 1 ( 3) 0 10 10
0 1
2 1 0 2 1 1 0 0 ( 1) ( 2) ( 2) 1 1 0 0 2 5
1 0
�ª º� u � u � � u � u � � u � � u �ª º ª º ª º« »u « » « » « »« »� � u � u � u � � u � � u � u �¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼« »�¬ ¼
 
 
 Repare que multiplicamos uma matriz de ordem 2x3 por outra de ordem 3x2, 
e obtivemos uma matriz 2x2. Veja que só é possível multiplicar 2 matrizes se o 
número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. E a 
ordem da matriz resultado será formada pelo número de linhas da primeira e o 
número de colunas da segunda. Além disso, a multiplicação de matrizes não é 
comutativa, isto é, AxB não é, necessariamente, igual a BxA. Veja que: 
1 2 11 2 3
7 4 3
0 1 2 1 0
2 1 0
1 0 7 4 3
� �ª º ª º�ª º« » « »u �« »« » « »�¬ ¼« » « »� � �¬ ¼ ¬ ¼
 
 
 &KDPDPRV�GH�PDWUL]�,GHQWLGDGH�GH�RUGHP�³Q´�D�PDWUL]�TXDGUDGD�TXH�SRVVXL�
todos os termos da diagonal principal iguais a 1, e todos os demais termos iguais a 
zero. Veja a matriz identidade de ordem 3: 
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
ª º« » « »« »¬ ¼
 
 
 Dada uma matriz A, chamamos de inversa de A, ou A-1, a matriz tal que: 
A x A-1 = I (matriz identidade) 
 
 Como veremos a seguir, nem toda matriz quadrada possui inversa, isto é, 
nem toda matriz quadrada é inversível. 
 
1.5 DETERMINANTES 
 O determinante de uma matriz é um número a ela associado. Aqui estamos 
tratando apenas de matrizes quadradas. Em uma matriz quadrada de ordem 1, o 
determinante é o próprio termo que forma a matriz. Ex.: 
Se [3]A , então det(A) = 3 
 
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 Em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela subtração 
entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Veja: 
Se 
5 1
7 2
A ª º « »¬ ¼ , então det(A) = 5x2 ± 1x7 = 3 
 
 Em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado da seguinte 
forma: 
det
a b c
d e f aei bfg cdh ceg bdi afh
g h i
§ ·¨ ¸ � � � � �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 
 Exemplificando: 
Se 
1 2 3
0 4 5
1 3 0
A
ª º« » « »« »¬ ¼
, 
 
 então det(A) = 1x4x0 + 2x5x1 + 3x0x3 ± 3x4x1 ± 2x0x0 ± 1x5x3 = -17 
 
 Resumidamente, as principais propriedades do determinante são: 
- o determinante de A é igual ao de sua transposta AT 
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0 
- VH�PXOWLSOLFDUPRV�WRGRV�RV�WHUPRV�GH�XPD�OLQKD�RX�FROXQD�GH�$�SRU�XP�YDORU�³N´��R�
determinante da matriz será também multiplicado por k; 
- VH�PXOWLSOLFDUPRV�WRGRV�RV�WHUPRV�GH�XPD�PDWUL]�SRU�XP�YDORU�³N´��R�GHWHUPLQDQWH�
será multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz; 
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da nova 
matriz será igual a ±det(A); 
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0 
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (AxB) = det(A) x det(B) 
- uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( ) 0A z 
- se A é uma matriz inversível, det(A-1) = 1/det(A) 
 
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 Os conceitos de matrizes e determinantes vistos acima tem uma aplicação 
importante na resolução de sistemas lineares. Vamos trabalhar com o sistema 
abaixo, que possui 3 variáveis (x, y e z) e 3 equações: 
2x + y + z = 4 
x ± y + z = 1 
x + y = 2 
 
Já aprendemos a resolver este sistema através do método da substituição 
(que tal praticá-lo aqui?). Aqui veremos como resolver aplicando os conceitos de 
matrizes e determinantes. 
Os números que multiplicam as variáveis x, y e z em cada equação são 
chamados de coeficientes. Podemos reescrever este sistema de equações em 
forma matricial, separando os coeficientes em uma primeira matriz, as variáveis na 
segunda e os resultados na terceira. Veja: 
2 1 1 4
1 1 1 1
1 1 0 2
x
y
z
ª º ª º ª º« » « » « »� u « » « » « »« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
 
 
 Para obtermos os valores de x, y e z, devemos: 
Î Calcular o determinante da primeira matriz (matriz dos coeficientes), que 
chamaremos de D. Isto é, 
 
2 1 1
det 1 1 1
1 1 0
D
§ ·¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
Î Substituir os coeficientes de x da primeira matriz (isto é, a primeira coluna) 
pelos valores da matriz de resultados, obtendo o determinante desta nova 
matriz, que chamaremos de Dx. Isto é, 
4 1 1
det 1 1 1
2 1 0
Dx
§ ·¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
Î Substituir os cieficientes de y da primeira matriz pelos valores da matriz de 
resultados, e obter Dy: 
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2 4 1
det 1 1 1
1 2 0
Dy
§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹
 
Î Repetir o procedimento, obtendo Dz: 
2 1 4
det 1 1 1
1 1 2
D
§ ·¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 Desta forma, os valores x, y e z que representam a solução deste sistema 
linear serão: 
Dx
x
D
 , Dyy
D
 e Dzz
D
 
 
 
 Podemos ainda classificar o sistema quanto à possibilidade ou não de 
encontrar uma solução. Se: 
a) D diferente de 0, então o sistema é possível e determinado Æ podemos obter 
valores únicos para x, y e z; 
b) D = Dx = Dy = Dz = 0, então o sistema é possível e indeterminado Æ existem 
infinitos valores possíveis para x, y e z; 
c) D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes (Dx, Dy e/ou Dz) for diferente 
de zero, então o sistema é impossível Æ não existem valores x, y e z que resolvem 
o sistema. 
 Vejamos uma questão sobre o assunto para você praticar esses conceitos: 
 
6. ESAF ± AFRFB ± 2009) Com relação ao sistema , 
 
onde 3 z + 2 �0 e 2x + y �0 , pode-se, com certeza, afirmar que: 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo. 
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RESOLUÇÃO: 
 Observe que 
2 1 1
3 2 2
x y z
z x y
� � � � pode ser separada nas duas equações 
abaixo: 
2 1
3 2
x y
z
� � 
e 
1 1
2
z
x y
� � 
 Reescrevendo-as de modo a eliminar as frações, temos: 
2 3 2x y z� � 
e 
1 2z x y� � 
 Para montar o sistema linear, devemos colocar todas as variáveis de um lado 
da igualdade e o termo constante do outro lado. Fazendo isso com as equações 
acima, temos: 
2 3 2x y z� � 
e 
2 1x y z� � 
 
 Assim, o nosso sistema linear é formado pelas 3 equações abaixo: 
1
2 3 2
2 1
x y z
x y z
x y z
� � ­° � � ®° � � ¯
 
 
 Para podemos classificar este sistema, devemos montar as matrizes dos 
coeficientes, para obter D, e as matrizes necessárias para obter Dx, Dy e Dz. Veja: 
1 1 1
2 1 3
2 1 1
D � �
�
 
 Calculando este determinante: 
D = 1 x (-1) x (-1) + 1 x (-3) x 2 + 1 x 2 x 1 ± 1 x (-1) x 2) ± 1 x 2 x (-1) ± 1 x (-3) x 1 
D = 1 ± 6 + 2 + 2 + 2 + 3 
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D = 4 
 
 Portanto, o determinante do sistema é igual a 4, o que já nos permite 
assinalar a alternativa C. Por fins didáticos, vamos obter Dx, Dy e Dz e classificar o 
sistema. 
 
 Para obter Dx devemos substituir a primeira coluna (que possui os 
coeficientes da variável x em cada equação) pelos termos constantes: 
1 1 1
2 1 3 1 3 2 1 3 2 6
1 1 1
Dx � � � � � � � 
�
 
 Para obter Dy devemos substituir a segunda coluna de D (coeficientes de y) 
pelos elementos constantes: 
1 1 1
2 2 3 2 6 2 4 3 2 5
2 1 1
Dy � � � � � � � �
�
 
 De maneira análoga podemos obter Dz: 
1 1 1
2 1 2 1 4 2 2 2 2 3
2 1 1
Dz � � � � � � � 
 
 Como 0D z , estamos diante de um sistema possível e determinado. Isto é, 
certamente será possível obter valores únicos para x, y e z que atendam as 3 
equações ao mesmo tempo. Esses valores são: 
6 1,5
4
Dx
x
D
 
5 1,25
4
Dyy
D
� � 
3 0,75
4
Dz
z
D
 
 Para conferir se não erramos os cálculos, podemos testar a primeira 
equação, substituindo os valores de x, y e z que encontramos: 
x + y + z = 1,5 + (-1,25) + 0,75 = 1 
Resposta: C 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
7. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) O número de elementos do conjunto 
soluções da equação x + y + z = 8 , onde x, y e z são números naturais positivos, é 
 a) 13 
 b) 15 
 c) 17 
 d) 19 
 e) 21 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos quais as possibilidades de somar 3 números naturais positivos (o 
zero não entra!!) e obter o resultado 8: 
1 + 1 + 6 
1 + 2 + 5 
1 + 3 + 4 
1 + 4 + 3 
1 + 5 + 2 
1 + 6 + 1 
2 + 1 + 5 
2 + 2 + 4 
2 + 3 + 3 
2 + 4 + 2 
2 + 5 + 1 
3 + 1 + 4 
3 + 2 + 3 
3 + 3 + 2 
3 + 4 + 1 
4 + 1 + 3 
4 + 2 + 2 
4 + 3 + 1 
5 + 1 + 2 
5 + 2 + 1 
6 + 1 + 1 
 Temos 21 possibilidades. 
Resposta: E 
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8. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Um funcionário público tem uma 
poupança de R$200,00 e pretende utilizá-la para pagar a 1ª prestação de um 
empréstimo, a ser pago em 24 parcelas iguais de R$ 1.000,00. Sabendo-se que o 
valor da prestação não pode superar um terço do salário do funcionário, qual o 
menor valor, em reais, que ficará disponível, após o pagamento da 1ª prestação, 
para os demais gastos? 
 a) 2.000,00 
 b) 2.200,00 
 c) 3.000,00 
 d) 800,00 
 e) 1.200,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se a parcela (R$1000) deve ser menor ou igual a 1/3 do salário, então: 
11000
3
Sd 
3000 Sd 
 
 Portanto, o salário deve ser maior ou igual a 3000 reais. O menor valor 
possível para este salário é 3000 reais. Após pagar 1000, sobram 2000 reais, e 
mais os 200 reais que o funcionário tinha na poupança, totalizando: 
3000 ± 1000 + 200 = 2200 reais 
Resposta: B 
 
9. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Em uma festa comunitária, uma barraca 
de tiro ao alvo dá um prêmio ao cliente de R$ 30,00, cada vez que o mesmo acerta 
a área central do alvo. Caso contrário, o cliente paga R$ 10,00. Um indivíduo deu 50 
tiros e pagou R$ 100,00. Nessas condições, o número de vezes que ele ERROU o 
alvo foi 
 a) 10 
 b) 20 
 c) 25 
 d) 35 
 e) 40 
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RESOLUÇÃO: 
 Seja C o número de vezes que o jogador acertou o alvo, e E o número de 
vezes que ele errou. Sabemos que ao todo foram 50 jogadas, ou seja: 
C + E = 50 
 
 Como em cada acerto o jogador ganha 30 reais, o todo ele ganhou 30 x C 
reais. E, como a cada erro o jogador perde 10 reais, ao todo ele perdeu 10 x E reais. 
Ao todo, ele pagou 100 reais, ou seja, ficou com um saldo de -100 reais: 
30C ± 10E = -100 
 
 Isolando C na primeira equação, temos que C = 50 ± E. Substituindo nesta 
última, temos: 
30 x (50 ± E) ± 10E = -100 
1500 ± 30E ± 10E = -100 
1600 = 40E 
E = 40 
 
 Logo, ele errou 40 vezes. 
Resposta: E 
 
10. CESGRANRIO ± BACEN ± 2010) Gabriel brinca com 24 moedas de R$ 1,00. 
Inicialmente, ele forma com elas três pilhas. Em seguida, dobra a segunda pilha 
colocando nela moedas retiradas da primeira; depois, dobra a terceira com moedas 
retiradas da segunda e, finalmente, dobra o que restou na primeira pilha com 
moedas retiradas da terceira, ficando, assim, as três pilhas com o mesmo número 
de moedas. O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 11 
(E) 12 
RESOLUÇÃO: 
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 Imagine que temos A moedas na primeira pilha e B moedas na segunda. 
Assim, a terceira pilha terá o restante, ou seja, 24 ± A ± B. Vamos repetir os passos 
de Gabriel: 
 
- dobrar a segunda pilha colocando nela moedas retiradas da primeira: 
 Com isso, a segunda pilha ficou com 2B moedas, e a primeira pilha ficou com 
A ± B moedas. 
 
- dobrar a terceira com moedas retiradas da segunda: 
 Com isso, a terceira pilha ficou com 2 x (24 ± A ± B), isto é, 48 ± 2A ± 2B 
moedas. Já a segunda pilha ficou com: 
2B ± (24 ± A ± B) = 3B + A± 24 moedas 
 
- dobrar o que restou na primeira pilha com moedas retiradas da terceira 
 Com isso, a primeira pilha ficou com 2 x (A ± B) = 2A ± 2B moedas. Já a 
terceira ficou com: 
48 ± 2A ± 2B ± (A ± B) = 48 ± 3A ± B moedas 
 
 As três pilhas ficaram com o mesmo número de moedas. Ou seja: 
2A ± 2B = 3B + A ± 24 = 48 ± 3A ± B 
 
 Podemos separar duas equações: 
2A ± 2B = 3B + A ± 24 
3B + A ± 24 = 48 ± 3A ± B 
 
 Simplificando as equações, temos: 
A = 5B ± 24 
4B + 4A = 72 
 
 Dividindo a segunda equação por 4 temos: 
A = 5B ± 24 
B + A = 18 
 
 Substituindo A na segunda equação pela expressão 5B ± 24 temos: 
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B + (5B ± 24) = 18 
6B = 42 
B = 7 
A = 11 
 
 Assim, a primeira pilha tinha 11 moedas, a segunda tinha 7 e a terceira tinha 
o restante, ou seja, 24 ± 11 ± 7 = 6 moedas. 
O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 11. 
Resposta: D 
 
11. CESGRANRIO ± BNDES ± 2011) Numa prova de 45 questões, cada questão 
respondida corretamente vale 8 pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão 
errada. Uma pessoa faz essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa 
pessoa acertou? 
(A) 0 
(B) 15 
(C) 21 
(D) 24 
(E) 30 
RESOLUÇÃO: 
 Suponha que uma pessoa acertou C questões, tendo errado o restante, ou 
seja, 45 ± C. Como cada acerto vale 8 pontos, ela somou 8C pontos. E como cada 
erro gera a dedução de 7 pontos, essa pessoa perdeu 7 x (45 ± C). A pontuação 
total foi zero, portanto: 
8C = 7 x (45 ± C) 
8C = 315 ± 7C 
15C = 315 
C = 21 
Resposta: C 
 
12. CESGRANRIO ± BNDES ± 2010) Certa marca de café é comercializada 
exclusivamente em embalagens de 250 g ou de 400 g. Se um consumidor dessa 
marca comprar uma embalagem de cada, gastará, ao todo, R$ 3,30. Se, em vez 
disso, esse consumidor comprar o correspondente a 900 g em embalagens desse 
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café, pagará, ao todo, R$ 4,60. A diferença, em reais, entre os preços das 
embalagens de 400 g e de 250 g é 
(A) 0,40 
(B) 0,50 
(C) 0,60 
(D) 0,70 
(E) 0,80 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o preço de uma embalagem pequena e G o preço de uma embalagem 
grande. Ao comprar uma embalagem de cada, o cliente gasta 3,30 reais: 
P + G = 3,3 
G = 3,3 ± P 
 Para comprar exatamente 900g, é preciso adquirir duas embalagens 
pequenas e uma grande (pois 2 x 250 + 400 = 900). Neste caso o cliente gasta 4,60: 
2P + G = 4,60 
2P + (3,3 ± P) = 4,60 
P + 3,3 = 4,60 
P = 1,3 reais 
Logo, 
G = 3,3 ± 1,3 = 2 reais 
 Assim, a diferença de preço entre a embalagem grande e a pequena é de 2 ± 
1,3 = 0,7 reais. 
Resposta: D 
 
13. CESGRANRIO ± BNDES ± 2006) O valor de x no sistema é: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
RESOLUÇÃO: 
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 Podemos começar isolando y na primeira equação: 
y = 2x + z ± 4 
 
 Agora podemos fazer essa substituição nas outras duas equações, obtendo: 
x + 3(2x + z ± 4) + z = 14 
3x + 2(2x + z ± 4) ± 4z = 0 
 
 Simplificando-as, temos: 
7x +4z = 26 
7x ± 2z = 8 
 
 Isolando 7x na primeira equação, temos: 7x = 26 ± 4z. Substituindo na 
segunda, temos: 
(26 ± 4z) ± 2z = 8 
18 ± 6z = 0 
z = 3 
 
 Portanto, 
7x = 26 ± 4.3 
x = 2 
 
y = 2x + z ± 4 
y = 2.2 + 3 ± 4 
y = 3 
Resposta: C 
 
14. CESGRANRIO ± BNDES ± 2004) Para arrecadar R$ 240,00 a fim de comprar 
um presente para um colega que se aposentava, os funcionários de uma empresa 
fizeram um rateio. No dia do pagamento, 5 funcionários resolveram não participar, o 
que aumentou a quota de cada um dos demais em R$ 8,00. Quantos funcionários 
efetivamente participaram do rateio? 
(A) 8 
(B) 9 
(C) 10 
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(D) 12 
(E) 15 
RESOLUÇÃO: 
 Seja N o número de funcionários e P o valor que cada um pagaria 
originalmente. Assim, 
N x P = 240 
P = 240 / N 
 
 Com a desistência de 5 funcionários, ficaram N ± 5, e cada um pagou 8 reais 
a mais, ou seja, P + 8, o que também totalizou 240 reais: 
(N ± 5) x (P + 8) = 240 
(N ± 5) x (240/N + 8) = 240 
240 + 8N ± 1200/N ± 40 = 240 
8N ± 1200/N = 40 
8N2 ± 1200 = 40N 
8N2 ± 40N ± 1200= 0 
N2 ± 5N ± 150= 0 
 
 Resolvendo essa equação de segundo grau, temos: 
N = 15 ou N = -10 
 
 Como o número de funcionários deve ser um valor positivo, devemos adotar 
a solução N = 15. Com a desistência de 5 funcionários, apenas 10 efetivamente 
participaram do rateio. 
Resposta: C 
 
15. CESGRANRIO ± BNDES ± 2011) Na cantina de uma fábrica, o lanche 
constituído de sanduíche e suco custa R$ 4,00. O sanduíche custa R$ 2,40 a mais 
que o suco. O preço do suco, em reais, é 
(A) 0,80 
(B) 1,00 
(C) 1,20 
(D) 1,40 
(E) 1,60 
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RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que: 
sanduíche + suco = 4,00 
sanduíche = suco + 2,40 
 
 Podemos usar a segunda equação para fazer uma substituição na primeira: 
(suco + 2,40) + suco = 4,00 
2 x suco = 1,60 
suco = 0,80 reais 
Resposta: A 
 
16. COPS/UEL ± CELEPAR ± 2010) Uma pessoa, participando de um concurso, 
responde metade das questões de Matemática na primeira hora. Na segunda hora, 
resolveu metade do restante e, na terceira hora, respondeu às 9 últimas questões. 
Nessas condições, a prova de Matemática tinha: 
a) 30 questões 
b) 34 questões 
c) 36 questões 
d) 38 questões 
e) 40 questões 
RESOLUÇÃO: 
 Seja Q a quantidade de questões da prova. Assim, Q/2 foram respondidas na 
primeira hora, restando outras Q/2 questões. Destas, metade foram resolvidas na 
segunda hora, isto é, (Q/2)/2 = Q/4. Assim: 
Total de questões = primeira hora + segunda hora + terceira hora 
Q = Q/2 + Q/4 + 9 
4Q = 2Q + Q + 36 
Q = 36 
Resposta: C 
 
17. CEPERJ ± SEPLAG/RJ ± 2012) Um controle remoto de TV e mais as duas 
pilhas necessárias para seu funcionamento podem ser comprados em certo site da 
internet por R$30,00. O controle, apenas, custa R$16,00 reais a mais que o preço 
das duas pilhas. O preço de uma pilha é: 
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A) R$ 3,50 
B) R$ 4,00 
C) R$ 5,50 
D) R$ 7,00 
E) R$ 8,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja 2P o preço das duas pilhas juntas.O controle remoto custa 16 reais a 
mais que as duas pilhas, ou seja, custa 2P + 16. 
 Sabemos também que o preço do controle remoto e mais as duas pilhas é 
igual a 30, ou seja: 
Controle + Pilhas = 30 
(2P+ 16) + 2P = 30 
4P = 14 
P = 14 / 4 = 7 / 2 = 3,5 
 Portanto, o preço de uma pilha é igual a R$3,50. 
Resposta: A 
 
18. CEPERJ ± PREFEITURA SÃO GONÇALO ± 2011) Em um determinado 
concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No 
dia da prova faltaram 
4
9
das mulheres e estavam presentes 
5
6
dos homens. E 
verificou-se que o número de homens e mulheres presentes no dia da prova era o 
mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 45% 
d) 50% 
e) 60% 
RESOLUÇÃO: 
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Vamos usar a letra m para representar o total de mulheres inscritas e h para 
representar o total de homens inscritos no concurso. De início, sabemos que: 
h + m = 1500 
 Faltaram
4
9
GDV� PXOKHUHV�� &RPR� Mi� YLPRV�� D� H[SUHVVmR� ³GDV´� SRGH� VHU�
substituída pelo símbolo de multiplicação, da seguinte forma: 
4
9
das mulheres = 
4
9
m 
 O número de mulheres presentes, portanto, foi: 
4 5
9 9
m m m� 
 O número de homens presente, conforme o enunciado, foi de 
5
6
h . E, se o 
número de homens e mulheres presentes foi igual, temos: 
5 5
9 6
m h 
 Logo, 
6 2
9 3
h m m . Substituindo h na expressão h+m=1500 por 2
3
m , 
temos: 
2
1500
3
5
1500
3
3
1500 900
5
m m
m
m
� 
 
 u 
 
 Assim, as mulheres inscritas eram 900 em um total de 1500 candidatos. 
Percentualmente, elas eram: 
900 9 3
0,6 60%
1500 15 5
 
Resposta: E. 
 
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19. FGV ± CAERN ± 2010) Em um cofrinho há R$6,00 em moedas de 10 centavos 
e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos é um múltiplo de 7. 
Quantas moedas de 10 centavos há a mais do que moedas de 25 centavos? 
a) 32 
b) 25 
c) 18 
d) 11 
e) 4 
RESOLUÇÃO: 
 Como o número de moedas de 10 centavos é múltiplo de 7, vamos dizer que 
WHPRV�³�1´�PRHGDV�GH����FHQWDYRV��H�0�PRHGDV�GH����FHQWDYRV�� 
 Ao todo, sabemos que temos 6 reais, isto é: 
 
6 = 7N x 0,10 + M x 0,25 
6 = 0,7N + 0,25M 
 
 Não temos mais informações, mas sabemos que N e M devem ser números 
naturais (afinal não há número negativo de moedas, ou fracionário). Para simplificar 
as contas, podemos multiplicar ambos os lados da equação acima por 4 (pois 0,25 x 
4 = 1). Veja: 
4 6 4 0,7 4 0,25
24 2,8
24 2,8
N M
N M
M N
u u � u
 �
 �
 
 
 Podemos, agora, ir testando valores para N (1, 2, 3, 4, 5 etc.) até obter um 
número natural para M. Se N = 1, temos: 
 
M = 24 ± 2,8 x 1 = 21,2 
 
 Veja que N não pode ser 1, pois com isso M seria um número fracionário. 
Testando outros valores de N, veja o que acontece quando N = 5: 
 
M = 24 ± 2,8 x 5 = 24 ± 14 = 10 
 
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 Portanto, N = 5 e M = 10. Isto é, temos 10 moedas de 25 centavos e 7N, isto 
é, 35 moedas de 10 centavos. Veja que isso totaliza 6 reais: 
 
10 x 0,25 + 35 x 0,10 = 2,5 + 3,5 = 6 
 
 Assim, a diferença entre o número de moedas de 10 e de 25 centavos é de 
35 ± 10 = 25 (letra B). 
Resposta: B 
 
20. FGV ± MEC ± 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos 
os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos 
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens 
passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total 
de pessoas na sala, as crianças correspondem a: 
(A) 12,5% 
(B) 17,5% 
(C) 20% 
(D) 22,5% 
(E) 25% 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de H, M e C o número de homens, mulheres e crianças, 
respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas. 
Desta quantidade, M representa 80%. Isto é: 
 
M = 80% x (M + C) 
M = 0,8M + 0,8C 
0,2M = 0,8C 
M = 4C 
 
 Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta 
quantidade, H representa 75%, ou seja: 
 
H = 75% x (H + C) 
0,25H = 0,75C 
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H = 3C 
 
 Portanto, o total de pessoas na sala é de: 
 
H + M + C = 3C + 4C + C = 8C 
 
 Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim, 
podemos montar a proporção abaixo para descobrir o percentual X que as crianças 
(C) representam: 
 
 8C ------------------100% 
C --------------------X 
 
 Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos: 
 
8C x X = C x 100% 
8X = 1 
X = 1/8 = 0,125 = 12,5% 
 
 Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam 
inicialmente na sala. 
Resposta: A 
 
21. FGV ± SEFAZ/RJ ± 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o 
menor e o maior é 1/2. O menor número é 
(A) 20 . 
(B) 25 . 
(C) 30 . 
(D) 35 . 
(E) 40 . 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam A e B os dois números do enunciado. A soma deles é 120: 
 
A + B = 120 
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 E a razão entre eles é de 1/2. Considerando que A é o menor deles, então: 
 
1
2
A
B
 , portanto B = 2A 
 
 Substituindo B por 2A na primeira equação, temos: 
 
A + 2A = 120 
3A = 120 
A = 40 
Resposta: E 
 
22. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) Os irmãos Pedro e Paulo estudam 
no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria para comprar lápis 
e canetas de que precisavam para o semestre. As canetas que compraram foram 
todas do mesmo preço. Os lápis que compraram foram também todos do mesmo 
preço. Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3 
canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um 
lápis, iguais aos comprados pelos irmãos, pagará: 
a) R$6,00 
b) R$6,20 
c) R$6,50 
d) R$6,75 
e) R$6,90 
RESOLUÇÃO: 
 Temos duas variáveis nessa questão: o preço do lápis, que chamaremos de 
L, e o preço da caneta, que chamaremos de C. Para descobri-las, precisamos de 2 
equações, que foram fornecidas pelo enunciado. Veja: 
- Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. 
 Matematicamente, podemos escrever a frase acima como: 
2 5 16,50C Lu � u 
 
- Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. 
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 Ou seja, 
3 2 16,50C Lu � u 
 
 Temos, portanto, 2 equações e duas variáveis, montando o sistema linear 
abaixo: 
2 5 16,50
3 2 16,50
C L
C L
u � u ­® u � u ¯ 
 
 Para resolvê-lo usaremos o método da substituição, que consiste em isolar 
uma variável em uma equação e substituí-la na outra. Vamos isolar L na primeira 
equação: 
2 5 16,50
5 16,50 2
16,50 2
5
C L
L C
C
L
u � u 
u � u
� u 
 
 
 Substituindo a expressão encontrada acima na segunda equação, temos: 
� �
3 2 16,50
16,50 2
3 2 16,50
5
15 2 16,50 2 82,5
15 33 4 82,5
11 49,5
4,5
C L
C
C
C C
C C
C
C
u � u 
� u§ ·u � u ¨ ¸© ¹
� u � 
� � 
 
 
 
 
 Como o preço da caneta é C = 4,5, podemos substituir esse valor em 
qualquer das equações para obter o valor de L: 
16,50 2
5
16,50 2 4,5
5
7,50
1,50
5
C
L
L
L
� u 
� u 
 
 
 
 Portanto, quem comprar 1 caneta e 1 lápis pagará 4,50 + 1,50 = 6,00. 
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Resposta: A. 
 
23. CEPERJ ± SEEDUC ± 2009) No sistema 0,3 1,2 2,4
0,5 0,8 0,9
x y
x y
� ­® � �¯ o valor de x é: 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) 2 
e) 2/3 
RESOLUÇÃO: 
 Para facilitar as contas, podemos multiplicar os dois lados das duas 
equações por 10. Veja: 
3 12 24
5 8 9
x y
x y
� ­® � �¯ 
 
 Vamos isolar a variável y na primeira equação: 
24 3 8
12 4
x x
y
� � 
 
 Substituindo na segunda equação, podemos obter x: 
5 8 9
8
5 8 ( ) 9
4
5 2 (8 ) 9
5 16 2 9
7 7
1
x y
x
x
x x
x x
x
x
� �
�� u �
� u � �
� � �
 
 
 
 
Resposta: A. 
 
24. CEPERJ ± SEEDUC ± 2009) A equação 2 0x bx c� � possui raízes 3 e 5. 
Então, b+c é igual a: 
a) 7 
b) 10 
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c) 15 
d) 19 
e) 23 
RESOLUÇÃO: 
 Veja na equação do enunciado que a = 1. Sendo r1 e r2 as duas raízes de 
uma equação de segundo grau, essa equação pode ser escrita da seguinte forma: 
( 1)( 2) 0a x r x ru � � 
 
 Portanto, a equação do enunciado pode ser escrita como: 
1 ( 3)( 5) 0x xu � � 
 
 Desenvolvendo essa equação, utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação, temos: 
2
2
( 3)( 5) 0
5 3 15 0
8 15 0
x x
x x x
x x
� � 
� � � 
� � 
 
 
 Comparando a última linha acima com 2 0x bx c� � , vemos que b = -8, e 
que c = 15. Assim, b + c = -8 + 15 = 7. 
Resposta: A. 
 
25. CEPERJ ± PREF. BELFORD ROXO ± 2011) O ponto A 2( 2 15, 2)m m� � � 
pertence ao eixo Y, e o ponto B 2(3, 7 10)m m� � pertence ao eixo x. O valor de m é: 
a) -2 
b) -3 
c) 5 
d) 2 
e) 7 
RESOLUÇÃO: 
 Essa questão é interessante pois envolve conhecimentos de plano cartesiano 
e de equações de segundo grau. Se o ponto A pertence ao eixo Y, o valor da sua 
coordenada X deve ser igual a zero. Portanto, 
2 2 15 0m m� � 
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 Podemos usar a fórmula de Báskara para resolver a equação acima, onde 
a = 1, b = -2 e c = -15: 
2
2
4
2
( 2) ( 2) 4(1)( 15)
2(1)
2 4 60 2 8
1 4
2 2
b b ac
m
a
m
m
� r � 
� � r � � � 
r � r r
 
 
 Portanto existem 2 valores possíveis para m: 5 (isto é, 1+4) e -3 (1-4). Ainda 
não sabemos qual valor de m é a resposta do exercício, o que nos obriga a analisar 
outras informações. 
Como o enunciado disse que o ponto B está no eixo X, isso indica que a sua 
coordenada Y tem valor igual a zero. Logo, 
2
2
2
7 10 0
4
2
( 7) ( 7) 4(1)(10)
2(1)
7 49 40 7 3
2 2
m m
b b ac
m
a
m
m
� � 
� r � 
� � r � � 
r � r 
 
 
 Da expressão acima, os valores possíveis para m são 5 e -2. Veja que 
somente o valor m = 5 atende às duas condições dadas pelo enunciado. Portanto, 
essa deve ser a resposta. 
Resposta: C. 
 
26. CEPERJ ± PREF. ITABORAÍ ± 2011) Um vendedor ambulante compra uma 
caixa de bombons por R$100,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 10 
bombons e aumentar o preço da dezena em R$5,00. Então, o número original de 
bombons na caixa era: 
a) 31 
b) 37 
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c) 40 
d) 50 
e) 51 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o preço que o vendedor paga em cada bombom, e D o número de 
dezenas de bombons em uma caixa. Portanto, o valor total que o vendedor paga em 
uma caixa é dado pela multiplicação do número D pelo preço P: 
D x P = 100 reais 
 
 Ao retirar 10 bombons (1 dezena), sobram D ± 1 dezenas de bombons na 
caixa. Entretanto, o preço da dezena é aumentado em R$5,00. Portanto, o preço 
passa a ser P + 5. Como essa caixa é vendida por 100 reais, podemos dizer que a 
multiplicação da nova quantidade (D ± 1) pelo novo preço (P ± 5) é igual a 100 
também: 
(D ± 1) x (P + 5) = 100 
 
 Veja que temos 2 equações e duas variáveis (D e P). Vamos utilizar o 
método da substituição, isolando a variável P na primeira equação: 
P = 100/D 
 
 E, a seguir, substituindo P pela expressão encontrada acima, na segunda 
equação: 
2
2
2
( 1) ( 5) 100
100
( 1) ( 5) 100
100
100 5 5 100
100 5 100 5 100
5 5 100 0
20 0
D P
D
D
D
D
D D D D
D D
D D
� u � 
� u � 
� � � 
� � � 
� � 
� � 
 
 
 Veja que temos uma equação de segundo grau com a variável D. Vamos 
usar a fórmula de Báskara para obter os valores possíveis para D: 
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2
2
20 0
( 1) ( 1) 4 1 ( 20)
2 1
1 1 80 1 9
2 2
D D
D
D
� � 
� � r � � u u � u
r � r 
 
 
 Portanto, os valores que D pode assumir são: 
1 9
5
2
D
� 
ou 
1 9
4
2
D
� � 
 
 Como D é o número de dezenas de bombons, só pode ser um número 
positivo. Portanto, havia na caixa D = 5 dezenas, isto é, 50 unidades. 
Resposta: D. 
 
27. FGV ± MEC ± 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos 
os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos 
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens 
passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total 
de pessoas na sala, as crianças correspondem a: 
(A) 12,5% 
(B) 17,5% 
(C) 20% 
(D) 22,5% 
(E) 25% 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de H,M e C o número de homens, mulheres e crianças, 
respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas. 
Desta quantidade, M representa 80%. Isto é: 
M = 80% x (M + C) 
M = 0,8M + 0,8C 
0,2M = 0,8C 
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M = 4C 
 
 Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta 
quantidade, H representa 75%, ou seja: 
H = 75% x (H + C) 
0,25H = 0,75C 
H = 3C 
 
 Portanto, o total de pessoas na sala é de: 
H + M + C = 3C + 4C + C = 8C 
 
 Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim, 
podemos montar a proporção abaixo para descobrir o percentual X que as crianças 
(C) representam: 
 8C ------------------100% 
C --------------------X 
 
 Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos: 
8C x X = C x 100% 
8X = 1 
X = 1/8 = 0,125 = 12,5% 
 Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam 
inicialmente na sala. 
Resposta: A 
 
28. FGV ± BADESC ± 2010) Ao caminhar, Márcia e Paula dão sempre passos 
uniformes. O passo de Márcia tem o mesmo tamanho do de Paula. Mas, enquanto 
Paula dá cinco passos, Márcia, no mesmo tempo, dá três passos. No início da 
caminhada, Márcia estava 20 passos à frente de Paula. Se elas caminharem sem 
parar, Paula, para alcançar Márcia, deverá dar o seguinte número de passos: 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 40 
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(E) 50 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que Paula está 20 passos atrás de Márcia, mas anda mais rápido 
(caminha 5 passos enquanto Márcia caminha 3). Assim, em algum momento Paula 
deverá alcançar Márcia. 
 Vamos chamar de P o número de passos que Paula precisará dar até 
alcançar Márcia, e M o número de passos que Márcia terá dado neste mesmo 
tempo. 
 Sabemos que Paula precisará andar o mesmo número de passos de Márcia 
(M) e mais 20 passos, que é a distância entre as duas. Portanto: 
P = M + 20 
 Sabemos também que, se Paula dá 5 passos, Márcia dá 3. Assim, podemos 
montar a proporção a seguir, entre os passos dados por cada uma delas: 
5 --------------------- 3 
P -------------------- M 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
5M = 3P 
 Desta última equação, vemos que M = 3P / 5. Efetuando essa substituição na 
equação P = M + 20, temos: 
20
3
20
5
2
20
5
50
P M
P P
P
P
 �
 �
 
 
 
 Portanto, até alcançar Márcia, Paula precisou dar 50 passos. 
Resposta: C 
 
29. FGV ± SEFAZ/RJ ± 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o 
menor e o maior é 1/2. O menor número é 
(A) 20 . 
(B) 25 . 
(C) 30 . 
(D) 35 . 
(E) 40 . 
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RESOLUÇÃO: 
 Sejam A e B os dois números do enunciado. A soma deles é 120: 
A + B = 120 
 E a razão entre eles é de 1/2. Considerando que A é o menor deles, então: 
1
2
A
B
 , portanto B = 2A 
 Substituindo B por 2A na primeira equação, temos: 
A + 2A = 120 
3A = 120 
A = 40 
Resposta: E 
 
30. FGV ± SENADO ± 2008) Em uma reunião todas as pessoas se 
cumprimentaram, havendo ao todo 120 apertos de mão. O número de pessoas 
presentes nessa reunião foi: 
(A) 14. 
(B) 15. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
RESOLUÇÃO: 
 Cada uma das N pessoas cumprimenta outras N ± 1 pessoas (afinal, 
ninguém cumprimenta a si mesmo). Ao todo, teríamos N x (N ± 1) cumprimentos. 
Entretanto, devemos dividir este número por 2. Isto porque estamos contando o 
cumprimento de João a José e também o de José a João, sendo que este é apenas 
1 cumprimento. Portanto, 
( 1)
120
2
N Nu � 
N x (N ± 1) = 240 
 
 Aqui você tem dois caminhos: ou você encontra um número N que, 
multiplicado por seu antecessor (N ± 1), é igual a 240, ou resolve a equação de 
segundo grau N2 ± N ± 240 = 0. 
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 Optando pelo primeiro caminho, veja que, se N = 16, temos que 16 x 15 = 
240. Portanto, o gabarito é letra C. 
 Se decidíssemos resolver a equação de segundo grau, teríamos: 
( 1) 1 4 240 1 31
2 2
N
� � r � u r 
 
 Assim, teríamos N1 = 16 e N2 = -15. Como o número de pessoas não pode 
ser negativo, devemos optar por N = 16. 
Resposta: C 
 
31. FGV ± PREF. CONTAGEM ± 2011) Considere o conjunto A = 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e a sentença aberta em A: p(x) = x2 ± 5x + 6 = 0. 
Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que satisfazem a 
sentença aberta p(x). 
(A) {0,5} 
(B) {2,4} 
(C) {3,5} 
(D) {2,3} 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos substituir x por cada um dos números do conjunto A para verificar 
se eles satisfazem a igualdade. Por outro lado, podemos calcular as raízes de p(x) 
através da fórmula de Báskara: 
( 5) 25 4 6 1 5 1
2 1 2
x
� � r � u u r u 
 
 Portanto, temos x1 = 3 e x2 = 2, como vemos na letra D. 
Resposta: D 
 
32. ESAF ± AFT ± 2010) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, 
sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calça jeans. 
Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça jeans que homens 
com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com 
óculos, e iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. Qual a 
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porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas 
não estão usando calça jeans? 
a) 5%. 
b)10%. 
c)12%. 
d)20%. 
e)18%. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja MJ o número de mulheres com calça jeans, e HJ o número de homens 
com calça jeans. O enunciado afirma que MJ é 20% menor que HJ, isto é: 
MJ = HJ ± 20%HJ 
MJ = 0,80HJ 
 
 Como o total de pessoas com calça jeans é 36, podemos dizer que: 
MJ + HJ = 36 
 
 Substituindo MJ por 0,80HJ na equação acima, temos: 
0,80HJ + HJ = 36 
1,8HJ = 36 
HJ = 20 
 Logo, 
MJ = 0,80HJ = 0,80 x 20 = 16 
 
 Portanto, 16 mulheres e 20 homens estão de calça jeans. Sendo MO o 
número de mulheres de óculos e HO o número de homens de óculos, o enunciado 
disse que HO é 3 vezes maior que MO, ou seja, 
HO = 3MO 
 
 Como o total de pessoas de óculos é igual a 20, temos que: 
HO + MO = 20 
 
 Substituindo HO por 3MO na equação acima: 
3MO + MO = 20 
4MO = 20 
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