Distribuição Normal ou Gaussiana

Prévia do material em texto

Distribuic¸a˜o Normal ou Gaussiana
1 A Distribuic¸a˜o Normal
A distribuic¸a˜o Normal e´ a distribuic¸a˜o de probabilidade mais us-
ada na Estat´ıstica, pois serve de modelo para um grande nu´mero
de varia´veis cont´ınuas e tambe´m como modelo aproximado para
outras distribuic¸o˜es de probabilidade (Binomial, Poisson, etc).
Uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X , definida para todos os val-
ores da reta real, tem densidade normal com paraˆmetros µ e σ2,
onde −∞ < µ < ∞ e 0 < σ2 < ∞, se sua func¸a˜o de densidade
de probabilidade e´ dada por:
fX(x) =
1√
2piσ2
exp
−1
2
x− µ
σ
2
−∞ < x <∞ (1)
onde: σ > 0, e = 2, 718282, pi = 3, 14159...
Sera´ usada a seguinte notac¸a˜o para indicar que uma v.a. X tem
distribuic¸a˜o normal com paraˆmetros µ e σ2: X ∼ N(µ, σ2).
1
1.1 Propriedades da Distribuic¸a˜o Normal
A distribuic¸a˜o normal tem va´rias propriedades importantes.
1. fX(x) ≥ 0, para todo x;
2.
∫∞
−∞ fX(x) = 1;
3. E(X) = µ;
4. V (X) = σ2;
5. limx→+∞ = limx→−∞ = 0;
6. f (µ+x) = f (µ−x). A densidade e´ sime´trica em torno de µ;
7. O valor ma´ximo de f ocorre em x = µ;
8. Os pontos de inflexa˜o de f esta˜o em x = µ± σ.
1.2 Efeito da me´dia µ e do desvio-padra˜o σ na curva normal
A me´dia µ determina o valor do centro da curva normal, en-
quanto que o desvio-padra˜o σ determina a largura da curva nor-
mal. Quanto menor o valor do desvio-padra˜o σ , menor sera´ a
variabilidade dos dados, consequ¨entemente menor sera´ a largura
da curva.
2
1.3 Algumas Caracter´ısticas da Distribuic¸a˜o Normal
1. A me´dia, mediana e moda sa˜o iguais. Ou seja, µ = Md = mo;
2. A curva normal, ale´m de ter uma a´rea total igual a 1, e´
sime´trica em torno da me´dia , sendo assim, P (X < µ− b) =
P (X > µ + b);
3. P (X ∈ [a; b]) = P (a ≤ X ≤ b) = a´rea da curva no intervalo
[a; b]:
4. A inclusa˜o ou exclusa˜o dos extremos na˜o altera o valor da
probabilidade. Portanto, P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b) =
P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b);
5. Quaisquer que sejam os valores da me´dia µ e do desvio-padra˜o
σ de uma distribuic¸a˜o normal, os seguintes resultados sa˜o
va´lidos:
• P (µ− 1σ ≤ X ≤ µ+ 1σ) = 0, 6827 - Cerca de 68, 3% dos
valores esta˜o a um desvio-padra˜o distante da me´dia;
3
• P (µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ) = 0, 9545 - Cerca de 95, 5% dos
valores esta˜o a 2 desvios-padro˜es distante da me´dia;
• P (µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ) = 0, 9973 - Cerca de 99, 7% dos
valores esta˜o a 3 desvios-padro˜es distante da me´dia;
Se as notas em matema´tica dos candidatos em um vestibular
forem normalmente Distribu´ıdas com me´dia de µ = 65 pontos
e desvio-padra˜o de σ = 12 pontos, enta˜o aproximadamente 95%
desses candidatos ira˜o obter notas de 41 a 89 pontos, pois
41 = 65− 2× 12(= µ− 2σ)
89 = 65 + 2× 12(= µ + 2σ)
1.4 Distribuic¸a˜o normal padra˜o
A distribuic¸a˜o normal padra˜o e´ um acaso especial da distribuic¸a˜o
normal onde a me´dia e´ zero (µ = 0) e desvio-padra˜o e´ um (σ = 1).
As a´reas dessa distribuic¸a˜o sa˜o obtidas com o auxilio de tabelas
e serve de refereˆncia para calcular probabilidades das outras dis-
tribuic¸o˜es normais.
4
1.4.1 Por que usamos tabela na distribuic¸a˜o normal?
Como foi dito anteriormente, as probabilidades sa˜o obtidas resol-
vendo a integral da func¸a˜o densidade no intervalo de interesse. O
grande problema e´ que integrar algebricamente uma curva normal
na˜o e´ poss´ıvel e a soluc¸a˜o encontrada foi usar me´todos nume´ricos
para calcular de forma aproximada as a´reas de interesse. Essas
a´reas sa˜o calculadas apenas para a distribuic¸a˜o normal padra˜o.
1.4.2 EXEMPLO
- Sabendo que a varia´vel Z tem distribuic¸a˜o normal padra˜o, re-
sponda:
a) P (Z < 1, 85)
b) P (Z > −2, 33)
c) P (2, 33 ≤ Z ≤ 1, 50)
d) P (−1, 80 ≤ Z ≤ 0, 85)
e) Calcule k tal que P (Z ≤ k) = 0, 95.
1.5 Padronizac¸a˜o de uma varia´vel
Ate´ agora so´ trabalhamos com a distribuic¸a˜o normal padra˜o. E
como devemos trabalhar com as outras distribuic¸o˜es de probabili-
dades? Qualquer varia´vel X tendo distribuic¸a˜o normal com me´dia
µ e desvio-padra˜o σ pode ser “transformada” em uma distribuic¸a˜o
normal padra˜o, basta, para isto, padronizar a varia´vel X .
5
6
1.6 Exemplos
1. Determine a P (−1 ≤ X ≤ 5) quando:
a) X ∼ N(2, 4);
b) X ∼ N(−1, 9);
c) X ∼ N(3, 4);
2. Os depo´sitos efetuados no Banco do Brasil durante o meˆs de
janeiro sa˜o distribu´ıdos normalmente, com me´dia deR$10.000, 00
e desvio padra˜o de R$1.500, 00. Um depo´sito e´ selecionado ao
acaso dentre todos os referentes ao meˆs em questa˜o. Encontrar
a probabilidade de que o depo´sito seja:
a) R$10.000, 00 ou menos;
b) um valor entre R$12.000, 00 e R$15.000, 00;
c) pelo menos R$10.000, 00;
d) maior do que R$20.000, 00
3. Uma fa´brica de carros sabe que os motores de sua fabricac¸a˜o
teˆm durac¸a˜o normal com me´dia de 150.000km e desvio padra˜o
de 5.000km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido
ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que
dure:
a) menos de 170.000km?
b) entre 140.000km e 165.000km?
c) Uma fa´brica de carros substitui o motor que apresenta
durac¸a˜o inferior a` garantia, qual deve ser esta garantia pra
que a porcentagem de motores substitu´ıdos seja inferior a
0, 2%?
7