Distribuição Normal

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Distribuição Normal - part 1 
Histogramas foi apresentado na aula passada e esse 
tipo de gráfico é muito útil na medida em que mostra a 
configuração de distribuições empíricas, ou seja 
aquelas distribuições que foram obtidas a partir de 
dados observados na pratica nos serviços de saúde 
ou em pesquisa, por exemplo: 
Histograma - de peso ao nascer no DF em 
determinado ano. Os dados foram coletados no 
sistema de informações de nascidos vivos - SINAP. 
• Distribuição empírica 
Algumas distribuições empíricas se aproximam de uma 
d ist r i b u i ç ão te ó r ica basta nte con hec i da : 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL ou distribuição de Gauss 
ou Gassiana. 
Nem uma distribuição empírica tem todas as 
característica da distribuição normal, mas o 
interessante é que so de pressupor que uma variável 
tem distribuição normal é possível resolver muitos 
problemas em estatística. Esses dois gráficos tem 
configuração semelhante, mas 1 é empírico - uma vez 
que foi elaborado uma parte de dados observados em 
uma pesquisa. O outro é teórico. Essa curva é de 
suma importância na estatística e por consequência na 
bioestatística. 
Algumas características da distribuição normal são 
bastante conhecidas, 
como a média, 
mediana e moda 
coincidem e estão no 
centro da 
distribuição. A forma 
gráfica da 
distribuição normal 
lembra um sino, por 
isso conhecida também por curva em sino. Se é uma 
curva em forma de sino e a media esta no centro da 
distribuição ela é simétrica em torno da media, quando 
uma curva é simétrica em torno da media 50% dos 
va lores são 
i g u a i s o u 
maiores que a 
media e 50% 
dos va l o re 
são iguais ou 
menores do 
que a media. 
Falsa, 
pois 
uma vez 
que os 
valores 
extremos 
são os mais raros e os valores centrais são os mais 
frequentes e o que torna a afirmação falsa é essa 
primeira metade dela, uma vez que é o oposto disso ate 
a primeira virgula. 
A curva abriga toda a população sob estudo então: 
Abaixo da curva normal temos, portanto todas as 
possibilidades da variável X que estamos estudando. 
A distribuição normal é uma das mais importantes 
d ist r i b u i ç õ es d e 
probabilidade, isso 
se deve não só aos 
próprios recursos 
que ela oferece, mas 
também ao fato de 
que muitas outras 
distribuições de probabilidade convergem para ela. 
Assim como um rio tem vários afluentes 
a distribuição normal representa então a distribuição 
de probabilidades mais importante e mais atualmente 
utilizada dentro de todas as outras distribuições de 
probabilidade. 
Foi observado que variáveis aleatórias com continuas 
que representam por exemplo estatura, peso de 
pessoas ou embalagens, vida útil de um item como 
aparelho hospitalar bem como o tempo gasto para 
c o m p l e ta r u m a d ete r m i n a da ta refa a te 
aproximadamente uma distribuição normal. 
n 
A variável X em uma distribuição normal com media mi 
e variância ². Dessa forma a distribuição normal fica 
definida quando temos essas dois parâmetros: Media 
representado por mi e a Variância que esta 
representada pela letra grega sigma ². 
A distribuição normal é uma distribuição continua o 
que significa dizer que x pode assumir quaisquer 
valores do campo real desde menos infinito até mais 
infinito. 
Se X tiver distribuição binomial, só poderá ter valores 
inteiros: 0, 1, 2, 3 etc. Ao contrario da distribuição 
normal. 
A curva normal é assintótica em relação ao eixo 
horizontal isto é, suas caudas aproximam-se dele, mas 
não o tocam jamais. elas se estende infinitamente em 
ambas as direções sem tocar ou cruzar o eixo 
horizontal. 
Aqui cabe diferenciar três palavras que normalmente 
utilizamos como sinônimas no cotidiano, que são: 
normal, ideal e comum. Na estatística há uma 
diferença entre elas. 
Normal 
Um fenômeno é normal quando os valores da variável 
encontram abrigo sobre a curva normal. Por exemplo 
ja falamos que altura tem distribuição normal uma vez 
que não ha uma pessoas por mais alta ou mais baixa 
que seja que não se encaixe sob a curva. 
Ideal 
Um fenômeno ideal quando sua ocorrência é desejável. 
Por exemplo ter miopia é normal, ainda que não seja 
ideal. 
Comum 
Um fenômeno comum é o que acontece habitualmente 
as ocorrências estão localizadas no meio da curva, as 
mais raras distanciais da media e localizam-se nas 
caudas da nossa curva. Estaturas muito pequenas ou 
muitas grandes podem não ser comuns uma vez que 
estão nas caudas, mas significa que elas não sejam 
normais, em geral denominamos comuns aquelas 
ocorrências que estão localizadas no meio da curva ... 
I. Um teste de 
inteligência foi 
idealizado 
pressupondo que 
quociente de inteligência (QI) tem distribuição 
normal. As pessoas tem em media QI = 100 . 
Se em uma distribuição normal a média esta no centro, 
tenho nesta imagem o 100 bem no centro, se a curva 
é simétrica significa dizer que metade das pessoas tem 
QI igual ou maior que 100 e metade tem QI igual ou 
menor que 100. Pessoas com QI muito alto estão 
localizadas na cauda a direita da curva são raras igual 
as pessoas com QI muito baixo na cauda a esquerda. 
No meio tem a 
m é d i a , s e 
cons idera rmos 
um desvio para 
m a i s e p a r a 
menos entorno da 
media, temos 68,26% da área abaixo da curva. Ja 
para dois desvios para mais e para menos entorno da 
media, temos 95,44% da área. Com três desvios 
para mais e para menos em torno da media temo 
99,74% da área abaixo da curva, quase a 
totalidade. 
Se a variável tem uma distribuição normal, 34,13% 
(metade da media) sob a curva estarão entre a media e 
um ponto igual a media mais o desvio padrão, se ela é 
simétrica em torno da media temos 34,13% da área 
sob a curva entre a media e um ponto igual a media 
menos o desvio padrão, se somarmos essa 
porcentagens, ou seja 34, 13% + 34, 13% = 
68,26%. Isso significa dizer que a media menos o 
desvio padrão e a media mais o desvio padrão estão 
68,26% da área da curva. 
Voltando para o ex de teste de QI com a media igual a 
100 e um desvio igual a 15 
- podemos dizer com base no que aprendemos que 
34,13% das pessoas : 
Tem o QI entre 
a media mais o 
desvio padrão. 
Se a curva é 
simétrica em 
torno da media 
significa que 
34,13% das 
pessoas tem o 
QI entre a media e um ponto entre a media menos o 
desvio padrão. O que significa dizer que 68,26% das 
pessoas tem segundo o teste o QI entre 85 e 115. 
 
As áreas sob a 
curva diminuem 
a medida que os 
valores de x se 
a f a s t a m d a 
media 13,59% 
da área sob a 
c u r va e st ã o 
entre a media + um desvio padrão e um ponto de 
abcissa + dois desvios padrões. Então 13,59% da 
área sob a curva esta entre mi + sigma e mi +2 vezes 
sigma. Se a curva é simétrica em torno da media 
13,59% da área sob a curva estão entre a media 
menos o desvio padrão e o ponto de abcissa é igual a 
media - 2 desvios padrões. 
Somando 
Significa dizer que 95,44% das pessoas tem o QI 
entre 70 e 130. 
A área sob a curva depois do ponto de abcissa mi 
mais 2 vezes o sigma, ou seja, media+2xdesvio 
padrão e muito pequena. 
- Sabemos que metade da curva é 50%. Entre mi e 
mi-sigma = 34,13%; Entre mi-sigma e mi-2xsigma 
temos 13,59%; Area pequena corresponde a 2,28%. 
Então as pessoas que estão nos extremos, tanto na 
cauda a direita da curva quanto na cauda a esquerda 
da curva tem quanto de QI ? 
I. Qual é o valor da abcissa que delimita os 
2,28% de QI mais alto? E qual é o valor da 
abcissa (QI) que delimita os 2,28% de QI 
mais baixo? 
2,28% das 
pessoas com 
QI mais alto 130 e o mais baixo é 70. 
Distribuição normal - part 2 
É importante enfatizar que existem infinitas 
distribuições normais, basta fazer alterações em um 
dos paramentos para obtermos uma outra distribuição 
 
Conhecendo os valores para os dois parâmetros 
podemos encontrar a área sob a curva da distribuição 
normal para qualquer intervalo, não existem então 
apenas uma única curva da distribuição normal, mas 
uma família de curvas de distribuições normais. Cada 
conjunto de valores diferentepara a media e variância, 
um distribuição normal diferente. 
Se existem uma família de curvas de distribuições 
normais, oque devemos fazer: 
Teremos construindo uma distribuição normal reduzida, 
também chamada de distribuição normal padronizada. 
Com os seguintes parâmetros: 
Essas operações e esses dados são muito importantes 
por algumas razoes: 
2 A variável Z é desprovida de unidade de medida, ou 
seja, constitui um número puro. 
3 As probabilidades associadas à distribuição normal 
reduzida são dadas em tabelas > o que torna fácil 
saber as probab il idades associadas a essa 
distribuição. 
A função que resulta na curva de Galss é complicada é 
precisa ser resolvida por integrais, por esse motivo 
temos a tabela normal padrão: que considera as áreas 
abaixo da curva normal como sendo media 0 variância 
igual a 1 e desvio padrão igual a 1. 
Para a utilização da distribuição para qualquer variável 
x com media diferente de 0 e desvio padrão diferente 
de 1, precisamos padronizar a variável para a variável 
Z. 
O desvio padrão e a raiz quadrada da variância. 
1,17 desvio padrão à esquerda da média (lembrar que o 
desvio padrão é sempre positivo) 
Com uma única tabela é possível resolver os infinitos 
problemas que envolvam uma variável X normalmente 
distribuída 
Basta transformar X em Z e ler na tabela N(0; 1) a 
probabilidade correspondente 
Na tabela de distribuição normal 
Para praticar o Zc vamos usar 1,39. Para consultar 
o Zc é preciso decompor 
Em outro ex: Se Zc = 2,00 > 1ª 2,0 e 2ª 0,00 
Essa é a tabela no Zc de 1,39. Devemos procurar 1.3 
que é a 1ª parcela na linha a esquerda vertical e em 
seguida devemos procurar 0.09 na margem superior 
na horizontal. 
Em seguida, fazemos o cruzamento das linhas e 
encontramos o valor de 0,4177 
I. Suponhamos X → N(40; 16). Qua l a 
probabilidade de X pertencer ao intervalo 
40┣┫45? 
* media: 40 e variância: 16 e o desvio padrão: 4 
~ Aprendemos que em uma distribuição normal a 
media esta no 
c e n t r o d a 
distribuição. O 
prob lema nos 
p e d e p a r a 
ca lcu lar essa 
aérea entre 40 
e 45. 
Para consultar esse Zc na tabela, precisaremos 
decompor esse valor : 
Localizamos na tabela o valor da probabilidade de 
0,3944 
Essa probabilidade mede a 
área da porção quadriculada 
da curva, que vimos anteriormente no gráfico de sino. 
Então: 
Se 
Consultando na tabela temos: 0,4938 
Corresponde 30-40 
mas eu quero o valor 
de 4o - x. 
Para isso: 
Vemos que toda essa área é o,50, como eu sei isso? 
Ja aprendemos que a curva abriga toda a população 
sob estudo, então a área total sob a curva é 1 e a 
metade dela será o,5. Ja calculamos a área do 0 ate 
2,50 sabendo que a probabilidade é 0,4938. Para 
saber essa referente a área quadriculada 
Basta subtrair esses dois valores e vamos encontrar a 
probabilidade referente a ela, que é 0,0062. 
- recomenda-se que sempre desenhe, para resolver. 
Se 
Devemos encontrar dois valores para o Zc: um para o 
35 e outro para o x < 42. 
Primeiro para 35 
Consultamos esse valor na tabela e encontramos: 
0,3944 
Agora para 42 
Na tabela 
 0,4987 
O que calculamos 
Para achar a área 
quadriculada, que 
é justamente o que 
o problema pede. 
Com o desenho da 
curva fica mais 
tranquilo perceber 
que para encontrar essa area basta fazer uma 
subtração 
 
Esse valor encontrado corresponde à essa area 
quadriculada. 
II. A quantidade de colesterol em 100 ml de plasma 
sanguíneo tem distribuição normal com média 
200 mg e desvio padrão 20mg. Qual é a 
probabilidade de uma pessoa apresentar entre 
200 e 225 mg de colesterol por 100 ml de 
plasma? 
O queremos saber é essa área quadriculada. 
Consultando na tabela, encontramos a probabilidade 
de 0,3944 
A probabilidade de uma pessoa apresentar taxa de 
colesterol entre 200 e 225 mg por 100 ml de 
plasma é 0,3944 ou 39,44% 
III. Em homens, a quantidade de hemoglobina por 
100 ml de sangue é uma variável aleatória com 
distribuição normal de média µ = 16 g e desvio 
padrão σ = 1 g. Calcule a probabilidade de um 
homem apresentar de 16 a 18 g de hemoglobina 
por 100 ml de sangue. 
O Zc é negativo mas a probabilidade procurada é 
positivo, pois não existem probabilidade negativa. 
Na tabela a probabilidade encontrada foi de 
0,4772. 
A probabilidade de um homem apresentar de 16 a 18 g 
de hemoglobina por 100 ml de sangue é 0,4772 ou 
47,72% 
IV. No problema anterior, qual a probabilidade de um 
homem apresentar mais de 18 g de hemoglobina 
por 100 ml de sangue? 
 
Basta subtrair um valor pelo outro. 
0,4987 - 0,3944 = 0,1043
0,5000 - 0,4772 = 0,0228 ou 2,28%