SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES-ABRIL DE 2013

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Disciplina: Fundamentos Matemáticos para Informática Prof: Rosangela Prestes 
1° semestre – Sistemas de Informação 
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
1. Definição de equação linear 
 
Consideramos como equação linear toda equação do tipo: 
 
 
 
Onde: 
 : são coeficientes reais, não todos nulos 
 
 : são as incógnitas 
 
c: o termo independente 
 
Quando o termo independente é nulo, ou seja, quando c = 0, a equação linear é 
homogênea. 
Exemplos: 
 
a) 2 x + y + z = 4 
b) x + y = 5 
c) 4 x + 5y + z = 0 (homogênea) 
 
2. Sistema Linear 
 
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações 
lineares com n incógnitas. 
 
a) Sistema Linear de duas equações e duas incógnitas, onde x e y são as incógnitas e 7 
e 1 são os termos independentes: 
 
 
 
 
b) Sistema Linear de três equações e três incógnitas, onde x e y e z são as incógnitas e 
-7, 3 e 12 são os termos independentes. 
 
 
 
 
 
Genericamente um sistema linear de m equações com n incógnitas, também 
indicado por sistema linear mxn, é representado por um conjunto de equações lineares 
do tipo: 
 
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3. Solução de um sistema Linear 
 
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfazem ao 
mesmo tempo todas as equações do sistema linear. 
 
Exemplo: 
 
 
 , os valores que satisfazem as duas equações são x = 2 e y = 1. 
 
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dado o sistema 
 
 
 , verificar se é solução cada um dos pares: 
 
a) (3,-15) b) (-2,10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Soluções para sistemas lineares 
 
Vejamos dois métodos para a resolução de sistemas: 
a) A regra de Cramer 
b) O escalonamento 
 
Exemplo 1: Vamos usar a regra de Cramer para resolver o sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Vamos usar a regra de Cramer para resolver o sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Classificação de um sistema Linear 
 
Resumindo, um sistema linear pode ser 
a) possível e determinado (solução única) SPD onde D ; 
b) possível e indeterminado (infinitas soluções) SPI onde D = 0; 
c) impossível (não tem solução) D = 0. 
 
a) Resolvendo o sistema 
 
 
 , encontramos uma única solução: o par 
ordenado (3,5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução 
única). 
b) No caso do sistema 
 
 
 , verificamos que os pares ordenados (0,8), 
(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, 
dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas 
soluções). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Para 
 
 
 verificamos que nenhum par ordenado satisfaz 
simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem 
solução). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Sistema Linear Homogêneo 
 
Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os 
coeficientes independentes nulos. 
 
c) Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Todo sistema homogêneo admite a solução nula (0,0,...,0), chamada de solução 
trivial. 
Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial. 
 
 
 
7. Sistemas escalonados 
 
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o 
número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são 
maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a 
técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas 
lineares. 
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em 
cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro 
coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. 
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: 
 
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de 
zero. 
b) Dividir uma das equações por um número real diferente de zero 
c)Multiplicar uma das equações por um número real e adicionar o resultado a outra equação 
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. 
 
 
Vamos então aplicar a técnica do escalonamento: 
 
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n) 
 
 
 
 
 
 
 
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, 
aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: 
 
 
 
 
 
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 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente 
de x seja igual a 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação: 
 
 Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. (x = 2, y = -1 e z = 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Resolva os sistemas: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
2. Resolver os seguintes sistemas (por escalonamento) 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c)