F. METODOS NUMERICOS APLICADOS

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FORMULÁRIO PARA MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS 
 
𝑅𝑎𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠: 𝜀 ∈ (𝑎; 𝑏) → 𝑥0 =
𝑎 + 𝑏
2
 
𝐵𝑖𝑠𝑠𝑒𝑐çã𝑜: 𝑥𝑘̅̅ ̅ =
𝑎 + 𝑏
2
 
𝐹𝑎𝑙𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜: 𝑥𝑘̅̅ ̅ =
𝑎 . 𝑓(𝑏) − 𝑏 . 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟: 𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝜑(𝑥) 
𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 − 𝑅𝑎𝑝ℎ𝑠𝑜𝑛: 𝑥𝑘+1̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘)
 
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 → 2 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑥0 𝑒 𝑥1. 𝐸 𝑥𝑘+2̅̅ ̅̅ ̅̅ =
𝑥𝑘. 𝑓(𝑥𝑘+1) − 𝑥𝑘+1. 𝑓(𝑥𝑘)
𝑓(𝑥𝑘+1) − 𝑓(𝑥𝑘)
 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑠: 
𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: 𝐸𝐴𝑥 = |𝑥 − �̅�| 
𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 𝐸𝑅𝑥 = |
𝐸𝐴
𝑥
| → 𝑒𝑚 % 
 
𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎: |𝑥𝑘+1| − |𝑥𝑘| < 𝜖 𝑒 𝑓(𝑥�̅�) < 𝜖 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 
 
 
 
 
𝑅𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 {
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖). ℎ
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖+1). ℎ
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑚). ℎ
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑖𝑚 =
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
2
 
 
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜𝑠: 
 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ ℎ𝑖
𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1)
2
 
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
 
𝑆𝑒 ℎ é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 
 
 
𝐴 =
ℎ
2
[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥𝑛+1) + 2(𝑓(𝑥2) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)] 
 
𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎
1
3
 𝑑𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛: 
 
ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑛 = 𝑝𝑎𝑟 
 
𝐴 =
ℎ
3
[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥𝑛+1) + 4(𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥4) + ⋯ ) + 2(𝑓(𝑥3) + 𝑓(𝑥5) + ⋯ )] 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎
3
8
 𝑑𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛: 
 
 
𝐴 =
3ℎ
8
[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥𝑛+1) + 3(𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) + 𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6) + ⋯ ) + 
+2(𝑓(𝑥4) + 𝑓(𝑥7) + ⋯ )] 
 
 
 
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 
 
 
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠: 𝐿𝑗 ← 𝐿𝑗 − 𝑚𝑗𝑐𝐿𝑖 𝑝𝑖𝑣ô = 𝑎𝑖𝑖 𝑒 𝑚𝑗𝑐 =
𝑎𝑗𝑐
𝑎𝑖𝑖
 
𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟. 
 
𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 − 𝐽𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛: 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒. 
 
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎çã𝑜 𝐿. 𝑈 → 𝐴. 𝑋 = 𝐵 → 𝐿𝑈𝑋 = 𝐵, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝐿𝑌 = 𝐵 𝑒 𝑈𝑋 = 𝑌 
 
 
 
 
 
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠: 
𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠: |𝑎𝑖𝑖| ≤ ∑|𝑎𝑖𝑗|
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑐
 → 𝑥𝑖 =
𝑏𝑖 − ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑐
𝑎𝑖𝑖
 
 
Sistemas não lineares 
 
𝐹 = 𝑓𝑖(𝑥) = 𝑓𝑖(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) = 0 
 
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 
𝐽 =
|
|
 
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
…
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
…
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛… … … …
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥1
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥2
…
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥𝑛
|
|
 𝐽(𝑥(𝑘)). 𝑆(𝑘) = −𝐹(𝑥(𝑘)) 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 → 𝑃1(𝑥1, 𝑦1)𝑒 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1) 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎çã𝑜 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 
 
𝑛 + 1 − 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑛
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛
 
 
 
|
1 𝑥0 … 𝑥0
𝑛
1 𝑥1 … 𝑥1
𝑛
… … … …
1 𝑥𝑛 … 𝑥𝑛
𝑛
| . |
𝑎0
𝑎1
…
𝑎𝑛
| = |
𝑦0
𝑦1
…
𝑦𝑛
| 
 
 
𝑃𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 
 
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑦0. 𝐿0(𝑥) + 𝑦1. 𝐿1(𝑥) + ⋯ + 𝑦𝑛. 𝐿𝑛(𝑥) 
 
 
𝐿𝑘(𝑥) =
∏ (𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑘
∏ (𝑥0 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑘
 
 
 
𝑃𝑜𝑟 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 
𝑝(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑑2(𝑥 − 𝑥0). (𝑥 − 𝑥1) + ⋯ + 𝑑𝑛(𝑥 − 𝑥0). (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥𝑛−1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x f(x) Primeiras Segunda Terceiras 
 diferenciais diferenciais diferenciais 
 
 
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑙𝑎çã𝑜 → 𝑅 = ∑|𝑓(𝑥𝑖) − 𝜑(𝑥𝑖)|
2
𝑛
𝑖=1
 
 
 
𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 → ||
𝑚 ∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2 … ∑𝑥𝑖
𝑛
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3 … ∑𝑥𝑖
𝑛+1
… … … … …
∑𝑥𝑖
𝑛 ∑𝑥𝑖
𝑛+1 ∑𝑥𝑖
𝑛+2 … ∑𝑥𝑖
2𝑛
|| . |
𝑎0
𝑎1
…
𝑎𝑛
| = |
∑𝑦𝑖
∑𝑥𝑖𝑦𝑖
…
∑𝑥𝑖
𝑛𝑦𝑖
| 
 
 
𝑆𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 → 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑛 
𝑆é𝑟𝑖𝑒𝑠: 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 → ∑ 𝑎𝑖
∞
𝑖=1
 
𝑆é𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎: ∑ 𝐶 . 𝑟𝑛 =
𝐶
1 − 𝑟
 𝑒 ∑ 𝐶. 𝑟𝑛 =
𝐶 𝑟𝑛
1 − 𝑟
∞
𝑖=𝑛
∞
𝑖=1
 
 
𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆é𝑟𝑖𝑒 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎 
É 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑎1 > 𝑎2 > 𝑎3 > 𝑎4 > ⋯ 
𝑎𝑛 → 0 
 
𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 
𝐴) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎çã𝑜 → 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 
∑𝑎𝑛 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑒 ∑𝑏𝑛𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 
∑𝑏𝑛 → 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑒 ∑𝑎𝑛𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 
𝐵) 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 
𝑓(𝑥) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 ∴ 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
∞ ∴ 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
∞
1
 
 
 
 
𝑐) 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 
lim
𝑛→ ∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝐿 
 
𝑆𝑒 
𝐿 < 1 ∴ 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐿 > 1 ∴ 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐿 = 1 ∴ 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜
 
𝑑) 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 
lim
𝑥→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = 𝐿 
 
𝑆𝑒 
𝐿 < 1 ∴ 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐿 > 1 ∴ 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐿 = 1 ∴ 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜
 
 
𝑆é𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 
𝐹(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)
𝑛
∞
𝑛=1
 | 𝑟 = lim
𝑛→ ∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| | 𝑅 =
1
𝑟
 (𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
 
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎çã𝑜 
𝑦 = ∑ 𝑎𝑛 𝑥
𝑛 → 𝑦′ = ∑ 𝑛 𝑎𝑛 𝑥
𝑛−1 → 𝑦′′ =
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥
𝑛−2
∞
𝑛=0
 
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎𝑠 
 
𝑃𝑉𝐼 {
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦(𝑥0) = 𝑦0
 
 
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟: 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + ℎ 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘) 
 
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜: 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +
ℎ
2
 [𝑓(𝑥𝑘; 𝑦𝑘) + 𝑓(𝑥𝑘 + 𝑘; 𝑦𝑘 + ℎ 𝑓(𝑥𝑘; 𝑦𝑘))] 
 
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑢𝑛𝑔𝑒 − 𝐾𝑢𝑡𝑡𝑎 𝑑𝑒 3º 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑚 
 
 
𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +
2
9
𝑘1 +
1
3
𝑘2 +
4
9
𝑘3 
 
𝑘1 = ℎ . 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)
𝑘2 = ℎ . 𝑓 (𝑥𝑘 + ℎ; 𝑦𝑘 +
𝑘1
2
)
𝑘3 = ℎ . 𝑓 (𝑥𝑘 +
3
4
ℎ; 𝑦𝑘 +
3
4
𝑘2)
 
 
 
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑢𝑛𝑔𝑒 − 𝐾𝑢𝑡𝑡𝑎 𝑑𝑒 4º 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑚 
 
 
𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +
1
6
(𝑘1 + 2𝑘2 + 3𝑘3 + 𝑘4) 
 
𝑘1 = ℎ . 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)
𝑘2 = ℎ . 𝑓 (𝑥𝑘 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘 +
𝑘1
2
)
𝑘3 = ℎ . 𝑓 (𝑥𝑘 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘 +
𝑘2
2
)
𝑘2 = ℎ . 𝑓(𝑥𝑘 + ℎ; 𝑦𝑘 + 𝑘3)