Cap. 4 - FUNÇÕES - parte 2

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 4 – Funções – parte 2 
 
Funções definidas por partes (ou Funções definidas por várias sentenças) 
 
As funções nos exemplos a seguir são definidas por fórmulas distintas em diferentes partes de 
seus domínios. 
� Exemplo 1: Seja f a função definida por 
2
1 , se 1( )
, se 1
x xf x
x x
− ≤ −
= 
> −
 
Calcule ( )( 2), 1f f− − e (0)f e esboce seu gráfico. 
 
 
 
� Exemplo 2: Esboce o gráfico da função valor absoluto ( )f x x= . 
 
 
 
 
 
 
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� Exemplo 3: Em um dos exemplos na parte 1, consideramos o custo ( )C p do envio pelo correio 
de uma carta com peso p . Vamos construir a função ( )C p e esboçar seu gráfico. 
 
 
Simetrias 
 
Se uma função f satisfizer ( ) ( )f x f x− = para todo x em seu domínio, então f é chamada 
função par. O significado geométrico de uma função ser par é que seu gráfico é simétrico em 
relação ao eixo y . 
Se uma função f satisfizer ( ) ( )f x f x− = −−−− para todo x em seu domínio, dizemos que f é uma 
função ímpar. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Se já tivermos o 
gráfico de f para 0x ≥ , poderemos obter o restante do gráfico girando esta parte 180° em torno 
da origem. 
� Exemplo 4: Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois. 
a) ( ) 5f x x x= + b) ( ) 41g x x= − c) ( ) 22h x x x= − 
 
 
 
 
 
 
 
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Os gráficos das funções do exemplo acima estão nas figuras abaixo. Observe que o gráfico de h 
não é simétrico em relação ao eixo y nem em relação à origem. 
 
 
Funções Crescentes e Decrescentes 
 
O gráfico da figura abaixo se eleva de A para B, cai de B para C, e sobe novamente de C para D. 
Dizemos que a função f é crescente no intervalo [ ],a b , decrescente em [ ],b c , e novamente 
crescente em [ ],c d . Observe que se 1x e 2x forem dois números quaisquer entre a e b , com 
1 2x x< , então ( ) ( )1 2f x f x< . Vamos usar isso como a propriedade que define uma função 
crescente. 
 
 
Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se 
( ) ( )1 2f x f x< sempre que 1 2x x< em I. 
Ela é denominada decrescente em I se 
( ) ( )1 2f x f x> sempre que 1 2x x< em I. 
 
 
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Modelos Matemáticos 
 
Um modelo matemático é a descrição matemática (frequentemente por meio de uma função ou 
de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma população, a 
demanda de um produto, a velocidade de um objeto caindo, etc. O propósito desses modelos é 
entender o fenômeno e talvez fazer previsões sobre seu comportamento no futuro. 
A figura abaixo ilustra o processo de modelagem matemática. 
 
Um modelo matemático nunca é uma representação completamente precisa de uma situação 
física – é uma idealização. Um bom modelo simplifica a realidade o bastante para permitir cálculos 
matemáticos, mantendo, porém, precisão suficiente para conclusões significativas. É importante 
entender as limitações do modelo. 
Existem vários tipos diferentes de funções que podem ser usadas para modelar as relações 
observadas no mundo real. A seguir, discutiremos o comportamento e os gráficos dessas funções. 
 
Função Polinomial 
 
Uma função polinomial ( )y f x= tem a forma 
( ) 1 21 2 1 0n nn nf x a x a x a x a x a−−= + + + + +… 
onde n é um número inteiro não negativo e 0 1 2, , , , na a a a… são números reais. 
� Exemplos 5: 
a) ( ) 6 42 4 1f x x x x= − + + (polinomial de grau 4) 
b) ( ) 27 5f x x= − (função quadrática, polinomial de grau 2) 
c) ( ) 2 9f x x= + (função afim, polinomial de grau 1) 
d) ( ) 11f x = − (função constante, polinomial de grau 0) 
e) ( ) 0f x = (função constante, não se atribui grau) 
f) ( ) 4 3 114 3 5
5 2
f x x x xpi= − + + − (polinomial de grau 4) 
 
 
 
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Função Constante 
 
Uma função constante é definida por ( )f x c= , onde c é um número real. 
O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal que corta o eixo das ordenadas em c . 
� Exemplo 6: Esboçar o gráfico de ( ) 2f x = − . 
 
 
Função Polinomial de 1º Grau ou Função Afim 
Uma função do 1º grau é definida por ( )f x ax b= + , com ,a b ∈ℝ e 0a ≠ . 
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. 
� Exemplo 7: Esboçar o gráfico de ( ) 3 2f x x= − . 
 
 
Um caso particular da função do 1º grau é a função identidade, definida por ( )f x x= . Esboce seu 
gráfico. 
 
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 Observações 
1) Numa função do 1º grau, o coeficiente angular a não pode ser igual a zero. Por quê? 
2) Uma característica peculiar das funções do 1º grau é que elas variam a uma taxa constante. A 
taxa de variação de y em relação a x é igual ao coeficiente angular, isto é, y a
x
∆
=
∆
. Volte ao 
exemplo 7 e construa uma tabela com alguns valores para verificar esse fato. 
 
 
Função Polinomial de 2º Grau ou Função Quadrática 
 
Uma função do 2º grau é definida por ( ) 2f x ax bx c= + + , com , ,a b c ∈ℝ e 0a ≠ . 
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola. 
� Quando 0a > , a parábola tem concavidade voltada para cima. 
� Quando 0a < , a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
� A interseção do eixo de simetria com a parábola é o vértice, de coordenadas ,
2 4
b
a a
− −∆ 
 
 
, sendo 
2 4b ac∆ = − . 
� Se 1x e 2x são os zeros da função quadrática 
2( )f x ax bx c= + + então a soma das raízes é dada por 
bS
a
−
= , o produto das raízes é dado por 
cP
a
= e ( ) ( )( )2 1 2( )f x a x Sx P a x x x x= − + = − − . 
 
 
 
29 
 
� Exemplo 8: Esboçar o gráfico de ( ) 2 6 5f x x x= − + − e determinar as coordenadas do vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 9: Esboçar o gráfico da função quadrática f , tal que 1 2,x x ∉ℝ , 4c = − e ( )1, 3V − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Potência 
 
Uma função da forma ( ) af x x= , onde a é uma constante, é chamada função potência. 
Vamos considerar vários casos. 
i) a n= , onde n é um número inteiro positivo 
 
 
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ii) 
1
a
n
= , onde n é um número inteiro positivo 
A função ( ) 1 n nf x x x= = é uma função raiz. 
 
iii) 1a = − 
A função ( ) 1 1f x x
x
−
= = é chamada função recíproca. Seu gráfico tem a equação 
1y
x
= , ou 
1xy = , e é uma hipérbole com os eixos coordenados como suas assíntotas. 
 
Função Racional 
 
Uma função racional é a razão de duas funções polinomiais: 
( ) ( )( )
P xf x Q x= 
em que e P Q são funções polinomiais. O domínio consiste em todos os valores de x tais que 
( ) 0Q x ≠ . 
� Exemplo 10: A função 
1( )
1
xf x
x
−
=
+
 é racional de domínio 
( ) { 1}D f = − −ℝ . 
 
 
31 
 
 
� Exemplo 11: A função 
( ) ( )
( )( )
2 2
2
3 4 9
( )
12 3
x x x
f x
x x x
+ − −
=
+ − +
 é racional de 
domínio ( ) { 4, 3,3}D f = − − −ℝ . 
 
 
 
Funções Algébricas 
 
Uma função é algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (como adição, 
subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) a partir de polinômios. Toda função racional 
é automaticamente uma função algébrica. A seguir alguns exemplos: 
 
( ) 2 1f x x= + ( )
4 2
316 2 1x xy x x
x x
−
= + − +
+
 
 
Exemplos de gráficos: 
 
 
 
Funções Exponenciais 
 
As funções exponenciais são da forma ( ) xf x a= , em que a ∈ℝ , 0a > e 1a ≠ . 
� Quando 1a > , a função exponencial é crescente. 
� Quando 0 1a< < , a função exponencial é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
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� Exemplo 12: Os gráficos de 2xy = e ( )0,5 xy= estão na figura abaixo. 
 
 
Funções Logarítmicas 
 
As funções logarítmicas são da forma ( ) logaf x x= , em que a ∈ℝ , 0a > e 1a ≠ . 
� Quando 1a > , a função logarítmica é crescente. 
� Quando 0 1a< < , a função logarítmica é decrescente. 
� Exemplo 13: A figura abaixo mostra os gráficos de quatro funções logarítmicas com várias bases. 
 
 
 Observações 
1) Observando o gráfico da função exponencial, qual é o seu domínio e sua imagem? 
2) Observando o gráfico da função logarítmica, qual é o seu domínio e sua imagem? 
3) As funções não algébricas são chamadas transcendentais, e incluem as funções exponenciais, 
logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, e um vasto número de outras 
funções que não têm nome.