Apostila Álgebra e Geometria Analítica

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INSTITUTO NACIONAL DE TELECOMUNICAÇÕES 
 
INATEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M002 
ÁLGEBRA E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Edson Josias Gimenez 
Profª. Karina Perez Mokarzel Carneiro 
Prof. Luiz Felipe S. de Godoy 
Prof. Rodrigo Guaracy Santana 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Semestre de 2017 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1 – Álgebra vetorial .............................................................................. 4 
Capítulo 2 – Estudo da reta ................................................................................ 25 
Capítulo 3 – Estudo do plano ............................................................................. 30 
Capítulo 4 – Coordenadas curvilíneas ................................................................ 33 
Capítulo 5 – Cônicas .......................................................................................... 41 
Capítulo 6 – Superfícies quádricas ..................................................................... 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
1. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2a ed. São Paulo: 
McGraww-Hill, 1987. 
 
2. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: 
Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 
 
3. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol 1. São Paulo: Harbra, 3ª 
ed., 1994. 
 
4. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol 2. São Paulo: Harbra, 3ª 
ed., 1994. 
 
5. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. 1ª ed. 
Moderna, São Paulo, 2002. 
 
 
 
OBS: 
a) Estas notas de aula foram baseadas nos livros acima. 
b) As notas de aula não dispensam a leitura do livro. 
c) Consulte sempre o plano de ensino da disciplina. 
 
 
 
 
 
4 
 
 CAPÍTULO 1 
ÁLGEBRA VETORIAL 
 
1.1 – INTRODUÇÃO 
 
Existem dois tipos de grandezas físicas: as escalares e as vetoriais 
 
As grandezas escalares ficam completamente definidas por apenas um número real 
acompanhado de uma unidade adequada. Podemos citar como exemplos: comprimento, área, 
volume, massa, temperatura, densidade. 
 
 As grandezas vetoriais ou simplesmente vetores como velocidade, força, impulso, 
quantidade de movimento, para serem completamente identificadas precisam, além da 
intensidade (módulo), a direção e o sentido. Geometricamente, vetores são representados por 
segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou 
no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o 
outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. Segmentos 
orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo 
vetor. A direção, o sentido e o comprimento do vetor são definidos como sendo a direção, o 
sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. A 
definição de igualdade de vetores é análoga a igualdade de números racionais. Dizemos que 
dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo 
sentido. 
 
No estudo de vetores dois tratamentos se completam: geométrico e algébrico. 
 
1.2 – PLANO CARTESIANO R2 
 
É o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais, em linguagem 
matemática temos: ( ){ }ℜ∈ℜ∈=ℜℜ=ℜ yxyxx ,,2 
A cada par ordenado (x, y) é associado um ponto P do plano cartesiano. No qual P é o 
ponto do plano cartesiano definido a partir das coordenadas cartesianas x e y. A coordenada x 
é denominada abscissa de P enquanto a coordenada y é a ordenada de P. 
 
Obs: É importante observar que o plano cartesiano R2 se divide em quatro regiões, 
denominadas quadrantes, conforme estão mostrados a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Represente geometricamente os pares ordenados (-2, 3), (3, 2), (2, -2) e (-3, -3) . 
I quadrante II quadrante 
III quadrante IV quadrante 
x 
y 
 
5 
 
1.3 – ESPAÇO CARTESIANO R3 
 
É o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais (x, y, z), em linguagem 
matemática podemos escrever: ( ){ }ℜ∈ℜ∈ℜ∈=ℜℜℜ=ℜ z,y,xz,y,xxx3 . 
A cada tripla ordenada (x, y, z) é associado um ponto P no espaço. No qual P é o ponto do 
espaço cartesiano definido a partir das coordenadas cartesianas x, y e z que recebem, 
respectivamente, as denominações abscissa, ordenada e cota de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: É fácil perceber que o plano cartesiano R2 é um subconjunto do R3, para z = 0. 
 
Exercícios: Represente geometricamente os pontos: 
 
a) P1 = (2, 3, 5) 
b) P2 = (4, -3, 4) Resolvido como exemplo 
c) P3 = (-3, 4, 3) 
d) P4 = (-2, -2, -2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 – ÊNUPLAS (Generalizando) 
 
Usando-se a notação anterior de R2 e R3, pode-se extrapolar para uma formação algébrica 
mais genérica. 
 
{ }ℜ∈ββββββββ=ℜ⋅⋅⋅ℜℜℜ=ℜ n321n321n ,...,,,/)...,,,(xxx 
 
Onde ( )n21 ,...,, βββ é chamada de ênupla. O conjunto Rn não pode ser representado 
geometricamente, porém possui a mesma lei de formação algébrica que o R2 e o R3. 
x 
y 
z 
P = (x, y, z) 
y 
x 
z 
x 
y 
z 
. 
– 3 
4 
4 P2 
 
6 
 
1.5 – DEFINIÇÕES 
 
1.5.1 – Reta 
 
 Conjunto de pontos 
 
1.5.2 – Reta orientada (eixo) 
 
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e 
indicado por uma seta. 
Para todo eixo deve-se definir a origem O, a unidade de comprimento e o sentido positivo. 
 
 
 
 
Obs: Considerado o sentido positivo de orientação, o sentido oposto é negativo. 
 
1.5.3 – Segmento de reta 
 
Determinado por um par ordenado de pontos 
 
 
 
 
 
1.5.4 – Segmento de reta orientado 
 
Um segmento de reta orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro 
chamado origem do segmento e o segundo chamado extremidade (ponto final). O segmento 
orientado de origem A, e extremidade B será representado por AB e geometricamente, 
indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. 
 
 
 
 
 
 
 Módulo (comprimento): Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado 
pode-se associar um número real, positivo, que é a medida do segmento em relação àquela 
unidade. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 O comprimento do segmento AB acima é de 7 unidades de comprimento e é representado 
por .c.u 7AB = 
 
- 
0 2 1 3 -3 -2 -1 x 
+ 
A B 
AB
 
A B 
 
Características: 
- Módulo 
- Direção 
- Sentido 
A B 
1 u 
 
7 
 
Direção e sentido: Dois segmentos orientados não nulos AB e CD tem a mesma direção 
se as retas suportes desses segmentos são: 
 
a) Paralelas 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Coincidentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.5 – Segmento nulo 
 
É aquele cuja extremidade coincide com a origem. 
 
1.5.6 – Segmentos opostos 
 
Se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto de AB. 
 
1.5.7 – Segmentos equipolentes 
 
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o 
mesmo sentido e o mesmo comprimento (módulo). AB ~ CD equipolência 
 
1.5.8 – Vetor 
 
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos 
orientados eqüipolentes a AB. 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
X 
y 
v 
Sentidos opostos 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
D 
Mesma direção 
Mesmo sentido 
Mesma direção 
Sentidos opostos 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
D 
 
8Se indicarmos por v este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: 
{ }AB~XY/XYv = onde XY é um segmento qualquer do conjunto. 
O vetor determinado por AB é indicado por AB ou AB − ou v . O módulo de v se 
indica por v 
 
1.5.9 – Vetor nulo 
 
É um vetor cuja origem coincide com a extremidade e tem módulo igual a zero, e é 
indicado por 0 . 
 
1.5.10 – Vetores opostos 
 
Possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. 
Dado um vetor ABv = , o vetor BA é o oposto de AB e indicamos por AB− ou por v− . 
 
1.5.11 – Vetores iguais 
 
Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB~CD. Se 
)y,x(ve)y,x(u 2211 == então vu = se, e somente se, 2121 yyexx == 
 
1.5.12 – Vetor unitário 
 
É um vetor de módulo igual a um e serve para caracterizar uma direção. É representado por 
um acento circunflexo acima da letra. 
 
1.5.13 – Versor 
 
O versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v . 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.14 – Vetor posição: 
 
É um vetor cuja origem coincide com a origem do sistema de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
x 
y 
z 
P OP vetor posição 
x 
y 
0 
A B 
1 u 
 Versor de AB
 
 
9 
 
1.5.15 – Vetores colineares 
 
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja são colineares se 
pertencerem a uma mesma reta ou a retas paralelas. 
 
Obs: Dois vetores não colineares formam um plano. 
 
 
 
 
 
1.5.16 – Vetores coplanares 
 
Se os vetores não nulos wev,u (o número de vetores não importa) possuem representantes 
AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que eles são coplanares. 
 
Obs: Dois vetores são sempre coplanares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 – VETORES NO PLANO R2 
 
Neste tópico o par ordenado (x,y) será associado a um segmento orientado, representante 
geométrico da grandeza vetor. 
O vetor ),( yxv = possui no plano cartesiano, 
infinitas representações geométricas, pois: 
 
OPBA...BABAv nn2211 ===== 
 
 
 
 
 
 
 
nn2211 BA...BABA === são vetores livres (origem arbitrária) 
OP vetor posição 
ABABv −== � )yy,xx()y,x(v ABAB −−== 
 
)y,x(v = x e y são as coordenadas canônicas do vetor v . 
 
A1 
B1 
A2 
B2 
O 
P 
x 
y 
F A 
B 
E 
C 
D 
w
r
u 
v
r
w 
u
r
 
π
 
 
10 
 
1.7 – OPERAÇÕES GRÁFICAS COM VETORES 
 
1.7.1 – Soma de vetores: 
 
Sejam dois vetores Ar e Br não nulos, a soma gráfica será: 
 
a) Método do paralelogramo 
 
 
 
 
 
b) Método da linha poligonal 
 
 
 
Propriedades da soma: 
 
1) comutativa: ABBA
rrrr
+=+ 
2) associativa: ( ) )CB(ACBA rrrrrr ++=++ 
3) Elemento Neutro: AA00A
rrrrr
=+=+ 
4) Elemento Oposto: 0A)A()A(A
rrrrr
=+−=−+ 
 
1.7.2 – Subtração de vetores: 
 
Sejam dois vetores Ar e Br não nulos, a subtração gráfica será: 
 
)B(ABAT
rrrrr
−+=−= 
 
 
 
 
 
Obs: valem as mesmas propriedades da soma vetorial. 
 
1.7.3 – Multiplicação por um escalar (real) 
 
 Dado um vetor 0A
rr
≠ e um número real 0α ≠ , o produto do escalar α pelo vetor A
r
 será: 
 
AαP
rr
= 
 
Módulo: AP
rr
α= 
Direção: a mesma de A
r
 (vetores colineares) 
P
r
 Sentido: 0>α � mesmo sentido de A
r
 
 0=α � 0P
rr
= 
 0<α � sentido oposto ao de A
r
 
BAS
rrr
+=
 
A
r
 
B
r
 
A
r
 
B
r
 
BAS
rrr
+=
 
A
r
 
A
r
α+
 
A
r
α−
 
BAS
rrr
−= 
A
r
 B
r
− 
 
11 
 
Propriedades da multiplicação por um escalar: 
 
Sejam os vetores u , v e w e os escalares ℜ∈βα, . 
1) Associativa ( ) ( )uuu αβ=βα=βα 
2) Distributiva em relação à adição de vetores ( ) vuvu α+α=+α 
3) Distributiva em relação à adição de escalares ( ) uuu β+α=β+α 
4) Se 0ve)0,0,0(0 =α= então 0=α ou 0v = 
5) v de oposto o é 'v onde 'vv)1(v =−=− 
 
Obs: 
a) O vetor vrα é sempre paralelo ao vetor vr para 0≠α e 0v
rr
≠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja um vetor vrα , com 0≠α e 0v rr ≠ . Se fizermos com que o número α , percorra o 
conjunto dos Reais, teremos infinitos vetores colineares a vr e, portanto colineares entre si, 
isto é, qualquer um deles é sempre múltiplo escalar do outro. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7.4 – Versor: 
 
O versor de um vetor 0A
rr
≠ é o vetor unitário 
A
A
u r
r
r
=
 ou A.
A
1
uˆ
r
r= 
 
Podemos escrever vˆ.vv vr = , isto é, o vetor vr é o produto de seu módulo pelo vetor 
unitário de mesma direção e sentido de vr . 
 
Pois, 1
A
A
A
A
u === r
r
r
r
r
 
A
r
 
u
r
 
u 
v 
v
5
2
u = ou u
2
5
v =
 
x 
y 
z 
v 
v
r
α
 
v
r
α−
 
 
12 
 
1.8 – VETORES NO R2 E NO R3 
 
 Dois vetores 1v
r
 e 2v
r
, não colineares, são sempre coplanares. Como 1v
r
α tem a direção de 
1v
r
 e 2v
rβ a direção de 2vr , o vetor 21 vvv rrr β+α= será sempre em vetor representado no 
mesmo plano de 1v
r
 e 2v
r
, sejam quais forem os reais α e β . 
 
 
 
 
 
 
 
 O vetor vr é combinação linear de 1v
r
 e 2v
r
. O par de vetores 1v
r
 e 2v
r
 é chamado base no 
plano. Aliás, qualquer conjunto { }21 v,v rr de vetores não colineares constitui uma base no 
plano. Os números α e β são chamados componentes ou coordenadas do vetor vr , na base 
{ }21 v,v rr . 
 Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortogonais. Uma base é dita ortogonal 
quando seus vetores são ortogonais e unitários. 
 Existem infinitas bases ortogonais no plano x0y, porém, a mais importante é a base 
canônica, simbolizada por { }j,i rr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No espaço, qualquer conjunto { }321 v,v,v rrr de vetores não coplanares é uma base. Todo 
vetor v
r
 do espaço é combinação linear dos vetores da base e pode ser escrito como 
321 vvvv
rrrr γ+β+α= . Os escalares α , β e γ são as componentes de vr na base considerada. 
 Uma base no espaço é ortogonal se os três vetores forem unitários e dois a dois, 
ortogonais. Dentre as infinitas bases ortogonais existentes, a mais importante é a base 
canônica representada por { }k,j,i rrr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1v
r
 
1v
r
α
 
2v
r
 
2v
rβ
 
21 vvv
rrr β+α=
 
j
r
 
i
r
 
y 
x 
kzjyixv rrrr ++=
 
P(x,y,z) 
k
r
 
z 
ix
r
 
jy
r
 
kz
r
 
jr
 
i
r
y 
x ix
r
 
jyr
 
jyixv rrr +=
 
P(x,y) 
 
13 
 
1.9 – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM VETORES 
 
 Sejam os vetores kajaiaA 321
rrrr
++= , kbjbibB 321
rrrr
++=
 e kcjcicC 321
rrrr
++=
 e 
sendo α um número real. 
 
1.9.1 – Igualdade 
 
 Os vetores A
r
 e B
r
 são iguais quando 11 ba = , 22 ba = e 33 ba = 
 
1.9.2 – Soma 
 
 k)ba(j)ba(i)ba(BAs 332211
rrrvrr
+++++=+= 
 
Exemplo: Se )8,4,4(ve)5,2,3( −=−= encontre os vetores uv e vu rrrr ++ 
 
)13,2,1()58,24,34(uv )13,2,1()85,42,43(vu −=++−−=+−=+−+−=+ rrrr
 
 
1.9.3 – Subtração 
 
 k)ba(j)ba(i)ba(BAt 332211
rrrvrr
−+−+−=−= 
 
1.9.4 – Multiplicação de um número real por um vetor 
 
 ( ) kajaiakajaiaAp 321321 rrrrrrrr α+α+α=++α=α= 
 
 
1.10 – ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 
 
O ângulo entre dois vetores ur e vr não nulos é o ângulo θ formado pelas semirretas AO 
e OB tal que pi≤θ≤0 . 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
a)O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. 
b) Se ur é ortogonal a vr e α é um número real qualquer, ur é ortogonal a vrα . 
 
1.11 – CONDIÇÃO DE PARALELISMO 
 
Se )z,y,x(v e )z,y,x(u 222111 == são colineares (paralelos), existe um número k tal 
que vku rr = , logo, 
 
)zk,yk,xk()z,y,x( )z,y,x(k)z,y,x( 222111222111 =⇒= 
θ 
O 
A 
B 
u 
v 
 
14 
 
Assim, pela definição de igualdade de vetores: 
 
2
1
21
2
1
21
2
1
21
z
zk zkz
y
yk yky
x
xk xkx
=⇒=
=⇒=
=⇒=
 � 
 
Exemplo: Dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais. Os vetores 
)12,9,6(v e )4,3,2(u −−=−−= são paralelos, pois: 
 
3
1k 
12
4
9
3
6
2k 
z
z
y
y
x
xk
2
1
2
1
2
1
=⇒
−
−
==
−
−
=⇒===
 
 
1.12 – PRODUTO ESCALAR 
 
Chama-se produto escalar (produto interno usual) de dois vetores kzjyixu 111 ++= 
e kzjyixv 222 ++= , e se representa por u e v ao número real (escalar): 
 
212121 zzyyxxvu ++=⋅ 
 
O produto escalar de u e v também é indicado por <u , v > e se lê “ u escalar v ”. 
 
Exemplo: Se kjivekjiu −−=+−= 24853 tem-se: 
 
14)1(8)2()5(43vu =−⋅+−⋅−+⋅=⋅ 
 
Propriedades do Produto Escalar 
 
Para quaisquer que sejam os vetores )z,y,x(u 111=r , )z,y,x(v 222=r e )z,y,x(w 333=r e 
ℜ∈α , é fácil verificar que: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
uuu)5
vuvuvu)4
)vetoresdeadiçãoàvadistributi(wuvuwvu)3
)comutativa(uvvu)2
0,0,00u se somente 0uue0uu )1
=⋅
α⋅=⋅α=⋅α
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
===⋅≥⋅
 
 
 
 
k
z
z
y
y
x
x
2
1
2
1
2
1
===
 
 
15 
 
1.12.1 – Módulo de um vetor 
 
 Módulo de um vetor )z,y,x(v =r , representado por vr , é o número real não negativo, 
 
v.vv
rrr
= 
 
( ) ( ) 222 zyxv z,y,xz,y,xv ++=→⋅= 
 
Exemplo: ( ) 39414)2()1()2(v então, 2,1,2v Se 222 ==++=−++=−= 
 
1.12.2 – Versor de um vetor 
 
)
3
2
,
3
1
,
3
2()2,1,2(
3
1
v
v
u
:se- tem,upor designadofor exemplo do v vetor do versor o Se
−=−==
 
 
1
9
4
9
1
9
4
3
2
3
1
3
2
3
2
,
3
1
,
3
2
:pois unitário, vetor um verdade,na é, versor O
222
=++=





−+





+





=





−
 
 
1.12.3 – Distância entre os pontos 
 
A distância d entre dois pontos ),,( e ),,( 222111 zyxBzyxA é assim definida: 
 
( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxABABd −+−+−=−== 
 
Exemplos: 
 
 1. Sabendo que a distância entre os pontos A (-1, 2, 3,) e B (1, -1, m) é 7, calcular m. 
9mou3m
 temosequação a resolvendo 7)3m()3((2) 7)3m,3,2(
7ABd assim )3m,3,2()3m,21),1(1(ABAB
222
=−=
=−+−+⇒=−−
==−−=−−−−−=−=
 
 
2. Determinar α para que o vetor 





−α=
4
1
,
2
1
,v seja unitário. 
 
4
11
:temosresolvendo
1
4
1
2
1
 seja,ou ,1v ter se-Deve
22
2
±=α
=





+





−+α=
 
 
16 
 
1.12.4 – Ângulo de dois vetores 
 
Já foi mostrado que o ângulo formado entre dois vetores não nulos varia de 0º a 180º. 
Vejamos agora como o produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles 
formado. :então ,v e u vetoresdos ângulo o é se e 0v ,0u Se θ≠≠ 
 
θ=⋅ cosvuvu
 
 
Podemos demonstrar essa relação aplicando a lei dos cossenos ao triangulo ABC, a seguir: 
 
 
θ−+=− cosvu2vuvu
222
 
 
Porém das propriedades temos que: 
 
vu2vuvu
222
⋅−+=−
 
 
Assim, comparando as duas expressões: 
 
θ−+=⋅−+ cosvu2vuvu2vu
2222
 
 
Logo teremos: 
 
 
(I) 
 
 
Concluindo: O produto escalar de dois vetores ut e vr é o produto dos seus módulos pelo 
cosseno do ângulo por eles formado. 
 
Casos particulares: 
a) Se 0vu >⋅ o ângulo é agudo ou nulo º90º0 <≤ θ 
b) Se 0vu <⋅ o ângulo é obtuso ou raso º180º90 ≤< θ 
c) Se 0vu =⋅ o ângulo é reto º90=θ Caso de Ortogonalidade 
 
Importante: 
 






→=θ
=
=
=⋅
laresperpendicu vetores 90º se
ou 0v se
ou 0u Se
 0vu
rr
rr
rr
 
 
Pela equação (I) podemos calcular o ângulo entre dois vetores por: 
 
θ 
vu − 
A B 
C 
u 
v 
θ=⋅ cosvuvu
 
vu
vu
cos
⋅
=θ
 
 
17 
 
Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores )2,2,1(ve)4,1,1(u −== 
 
( ) ( )
º45)
2
2(cosarc
2
2
2
1
323
9
918
821
22)1(411
2,2,14,1,1
cos
222222
==θ
==
×
=
×
++−
=
++−×++
−⋅
=θ
 
 
1.12.5 – Ângulo diretores e Cossenos diretores de um vetor 
 
Seja o vetor kzjyixv rrrr ++= . Os ângulos diretores de vr são os ângulos γβα e , 
formados com os vetores k e j ,i rrr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cossenos diretores de vr são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, 
.cose,cos,cos γβα 
 
Para o cálculo dos cossenos diretores utilizaremos a Fórmula: 
 
v
z
1v
)1,0,0()z,y,x(
kv
kv
cos
v
y
1v
)0,1,0()z,y,x(
jv
jv
cos
v
x
1v
)0,0,1()z,y,x(
iv
iv
cos
=
⋅
=
⋅
=γ
=
⋅
=
⋅
=β
=
⋅
=
⋅
=α rrrr
rr
 
 
Propriedades: 
 
a) As componentes do versor de um vetor são os cossenos diretores deste vetor. 
 
)cos,cos,(cos
v
z
,
v
y
,
v
x
v
)z,y,x(
v
v
vˆ γβα==== 






rrrrr
r
 
 
α 
β 
γ 
i j 
k 
x 
y 
z 
v
 
 
18 
 
b) Como o versor de vr é um vetor unitário, tem-se que: 
 
12cos2cos2cos)cos,cos,(cos =γ+β+α=γβα
 
 
o que decorre: 12cos2cos2cos =γ+β+α 
 
Portanto, a soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1. 
 
1.12.6 – Projeção de um vetor 
 
Sejam os vetores ur e vr , com θ≠≠ e 0v e 0u o ângulo formado por eles. 
Pretendemos calcular o vetor w que representa a projeção de . sobre vu 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo retângulo vem: 
v
vu
vu
vu
ucosuw r
rr
rr
rr
rrr ⋅
=
⋅
=θ=
 
 
 Como os vetores wr e vr têm a mesma direção, segue-se que: vkw rr = , com ℜ∈k 
 
 2
v
vuk
v
1
v
vu
v
1
wkou vkw :Então ⋅=∴
⋅
===
 
v
v
vu
w :Assim 2












⋅
=
 
Portanto, o vetor projeção de )wu(proj. v sobre u
v
=
 é: 
 
v
vv
vuprojou 
v
v
v
v
uproj uvuv 






⋅
⋅
=







⋅= vrr
r
r
r
r
r
r
r
 
 
Exemplo: Determine o vetor projeção de )0,1,1(v sobre )4,3,2(u −== 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )0,1,10,1,10,1,1
0,1,143,2,
 v
vv
vuu
v
proj −
−⋅−
−⋅
=
⋅
⋅
= 













vr
r
r
 
 
θ 
u 
w v 
 
19 
 
( ) ( ) 











−=−−=−
−
= 0,
2
1
,
2
1
0,1,1
2
1
0,1,1
2
32u
v
proj
r
r
 
 
1.13 – PRODUTO VETORIAL 
 
Há uma operação espacial para vetores ur e vr 3em ℜ , chamada produto vetorial, e 
denotada por vu × (lê-se: ur vetorial vr ). 
 
Sejam kajaiau 321 ++= e kbjbibv 321 ++= , tem-se que: 
 
k)baba(j)babai)baba(vu 122131132332 −+−−−=× ( 
 
Note-se que vu × é um vetor, daí a designação de produto vetorial (também chamado de 
produto externo) de vu × . 
 
Utilizando a notação de determinante, ondebcad
dc
ba
−= , o produto vetorial também 
pode ser expresso como: k
bb
aaj
bb
aa
i
bb
aa
vu
21
21
31
31
32
32 +−=× ou equivalente, 
 
321
321
bbb
aaa
kji
vu =× 
 
 Na verdade, o símbolo à direita da igualdade não é um determinante, pois a primeira linha 
contém vetores ao invés de escalares. No entanto usaremos esta notação pela facilidade de 
memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. 
Observemos que os determinantes de 2º ordem estabelecidos a partir do produto vetorial 
eliminam na sequência a 1ª coluna, a 2ª coluna e a 3ª coluna. 
 
Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores kivek3j4i5u +=++= 
 
101
345
kji
vu =× k
01
45j
11
35
i
10
34
vu +−=× 
k4j2i4vu
k)40(j)35(i)04(vu
−−=×
−+−−−=×
 
 
Refaça este exercício trocando a ordem dos fatores no produto vetorial e perceba que não 
existe comutatividade nesta operação vetorial. 
 
20 
 
Propriedades do produto vetorial: 
 
Sejam 3 emvetorese, ℜwvu 
 
v aeu a ortogonal é vuw vetor o)1 ×= 
 
0kkjjii :que resulta epropriedad desta 
u seja quequalquer ,0uu)2
=×=×=×
=×
 
 
kiik ; jkkj ; ijji :que resulta epropriedad desta 
uvvu)3
×−=××−=××−=×
×−=×
 
 
wuvu)wv(u)4 ×+×=+× 
 ( ) ( ) ( )vuvuvu)5 α×=×α=×α 
 
{ }
 jik ; ikj ; kji 
 :que temosk,j,i canônica base da vetoresos observando 
 triedro.um de arestas das direções as têmvuev,u vetoresos)6
=×=×=×
×
 
 ( )2222 vuvuvu)7 ⋅−=× , conhecida como identidade de Lagrange, também pode ser 
escrita como: ( )( ) ( )2vuvvuu)vu()vu( ⋅−⋅⋅=×⋅×
 
 ( ) wvu)wv(ué isto , vetorialproduto O)8 ××≠×× ,oassociativ é não 
 
:veu vetoresdos ângulo o é se e 0v,0u Se)9 θ≠≠ 
 
 θ=× senvuvu rrrr 
 
 tˆ sen v uvu θ=× rrrr � vetor 
 






→=θ
=
=
=×
colineares vetores 180ºou 0º se
ou 0v se
ou 0u Se
 0vu )10
rr
rr
rrr
 
 
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial de dois vetores 
 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores veu mede a área do 
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ACveABu == da figura abaixo: 
 
 
θ
 
u
r
 
v
r
 
vu
rr
× 
tˆ 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ=
θ==
senvu ABCD Área :escrever podemos
senvh e hu ABCD Área a Como
 
ABCD Áreavu : teremoslogo
senvuvu como mas
=×
θ=×
 
 
Exemplo: Dados os vetores zˆ3yˆv e zˆyˆ2xˆu +−=−+= calcular a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores uveu3 − . 
 
Sabemos que a área A é dada por vuA ×= assim: 
)4,3,1(uv e )3,6,3(u3 como )uv()u3(A −−=−−=−×=
 
 
u.a.353315981225)3,9,15(A
)3,9,15(
431
363
kji
)uv()u3(
==++=−−=
−−=
−−
−=−×
 
 
 
1.14 – PRODUTO MISTO 
 
Dados os vetores abaixo: 
 
kzjyixwekzjyixv;kzjyixu 333222111 ++=++=++= 
 
Tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores wev,u ao número real ( ).wvu ×⋅ Indica-se o produto misto por ( )w,v,u e lê-se: ur escalar vr vetorial wr . 
 
( )
33
22
1
33
22
1
33
22
1 yx
yx
z
zx
zx
y
zy
zy
xw,v,u +−=
 
 
θ
 
h v 
u
 
A B 
C D 
 
22 
 
( )
333
222
111
zyx
zyx
zyx
w,v,u =
 � escalar 
 
Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores abaixo: 
 
k2j3i4wek3j3iv;k5j3i2u +−=++−=++= 
 
( ) 27
234
331
532
w,v,u =
−
−= 
 
Propriedades do produto misto 
 




 ===
=ו
coplanares forem vetores trêsos se
ou colineares forem deles dois se
ou 0wou 0vou 0u Se
 0wvu )1
rrrrrr
rrr
 
 
( ) 0
zyx
zyx
000
w,v,u 
:forma desta 0) 0, (0, são scomponente suas as nulo é u se a) 
333
222 ==
 
 
 
 kzjy ixu ou v u 
: temos,colineares são v e u se mas nulos, são v nem ,u nem se b) 
222 α+α+α=α=
 
 
( ) 0 
zyx
zyx
zyx
 w,v,u 
333
222
222
=
ααα
=
 
 
 
( )
( ) .coplanares são w e v , u que significa w,v,u de anulamento O 
nulo. é wvuescalar produto o ,ortogonais são wveu se c) ×⋅×
 
 
2) O produto misto independe da ordem circular dos vetores (propriedade cíclica): 
 
 ( ) ( ) ( )v,u,wu,w,vw,v,u == 
 
Entretanto o produto misto muda de sinal se trocam as posições de dois vetores 
consecutivos, isto é: ( ) ( )w,u,vw,v,u −= 
 
 
23 
 
Resulta desta propriedade que os sinais ×⋅ e permutam entre si: 
 ( ) ( ) wvuwvu ⋅×=×⋅ 
 ( ) ( ) ( )r,v,uw,v,urw,v,u)3 +=+ 
 ( ) ( ) ( )w,v,uw,v,u)w,v,u(w,v,u)4 α=α=α=α 
 
Obs: O produto vetorial e o produto misto não são definidos para 2ℜ 
 
Exemplo: Qual deve ser o valor de m para que os vetores abaixo sejam coplanares? 
zyzyxzyxma ˆ4ˆ2c ˆ3ˆˆb ˆˆ2ˆ +−=+−=−+= 
 
Solução: 
3 m 0 2 8 6m 4m 0
4 20
3 11
12 m
)c,b,a(
0)c,b,a( :tersedeve,coplanaressejamceb,aquePara
=⇒=+−+−⇒=
−
−
−
=
=−
 
 
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto 
 
Geometricamente, o produto misto ( )wvu ×⋅ é igual, em módulo, ao volume do 
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores ACwABvADu === e, 
O volume é dado por: ( ) ( )w,v,uwvuV =×⋅= 
 
Obs: Volume do tetraedro = 1/6 do volume do paralelepípedo. 
 
( ) ( )w,v,u
6
1
wxvu
6
1VT =⋅= 
 
Exemplo: Dados os vetores ),1,1,1()1,2,3(),0,5,( −=−== wevxu calcular o valor 
de x para que o volume do paralelepípedo determinado por wevu, seja 24 u.v. (unidades 
de volume). 
 
Solução: Como o volume do paralelepípedo é dado por: ( ) 24w,v,u = , então: 
 
( ) 20x24 
11 1
1 23
0 5 x
 w,v,u +⇒=
−
−= 
 
 
24 
 
44x 2420x 
4x2420x:assim
2420x volumedo equação Pela 
−=∴=−−
=∴=+
=+
 
 
1.15 – DUPLO PRODUTO VETORIAL 
 
Dados os vetores abaixo: 
 
kzjyixwekzjyixv;kzjyixu 333222111 ++=++=++= 
 
Chama-se duplo produto vetorial dos vetores wev,u (lê-se: uv vetorial vv vetorial wr ) 
ao vetor ).wv(u ×× 
 
Propriedades do duplo produto vetorial: 
 
1) O produto vetorial não é associativo, então: w)vu()wv(u ××≠×× 
 
2) O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com 
coeficientes escalares (regra do termo central): 
 
 ( ) ( )wvuvwu)wv(u ⋅−⋅=××
 
Esta fórmula pode ser escrita sob a forma de determinante: 
wuvu
wv )wv(u
⋅⋅
=××
 
 
Exemplo: Dados os vetores k4j3iweji2v,k6j2i3u ++=−=−−= determine 
).wv(u ×× 
 
Solução: 
 
27463213wu e 806)1(223vu −=⋅−⋅−⋅=⋅=⋅−−⋅−⋅=⋅
 
 
278
wv
wuvu
wv )wv(u:Assim
−
=
⋅⋅
=××
 
 
k32j3i62k32j24i8j27i54)wv(u
)k4j3i(8)ji2(27w8v27)wv(u
−+−=−−−+−=××
++−−−=−−=××
rrr 
 
25 
 
CAPÍTULO 2 
ESTUDO DAS RETAS 
 
2.1 – EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
 
 Seja r uma reta que passa pelo ponto A e que tem a direção do vetor não nulo vr . Para que 
o ponto P pertença à reta é necessário que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde o vetor vr é chamado de vetor diretor da reta, e, t é o parâmetro. 
 
2.2 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
 
 Substituindo as coordenadas do vetor k)zz(j)yy(i)xx(AB 111
rrr
−+−+−= na equação 
vetorial da reta temos: 
 
)kcjbia(tk)zz(j)yy(i)xx( 111
rrrrrr
++⋅=−+−+− 
 Daí vem: 





⋅+=
⋅+=
⋅+=
ctzz
btyyatxx
1
1
1
 
→
 Equações paramétricas da reta r 
 
Reta definida por dois pontos 
 
 A reta definida pelos pontos )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 é a reta que passa pelo A (ou B) 
e que tem a direção do vetor AB , ou seja, é a reta definida pela equação vetorial AB tAP ⋅= 
 
 
)z,y,x(A 111
 
( )z,y,xP
 
kcjbiaV rrrr ++=
 
a 
b 
c 
X 
Y 
Z 
V tAP
r
⋅= � Equação paramétrica vetorial da reta 
 
26 
 
Daí: 
( )
( )
( )



−⋅+=
−⋅+=
−⋅+=
121
121
121
zztzz
yytyy
xxtxx
r
 
 
 
 
 
2.3 – EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA 
 
 Das equações paramétricas temos: 
c
zz
t
b
yy
t
a
xx
t
1
1
1
−
=
−
=
−
=
 
 Então: 
 


 −
=
−
=
−
c
zz
b
yy
a
xx
 r 111 � Equações simétricas � 



−
−
=
−
−
=
−
−
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
r
 
 
2.4 – EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
 
Das equações simétricas, 
 


 −
=
−
b
yy
a
xx
 
11
 
)xx(
a
byy 11 −=− 
11 yx
a
b
x
a
by +−= 
Fazendo: 
a
b
m = 
 11 yx
a
b
n +−= 
Tem-se: nmxy += 
 


 −
=
−
c
zz
a
xx
r 11 
)xx(
a
c
zz 11 −=− 
11 zx
a
c
x
a
c
z +−= 
Fazendo: 
a
cp = 
 11 zx
a
cq +−= 
Tem-se: qpxz += 
 



+=
+=
qpxz
nmxy
 r � Equações reduzidas da reta r em função de X 
 
 
 
 
)z,y,x(A 111
( )z,y,xP
 ( )222 z,y,xB
 
 
27 
 
Casos particulares: 
 
 
 
a) Reta paralela ao plano coordenado YZ. 
 
 
V tAP
r
⋅= � Equação paramétrica vetorial 
 





⋅+=
⋅+=
=
ctzz
btyy
xx
 r
1
1
1
 � Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11 xx ,
c
zz
b
yy
 r � Equações simétricas 
 



+=
=
nmyz
xx
 r
1
 � Equações reduzidas 
 
 
 
 
b) Reta paralela ao plano coordenado XZ. 
 
 
V tAP
r
⋅= � Equação paramétrica vetorial 
 





⋅+=
=
⋅+=
ctzz
yy
atxx
 r
1
1
1
 � Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11 yy ,
c
zz
a
xx
 r � Equações simétricas 
 



+=
=
nmxz
yy
 r
1
 � Equações reduzidas em função de X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )ZYXP ,,
 
zcybV ˆˆ +=
r
 
b 
c 
X 
Y 
Z 
( )111 ,, ZYXA
 
1XX =
 X1 
( )ZYXP ,, 
zˆcxˆaV +=
r
X 
Y 
Z 
( )111 ,, ZYXA 
Y1 
1YY =
 
a 
c 
 
28 
 
 
c) Reta paralela ao plano coordenado XY 
 
 
V AP
r
α= � Equação paramétrica vetorial 
 





=
⋅+=
⋅+=
1
1
1
zz
btyy
atxx
 r
 � Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11 zz ,
b
yy
a
xx
 r � Equações simétricas 
 



+=
=
nmxy
zz
 r
1
 � Equações reduzidas em função de X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )Z,Y,XP
yˆbxˆaV +=
r
X 
Y 
Z 
( )111 Z,Y,XA
 
Z1 
1ZZ =
a 
b 
xˆV =
r
 
X 
Y 
Z 
Z1 
Y1 
1ZZ =
 
1YY =
d) Reta paralela ao eixo coordenado OX 
 
 



=
=
1
1
zz
yy
 r
 
e) Reta paralela ao eixo coordenado OY 
 
 



=
=
1
1
zz
xx
 r
 
yˆV =
r
 
X 
Y 
Z 
Z1 
X1 
1ZZ =
 
1XX =
 
yˆV =
r
 
X 
Y 
Z 
X1 1
YY =
1XX =
Y1 
zˆV =
r
 
f) Reta paralela ao eixo coordenado OZ 
 
 



=
=
1
1
yy
xx
 r
 
 
29 
 
2.5 – ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 
 
 Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A1 e tem a direção de um vetor 1v
r
, e r2, que passa 
pelo ponto A2 e tem a direção de um vetor 2v
r
, chama-se ângulo entre duas retas r1 e r2 o 
menor ângulo entre os vetores 1v
r
 e 2v
r
. 
 
21
21
v v
vv
cos rr
rr
•
=θ , com º900 ≤θ≤ 
 
2.6 – CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS 
 
 Duas retas r1 e r2 são paralelas quando 21 vmv
rr
= . 
 
2.7 – CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS 
 
 Duas retas r1 e r2 são ortogonais quando 0vv 21 =•
rr
. 
 
2.8 – CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS 
 
A reta r1, que passa por um ponto A1 e tem a direção de um vetor 1v
r
, e a reta r2, que passa 
por um ponto A2 e tem a direção de um vetor 2v
r
, são coplanares se os vetores 1v
r
, 2v
r
 e 
21AA forem coplanares, ou seja, 
 
0AAvv 2121 =ו
rr
 
 
 
 
30 
 
CAPÍTULO 3 
ESTUDO DOS PLANOS 
 
3.1 – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 
 Seja ( )111 z,y,xA um ponto pertencente a um plano pi e kcjbian rrrr ++= um vetor, não 
nulo, normal (ortogonal) ao plano. Para que o ponto P pertença ao plano é necessário que: 
 
0APn =•r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo k)zz(j)yy(i)xx(AP 111
rrr
−+−+−= e kcjbian rrrr ++= , 
 ( ) ( ) 0kcjbiak)zz(j)yy(i)xx( 111 =++•−+−+− rrrrrr 
0)zz(c)yy(b)xx(a 111 =−+−+− 
 
 
 
 
 
Observe que os coeficientes a, b e c da equação cartesiana representam as coordenadas do 
vetor normal ao plano. O coeficiente d é o que diferencia um plano dos outros planos 
paralelos a pi . 
 
3.2 – DETERMINAÇÃO DE UM PLANO 
 
1) Plano que passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 1v
r
 e 2v
r
 não colineares. 
Neste caso: 21 vvn
rrr
×= 
 
 
 
 
 
 
 
 
kcjbian rrrr ++=
 
a 
b 
c 
X 
Y 
Z 
•
 
n
r
 
A P 
0dczbyax =+++
 
→
 Equação cartesiana do plano 
n
r
 
1v
r
 
2v
r
 A 
 
31 
 
2) Plano que passa por três pontos A, B e C não colineares. 
Neste caso: ACABn ×=r 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
 
Seja )z,y,x(A ooo um ponto do plano pi e kcjbiau 111
rrrrrr
++= e kcjbiav 222
rrrrrr
++= dois 
vetores não colineares. O ponto P pertence ao plano pi se, 
 
vtuhAP rr += → Equação paramétrica vetorial do plano 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo as coordenadas dos vetores k)zz(j)yy(i)xx(AP 000
rrr
−+−+−= , u
r
 e v
r
 na 
equação vetorial do plano temos: 
 
)kcjbia(t)kcjbia(hk)zz(j)yy(i)xx( 222111ooo
rrrrrrrrrrr
+++++=−+−+−
 
 
 Daí vem: 





++=
++=
++=
21o
21o
21o
c tc hzz
b tb hyy
a ta hxx
 
→
 Equações paramétricas do plano 
 
3.4 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO PLANO 
 
 Seja o plano pi de equação 0dczbyax =+++ , 
 
 1) Se 0zy == e mx = → 0dam =+ → 
a
d
m −= 
 O ponto )0,0,m(A1 é a interseção do plano pi com o eixo dos x; 
 2) Se 0zx == e ny = → 0dbn =+ → 
b
d
n −= 
 O ponto )0,n,0(A2 é a interseção do plano pi com o eixo dos y; 
 3) Se 0yx == e pz = → 0dcp =+ → 
c
dp −= 
 O ponto )p,0,0(A3 é a interseção do plano pi com o eixo dos z; 
n
r
 
A 
B 
C 
A 
P u
r
 
uhr
 
v
r
 
vt
r
 
pi
 
 
32 
 
Da equação cartesiana, 
 
dczbyax −=++ ⇒ 1
d
cz
d
by
d
ax
=
−
+
−
+
−
 1
c
d
z
b
d
y
a
d
x
=
−
+
−
+
−3.5 – CASOS PARTICULARES: 
 
 
 
a) Plano paralelo ao eixo coordenado OX. 
 
Fazendo ∞→m na equação segmentária, 
 
 1
p
z
n
yx
∴=++
∞
1
p
z
n
y
=+ 
 
Assim, na equação cartesiana 0A = , 
 
 0czby =+ 
 
b) Plano paralelo ao plano coordenado XZ. 
 
 
 





⋅+=
=
⋅+=
ctzz
yy
atxx
 r
1
1
1
 � Equações paramétricas 
 



=
−
=
−
1
11 x x,
c
zz
a
xx
 r � Equações simétricas 
 
 
Y 
X 
Z 
Y1 
1
p
z
n
y
m
x
=++
 
X 
Y 
Z 
2A
 
∞
 
3A
 
Equação segmentária do plano 
 
)0,0,m(A1 
y 
z 
)0,n,0(A2 
)p,0,0(A3
 
m 
n 
p 
x 
 
33 
 
x 
y 
x 
y P(x,y) 
y 
x 
P(x,y,z) 
z 
x 
y 
z 
CAPÍTULO 4 
COORDENADAS CURVILÍNIAS 
 
4.1 – DEFINIÇÃO 
 
Sistema de coordenadas é um sistema de referênciamento que permite a localização de 
um ponto qualquer do espaço. Para especificar a posição de cada ponto neste espaço é 
necessário definir uma origem e uma orientação. 
 As coordenadas cartesianas são as mais utilizadas, porém, outros sistemas de igual 
importância são os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. 
 
4.2 – SISTEMA DE COORDENADAS RETANGULARES 
 
 É o sistema de coordenadas, já estudado, composto pelos eixos coordenados x, y e z. 
 
a) no espaço bidimensional (plano): 
 
 
 
 
 
 
 
b) no espaço tridimensional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 – SISTEMA DE COORDENADAS POLARES 
 
 O sistema de coordenadas polares marca a posição de um ponto em um plano. Além disso, 
certas curvas têm equações mais simples quando esse sistema é usado. Nas coordenadas 
polares as três cônicas estudadas: parábola, elipse e hipérbole, têm uma equação. 
 No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e ordenada que 
são as medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema de coordenadas 
polares, as coordenadas consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo 
relativo a um ponto fixo e a um eixo fixo. O ponto fixo é chamado de pólo (ou origem), sendo 
designado pela letra O. O eixo fixo é chamado de eixo polar (ou reta polar) e será designado 
por OA ou eixo de 0o. O eixo OA é, normalmente colocado na horizontal, orientado para a 
direita e se estende indefinidamente. 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja P um ponto qualquer do plano, distinto de O. Seja θ a medida do ângulo AOP, 
positiva quando considerada no sentido anti-horário e negativa quando no sentido horário, 
tendo como lado inicial OA e como lado final OP. Então, se r for a distância não orientada de 
O a P (isto é , OPr = ), o conjunto de coordenadas polares de P será dado por r e θ, e 
escrevemos essas coordenadas como (r, θ). 
 
Exemplo 1: Represente graficamente cada um dos seguintes pontos em coordenadas polares: 
 
a) ( )o45,2 b) ( )o90,5 c) ( )o120,1 d) ( )o210,3 e) ( )o60,4 − f) 





−
o180,
2
5
 
 
Solução: 
 
a) b) e) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Um dado ponto tem um número ilimitado de conjuntos de coordenadas polares. 
Basta lembrarmos da trigonometria e veremos que o ponto ( )o30,5P é o mesmo que o ponto 
( )o390,5P , ( )o330,5P − , ( )o210,5P − ou ( )o150,5P −− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Se 0=r e θ é qualquer número real, temos a origem, que é designada por (0, θ). 
 
O 
( )o90,5P 
o90 ( )o60,4P − 
o60− 
O 
O 
θ 
A 
P(r, θ) 
0o 
-330o 



<θ
>
0
0r
 
( )o330,5P − 
0o 
30o 



>θ
<
0
0r
 
( )o30,5P 
0o 
210o 



>θ
<
0
0r
 
( )o210,5P − 
0o 
-150o 



<θ
<
0
0r
 
( )o150,5P −− 
O 0
o 
)45,2(P o 
o45 
 
35 
 
Relações de transformação entre os sistemas de coordenadas polares e retangulares 
 
 Frequentemente, queremos nos referir às coordenadas de um ponto nos dois sistemas de 
coordenadas: cartesianas retangulares e polares. Para fazer isso, tomamos a origem do 
primeiro sistema coincidindo com a origem do segundo, o eixo polar como o eixo ox e o eixo 
de o90=θ como o eixo oy. Das projeções de vetores e das identidades trigonométricas 
podemos escrever as seguintes equações que nos permitem converter coordenada retangular 
em polar e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polar → retangular: senry ; cosrx θ⋅=θ⋅= 
Retangular → polar: 
x
y
tg ; yxr 22 =θ+±=
 
 
 
Exemplo 4: Dado o ponto cujas coordenadas polares são ( )o315,6P − . Encontre suas 
coordenadas cartesianas retangulares. 
 
23x
2
26x
315cos6x
cosrx
o
−=
⋅−=
−=
θ=
 
23y
2
26y
315sen6y
senry
o
=








−−=
−=
θ=
 
( )23,23P − 
 
 O gráfico de uma equação em coordenadas polares r e θ consiste em todos aqueles pontos 
P que têm pelo menos um par de coordenadas que satisfaçam a equação. Se a equação de um 
gráfico for dada em coordenadas polares, ela será chamada de equação polar. 
 
Exemplo 5: Dado que a equação polar de um gráfico é θ= 2sen4r2 ache a equação 
cartesiana. 
 
Solução: Como θθ=θ cossen22sen substituindo as equações dadas para transformações, 












=θ
r
x
r
y22sen . Substituindo ainda, 222 yxr += obtemos: 
xy8)yx( 
yx
xy8yx
r
xy8yx 
r
x
r
y24yx
222
22
22
2
2222
=+⇒
+
=+
=+⇒











⋅=+
 
 
x 
y 
x 
y 
P(x,y) 
),r(P θ
 
r 
θ
 
 
36 
 
0º 
z 
P(r, θ, z) 
r θ 
z 
Exemplo 6: Ache (r, θ) se r > 0 e 0o < θ < 360o para o ponto cuja representação cartesiana é 
( )1,3 −− . 
 
 
Solução: Verificamos no gráfico o ponto ( )1,3 −− 
 
Como r > 0, temos 21322 =+=+= yxr 
 
Como 
3
1
3
1
=
−
−
==
x
y
tg θ 
 
Considerando que 180o < θ < 270o o210=θ⇒ portanto o ponto é )210,2( o 
 
 
Exemplo 7: Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é 0422 =−+ xyx 
 
Solução: substituindo θθ senryerx ⋅=⋅= cos na equação dada temos: 
 
0cos4rou 0r:assim ,0)cos4r(r0cosr4r logo
0cosr4)cossen(r0cosr4senrcosr
2
2222222
=θ−==θ−∴=θ−
=θ⋅−θ+θ⇒=θ⋅−θ⋅+θ⋅
 
 
 O gráfico de 0r = é a origem, contudo, ele é um ponto do gráfico de 0cos4r =θ− , 
pois, 0r = quando o90=θ . 
 
 Logo, a equação polar do gráfico é θ= cos4r . 
 
4.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS CILÍNDRICAS 
 
A representação das coordenadas cilíndricas de um ponto P é (r, θ, z), onde r e θ são as 
coordenadas polares da projeção de P em um plano polar e z é a distância orientada desse 
plano polar até P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
3−
 
-1 
r 
 
37 
 
Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes equações onde c é uma 
constante: 
 
 a) r = c b) θ = c c) z = c 
 
Solução: 
 
a) Para um ponto P (r, θ, z) do gráfico de r = c, θ e z podem assumir quais quer valores e 
r é uma constante. O gráfico é um cilindro circular reto, tendo c como raio e z como 
seu eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Para todos os pontos P (r, θ, z) do gráfico de θ = c, r e z podem assumir qualquer 
valor, enquanto que θ permanece constante. O gráfico é um plano que passa pelo eixo 
z.c) O gráfico de z = c é um plano paralelo ao plano polar e a uma distância orientada de c 
unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O nome coordenadas cilíndricas vem do fato de que o gráfico de r = c é um cilindro 
circular reto, como foi mostrado no exemplo acima. Coordenadas cilíndricas são usadas em 
um problema físico quando há um eixo de simetria. 
x 
y 
z 
θ = c 
c
 
x 
y 
z 
cr = 
x 
y 
z 
z = c 
 
38 
 
Relações de transformação entre os sistemas de coordenadas cilíndricas e retangulares 
 
 Suponha que sejam colocados um sistema de coordenadas cartesianas e um sistema de 
coordenadas cilíndricas tais que o plano xy seja o plano polar e o lado positivo do eixo x seja 
o eixo polar. Então o ponto P tem por coordenadas P(x, y, z) e P(r, θ, z) , relacionadas pelas 
equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Ache uma equação em coordenadas cartesianas das seguintes superfícies, cujas 
equações estão expressas em coordenadas cilíndricas e identifique a superfície: 
 
a) r = 6 sen θ b) 0z6)sen2cos3(r =+θ+θ⋅ 
 
Solução: 
a) Multiplicando ambos os lados da equação por r, obtemos θ= senr 6r2 . Como 
y6yxentão,ysenreyxr 22222 =+=θ+= . Essa equação pode ainda ser 
escrita como ,9)3( 22 =−+ yx mostrando que o seu gráfico é um cilindro circular reto cuja 
secção transversal no plano xy é a circunferência com centro em (0, 3) e raio 3. 
 
b) Substituindo θcosr por x e θsenr por y, obtemos a equação 0623 =++ zyx . Assim, 
o gráfico é um plano passando pela origem e com (3, 2, 6) como vetor normal. 
 
Exemplo 3: Ache uma equação em coordenadas cilíndricas para cada uma das seguintes 
superfícies, cujas equações são dadas em coordenadas cartesianas (retangulares) e identifique 
a superfície: 
 
a) zyx 22 =+ b) zyx 22 =− 
 
y 
x 
z 
P (x, y, z) 
P (r, θ, z) 
x 
y 
z 
r 
θ 
Cilíndricas → retangulares: zzsenrycosrx =θ⋅=θ⋅= 
 
Retangulares → cilíndricas: zz0xse
x
y
tgyxr 222 =≠=θ+= 
 
 
39 
 
4.5 – SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS 
 
 Num sistema de coordenadas esféricas há um plano polar e um eixo perpendicular ao 
plano polar (eixo z ou o0=φ ), com a origem deste eixo na origem do plano polar. Um ponto é 
localizado por três números e a representação deste ponto P em coordenadas esféricas é 
( )φθρ ,,P , onde OP=ρ , θ é a medida do ângulo polar da projeção de P sobre o plano polar e 
φ é a medida do menor ângulo medido entre o lado positivo do eixo z e a semirreta OP . A 
origem tem como representação com coordenadas esféricas ),,,0( φθ onde φθ e podem ser 
qualquer valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes equações, onde c é uma 
constante: 
a) 0cec >=ρ b) c=θ c) o180c0ec <<=φ 
 
Solução: 
 
a) Todo ponto ( )φθρ ,,P do gráfico de c=ρ tem 
o mesmo valor de ρ , θ pode ser qualquer 
número, e o1800 ≤φ≤ . Segue que o gráfico é 
uma esfera de raio c e centro na origem. 
 
 
 
 
 
 
b) Para qualquer ponto ( )φθρ ,,P no gráfico de c=θ , 
ρ pode ser qualquer número não-negativo e φ 
qualquer número no intervalo fechado [ ]pi,0 , e θ é 
constante. O gráfico é um semiplano contendo o 
eixo z e é obtido girando o semiplano 0≥x do 
plano xz de um ângulo de c radianos ou graus em 
torno do eixo z. A figura mostra esboços dos 
semiplanos para ,41 pi=θ ,32 pi=θ pi=θ 34 e 
pi−=θ 61 . 
θ 
φ
o0=θ
º0=φ
ρ
 
( )φθρ ,,
z 
x 
y 0 
c 
c 
c 
 
40 
 
c) O gráfico de c=φ contém todos os pontos ( )φθρ ,,P para os quais ρ é qualquer 
número não-negativo, θ é qualquer número e φ é a constante c. O gráfico é um cone, 
tendo seu vértice na origem e o eixo z como eixo. A figura mostra esboços do cone para 
ooo 180c90e 90c0 <<<< , respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relações de transformação entre os sistemas de coordenadas esféricas e retangulares 
 
 
Como o gráfico de c=ρ é uma esfera, conforme foi 
visto no exemplo anterior, temos o nome “coordenadas 
esféricas”. Em problemas físicos, onde existe um ponto 
de simetria, as coordenadas esféricas são 
frequentemente utilizadas. Colocando juntos um 
sistema de coordenadas esféricas e um sistema de 
coordenadas cartesianas (retangulares), conforme 
mostra a figura, obtemos relações entre os dois tipos de 
coordenadas de um ponto P através das equações: 
 
φ⋅ρ=
θ⋅φ⋅ρ=θ⋅φ⋅ρ=
cosz
sensenycossenx
 
 
Elevando ao quadrado cada uma dessas relações anteriores, e somando temos: 
 
2222 zyx ρ=++ 
 
 
 
41 
 
Pela definição: 
 P`PFP = 
Como: 
 ( ) ( ) j2/pyi0xFP rr −+−= 
 
 ( ) ( ) j2/pyixxP`P rr ++−= 
CAPÍTULO 5 
CÔNICAS 
 
5.1 – PARÁBOLA 
 
 Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. 
 Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de F e d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P pertence a parábola se, e somente se: 
 
)P`,P(d)P,F(d = ou P`PFP = 
 
OBS: dF∉ , pois, caso contrário, a parábola se degeneraria numa reta. 
 
Elementos: 
 
 foco: é o ponto F 
 diretriz: é a reta d. 
 eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. 
 vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. 
 
Equação da parábola de vértice na origem do sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tem-se: 
 
 
222 )2/py()2/py(x +=−+ � py2x 2 = 
 Equação reduzida da parábola 
 
 
d 
y 
x 






2
p
,0F ( )y,xP 






−
2
p
,x'P 
( )0,0V 
2
p 
}
 
}
 
2
p
−
 
d 
P F 
V 
P` 
 
42 
 
( )y,xP 
'OV = 
x’ 
y’ 
y’ y 
y yv 
xv 
x 
x 
x’ 
 Como x2 é sempre positivo, os sinais de p e y são sempre iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da parábola de vértice fora da origem do sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do gráfico temos: 
 vx'xx += => vxx'x −= 
 vy'yy += => vyy'y −= 
 
 Equação da parábola no sistema S’ => 'py2'x 2 = 
 No sistema S: 
 
 )yy(p2)xx( v2v −=− => Equação padrão da parábola 
 
Equação explícita da parábola 
 
 Da equação padrão )yy(p2)xx( v2v −=− temos: 
 
 v
2
vv
2 py2py2xxx2x −=+− → v
2
vv
2 py2xxx2xpy2 ++−= 
 
cbxaxy 2 ++= → Equação explícita da parábola 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
0p
0y
>
>
 
x 
y 
0p
0y
<
<
 
 
43 
 
5.2 – ELIPSE 
 
 Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos 
fixos desse plano é constante. 
 Sejam F1 e F2 dois pontos distintos de um plano, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ao conjunto de todos os pontos P tais que, 
 a2)F,P(d)F,P(d 21 =+ ou a2PFPF 21 =+ 
com c2a2 > , dá-se o nome de elipse. 
 
Elementos: 
 
 focos: são os pontos F1 e F2. 
 distância focal: é a distância 2c entre os focos. 
 centro: é o ponto médio C do segmento 21FF . 
 eixo maior: é o segmento 21AA de comprimento 2a. 
 eixo menor: é o segmento 21BB de comprimento 2b. 
 vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2. 
 Excentricidade: é o número e dado por 
a
c
e = . 
 Como ac < , tem-se que: 1e0 << . 
 
OBS: Em toda elipse vale a relação 222 cba += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a 
2b 
2c 
C
 
F1 F2 
B1 
B2 
A2 A1 
P
 
B1 
B2 
A1 
C
 
F1 F2 
A2 
a
 b
 
c
 
 
44 
 
Equação de elipse com vértice na origem do sistema:Da definição: 
a2PFPF 21 =+ 
 Como: 
 j)0y(i)cx(PF1
rr
−++= 
 j)0y(i)cx(PF2
rr
−+−= 
 Tem-se: 
 a2y)cx()y()cx( 2222 =+−+++ 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ → Equação reduzida de elipse 
 
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do gráfico temos: 
 cx'xx += => cxx'x −= 
 cy'yy += => cyy'y −= 
 Equação da elipse no sistema S’ => 1
b
'y
a
'x
2
2
2
2
=+ 
 No sistema S: 
 
 
( ) ( ) 1
b
yy
a
xx
2
2
c
2
2
c
=
−
+
−
 => Equação padrão da elipse 
 
 
C
 
F1(-c,0) 
 
B1 
B2 
A2 A1 
P(x,y)
 
F2(c,0) 
 
x
 
y
 
b 
a 
C = O’
 F1 
 
P(x,y)
 
F2 
 
x'
 
y'
 
xc 
 
x 
x' 
x
 
y
 
yc 
y
 
y'
 
 
45 
 
5.3 – HIPÉRBOLE 
 
 É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor 
absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja um número a tal que 2a < 2c. Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: 
( ) ( ) a2F,PdF,Pd 21 =− ou a2 PFPF 21 =− 
dá-se o nome de hipérbole. 
 
Elementos: 
 
 focos: são os pontos F1 e F2. 
 distância focal: é a distância 2c entre os focos. 
 centro: é o ponto médio C do segmento 21FF . 
 vértices: são os pontos V1 e V2. 
 eixo real: é o segmento 21AA de comprimento 2a. 
 eixo imaginário: é o segmento 21BB de comprimento 2b. 
 assíntotas: são retas r e s das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que 
os pontos de afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma 
que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. 
 excentricidade: é o número 
a
c
e = . Como c > a, e > 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
F1 F2 V1 V2 
2a 
2c 
Da figura, 
 
222 bac += 
F1 F2 V1 V2 
2a 
2c 
C 
r 
s 
2b 
a 
b c 
 
46 
 
Equação da hipérbole com centro na origem do sistema: 
 
 Da definição: 
 a2 PFPF 21 =− 
 Como: 
 j)0y(i)cx(PF1
rr
−++= 
 j)0y(i)cx(PF2
rr
−+−= 
 
 Tem-se: 
 a2y)cx()y()cx( 2222 ±=+−−++ 
 
 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− → Equação reduzida de hipérbole 
 
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do gráfico temos: 
 cx'xx += => cxx'x −= 
 cy'yy += => cyy'y −= 
 Equação da hipérbole no sistema S’ => 1
b
'y
a
'x
2
2
2
2
=− 
 No sistema S: 
 
 
( ) ( ) 1
b
yy
a
xx
2
2
c
2
2
c
=
−
−
−
 => Equação padrão da hipérbole 
 
 
F1(-c,0) F2(c,0) V1 V2 
a 
C 
c 
x 
y 
P(x,y) 
F1 F2 
V1 V2 
C = O` 
P(x,y) 
x'
 
y'
 
xc 
 
x 
x' 
x
 
y
 
yc 
y
 
y'
 
 
47 
 
CAPÍTULO 6 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
6.1 - INTRODUÇÃO: 
 
 A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z : 
0qpznymxfyz2exz2dxy2czbyax 222 =+++++++++
 
 Onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e, ou f é diferente de zero, representa uma 
superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. 
 Se a superfície quádrica dada pela equação acima for cortada pelos planos coordenados ou 
por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica denominada de Traço. 
 
6.2 - SUPERFÍCIES QUÁDRICAS CENTRADAS 
 
 Através de mudanças de coordenadas por rotação e/ou translação, a equação geral, dada 
anteriormente, pode ser transformada em uma das formas: 
1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=±±±
 
 Denominadas, formas canônicas ou padrão de uma superfície quádrica centrada. As 
possíveis combinações de sinais nesta equação permitem concluir a existência de apenas três 
tipos de superfícies, conforme sejam três, dois ou um o número de coeficientes positivos dos 
termos do 1º membro da equação. Se os referidos coeficientes forem todos negativos, não 
existe lugar geométrico. 
 
6.2.1 – ELIPSÓIDE 
 
 O elipsóide é a superfície representada pela equação: 
1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=++
 
em que todos os coeficientes são positivos. E ainda, a, b e c são reais positivos e representam 
as medidas dos semieixos do elipsóide. Observamos ainda que os pontos 
( ) ( ) ( )c,0,0,0,b,0,0,0,a ±±± são soluções da equação na forma canônica do elipsóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
x 
y 
a 
b 
c 
 
48 
 
x
 
a 
z
 
- a C
 
c 
- c 
C
 
a - a 
x
 
y
 
b 
- b 
C
 
y
 b 
z
 
- b 
c 
- c 
O traço no plano xOy é a elipse: 0z ,1
b
y
a
x
2
2
2
2
==+
 
 
 
 
 
 
O traço no plano xOz é a elipse: 0y ,1
c
z
a
x
2
2
2
2
==+
 
 
 
 
 
 
 
 
O traço no plano yOz é a elipse: 0x,1
c
z
b
y
2
2
2
2
==+
 
 
 
 
 
 
 
 Se pelo menos dois dos valores de a, b e c são iguais, o elipsóide é de revolução. 
Podemos verificar que as interseções do elipsóide com planos x = k, y = k ou z = k (k = 
constante), resultam numa elipse, num ponto ou no conjunto vazio. 
 No caso de a = b = c, a equação do elipsóide fica: 2222
2
2
2
2
2
2
azyxou1
a
z
a
y
a
x
=++=++ 
e representa uma superfície esférica de centro (0, 0, 0) e raio a. 
 
 Se o centro do elipsóide é o ponto (x0, y0, z0) e seus eixos forem paralelos aos eixos 
coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de eixos coordenados, 
assume a forma: 
 
1
c
)zz(
b
)yy(
a
)xx(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
+
−
 
 
 Da mesma forma, a superfície esférica de centro (x0, y0, z0) e raio a, tem equação: 
 
22
0
2
0
2
0 a)zz()yy()xx( =−+−+− 
 
 
 
 
 
 
49 
 
6.2.2 - HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA 
 
 Se na equação 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=±±±
 dois coeficientes dos termos do 1º membro são 
positivos e um é negativo, a equação representa um hiperbolóide de uma folha. As equações 
abaixo representam uma forma canônica do hiperbolóide de uma folha, 
 
ao longo do eixo Ox � 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=++−
 
 
ao longo do eixo Oy � 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=+−
 
 
ao longo do eixo Oz � 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=−+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Se na equação 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=−+ tivermos ba = , o hiperbolóide é de revolução, gerado 
pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário, no caso, o eixo Oz. O traço 
no plano xOy é a circunferência 0z ,1
a
y
a
x
2
2
2
2
==+ ou 0z,ayx 222 ==+ 
 
 Se o centro do hiperbolóide de uma folha é o ponto (x0, y0, z0) e seus eixos forem 
paralelos aos eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de 
eixos coordenados, assume a forma: 
 
1
c
)zz(
b
)yy(
a
)xx(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
=
−
−
−
+
−
 
� O traço no plano xOy no hiperbolóide de 
uma folha, é uma elipse. 
0z,1
b
y
a
x
2
2
2
2
==+
 
 
� O traço no plano xOz no hiperbolóide de 
uma folha, é uma hipérbole. 
0y,1
c
z
a
x
2
2
2
2
==−
 
 
� O traço no plano yOz no hiperbolóide de 
uma folha, é uma hipérbole.0x,1
c
z
b
y
2
2
2
2
==−
 
 
 
50 
 
6.2.3 - HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS 
 
 Se na equação 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=±±±
 um coeficiente dos termos do 1º membro é positivo e 
dois são negativos, a equação representa um hiperbolóide de duas folhas. As equações a baixo 
são formas canônicas do hiperbolóide de duas folhas ao longo dos eixos: 
 
1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=−−
 � eixo Ox. 
 
1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=−+−
 � eixo Oy. 
 
 
1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=+−−
 � eixo Oz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: o plano xOz não intercepta a superfície, nem qualquer plano y = k, onde bk < . 
Se bk > , o traço no plano y = k é a elipse: 
 
yk,1
b
k
c
z
a
x
2
2
2
2
2
2
=−=+
 
 
 Os traços nos planos x = k e z = k são hipérboles. Se na equação 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=−+−
 
tivermos ca = , o hiperbolóide é de revolução, gerado pela rotação de uma hipérbole em 
torno de seu eixo real. O traço no plano y = k, bk > , é a circunferência: 
 
ky,1
a
z
b
k
a
x
2
2
2
2
2
2
==−+−
 
 
 Se o centro do hiperbolóide de duas folhas é o ponto (x0, y0, z0) e seus eixos forem 
paralelos aos eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de 
eixos coordenados, assume a forma: 
 
1
c
)zz(
b
)yy(
a
)xx(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
=
−
−
−
+
−
−
 
 
O traços nos planos xOy e yOz, no 
hiperbolóide de duas folhas são as 
hipérboles. 
 
0z,1
a
x
b
y
2
2
2
2
==−
 
 
0x,1
c
z
b
y
2
2
2
2
==−
 
 
51 
 
Resumo 
 As equações dos elipsóides e hiperbolóides podem ser reunidas em: 1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=±±± . 
 E conforme os sinais dos termos do 1º membro, apresentados nesta ordem, temos o 
seguinte quadro: 
 
FIGURA SINAIS AO LONGO DO EIXO 
Elipsóide + + + ---------------------- 
Hiperbolóide de uma folha - + + Ox 
Hiperbolóide de uma folha + - + Oy 
Hiperbolóide de uma folha + + - Oz 
Hiperbolóide de duas folhas + - - Ox 
Hiperbolóide de duas folhas - + - Oy 
Hiperbolóide de duas folhas - - + Oz 
 
6.3 – SUPERFÍCIES QUÁDRICAS NÃO CENTRADAS 
 
 Se nenhum dos coeficientes dos termos do 1º membro da equação abaixo for nulo, a 
forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica não centrada é: 
 
cz
b
y
a
x
2
2
2
2
=±± ; by
c
z
a
x
2
2
2
2
=±± ; ax
c
z
b
y
2
2
2
2
=±± 
 
 As possíveis combinações de sinais nestas equações permitem concluir a existência de 
dois tipos de superfícies, conforme os coeficientes dos termos de segundo grau tenham o 
mesmo sinal ou sinais contrários. 
 
6.3.1 – PARABOLÓIDE ELÍPTICO 
 
 Se os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais iguais, a equação representa 
um parabolóide elíptico. As equações a baixo são formas canônicas do parabolóide elíptico ao 
longo dos eixos: 
 
ax
c
z
b
y
2
2
2
2
=+ � eixo Ox. 
 
by
c
z
a
x
2
2
2
2
=+ � eixo Oy. 
 
 cz
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ � eixo Oz 
 
 Para um parabolóide elíptico ao longo do eixo Oz, o traço no plano xOy é a origem 
O(0,0,0) e os traços nos planos xOz e yOz são, respectivamente, as parábolas 
 
0y,cz
a
x
2
2
==
 e 0x,cz
b
y
2
2
==
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se 0c > a concavidade é para cima e, para 0c < a concavidade é para baixo. 
 Um traço no plano 0k ,kz >= , é uma elipse que aumenta de tamanho à medida que o 
plano se afasta do plano xOy. 
 Se tivermos ba = , o parabolóide é de revolução e pode ser gerado pela rotação da 
parábola 0 x,cz
b
y
2
2
== em torno do eixo dos z. O traço no plano kz = é uma 
circunferência. 
 
 Se o vértice do parabolóide elíptico é o ponto (x0, y0, z0) e seus eixos forem paralelos aos 
eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de eixos 
coordenados, assume a forma: 
 
( ) ( ) ( )o2
2
o
2
2
o zzc
b
yy
a
xx
−=
−
+
−
 
 
6.3.2 – PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO 
 
 Se na equação das superfícies não centradas, os coeficientes dos termos de segundo grau 
tiverem sinais contrários, a equação representa um parabolóide hiperbólico. 
 A equação cz
a
x
b
y
2
2
2
2
=− é uma forma canônica ou padrão da equação do parabolóide 
hiperbólico ao longo do eixo dos z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
O(0,0,0)