Produtos de vetores

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PRODUTOS DE VETORES 
 
 
 
Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga 
3.1 PRODUTO ESCALAR 
 Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) 
de dois vetores u=x1i + y1j+z1k e v= x2i + y2j+z2k, e 
se representa por u.v, ao número real 
 
 
 
 Este produto também é indicado por <u,v> 
 e lê-se “u escalar v” 
 Exemplo: Se , tem-se 
 u . v=x1x2 + y1y2+z1z2 
3 5 8 e 4 2u i j k v i j k     
. 3 4 ( 5) ( 2) 8 ( 1) 12 10 8 14u v             
3.2 MÓDULO DE UM VETOR 
 Módulo de um vetor v=(x,y,z), representado por |v|, é 
o número real não negativo 
 
 
 
 ou, em coordenadas, 
 ou 
 Exemplo: Se , então: 
 
 
.v v v
( , , ).( , , )v x y z x y z
2 2 2( )v x y z  
(2,1, 2)v  
2 2 2= 2 1 ( 2) 4 1 4 9 3v        
 Observações: 
a)Versor de um vetor 
 Se o versor do vetor v do exemplo dado for designado 
por u, tem-se: 
 
 
b)Distância entre dois pontos 
 A distância d entre os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) é 
assim definida: 
 e, portanto, 
 
 
v
u
v

2 2 2v x y z  
d AB B A  
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z     
3.3 PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 
 Para quaisquer que sejam os vetores u=(x1,y1,z1), v=(x2, y2,z2), 
w=(x2, y2,z2), e m∈ℝ, é fácil verificar que: 
 I) somente se 
 II) 
 III) 
 IV) 
 V) 
 
 
 
. 0u u  0 (0,0,0)u  
. .u v v u
 . . .u v w u v u w  
     . . .mu v m u v u mv 
2
.u u u
3.4 ÂNGULO DE DOIS VETORES 
 O produto escalar de dois vetores está relacionado com o 
ângulo por eles formados. Se u≠0 , v≠0 e se θ é o ângulo 
formado por eles, então: 
 
 
 
 Prova: 
 Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo 
 ABC, temos: 
 (1) 
 
. cosu v u v 
2 2 2
2 cosu v u v u v    
2 2 2 2 cosa b c bc    c 
a 
b 
 Por outro lado, de acordo com as propriedades II, III e V do 
produto escalar : 
 (2) 
 Comparando as igualdades (2) e (1): 
 
 logo: 
 
 
2 2 2
2 .u v u v u v   
2 2 2 2
2 . 2 cosu v u v u v u v     
. cosu v u v 
. .u v v u
 . . .u v w u v u w  
2
.u u u
 Observações: 
 
 
. 0u v 
0º 90º 
 agudo ou nulo
. 0u v 
90º 180º 
 obtuso ou raso
. 0u v 
90º 
 reto
cos 0  cos 0 cos 0 
3.4.1 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE 
DOIS VETORES 
 Da fórmula vem: 
 
 
 
 
 
 Dois vetores são ortogonais quando: 
 
 Exemplo: 
. cosu v u v 
.
cos
u v
u v
 
3.4.2 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE 
DE DOIS VETORES 
. 0u v 
3.5 ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS 
DIRETORES DE UM VETOR 
 Ângulos diretores de um vetor v=xi+yj+zk são os ângulos 
 α, β e γ que v forma com os vetores i, j e k, respectivamente. 
 Os cossenos diretores de seus ângulos 
 diretores são dados por: 
 
 
 
 
 
. ( , , ).(1,0,0)
cos
1
. ( , , ).(0,1,0)
cos
1
. ( , , ).(0,0,1)
cos
1
v i x y z x
v i v v
v j x y z y
v j v v
v k x y z z
v k v v



  
  
  
3.5.1 PROPRIEDADES 
 I) O versor u do vetor v=(x,y,z) 
 ou 
 
 
 
 II) Como o versor de v é um vetor unitário, tem-se: 
 mas: 
 logo: 
 
 e: 
 
( , , )
, ,
cos ,cos ,cos
v x y z x y z
u
v v v v v
u   
 
   
 
 

 
  2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos ,cos ,cos 1
cos ,cos ,cos cos cos cos
cos cos cos 1
cos cos cos 1
  
     
  
  

  
  
  
3.6 PRODUTO VETORIAL 
 Dados os vetores u=x1i+y1j+z1k e v=x2i+y2j+z2k , 
tomados nesta ordem chama-se produto vetorial dos 
vetores u e v, e se representa por u x v (ou ), ao vetor: 
 
 
 cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na 
forma de um determinante de 2º ordem: 
 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u v=(y z - z y )i-(x z ) (x y )z x j y x k   
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
y x
u v= i- j+
y x
i j k
u v= x y z
x y z
z x z y
k
z x z y


u v
 Lê-se: “u vetorial v” 
Exemplo: 
Cálculo do produto vetorial dos vetores 
v u
u v
u 5i+4j+3k e =i+k v
 é ortogonal simultaneamente aos vetores 
e seu sentido é dado pela regra da mão direita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u v  u v e
3.7 PROPRIEDADES DO PRODUTO 
VETORIAL 
I) , qualquer que seja o 
 
 
 
II) anticomutativa 
u u = 0 u
1 1 1
1 1 1
i j k
u u= x y z
x y z

u v = -v u 
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 1 1
i j k
u v= x y z
x y z
i j k
v u= -x -y -z
x y z

 
III) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u (v + w) = u v + u w  
3 3 3
2 3 2 3 2 3
1 1 1
2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3
w x z
v + w (x x ) ( ) ( )
i j k
u (v + w) = x y z
x x y y z z
i j k i j k
u v + u w = x y z x y z
x y z x y z
i y j k
i y y j z z k
  
     

  
  
IV) 
 
 
 
 
V) se, e somente se, um dos vetores é nulo ou 
 se eles forem colineares. 
 
 
 
 
 
VI) 
1 1 1
2 2 2
i j k
u v = m x y z
x y z
m 
     u v = m u v = u mvm   
u v = 0
2 2 2
i j k
u v = 0 0 0
x y z

2 2 2
2 2 2
2 2 2
u v 
u x i j k
i j k
u v = mx my mz
x y z
m
m my mz

  

 u v = u v sen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i j =
k 
j k =
i k =
i 
j 
Relações entre os vetores canônicos: 
3.8 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO 
MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL 
 Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores 
 e mede a área do paralelogramo ABCD determinado 
pelos vetores 
 
 
 
 
 
 
 Área = 
u v
 u AB e v AC 
u v
vh sen
uÁrea h
 u v = u v sen
u vÁrea sen
3.9 PRODUTO MISTO 
 Chama-se produto misto dos vetores , tomados 
nesta ordem, ao número real . Indica-se o 
produto misto por . 
 
 
 
 
 
 
, v wu e
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3
y x
v w i- j+
y x
i j k
z x z y
x y z k
z x z y
x y z
  
 , v, wu
  . v w u 
    1 1 1 1 1 11 1 1
2 2 2 2 2 2
y x
 . v w = , v, w =x +y +z
y x
z x z y
u u
z x z y
 
  
 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, v, w
x y z
u x y z
x y z

 Exemplo: 
 Calcular o produto misto dosvetores: 
 
 
 
 
 
 
2i +3j+5k, v i +3j+3k e w 4i -3j+2k.u    
 
2 3 5
, v, w 1 3 3
4 3 2
u  

       2 3 2 -1 3 5 3 3 4 5 3 4 1 3 2 3 3 2                      
+ 
 _ 
   12 15 36 60 6 18         
63 60 6 18   
27
3.10 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO 
 I) 
 a)se um dos vetores for nulo 
 
 
 
 b)se dois deles são colineares 
 
 
 
 c)se três são coplanares 
 ⊥ então produto 
 escalar é nulo. 
 , v, w 0u 
  2 2 2
3 3 3
0 0 0
, v, w 0u x y z
x y z
 
 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
, v, w 0
mx my mz
u x y z
x y z
 
v wu 
  . v w u 
 Se forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D 
pertencem a um mesmo plano, se os vetores são 
coplanares ou 
 
 
 
 II)O produto misto independe da ordem circula dos 
vetores: 
 
 Mas muda de sinal quando trocamos as 
 posições de dois vetores consecutivos: 
 
 Esta propriedade cíclica, se deve a propriedade dos 
determinantes referente à troca de duas linhas e 
circulação de linhas. 
 , AC, AD 0AB 
     , v, w , w, u , u, vu v w 
   , v, w , u, wu v 
 III) 
 IV) 
     , v, w , v, w , v, ru r u u  
       , v, mw , mv, w , v, w , v, wu u mu m u  
3.11 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO 
PRODUTO MISTO 
 Geometricamente, o produto misto é igual, em módulo, ao 
 volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos 
vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, v e wu AD AB AC  
b
 altura
A 
v w
 u cos
v w u cos
u v w cos
 v w
b
V área da base
V h
A
h
V
V
a



 
 
 

 
 
 
fazendo: 
 
 
 
 
comparando (1) com (2) 
 
 
 
   
u cos 1
 . u cos
 . u cos 2
 . . w = , , w
V a
u a a
u a a
V u a u v u v






  