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BC-0005 BASES COMPUTACIONAIS DA CIÊNCIA 
 
 
 
 
AULA 5 
 
BC-0005 
 
BASES COMPUTACIONAIS DA CIÊNCIA 
 
1º TRIMESTRE 2009 
 
BC-0005 BASES COMPUTACIONAIS DA CIÊNCIA 
SUMÁRIO 
 
1. POLINÔMIOS 
1.1 Definição 
1.2 Raízes de um Polinômio 
1.2.1 Método Analítico 
1.2.2 Método Gráfico 
1.2.3 Outras Raízes: Raízes Degeneradas e Raízes Complexas 
1.3 Polinômios Especiais: O Polinômio de Chebyshev 
 
2. APROXIMAÇÃO POR POLINÔMIOS 
2.1 Série de Taylor 
2.1.1 Definição 
2.1.2 Exemplos 
2.1.2.1 Série da Função Seno 
2.1.2.2 Série da Função Exponencial 
 
BC-0005 BASES COMPUTACIONAIS DA CIÊNCIA 
1. POLINÔMIOS 
1.1 Definição 
Definamos um polinômio como uma expressão matemática formada por uma soma de 
potências de uma ou mais variáveis multiplicada por um coeficiente, como a seguir: 
 01
2
2
1
1 ... axaxaxaxa
n
n
n
n +++++
−
−
 (1) 
No polinômio (1), x é a variável, os parâmetros na , 1−na ,..., 2a , 1a e 0a são os 
coeficientes do polinômio. A maior potência do polinômio é chamada ordem ou grau do 
polinômio, no caso, n se 0≠na . Por exemplo, na expressão 1243
34 +− xx , temos um 
polinômio de grau 4. 
De acordo com o grau ou a ordem do polinômio, podemos ter: 
n Polinômio Nome 
0 0a Constante 
1 01 axa + Linear 
2 01
2
2 axaxa ++ Quadrático 
3 01
2
2
3
3 axaxaxa +++ Cúbico 
... ... ... 
n 01
2
2
1
1 ... axaxaxaxa
n
n
n
n +++++
−
−
 Polinômio de grau n 
 
Uma função polinomial ou função polinômio f(x) é uma função constituída por um 
polinômio. 
 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxf nnnn +++++= −− (2) 
A função mostrada em (2) é um exemplo típico de uma função polinomial de grau ou 
ordem n. 
 
 
 
BC-0005 BASES COMPUTACIONAIS DA CIÊNCIA 
1.2 Raízes de um Polinômio 
As raízes de um polinômio como o dado em (1) são obtidas resolvendo a equação: 
 0... 01
2
2
1
1 =+++++
−
−
axaxaxaxa nn
n
n (3) 
O número de raízes da equação polinomial (3) é igual à ordem ou grau do polinômio n. 
Portanto, a equação (3) tem n raízes. 
Podem-se resolver as raízes de uma equação polinomial pelo método analítico, pelo 
método numérico (aproximações baseadas em métodos iterativos baseados em rotinas 
computacionais) ou pelo método gráfico. 
1.2.1 Método Analítico 
O método analítico fornece uma solução fechada para encontrar as raízes de uma 
equação polinomial. Infelizmente, apenas polinômios de até ordem 3 possuem soluções 
analíticas (fórmulas prontas) e alguns casos especiais de polinômios de quarta ordem. 
 
n Polinômio Solução 
1 01 axa + 101 / aax −= 
2 01
2
2 axaxa ++ 
a
acab
x
2
42
1
−+−
= 
a
acab
x
2
42
2
−−−
= 
3 01
2
2
3
3 axaxaxa +++ 
1x , 2x e 3x obtidos 
pelo método de 
Tartaglia-Cardano 
 
O método analítico que fornece a solução das raízes do polinômio quadrático ou de 
segundo grau é conhecido como fórmula de Bhaskara, equação (4) 
 
a
acab
x
2
42
2,1
−±−
= (4) 
O método de Tartaglia-Cardano é muito extenso e não será apresentado nesta nota, mas 
é uma ferramenta capaz de fornecer as 3 raízes do polinômio cúbico ou de terceiro grau. 
 
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1.2.2 Método Gráfico 
O método gráfico permite encontrar o lugar das raízes de polinômios, assim como de 
qualquer outra função cuja solução analítica seja inexistente ou de difícil solução. 
Vamos tomar como exemplo a equação de segundo grau ou quadrática, 
 022 =−+ xx (5) 
Sua solução analítica é x1 = 1 e x2 = -2. Também pode ser determinada pelo método 
gráfico, conforme mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
As raízes da equação (5) são facilmente obtidas analiticamente e não haveria a 
necessidade de se recorrer à solução gráfica. Entretanto, o mesmo não ocorre para todas 
as classes de funções. Considere, por exemplo, a função abaixo. 
 ))(tanh()( xesenxf = (6) 
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Essa função, uma tangente hiperbólica do seno da exponencial de x não tem solução 
analítica. Nesse caso, para investigar a posição das raízes, o método gráfico mostra-se 
muito simples e eficaz, como é mostrado na figura abaixo. 
 
Note que, apesar de a equação (6) não apresentar solução analítica, suas raízes, num 
determinado domínio, são facilmente determinadas pelo método gráfico. No caso, no 
domínio -6 < x < 6, as raízes são: 
 x1 ≅ 1.15 
 x2 ≅ 1.95 
 x3 ≅ 3.18 
 x4 ≅ 3.62 
 x5 ≅ 4.02 
 
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1.2.3 Outras Raízes: Raízes Degeneradas e Complexas 
Como já mencionado anteriormente, um polinômio de ordem n tem n raízes. Entretanto, 
podem ocorrer casos em que duas ou mais raízes sejam iguais. Nesse caso temos as 
chamadas raízes degeneradas. Por exemplo, considere a equação de segundo grau 
abaixo: 
 0122 =++ xx (7) 
A equação (7) é facilmente resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara. Suas duas raízes 
são: x1 = -1 e x2 = -1. Ambas as raízes são iguais, ou seja, são degeneradas. 
 
Em outros casos, pode ocorrer que um polinômio não apresente todas suas raízes reais. 
É o que acontece, por exemplo, com a equação abaixo: 
 042 =+x (8) 
Ao tentar resolver graficamente, vemos que a curva não intercepta o eixo das abscissas, 
ou seja, não possui raízes reais. 
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Nesse caso, utiliza-se a solução analítica: 
 1241414 −±=×−±=×−±=−±=x (9) 
A raiz par de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Define-se 
1− como sendo a unidade do número imaginário i. Apesar de a raiz de um número 
negativo parecer algo puramente matemático, o ramo dos números imaginários tem 
grande aplicação prática, como, por exemplo, para descrever fenômenos que ocorrem 
em momentos diferentes do tempo ou características oscilatórias. Assim, as raízes da 
equação (8), dadas em (9), podem ser reescritas como: 
 ix 2±= (10) 
Ou seja: 
 ix 21 −= (10a) 
 ix 22 = (10b) 
As raízes da equação (8) são números imaginários. Números imaginários juntamente 
com os números reais, formam os chamados números complexos. Assim, um número 
complexo z, pode ser escrito como: 
 biaz += (11) 
sendo a a parte real do número complexo e b, a parte imaginária. Em notação matemática, 
podemos escrever: 
 )Re(za = (12a) 
 )Im(zb = (12b) 
Atenção: a e b são números reais, mas bi é um número imaginário. 
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Graficamente, um número complexo pode ser representado como: 
 
 
sendo r o módulo do número complexo z e θ, o argumento. 
 
22 bazr +== (13a) 
 )/arctan( ab=θ (13b) 
 
1.3 Polinômios Especiais: O Polinômio de Chebyshev 
Os polinômios de Chebyshev formam uma classe de polinômios especiais que têm aplicações 
em várias áreas, como na Engenharia Elétrica, em projetos de filtros, e, na Engenharia 
Aeroespacial, em otimização de trajetórias. Aparecem como solução da equação diferencial de 
Chebyshev. 
Podem ser definidos como 
 
 
)()(2)(
...
)(
1)(
11
1
xTxxTxT
xxT
xT
nnn
o
−+ −=
=
=
 (14) 
 
Usando a lei de formação dos polinômios dada em (14), na ilustração abaixo são 
mostrados graficamente os polinômios de Chebyshev T1(x) até T8(x), para -1 < x < 1. 
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2. APROXIMAÇÃO POR POLINÔMIOS 
 
2.1 Série de Taylor 
2.1.1 Definição 
Série de Taylor é a expansão de uma função em uma soma infinita de termos calculados 
a partir de suas derivadas num dado ponto. A série de Taylor de uma função f(x) que 
tem derivadas em todas as ordens na vizinhança do ponto x = a, pode ser escrita como: 
...
!
)()(...
!3
)()(
!2
)()(
!1
)()()()(
)(
32 +−++
′′′
−+
′′
−+
′
−+=
k
af
ax
af
ax
af
ax
af
axafxf
k
k
(15a) 
Em uma notação mais compacta, a equação acima pode ser escrita como: 
 ∑
∞
=
−=
0
)(
!
)()()(
n
n
n
n
af
axxf (15b) 
Se o ponto a for igual a zero, a série de Taylor recebe o nome de série de MacLaurin, e, 
nesse caso as equações (15) podem ser reescritas na seguinte forma: 
...
!
)0(
...
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0()0()(
)(
32 +++
′′′
+
′′
+
′
+=
k
f
x
f
x
f
x
f
xfxf
k
k
 (16a) 
∑
∞
=
=
0
)(
!
)0()(
n
n
n
n
f
xxf (16b) 
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As séries de Taylor/MacLaurin têm inúmeras aplicações nos mais variados campos da 
ciência e tecnologia. Por exemplo, uma calculadora eletrônica ao calcular as funções 
trigonométricas seno, cosseno, tangente etc., utiliza a expansão dessas funções em série. 
 
2.1.2 Exemplos 
2.1.2.1 Série da Função Seno 
Vejamos a forma da função seno em série de Taylor. Então: 
 xxf sin)( = (17) 
Onde: 
 xxf cos)( =′ portanto 1)0( +=′f 
 xxf sin)( −=′′ portanto 0)0( =′′f 
 xxf cos)( −=′′′ portanto 1)0( −=′′′f 
 xxf iv sin)( = portanto 0)0( =ivf 
 xxf v cos)( = portanto 1)0( =vf 
E assim sucessivamente. Portanto: 
 ...)!12()1...(!5!3sin
12
1
53
−
−−+−=
−
−
n
xxx
xx
n
n
 (18) 
E daí é que vem a aproximação xx ≅sin para valores pequenos de x. Importante: os 
valores de x quando utilizados como ângulos devem ser utilizados em radianos, nunca 
em graus. 
Vejamos agora para que valores de x a série converge. Consideremos que un seja a n-
ésima parcela da sequência (18). Então, vamos avaliar a razão entre un e a parcela 
seguinte un+1. 
 ∞→
+
=
−
−
+
=
−
−
+
212
12
1
)12(2
)!12(
)!12(
x
nn
x
x
n
n
u
u
n
n
n
n
 para ∞→n 
Portanto, a série converge para todos os valores de x. 
 
 
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2.1.2.2 Série da Função Exponencial 
Para finalizar, vejamos a forma da função exponencial em série de Taylor. Então: 
 
xexf =)( (19) 
sendo: 
 
xexf =′ )( portanto 1)0( +=′f 
 
xexf =′′ )( portanto 1)0( +=′′f 
 
xexf =′′′ )( portanto 1)0( +=′′′f 
 
xiv exf =)( portanto 1)0( +=ivf 
Usando a equação (16a), temos: 
 ...
!
...
!3!2
1
32
++++++=
n
xxx
xe
n
x
 (20) 
O gráfico abaixo mostra o plot de xe além da expansão em série de Taylor com até 2 
termos ( x+1 ); com até 3 termos (
!2
1
2x
x ++ ); com até 4 termos (
!3!2
1
32 xx
x +++ ) e com 
até 5 termos (
!4!3!2
1
432 xxx
x ++++ ). 
 
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Note que, para a aproximação mais pobre (com 2 termos), à medida que o valor de x 
aumenta, a curva se afasta da função original. À medida que vamos adicionando mais 
termos, a curva se aproxima cada vez mais da função original. No limite, onde temos 
infinitos termos, a curva tende para a função original.