Equação diferencial

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA - UEPB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E SOCIAIS APLICADAS – CAMPUS - VII
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA- NOTURNO
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMATICA II
DOCENTE: ROZANA BANDEIRA DA SILVA
MARIA EDUARDA DA CRUZ JUSTINO
Equações polinomiais
PATOS-PB
2016.1
INTRODUÇÃO
	Neste trabalho, estudaremos alguns métodos algébricos usados para resolver equações polinomiais. Iniciaremos falando sobre polinômios, apresentando a teoria de polinômios e algumas técnicas utilizadas em equações polinomiais. Resolver a equação consiste em encontrar quais são os elementos x que tornam a equação verdadeira. Estes elementos são chamados soluções ou raízes da equação polinomial.
1. DEFINIÇÕES
1.1 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
	Sejam f (x) e g(x), polinômios. Chama-se equação polinomial a sentença aberta definida pela igualdade: f (x) = g(x). Uma sequência em x aberta pode ser falsa ou verdadeira dependendo do valor de x. 
Exemplo de Equação Polinomial:
Sejam f (x) = - x - 1 e g(x) = 3 - 3 e a equação - x - 1 = 3 - 3
Para x=0, temos:- 0 - 1 = 3 – 3 (FALSA) 
Para x=1, temos: - 1 - 1 = 3 – 3 (VERDADEIRA)
1.1 RAIZ DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL
Denomina-se raiz ou zero da equação algébrica
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
O valor que substituido no lugar de x satisfaz a igualdade, ou seja, o valor de tal que 
an n + an-1 n-1 + ... + a1 + a0 = 0
Exemplo: A equação admite x=2 como raiz, pois 
1.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (TFA)
	Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa. 
	Aceitaremos o resultado desse teorema, sem demonstrá-lo.
1.3 O TEOREMA D’ALEMBERT
“O resto da divisão de um polinômio p(x) por x - a é igual a p(a)”
Demonstração:
A divisão de P(x) por (x - a), resulta em um quociente Q(x) e o resto r
Temos: P(x) = Q(x)(x - a) + r , para x = a Þ P(a) = r .
1.4 O TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO.
Todo polinômio de grau n(n  1) pode ser decomposto em n fatores do 1º grau,
a menos de ordem ,essa decomposição será única.
Demonstração:
	Seja P, um polinômio de 1º grau, de acordo com o TFA, teremos pelo
menos uma raiz , chamemos essa raiz de r1 , pela definição de raiz, P(r1) = 0
	Segundo o teorema D’alembert , P é divisível por x - r1, pois o resto, P(r1) = 0
significando que existe o polinômio Q1, tal que P = Q1(x - r1),mas, sendo P do primeiro grau, Q1 = anx1-1 = an P = an (x - r1)
	Resulta em P (x r1)(x r2)Q2 mas para n = 2, Q2 tem grau n - 2= 2 - 2 = 0,
O que resulta em P = an (x- r1)( x- r2), aplicando–se sucessivamente o TFA
podemos chegar a igualdade:
P = Qn (x- r1)( x- r2)...(x- rn) mas Qn, tem grau n - n = 0 logo ,Qn = an 
e P = an (- r1)( x- r2)( x- r3)...(x- rn)
	Com os procedimentos acima, provamos a existência da decomposição,
para provarmos sua unicidade vamos supor que nosso polinômio admita duas
decomposições:
		P  a n(x - r1) (x - r2) (x - r3)... (x - r n)
		P  a’ m (x - r’1) (x - r’2) (x - r’3)... (x - r’ m)
Supondo reduzidos e ordenados os dois segundos membros das igualdades têm:
	an - an S1 +... a’ m- a´m S’1+ ...
e pela definição de igualdade de polinômios, temos necessariamente:
		n m 			e 		an a’m
Cancelando os termos iguais, ficamos com a igualdade:
	(x r1)(x r2)(x r3)...(x rn) (x r’1)(x r’2)(x r’3)...(x r’m ). (I)
Atribuindo a x o valor de r1, temos:
	0  (r1 r'1)(r1  r’2)( r1 r’3)...(r1 r’n) 
 e se o produto é nulo, um dos fatores é necessariamente nulo, operando uma
mudança de ordem, podemos fazer r1 r1 .
A igualdade (I) se transforma em:
	(x r1)(x r2)(x r3)...(x rn) (x r’1)(x r’2)(x r’3)...(x r’m ).
Cancelando os termos iguais,
	(x r2)(x r3) (x r4)...(x rn) (x r’2)(x r’3) (x r’4)...(x r’m ).
podemos atribuir x o valor de r2 e daí teremos:
	0  (r2 - r’2)( r2 - r’3)... (r2 - r’n)
Da mesma forma , um dos fatores r2 r’k é necessariamente nulo, novamente
usando o artifício de mudar a ordem dos fatores de forma conveniente, podemos colocar: r 2 r’2
continuando para ri ’i' iN as igualdades, m n, a’m a n, r’ n rn são a prova
que a decomposição é única.
	Como conseqüência do teorema da decomposição é que toda equação
polinomial de grau n 1, admite n e somente n raízes complexas.
Exemplo: 
1º Fatorar o polinômio P = 5- 5– 80x +80, sabendo que suas raízes são 1,-2, 2, -2i, 2i.
P = 5(x-1) (x+2)(x-2)(x+2i)(x-2i) 
1.5 MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ 
Se um polinômio p é tal que:
P = (x-. Q
Com Q ≠ 0, dizemos que é raiz de multiplicidade da equação P = 0.
Exemplos:
1º) A equação (x+5 = 0 admite as raízes 0 e -5 com multiplicidades 4 e 7, respectivamente, e embora a equação seja de 11º grau, seu conjunto solução tem só dois elementos, portanto S = {0, -5} 
1.6 RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES (RELAÇÕES DE GIRARD).
1.6.1 EQUAÇÃO DO 2º GRAU
O teorema da decomposição e suas consequências nos permitem escrever
uma equação do 2º grau da seguinte forma: a(x r1)(x r2) nos conduzindo a
identidade : a(x r1)(x r2) a + bx c x C, mas como é necessário a 
a 0, para garantir o grau da equação teremos:
E, por identidade de polinômios vem:
1.6.2 EQUAÇÕES DO 3º GRAU
Consideremos a equação:
a b cx d a (x r1)(x r2) (x r3)
isto é,
Portanto:
 , e 
Exemplo:
Resolva a equação -10 + 31x – 30 = 0, sabendo que uma raiz é igual a soma das outras duas.
Solução: x 10		x 
A informação dada no problema (uma raiz é igual á soma das outras duas) 
x que substituída na relação da soma implica
 x x 10  10  5
Daí segue-se que 
 5 e 6 x = 3 ou x = 2.
Logo, as raízes da equação -10 + 31x – 30 = 0 são: 2,3 e 5.
1.7 RAÍZES REAIS E COMPLEXAS
Para resolver estas é equações é preciso encontrar as raízes do polinômio. As raízes de um polinômio podem ser reais e/ou complexas.
• Propriedades importantes:
– Toda equação algébrica de grau n possui n raízes. Exemplo: a equação − x = 0 possui 3 raízes, a saber: = 0, = 1 e = −1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1,−1}.
– Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x− b. Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x − b.
– Se o número complexo a+bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a−bi também será raiz.
– Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de multiplicidade k. Exemplos: a equação (x − 4 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. Portanto 4 é raiz de multiplicidade 10. A equação = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3.
– Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então 1 é raiz da equação. Exemplo: 1 é raiz de 40 − 10 + 10x − 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero.
– Toda equação de termo independente nulo admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. Exemplo: a equação 3 + 4 = 0 possui duas raízes nulas.
Exercícios:
1º) Resolva a equação - 9 + 30 - 42x + 20 = 0 sabendo que 3 + i é raiz.
Se 3 + i , é raiz então 3 - i (Conjugado ) também o será logo:
P(x)[x - (3 + i)][x - (3 - i)](Q(x))  P(x) = (- 6x + 10)Q(x)
Podemos calcular Q(x)
Sendo { 1,2 } raízes de Q(x) S = {1,2,3 + i,3 - i}
CONCLUSÃO
O calculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos grandes desafios da chamada álgebra clássica. Após entendermos como se resolve uma equação polinomial de graus maiores que 2, sugerimos a questão abaixo como exemplo para colocar-mos em pratica o conhecimento adquirido no decorrer do presente trabalho. 
As raízes da equação 9 23x 15 0 , estão em PA. Nessas
condições, resolva a equação:
Sendo x1, x2, x3 raízes da equação podemos representá-las por:
x1r, x2x3r pela relação de Girard teremos:
x1 + x2 + x3 r r  x2 
Sendo x2  3 uma raiz, o polinômio é divisível por x - 3.
Ou 9 23x 15 (x 3)( 6x 5) sendo 1 e 5 , as raízes do polinômio de segundo grau, logo, S 1,3,5.
 
REFERENCIASIEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: complexos, polinômios, equações / Gelson Iezzi - 7. ed. – São Paulo: Atual, 2005.
Abreu, Maria De Souza Machado. Equações polinomiais. Monografia Universidade Federal de Minas Gerais.
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacoes-polinomiais-raizes-multiplas-raizes-racionais-reais-e-complexas.htm