Análise de investimentos tópico1 (1)

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ANÁLISE DE INVESTIMENTOS – SE307 
Prof.ª Kênia Barreiro de Souza 
1º semestre de 2017 
 
 
O objetivo da disciplina é habilitar o aluno para a tomada de decisões sobre investimentos. Para tanto são colocados 
inicialmente os conceitos de matemática financeira, permitindo considerações acerca de pagamentos e recebimentos 
e seu comportamento ao longo do tempo. Ao final da disciplina o aluno terá condições de fazer comparações entre 
alternativas de investimentos utilizando os métodos conhecidos como a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o Valor 
Presente Líquido (VPL). Essa disciplina tem como sequência Análise Econômico Financeira – SE309 que aprofunda esses 
conhecimentos e adiciona métodos mais complexos. 
 
EMENTA 
Juros, capitalização, descontos. Taxas. Séries de pagamentos. Equivalência de capitais. Sistemas de amortização. 
Correção monetária e inflação. Conceitos fundamentais de análise de investimentos. Critérios na tomada de decisões 
sobre investimentos. Fluxos de caixa e respectivas uniformizações. Métodos de avaliação de investimentos. 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO 
1.1. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
1.2. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
a. Juros Simples 
b. Juros Compostos 
c. Comparação entre Juros Simples e Compostos 
1.3. CLASSIFICAÇÃO DE TAXAS DE JUROS: NOMINAL, EFETIVA E REAL 
1.4. DESCONTO RACIONAL E BANCÁRIO 
2. SÉRIES DE PAGAMENTOS 
2.1. FLUXOS DE CAIXA, DIAGRAMAS E REPRESENTAÇÕES 
2.2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
a. Séries Uniformes 
b. Séries Variáveis 
c. Perpetuidades 
3. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 
3.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO 
3.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 
3.3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO 
3.4. COMPARAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO PRICE, SAC E MISTO 
3.5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 
4. INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA 
4.1. TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL 
4.2. TAXA DE CÂMBIO 
5. ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
5.1. CONCEITOS E PRINCÍPIOS 
5.2. CRITÉRIOS DE DECISÃO SOBRE INVESTIMENTOS 
a. Valor Presente Líquido (VPL) 
b. Taxa Interna de Retorno (TIR) 
REFERÊNCIAS 
ANEXO A: REVISÃO DE MATEMÁTICA 
ANEXO B: FORMULÁRIO 
2 
 
1. Introdução 
1.1. Regimes de capitalização 
Um regime, ou sistema de capitalização, é o processo de formação de capital ao longo do tempo. Alguns conceitos 
básicos são juros, remuneração do capital e taxa de juros. Juro é a remuneração, ou retorno, do capital empregado. 
Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital de transformará em 
um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de 
aplicação. 
Dito de outra forma, a diferença entre o montante (𝐹) e a aplicação, ou principal (𝑃) denomina-se remuneração, 
rendimento do capital, ou juros (𝐽). Formalmente, temos: 
𝐹 = 𝑃 + 𝐽 (1) 
A taxa de juros corresponde ao valor percentual os juros em relação ao principal, e pode ser formalmente definida 
como: 
𝑖 =
𝐽
𝑃
 (2) 
Logo, 𝐽 = 𝑃𝑖, ou ainda, 𝐹 = 𝑃 + 𝑃𝑖 = 𝑃(1 + 𝑖). 
A formação do capital, ou capitalização poderá ser contínua ou discreta. Na capitalização discreta, os juros gerados 
são incorporados ao capital somente no final de cada intervalo de tempo (dia, mês, semestre, ano, etc.). Por sua vez, 
na capitalização contínua, a taxa de juros é dita instantânea e se refere a um intervalo de tempo infinitesimal. Vamos 
nos concentrar no caso de capitalização discreta. 
1.2. Juros simples e compostos 
Na capitalização discreta, os juros podem ser simples ou compostos. 
a. Juros Simples 
Na capitalização por juros simples, a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial, ou principal 𝑃. Logo, a taxa de 
juros não incide sobre os juros acumulados. Consequentemente, sob o regimente de capitalização simples, o montante 
cresce linearmente com o tempo. Assim, se aplicarmos um capital 𝑃 por 𝑛 períodos, a taxa de juros simples 𝑖, termos 
ao final desses 𝑛 períodos o rendimento pode ser calculado como: 
𝐽 = 𝑃×𝑖×𝑛 (3) 
 
Exemplo 1.1.: Se temos um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 3 anos a taxa de juros simples de 7% ao ano, 
teremos o seguinte rendimento anual: 
 
Ano Capital Juros do período Juros acumulado 
1 1.000,00 1.000,00 x 0,07 x 1 = 70 1.000,00 x 0,07 x 1 = 70 
2 1.000,00 1.000,00 x 0,07 x 1 = 70 1.000,00 x 0,07 x 2 = 140 
3 1.000,00 1.000,00 x 0,07 x 1 = 70 1.000,00 x 0,07 x 3 = 210 
 
Ou seja, a cada período, o capital rende R$ 70,00, resultando em R$ 210 de juros ao final de três anos. 
 
O montante final continua a ser calculado pelo somatório entre o principal e juros. Nesse caso, temos: 
𝐹 = 𝑃 + 𝐽 = 𝑃 + 𝑃×𝑖×𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖×𝑛) (4) 
 
Para o exemplo 1.1., a aplicação de R$ 1.000,00 terá como montante final após três anos o equivalente a R$ 
1.210,00. 
Assim como em qualquer operação que envolve pagamentos e recebimentos, podemos representar a capitalização 
por juros simples por meio de um diagrama de fluxo de caixa. Um diagrama de fluxo de caixa é uma representação 
3 
 
esquemática de fluxos financeiros ao longo do tempo. O tempo é representado na linha horizontal, enquanto as 
setas para baixo indicam saídas de caixa ou pagamentos e as entradas de caixa ou recebimentos são indicadas por 
setas para cima. 
No diagrama abaixo (Figura 1), temos uma aplicação a juros simples de 𝑃 no período 0 que gera um montante 𝐹 
após 𝑛 períodos. 
 
Figura 1 – Diagrama de fluxo de caixa para juros simples 
Fonte: Adaptado a partir de Samanez (2010, pág. 6) 
 
Na Figura 1, estamos assumindo que a unidade temporal da taxa de juros (taxa ao ano, ao mês, ao dia, etc.) possui a 
mesma unidade temporal do eixo horizontal (ano, mês, dia, etc.). Porém, esse não é sempre o caso. Em todos os 
problemas com juros (sejam simples ou compostos), a taxa de juros pode se referir a uma unidade de tempo 
diferente do período de capitalização. Por exemplo, podemos aplicar um capital a uma taxa de juros mensal e 
retiramos o capital após 45 dias, ou fazermos um empréstimo que cobra uma taxa de juros anual e liquidarmos em 
dois anos e meio. Nesse caso temos períodos não inteiros, para os quais devemos utilizar a fração do período em 
questão, mantendo juros e tempo na mesma unidade de medida, conforme ilustram os exemplos abaixo. . 
Exemplo 1.2.: Suponha um capital de 150.000,00 reais aplicados a juros simples de 18% ao ano. Se o capital for 
retirado após 6 meses, o montante final será dado por: 
𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖×𝑛) = 150.000,000 (1 + 0,18×
1
2
) = 163.500,00 
Poderíamos também resolver esse problema usando a calculadora financeira: 
Obs.: na HP-12c, para o cálculo de juros simples, a taxa sempre dever ser inserida ao ano em % e o período (n) em dias. O 
primeiro resultado corresponde aos juros (𝐽). 
150,000 CHS PV 
18 i 
180 n 
f INT →13.500 
+ →163.500 
Exemplo 1.3.: (Samanez, 2010, pág. 6): Um título foi resgatado por $ 3.000,00 ao término do prazo da aplicação. 
Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% a. a. (ao ano) e os jutos obtidos totalizaram $1.636,36, quantos 
meses durou a aplicação? 
𝐹 = 3.000,00, 𝐽 = 1.636,36, 𝑛 = ? 
 
Para resolver esse exemplo precisamos utilizar as duas fórmulas combinadas: 𝐽 = 𝑃×𝑖×𝑛 e 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖×𝑛). Isolando P na 
segunda fórmula, temos 𝑃 = 𝑆/(1 + 𝑖×𝑛). Logo, podemos substituir esse resultado na fórmula dos juros e obtemos: 
𝐽 =
𝐹×𝑖×𝑛
(1 + 𝑖×𝑛)
 
 1.636,36 = (
3.000,00×
1,8
12 𝑛
1 +
1,8
12 𝑛
) 
𝑛 ≅ 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
 
Nesse ponto é importante diferenciar juros comerciais de juros exatos. Normalmente, quando não há menção a um 
desses tipos, devemos utilizar juros comerciais, que consideram o ano com 360 dias. No caso de juros exatos, 
considera-se o ano com 365 dias. 
Outra noção importante de matemática financeiraé o conceito de equivalência de capitais. Dois capitais são 
equivalentes quando possuem exatamente o mesmo valor em determinada data. Vejamos um exemplo: 
4 
 
Exemplo 1.4.: (Samanez, 2010, pág. 8): Uma pessoa tem os seguintes compromissos a receber: $2.000 daqui a 
três meses e $2.500 daqui a oito meses. Ela propõe ao devedor dois pagamentos iguais, uma para 10 meses e 
outro para 15 meses. Encontre o valor desses pagamentos considerando uma taxa de juros simples de 10% a.m. 
Podemos representar esses capitais no formato de um diagrama de fluxo de caixa: 
 
Para que os capitais sejam equivalentes, as duas primeiras prestações devem ser iguais as duas prestações alternativas em um 
ponto qualquer do tempo. Podemos determinar que esse ponto no tempo seja o presente. Ou seja, o fluxo de $2.000 em três 
meses e $2.500 em 8 meses deve ser igual ao fluxo de $X em 10 meses e $X em 15 meses, ambos trazidos para a data zero. 
Analiticamente: 
2.000
1 + 0,1×3
+
2.500
1 + 0,1×8
=
𝑋
1 + 0,1×10
+
𝑋
1 + 0,1×15
⟹ 2.927,35 = 𝑋(0,5 + 0,4) ⟹ 𝑋 = 3.252,61 
 
 
Exercícios: 
1. Qual a taxa anual de juros simples obtida por uma aplicação de $1.250 que, após um ano, produz um montante 
de $1.625? (R.: 30%) 
2. Um capital de $25.000,00 aplicado por 9 meses rendeu juros de $10.125,00. Qual foi a taxa de juros mensal? 
(R.: 4,5%) 
3. Um capital aplicado gerou um montante de $15.000. Considerando uma taxa de juros simples de 42% a.a. a 
uma remuneração de $4.932,89, determinar o prazo da aplicação em meses. (R.:14 meses) 
4. Um empréstimo de $80.000,00 é pago por R$ 93.920,00 após 174 dias. Calcule a taxa mensal de juros simples. 
(R.: 3%) 
5. Sabendo que a taxa de juros simples é de 13% ao ano, qual deverá ser o valor pago por um empréstimo de R$ 
15.000,00 por 9 meses? (R.: $16.687,50) 
6. Quanto deverá ser o capital aplicado a taxa de juros simples de 3,5% ao mês para que ao final de 2 anos o 
montante obtido seja de $100.000,00? (R.: $54.347,83) 
7. Quanto tempo (em meses) é necessário para atingir um montante de $450.000 aplicando $100.000 a uma 
taxa de 0,1% ao dia? (R.: 150 meses) 
8. Qual é o valor do capital que produziu um montante de $278.125,00, a juros simples de 7,5% ao semestre em 
270 dias? (R.: $250.000,00) 
 
b. Juros Compostos 
No regime de juros compostos, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo de juros 
do período seguinte. Ou seja, o rendimento gerado pela aplicação é incorporado, passando a participar da geração de 
rendimento no período seguinte. Suponha um capital de 100 unidades monetárias aplicado a 10% ao ano durante três 
anos: 
Ano Juro do ano Montante ao final do ano 
0 - 100 
1 100 x 0,1 = 10 100 + 10 = 110 
2 110 x 0,1 = 11 110 + 11 = 121 
3 121 x 0,1 = 12,1 121 + 12,1 = 133,1 
 
Nesse caso, a cada período são calculados os juros utilizando o montante do período exatamente anterior. Logo, se 
denominarmos 𝐹𝑛 o valor do capital acumulado no período 𝑛 (sendo 𝐹0 = 𝑃), então temos, no primeiro período: 
𝐽1 = 𝐹0×𝑖 
E o montante no final do primeiro período é de: 
5 
 
𝐹1 = 𝐹0 + 𝐹0×𝑖 = 𝐹0(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖) 
Seguindo a mesma lógica, no segundo período, os juros são de: 
𝐽2 = 𝐹1×𝑖 
E o montante no final do segundo período é de 
𝐹2 = 𝐹1 + 𝐹1×𝑖 = 𝐹1(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)
2 
No terceiro período, os juros são de: 
𝐽3 = 𝐹2×𝑖 
E o montante no final do terceiro período é de 
𝐹3 = 𝐹2 + 𝐹2×𝑖 = 𝐹2(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)
2(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)3 
Logo, em 𝑛 períodos, temos: 
𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 (5) 
Em que (1 + 𝑖)𝑛 é chamado de fator de capitalização de juros compostos, fator de acumulação de capital ou fator de 
valor futuro para aplicação única. É o número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação inicial para obter seu 
valor futuro ou de resgate. Esse fator leva as grandezas para períodos posteriores e permite encontrar o montante ou 
valor futuro de uma aplicação. Em outras palavras, o fator de capitalização é o valor que capitaliza o principal levando-
o a uma data posterior. 
Por exemplo, se temos um capital de $1.000, a taxa composta de 2% a.m., e o prazo de 30 meses, o montante ao 
término do trigésimo mês poderia ser calculado como: 
𝐹 = 1.000(1 + 0,02)30 = $1.811,36 
Em que (1 + 0,02)30 = 1,811362 é o fator de capitalização ou fator de acumulação de capital a juros compostos 
para pagamento único ou simples. 
A maioria dos livros de matemática financeira e análise de investimentos apresentam Tabelas Financeiras com os 
fatores de acumulação e formação de capital para pagamentos únicos e séries de pagamentos. Não há uma 
padronização única para tais tabelas, porém seu uso é bastante intuitivo em todos os casos. Nesse curso, as Tabelas 
Financeiras serão construídas em Excel a medida em que deduzirmos as fórmulas para cada um dos fatores. 
Deste modo, em termos do fator de capitalização, podemos reescrever a equação (5) como1: 
𝐹 = 𝑃×(𝐹/𝑃; 𝑖; 𝑛) (6) 
Em que (𝐹/𝑃; 𝑖; 𝑛) representa o fator de capitalização para encontrar o montante 𝐹 dado o valor presente 𝑃. 
Invertendo a relação entre 𝑃 e 𝐹 na equação (5), temos o valor atual, ou valor presente de um pagamento simples 
(único) no futuro, ou seja: 
𝑃 = 𝐹
1
(1 + 𝑖)𝑛
 (7) 
Em que 1/(1 + 𝑖)𝑛 é chamado fator de valor presente ou fator de valor atual de juros compostos para pagamento 
único ou simples. 
Novamente, podemos utilizar as Tabelas Financeiras para calcular 𝑃 = 𝐹×(𝑃/𝐹; 𝑖; 𝑛). 
Esquematicamente, ambas as operações podem ser representadas da seguinte forma: 
 
 
1 A notação utilizada nessa apostila é semelhante àquela utilizada por Casarotto Filho e Kopittike (2015) 
6 
 
 
Figura 2 – Diagrama de fluxo de caixa para juros simples 
Fonte: Adaptado de Samanez (2010, pág. 16) 
 
Os exemplos a seguir trazem algumas aplicações de juros compostos. 
 
Exemplo 1.5.: Uma loja vende a mercadoria a vista por R$1.712,78 ou para pagamento em 90 dias por $1.899,00. 
Qual é a taxa de juros composto mensal cobrada? 
𝑃 = 1.712,78; 𝐹 = 1.899,00; 𝑛 = 90 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑜𝑢 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠; 𝑖 =? ; 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
1.899 = 1.712,78(1 + 𝑖)3 ⟹ 𝑖 = (
1.899
1.712,78
)
1
3
− 1 ≅ 3,5% 
Poderíamos resolver o problema utilizando a calculadora financeira, nesse caso: 
1.712,78 CHS PV 
1.899,00 FV 
3 n 
i → 3,5% 
 
Exemplo 1.6.: Em quantos tempo um capital duplica de valor a taxa de juros de 1% ao mês? 
𝑃 = 𝑋; 𝐹 = 2𝑋; 𝑖 = 1% 𝑎. 𝑚. ; 𝑛 =? ; 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 
2𝑋 = 𝑋(1 + 0,01)𝑛 ⟹ 1,01𝑛 = 2 ⟹ 𝑛 ln 1,01 = ln 2 ⟹ 𝑛 ≅ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
Na calculadora financeira: 
1 CHS PV 
2 FV 
1 i 
n → 70 
 
Exemplo 1.7.: Uma empresa vende um equipamento por $10.000,00. Sabendo que a taxa de juros compostos 
cobrada por dia é de 0,05%. Qual seria o valor do pagamento único com prazo de 30 dias? E para 60 dias? 
𝐹30 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 10.000(1 + 0,005)
30 = 10.151,09 
𝐹60 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 10.000(1 + 0,005)
60 = 10.304,47 
Na calculadora financeira: 
10.000 CHS PV 
0,05 i 
30 n 
FV → 10.151,09 
60 n 
FV → 10.304,47 
Exemplo 1.8.: Quanto deverá ser o capital aplicado a taxa de juros compostos de 3,5% ao mês para que ao final de 
2 anos o montante obtido seja de $100.000,00? 
𝑃 = 𝐹
1
(1 + 𝑖)𝑛
=
100.000
(1,035)24
= 43.795,71 
Na calculadora financeira: 
100.000 CHS FV 
3,5 i 
24 n 
PV → 43.795,71 
Assim como no caso de juros simples, precisamos nos atentar para que a unidade de medida do tempo seja compatível 
com a taxa de juros. No caso de qualquer divergência, podemos obter tanto por obter uma taxa de juros equivalente, 
quanto utilizar uma fração do período. Seguem alguns exemplos: 
 Exemplo 1.9.: Qual é o valorde resgate de uma aplicação de $7.000 por 100 dias, aplicados a juros compostos de 
2,5% ao mês? 
𝑃 = 7.000; 𝑛 = 100 𝑑𝑖𝑎𝑠; 𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚. 
Podemos resolver o problema de duas foras: 1. Convertendo o período de dias para meses; 2. Encontrando a taxa de juros diária 
equivalente. 
7 
 
1ª Alternativa: 
𝐹 = 7.000(1 + 0,025)
100
30 = 7.600,54 
2ª Alternativa: 
(1 + 0,025)
1
30 − 1 = 0,08234% é a taxa de diária, equivalente a 2,5% ao mês. 
𝐹 = 7.000(1 + 0,0008234)100 = 7.600,54 
Na calculadora financeira: 
STO EEX (Ao pressionar essas duas teclas aparecerá um C no visor da calculadora indicando que as operações com períodos 
fracionados serão tratadas como juros compostos, caso contrário, se as teclas não estiverem pressionadas, a calculadora irá 
utilizar juros compostos para a parte inteira e juros simples para a parte fracionada do período) 
7.000 CHS PV 
2,5 i 
100 enter 30 ÷ n 
FV → 7.600,54 
Exemplo 1.10.: Qual é a taxa anual equivalente a juros de 1% ao mês? 
𝑖𝑎.𝑎. = (1 + 𝑖𝑎.𝑚.)
12 − 1 = (1,01)12 − 1 = 12,68% 
Na calculadora financeira: 
1 CHS PV 
1 i 
12 n 
FV → 1,13 
1 – → 0,13 
100 x → 12,68 
Assim como os juros simples, podemos calcular capitais equivalentes, como no exemplo a seguir: 
Exemplo 1.11.: Uma empresa possui uma dívida de $25.000 para ser paga em 6 anos e outra dívida de $10.000 a 
ser paga em 1 ano. A empresa pretende renegociar ambas as dívidas para pagamento em parcela única daqui a 2 
anos. Considerando uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, de quanto seria esse pagamento? 
Há várias formas de resolver essa questão. O ponto principal é colocar todos os fluxos em um mesmo ponto no tempo para 
encontrar a equivalência. Podemos representar o fluxo de caixa como segue: 
 
Conforme representado, todos os valores serão trazidos para o período 2: 
𝑋 = 10.000(1 + 015) +
25.000
(1 + 0,15)4
= 25.793,83 
Outra forma seria primeiro encontrar o valor presente da dívida: 
𝑃 =
10.000
1 + 0,15
+
25.000
(1 + 0,15)6
= 19.503,84 
E depois encontrar o valor dessa dívida daqui a dois anos: 
𝐹 = 19.503,84(1 + 0,15)2 = 25.793,83 
 
 
Exercícios: 
1. (Vieira Sobrinho, 2015, pág. 44, ex.2) Uma pessoa empresta $80.000,00 hoje para receber $507.294,46 ao 
final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual de juros desse empréstimo. (R.: 8% a. m. ou 151,817% ao 
ano) 
2. (Camargos, 2013, pág. 53, ex. 15) Determine o valor do capital que, aplicado à taxa composta de 4% ao 
trimestre, durante 195 dias, produziu juros de $443,47. (R.: $5.000,00) 
3. (Vieira Sobrinho, 2015, pág. 45, ex.12) No final de quanto tempo um capital, aplicado a taxa de 4% ao mês 
quadruplica de valor? 
4. No regime de capitalização composta. (R.: 35,35 meses) 
5. No regime de capitalização simples. (R.: 75 meses) 
6. (Vieira Sobrinho, 2015, pág. 45, ex.9) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do se 
valor, se aplicado a 3,755% ao mês? (R.: 11 meses) 
8 
 
7. (Samanez, 2010, exemplo 2.18) Uma compra pode ser paga à vista por $1.400 ou financiada por meio de uma 
entrada de 30% e mais dois pagamentos mensais, o segundo 50% maior do que o primeiro. Sabendo-se que o 
início dos pagamentos será ao término de um período de carência de quatro meses e que a taxa de juros 
aplicada é de 5% a. m., calcular o valor dos pagamentos mensais. (R.: S490,49 e $735,74) 
8. (Camargos, 2013, pág. 53, ex. 15) Necessitando dispor de $15.000 daqui a 300 dias para quitar a compra de 
um equipamento, um empresário pretende fazer duas aplicações em um fundo que rende juros compostos 
de 0,85% a.m.. Sabendo que a primeira aplicação $7.500 foi realizada hoje, determine o valor da segunda 
aplicação que ocorrerá daqui a 180 dias para que ele possa dispor da quantia necessária ao término dos 300 
dias. 
9. (Samanez, 2010, pág. 32, ex. 17) O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo pagam-se uma entrada mais 
três prestações mensais de $2.000 cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Calcular o valor da entrada, 
se a taxa de juros aplicada for de 7% a. m. (R.: $751,37) 
10. (Samanez, 2010, pág. 34, ex. 38) Três dívidas, a primeira de $2.000 vencendo em 30 dias, a segunda de $1.000 
vencendo em 60 dias e a terceira de $3.000 vencendo em 90 dias, serão liquidadas por meio de um pagamento 
único de $6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a. m., determinar em quanto tempo deve ser 
efetuado esse pagamento. 
 
c. Comparação entre Juros Simples e Compostos 
O gráfico abaixo compara a evolução do montante ao longo do tempo para juros simples e compostos: 
 
Figura 3 – Comparativo entre juros compostos e juros simples 
 
A Figura 3 mostra que o montante de juros simples é igual ao montante de juros compostos apenas quando 𝑛 = 1. 
Ou seja, se o período é menor que uma unidade de tempo, com a taxa de juros ajustada, o montante para juros simples 
(𝐹𝑆) é maior do que o montante para juros compostos (𝐹𝐶). Por outro lado, para qualquer em que 𝑛 > 1, o montante 
de juros compostos é superior. Eles são iguais apenas no ponto 𝐸, quando 𝑛 = 1. 
1.3. Classificação de taxas de juros: nominal, efetiva e real 
As taxas de juros podem ser classificadas como nominal, efetiva ou real. Os livros de matemática financeira trazem 
duas definições possíveis para a diferença entre as taxas nominal e efetiva. Uma delas diz respeito ao período da taxa 
e o período de capitalização e a segunda definição diz respeito ao capital tomado como base para o cálculo. 
Seguindo a primeira definição, uma taxa de juros é chamada de nominal quando o prazo a que a taxa se refere não é 
o mesmo da capitalização dos juros, também é chamada de taxa cotada ou taxa declarada. Por exemplo, os depósitos 
de poupança no Brasil rendem 6% ao ano capitalizados mensamente mais TR, sempre que a meta da Selic é maior do 
que 8,5% ao ano. O rendimento de 6% ao ano é uma taxa nominal, que capitalizada mensamente corresponde a 0,5% 
ao mês (simplesmente 6/12=0,5). Dessa forma, podemos passar ao conceito da taxa efetiva: uma taxa nominal de 6% 
ao ano capitalizada mensamente, rende efetivamente 0,5% ao mês, ou a taxa efetiva ao ano é de: 
(1,00512) − 1 ≅ 6,17% 
Podemos generalizar uma fórmula para a conversão entre as taxas nominal e efetiva como segue: 
9 
 
𝑖𝑒 = (1 +
𝑖𝑛
𝑞
)
𝑞
− 1 (8) 
Em que 𝑖𝑒 é a taxa efetiva, 𝑖𝑛 é a taxa nominal e 𝑞 é a quantidade de períodos nos quais a taxa nominal é capitalizada. 
A razão 𝑖𝑛/𝑞 é chamada de taxa proporcional. 
Por sua vez, quando a diferenciação entre juros nominais e efetivos diz respeito ao capital tomado como base de 
cálculo, a taxa de juros é dita nominal quando se refere ao capital inicial total da transação, ou seja, o valor nominal 
da aplicação ou empréstimo. Já a taxa de juros efetiva refere-se ao valor que foi colocado à disposição do banco ou 
do cliente no momento do empréstimo ou aplicação, nesse caso, o valor nominal vem descontado de alguma taxa, 
recolhimento ou retenção. Em resumo, temos: 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑠, 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑒𝑡𝑒𝑛çõ𝑒𝑠
=
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜
 
Independente da definição de taxa nominal utilizada, a taxa real de juros é aquela que desconta o valor da inflação, 
ou seja, que corrige o capital inicial com base na inflação do período: 
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑣𝑜×(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜) 
𝑗𝑢𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 =
𝑗𝑢𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
=
1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 
1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
− 1 
Conforme ressalta Vieira Sobrinho (2015), as três taxas podem ser coincidentes: i) se não houver nenhum pagamento, 
recebimento ou retenção extra, a taxa nominal é igual a efetiva, ii) se não houver inflação2, a taxa efetiva é igual a real, 
iii) se não houver ambos, as três são iguais. 
Exercícios: 
1. Qual é a taxa efetiva anual de 15% ao ano capitalizada trimestralmente? (R.: 15,87% a.a.) 
2. Qual a taxa equivalente mensal a 42% ao ano capitalizada bimestralmente? (R.: 3,44% a.m.) 
3. (Vieira Sobrinho, 2015, pág. 186, ex.1) Uma empresa obtém um empréstimo de $100.000,00 para ser liquidado 
por $110.000,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha durante a vida 
do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Supondo que nesse mesmo período 
da taxa de inflação tivesse sido de 9%, calcular as taxas nominal, efetiva e real. (R.: 10%; 12,5%; 3,211%) 
4. (Samanez, 2010, pág. 66, ex. 5) A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de 
$13.000 resulta em um montante de $23.000 em sete meses. (R.: 101,90% a.a.) 
5. (Samanez, 2010, pág. 66, ex. 6) Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a. a. capitalizada 
mensalmente, resultou em um montante de $36.204,48, por quantos meses o capital ficou aplicado? (R.: 5 
meses) 
6. (Samanez, 2010, pág. 66, ex. 14) Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada 
mensalmente, ou à de 264% a.a., capitalizada bimestralmente? 
7. (Samanez, 2010, pág. 66, ex. 17) Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. 
Considerando a cobrança de 2% de impostos sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela 
aplicação. (R.: 1,24%) 
8. (Samanez, 2010, pág. 67, ex. 34) Uma pessoa precisa de um empréstimo de $10.000 por um período de dois 
anos. Ofereceram-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) a juros nominais de 5% a.a., capitalizados 
trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a., capitalizada semestralmente; c) a juros simples de 5,5% 
a.a. Qual é a melhor oferta? (R.: Letra a) 
 
 
 
2 Trataremos com maiores detalhes das questões relacionadas a inflação e correção monetária do tópico 4. 
10 
 
1.4. Desconto racional e bancário 
Segundo Samanez (2010): “Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito 
é resgatado antes de seu vencimento”. Ou seja, enquanto aplicamos juros ao valor presente de um capital para 
encontrar se valor futuro, podemos aplicar um desconto no valor futuro do capital para encontrar seu valor presente. 
À semelhança dos juros simples, o desconto simples (𝐷), também chamado de desconto “por fora”, bancário ou 
comercial, é aquele em que a taxa de desconto incide apenas sobre o montante ou valor futuro. Formalmente, temos: 
𝐷 = 𝐹×𝑑×𝑛 (9) 
Em que 𝑑 é a taxa (percentual) de desconto. Logo, o valor presente é dado por: 
𝑃 = 𝐹 − 𝐷 
𝑃 = 𝐹 − 𝐹×𝑑×𝑛 = 𝐹(1 − 𝑑×𝑛) 
(10) 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 1.12.: Uma duplicada no valor de $150.000 foi descontada 90 dias antes de seu vencimento. Sabendo que 
a taxa de desconto simples cobrada pelo banco é de 5% ao mês, qual foi o valor de resgate? 
𝐹 = 150.000; 𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠; 𝑑 = 5% 𝑎. 𝑚. ; 𝑃 =? 
𝑃 = 𝐹(1 − 𝑑×𝑛) = 150.000(1 − 0,05×3) = 127.500,00 
Exemplo 1.13. (Vieira Sobrinho, 2015, pág. 49, exemplo 5): O desconto de uma duplicada gerou um crédito de 
$70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem prazo a decorrer de 37 dias até o seu 
vencimento e que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,2%, ao mês nessa operação, calcular o valor da 
duplicata. 
𝑃 = 70.190,00; 𝑛 = 37 𝑑𝑖𝑎𝑠; 𝑑 = 5,2%; 𝐹 =? 
𝐹 =
𝑃
1 − 𝑑×𝑛
=
70.190
1 − 0,052 (
37
30)
= 75.000 
Exemplo 1.14.: Sabendo-se que uma duplicata no valor de $28.000 foi descontado por $24.976 a uma taxa de 
desconto simples de 4,5% ao mês, calcule o prazo de vencimento em dias. 
𝑃 = 24.976; 𝐹 = 28.000; 𝑑 = 4,5% 𝑎. 𝑚. ; 𝑛 =? 
𝑃 = 𝐹(1 − 𝑑×𝑛) 
24.976 = 28.000 (1 − 0,045×
𝑛
30
) 
1 − 0,0015𝑛 = 0,892 
𝑛 = 72 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Exemplo 1.15.: Uma duplicada no valor de $325.000 foi descontada por $292.500, 120 dias antes de seu 
vencimento. Qual foi a taxa de desconto simples mensal aplicada? 
𝑃 = 292.500; 𝐹 = 325.000; 𝑛 = 120 𝑑𝑖𝑎𝑠; 𝑑 =? 
292.500 = 325.000 (1 − 𝑑
120
30
) ⟹ 𝑑 = 2,5% 
 
De forma similar aos juros compostos, o desconto composto, incide sobre o montante e os descontos acumulados, tal 
que: 
𝑃 = 𝐹(1 − 𝑑)𝑛 (11) 
 
Exemplo 1.16.: Uma duplicada foi descontada 180 dias antes do seu vencimento por $8.366,61. Sabendo-se que o 
banco cobra uma taxa de desconto composto de 30% ao ano, qual o valor da duplicata? 
𝑃 = 8.366,61; 𝑛 = 180 𝑑𝑖𝑎𝑠; 𝑑 = 30% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜; 𝐹 =? 
𝐹 =
𝑃
(1 − 𝑑)𝑛
=
8.366,61
(1 − 0,3)
180
360
= 10.000 
 
11 
 
Além do desconto simples e composto, alguns livros definem o desconto “por dentro”, ou desconto racional, que nada 
mais é do que uma aplicação de juros simples. Ou seja, em que 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑑×𝑛). 
Exercícios 
1. (Vieira Sobrinho, 2015, pág.61, ex.7) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no 
valor de $9.800,00, que sofreu um desconto (simples) de $548,50, à taxa de 32% ao ano. (R.: 63 dias) 
2. (Samanez, 2010, pág. 88, ex. 3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e 
vencimento para 180 dias, descontado comercialmente a uma taxa de desconto de 40% ao ano. (R.:$96.000) 
3. (Samanez, 2010, pág. 88, ex. 5) Uma duplicata de $86.000, com prazo de vencimento de três meses, teve valor 
liberado de $80.000. Determine a taxa de desconto mensal na modalidade racional. (R.: 2,5%) 
4. (Lapponi, 2005, pág. 121, ex. 4.1) As alternativas de pagamento de uma compra são duas: pagar o valor da 
compra, $1.000, daqui a 35 dias, ou pagar à vista com taxa de desconto (simples) de 3,85% sobre o valor da 
compra. Calcule o valor do pagamento à vista. (R.: $961,50) 
5. (Vieira Sobrinho, 2015, pág.63, ex. 4) Calcular o valor do desconto concedido num Certificado de Depósito 
Bancário, de valor de resgate igual a $200.000,00 sabendo-se que faltam 90 dias para o seu vencimento e que 
a taxa de desconto (composto) é de 3,8% ao mês. (R.: $21.944,57) 
6. (Samanez, 2010, pág. 89, ex.20) O possuidor de um título de $20.000 com vencimento para três meses tem 
duas possibilidades: vende-lo por $19.500 a um particular ou descontá-lo comercialmente em um banco que 
aplica uma taxa de desconto de 1% a.m. Determinar qual transação é mais vantajosa. 
7. (Lapponi, 2005, pág. 121, ex. 4.5) Uma compra no valor de $2.560 pode ser paga de duas formas: o preço da 
mercadoria com cartão de crédito que vence daqui a 30 dias, ou à vista, com desconto (simples) de 1%. Escolha 
a melhor alternativa considerando que o comprador tem dinheiro para pagar à vista e está aplicado à taxa de 
juro de 1,25% aos 30 dias. (R: Comprar com cartão de crédito) 
8. (Samanez, 2010, pág. 89, ex.22) Dois títulos foram descontados comercialmente 60 dias antes do vencimento 
à taxa de desconto de 4% a.m., totalizando um desconto de $2.000. Considerando que o valor de resgate do 
segundo é o dobro do valor de resgate do primeiro, calcular os valores de resgate dos títulos. (R.: $8.333,33; 
$16.666,67)