3 Corpos Rígidos

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21/03/2017
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Corpos Rígidos: Sistemas 
equivalentes de forças
Professor: Leonardo Bruno.
Sumário
1. Força externa e força interna
2. Princípio da transmissibilidade: Forças 
equivalentes
3. Produtos vetoriais
4. Momento de uma força em relação a um 
ponto
5. Teorema de Varignon
6. Componentes retangulares do momento 
de uma força
7. Produto escalar
8. Produto triplo misto de três vetores
9. Momento de uma força em relação a um 
dado eixo
10. Momento e adição de um binário
11. Substituição de uma dada força por uma 
força em O e um binário
12. Sistema de forças: Redução a uma força e 
um binário
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1. Força externa e força interna
• Forças externas
• Responsáveis pelo comportamento 
externo do corpo rígido
• Causam o movimento ou garantem 
que o corpo mantenha o repouso
• Forças internas
• Mantêm juntas as partículas que 
formam um corpo rígido
2. Princípio da transmissibilidade e Forças 
equivalentes
• Princípio da transmissibilidade
• As condições de equilíbrio ou movimento de um
corpo rígido permanecerão inalteradas se uma
força 𝑭 que atue em um dado ponto do corpo
rígido for substituída por uma força 𝑭’ de
intensidade, direção e sentidos iguais, mas
atuando em um ponto diferente, desde que
essas duas forças tenham igual linha de ação.
• Essas duas forças 𝑭 e 𝑭’ têm o mesmo efeito
sobre o corpo rígido e diz-se que são
equivalentes.
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3. Produto vetorial
• O produto vetorial de dois vetores P e Q é 
definido como o vetor V que satisfaz às 
seguintes condições:
1. A linha de ação de V é perpendicular ao 
plano que contém P e Q.
2. A intensidade de V é: 𝑉 = 𝑃𝑄𝑠𝑒𝑛𝜃
3. A direção e o sentido de V são obtidos 
pela regra da mão direita.
• Produtos vetoriais:
- não são comutativos,
- são distributivos,
- não são associativos,
 QPPQ 
  2121 QPQPQQP 
   SQPSQP 
Produto vetorial: Componentes retangulares
• Produtos vetoriais de vetores unitários:
0
0
0



kkikjjki
ijkjjkji
jikkijii



• Produto vetorial em termos de 
componentes retangulares:
   kQjQiQkPjPiPV zyxzyx


   
 kQPQP
jQPQPiQPQP
xyyx
zxxzyzzy




zyx
zyx
QQQ
PPP
kji

V
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4. Momento de uma força em relação a um ponto
• O momento de uma força F em relação a um ponto 
O é definido como:
FrMO 
• O vetor momento MO é perpendicular ao plano que 
contém o ponto O e a força F.
• Qualquer força F’ que tem a mesma intensidade, direção e 
sentido de F, é equivalente a ela se também tem sua mesma 
linha de ação e portando, gera o mesmo momento.
• A intensidade de MO expressa a tendência da força de 
causar rotação em torno de um eixo dirigido ao longo 
de MO.
O sentido do momento pode ser determinado pela regra 
da mão direita.
FdrFMO  sen 
4. Momento de uma força em relação a um ponto
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5. Teorema de Varignon
• O momento em relação a um dado ponto O
da resultante de diversas forças concorrentes
é igual à soma dos momentos das várias
forças em relação ao mesmo ponto O.
• O teorema de Varignon torna possível
substituir a determinação direta do momento
de uma força F pela determinação dos
momentos de duas ou mais forças que a
compõe.
  



 2121 FrFrFFr
6. Componentes retangulares do momento de 
uma força
     kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
kMjMiMM
xyzxyz
zyx
zyxO






O momento de F em relação a O,
kFjFiFF
kzjyixrFrM
zyx
O 


 ,
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6. Componentes retangulares do momento de 
uma força
Momento de F em relação a B:
FrM BAB

 /
     
zyx
BABABAB
FFF
zzyyxx
kji
M 


     
kFjFiFF
kzzjyyixx
rrr
zyx
BABABA
BABA





/
Para estruturas bidimensionais:
 
xy
ZO
xyO
yFxF
MM
kyFxFM




    
    xBAyBAB
xBAyBAB
FyyFxxM
kFyyFxxM



6. Componentes retangulares do momento de 
uma força
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Exercício
1. Uma força vertical de 450 𝑁 é aplicada na extremidade de
uma alavanca que está ligada a um eixo em 𝑂. Determine (a)
o momento da força de 450 𝑁 em relação a 𝑂; (b) a força
horizontal aplicada em 𝐴 que gera o mesmo momento em
relação, a 𝑂; (c) a força mínima aplicada em 𝐴 que gera o
mesmo momento em relação a 𝑂; (d) a que distância do eixo
deve atuar uma força vertical de 1080 𝑁 para gerar o
mesmo momento em relação a 𝑂; (e) se alguma das forças
obtidas nas partes b, c e d é a força original.
Solução do exercício 1
a) O momento em relação a O é igual ao produto da
força pela distância perpendicular entre a linha de
ação da força e O. Como a força tende a girar a
alavanca no sentido horário, o vetor momento
aponta para dentro do plano que contém a
alavanca e a força.
 
  m 0,3N 450
cm 3060coscm 60



O
O
M
d
FdM
m N 135 OM
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Solução do exercício 1
b) Para a força horizontal aplicada em A que gera o 
mesmo momento tem-se,  
 
m 52,0
m N 351
m 0,52m N 135
cm 5260sen cm 60





F
F
FdM
d
O
N 6,259F
c) A força mínima aplicada em A que gera o mesmo 
momento deve atuar a uma distância perpendicular 
é máxima de O, ou seja, quando F é perpendicular a 
OA.
 
m ,60
m N 135
m. ,60m N 351




F
F
FdMO
N 225F
Solução do exercício 1
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d) Para determinar o ponto de aplicação de uma 
força vertical de 1.080 N que gera o mesmo 
momento em relação a O temos,
 
cm 12,560 cos
m 125,0
N .0801
m N 135
 N 1.080m N 351






OB
d
d
FdMO
cm 25OB
Solução do exercício 1
e) Embora cada uma das forças nas letras b), c) e d)
gere o mesmo momento que a força de 450 N,
nenhuma tem sua mesma intensidade, direção e
sentido, ou sua mesma linha de ação. Portanto,
nenhuma das forças é equivalente à força de 450 N.
Solução do exercício 1
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Exercício
2. Uma força de 800 𝑁 atua sobre um
suporte, como mostra a ilustração.
Determine o momento da força em
relação a 𝐵.
Solução do exercício 2
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Exercício
3. Uma força de 135 𝑁 atua na
extremidade de uma alavanca de
0,9 𝑚 , como mostra a ilustração.
Determine o momento da força em
relação a 𝑂.
Exercício
4. Uma placa retangular é sustentada
pelos suportes 𝐴 e 𝐵 e por um fio 𝐶𝐷.
Sabendo que a tração no fio é 200 𝑁,
determine o momento em relação a 𝐴
da força exercida pelo fio no ponto 𝐶.
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Solução do exercício 4
O momento MA da força F exercida
pelo fio é obtida a partir do produto
vetorial:
FrM ACA


12896120
08,003,0


kji
M A


     kjiM A

mN 8,82mN 8,82mN 68,7 
   kirrr ACAC

m 08,0m 3,0 
 
 
     
     kji
kji
r
r
FF
DC
DC



N 128N 69N 120
m 5.0
m 32,0m 0,24m 3,0
N 200
N 200



 
Exercício
1. (P3.5) Uma força 𝑷 de 35 𝑁 é aplicada
em uma alavanca de câmbio.
Determine o momento 𝑷 sobre 𝐵
quando 𝛼 é igual a 25 °.
2. (P3.6) Determine a intensidade e
direção da menor força 𝑷 que gera um
momento no sentido horário de 24 𝑁 ∙
𝑚 sobre𝐵.
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Exercício
[B&J-3.21] Uma força de 200 𝑁 é
aplicada em um suporte ABC como
mostrado na figura. Determine o
momento da força sobre A.
7. Produto escalar
• Produto escalar de dois vetores
• Produtos escalares:
- são comutativos,
- são distributivos,
- não são associativos,
PQQP


  2121 QPQPQQP


  indefinido  SQP

 escalar resultadocosPQQP  
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7. Produto escalar
• Produtos escalares em termos de componentes cartesianas:
000111  ikkjjikkjjii

   kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx


2222 PPPPPP
QPQPQPQP
zyx
zzyyxx




• Ângulo entre dois vetores:
PQ
QPQPQP
QPQPQPPQQP
zzyyxx
zzyyxx





cos
cos

7. Produto escalar
• Projeção de um vetor sobre um dado eixo:
OL
OL
PP
Q
QP
PQQP
OLPPP







cos
cos
 eixo o sobre de projeção cos



zzyyxx
OL
PPP
PP


coscoscos 


• Para um eixo definido por um vetor unitário:
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8. Produto triplo misto de três vetores
  escalar resultado QPS

• Os seis produtos triplos mistos que podem ser 
formados com S, P e Q têm o mesmo valor absoluto, 
mas não necessariamente o mesmo sinal,
     
     SPQQSPPQS
PSQSQPQPS




     
 
zyx
zyx
zyx
xyyxz
zxxzyyzzyx
QQQ
PPP
SSS
QPQPS
QPQPSQPQPSQPS




• Analisando o produto triplo misto tem-se,
9. Momento de uma força em relação a um 
dado eixo
• Momento MO de uma força F aplicada no 
ponto A em relação a um ponto O:
FrMO


• O momento MOL em relação a um eixo OL é a 
projeção do momento MO sobre esse eixo, ou seja,
 FrMM OOL

 
• Momentos de F em relação aos eixos coordenados:
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM



O momento 𝑀𝑂𝐿 de 𝐹 em
relação a 𝑂𝐿 mede a
tendência da força 𝐹 a
imprimir ao corpo rígido um
movimento de rotação em
torno do eixo fixo 𝑂𝐿.
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9. Momento de uma força em relação a um 
dado eixo
• Momento de uma força em relação a um eixo 
arbitrário:
 
BABA
BA
BBL
rrr
Fr
MM








Exercício
5. Um cubo de lado 𝑎 sofre a ação de
uma força 𝑃 , como mostra a figura.
Determine o momento de 𝑃 (a) em relação
a 𝐴, (b) em relação à aresta 𝐴𝐵, (c) em
relação a diagonal 𝐴𝐺 do cubo. (d) Usando
o resultado do item 𝑐 , determine a
distância perpendicular entre 𝐴𝐺 e 𝐹𝐶.
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Solução
• Momento de P em relação a AB:
  kjiaPi
MiM AAB




2/
2
P
aM AB 
• Momento de P em relação a A:
 
 
   kjPjiaM
kj
P
k
P
j
P
P
jiajaiar
PrM
A
AF
AFA








2/
222
 kjiPaM A








2
Solução
• Momento de P em relação à diagonal AG:
 
 
   
 111
6
23
1
2
3
1
3







aP
kji
aP
kjiM
kji
aP
M
kji
a
kajaia
r
r
MM
AG
A
GA
GA
AAG








6
aP
M AG 
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Solução
• Distância perpendicular entre AG e FC:
     
0
110
63
1
2


P
kjikj
P
P
 
Portanto, P é perpendicular a AG.
Pd
aP
M AG 
6
6
a
d 
Exercício
6. [3.55] Uma armação 𝐴𝐶𝐷 é articulado
em 𝐴 e 𝐷 e sustentada pelo cabo que
passa através de um anel em 𝐵 e fixada
por ganchos em 𝐺 e 𝐻. Sabendo que a
tensão no cabo é 450 𝑁, determine o
momento sobre a diagonal 𝐴𝐷
exercida pela força na armação pela
porção 𝐵𝐻 do cabo.
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Exercício
7. [3.57] A placa triangular ABC é
sustentada por juntas rotuladas em B
e D e mantidas na posição mostrada
pelos cabos AE e CF. Se a força
exercida pelo cabo AE em A é de
55 𝑁, determine o momento dessa
força em relação à linha que une os
pontos D e B.
10. Momento e adição de um binário
• Duas forças F e -F de mesma intensidade, linhas 
de ação paralelas e sentidos opostos formam um 
binário.
• Momento do binário:
 
 
FdrFM
Fr
Frr
FrFrM
BA
BA




sen 



• O vetor que representa o momento do binário
é independente da escolha da origem dos
eixos coordenados, isto é, trata-se de um vetor
livre que pode ser aplicado a qualquer ponto
produzindo o mesmo efeito
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10. Momento e adição de um binário
Dois binários terão momentos iguais se
•
2211 dFdF 
• os dois binários estiverem em planos 
paralelos, e
• os dois binários tiverem o mesmo sentido 
ou a tendência de causar rotação na 
mesma direção.
10. Momento e adição de um binário
• Considere dois planos P1 e P2 que se 
interceptam, cada um contendo um binário.
222
111
 plano no 
 plano no 
PFrM
PFrM




• As resultantes dos vetores também 
formam um binário.
 21 FFrRrM


• Pelo teorema de Varignon,
21
21
MM
FrFrM




• A soma de dois binários é um binário de
momento igual à soma vetorial dos
momentos dos dois.
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10. Momento e adição de um binário
• Um binário pode ser representado por um vetor igual em 
intensidade, direção e sentido ao momento do binário.
• Vetores que representam binários obedecem à lei de 
adição de vetores.
• Vetores binários são vetores livres, ou seja, o ponto de 
aplicação não é relevante.
• Vetores binários podem ser decompostos em componentes 
vetoriais.
11. Substituição de uma dada força por uma 
força em 𝑂 e um binário
• Não se pode simplesmente mover uma força F para o ponto O sem
modificar sua ação no corpo.
• A aplicação de duas forças de mesma intensidade e sentidos opostos 
em O não altera a ação da força original sobre o corpo.
• As três forças podem ser substituídas por uma força equivalente e 
um vetor binário, isto é, um sistema força-binário.
Qual quer força F que atue
sobre um corpo rígido pode
ser movida para um ponto
arbitrário O, desde que se
adicione um binário cujo
momento é igual ao momento
de F em relação a O.
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11. Substituição de uma dada força por uma 
força em 𝑂 e um binário
• Para mover a força F de A para um ponto diferente O’ deve-se 
aplicar naquele ponto um vetor binário diferente MO’
FrMO

'
• Os momentos de F em relação a O e a O’ estão relacionados.
 
FsM
FsFrFsrFrM
O
O



 ''
• Para mover o sistema força-binário de O para O’ deve-se somar 
ao sistema o momento da força aplicada em O em relação a O’.
Exercício
6. Determine os componentes do binário
único equivalente aos dois binários
mostrados.
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Solução
• Introduzimos no ponto A duas forças de 
90 N com sentidos opostos.
• Os três binários podem ser representados 
pelos três vetores binários,
  
  
   mN 20,25 m 0,225 N 90 
mN 27 m 0,30 N 90 
mN 60,75 m 0,45 N 135 



z
y
x
M
M
M
   
 k
jiM


mN 20,25
mN 27mN 75,60


Solução
• Alternativamente, calculamos a soma 
dos momentos das quatro forças em 
relação a D.
• Somente as forças em C e E geram 
momento emrelação ao ponto D.
   
      ikj
kjMM D


N 90m ,300m 225,0
N 135m 45,0


   
 k
jiM


mN 0,252 
mN 27 mN 0,756 


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Exercício
7. Substitua o binário e a força mostrada
na figura por uma força única
equivalente aplicada à alavanca.
Determine a distância do eixo ao ponto
de aplicação dessa força equivalente.
Momento do binário
𝑴 = − 200𝑁. 0,120𝑚 𝒌 = −24𝑁.𝑚 𝒌
Momento da força
𝑴𝑶 = 𝑂𝐵 × 𝑭 = 0,150 𝑚 𝒊 + 0,260𝑚 𝒋 × −400𝑁 𝒋
𝑴𝑶 = − 60𝑁 ∙ 𝑚 𝒌
Solução
Momento resultante
𝑀 = − 84𝑁 ∙ 𝑚 𝒌
− 84𝑁 ∙ 𝑚 𝒌 = 𝑂𝐶 × 𝑭
− 84𝑁 ∙ 𝑚 𝒌 = 𝑂𝐶 𝑐𝑜𝑠60°𝒊 + 𝑂𝐶𝑠𝑒𝑛60°𝒋 × −400𝑁 𝒋
− 84𝑁 ∙ 𝑚 𝒌 = 𝑂𝐶 𝑐𝑜𝑠60° × −400𝑁 𝒌
𝑂𝐶 = 420 𝑚𝑚
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Exercício
• [3.70] Duas forças paralelas de 60 𝑁 são aplicadas a
uma alavanca como mostrado na figura. Determine
o momento do binário formado pelas duas forças (a)
resolvendo para cada componente horizontal e
vertical e adicionando os momentos dos dois
binários resultantes, (b) usando a distância
perpendicular entre as duas forças, (c) somando os
momentos das duas forças em relação ao ponto A.
Exercício
• [3.71] Uma placa em forma de paralelogramo
sofre a ação de dois binários. Determine (a) o
momento do binário formado pelas duas forças
de 93 𝑁, (b) a distância perpendicular entre as
forças de 53 𝑁 se a resultante dos dois binários
for nula, (c) o valor de 𝛼 se o binário resultante
for de 8,1 𝑁 ∙ 𝑚, no sentido horário, e se d for
1,06 𝑚.
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Exercício
• [3.77] Sabendo que 𝑃 = 0, substitua os
dois binários restantes por um binário
único equivalente, especificando sua
intensidade e a direção do seu eixo.
12. Sistema de forças: Redução a uma força e 
um binário
• Um sistema de forças pode ser substituído por um sistema 
força-binário equivalente atuando em um dado ponto O.
• O sistema força-binário em O pode ser movido para 
O’ com a soma do momento de R em relação à O’ ,
RsMM RO
R
O

'
• Dois sistemas de forças são equivalentes se eles podem 
ser reduzidos a um mesmo sistema força-binário.
• As forças e os vetores binários podem ser substituídos 
por uma força resultante e um vetor binário resultante,
   FrMFR RO

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12. Sistema de forças: Redução a uma força e 
um binário
• Se a força resultante e o binário em O forem mutuamente
perpendiculares, o sistema pode ser substituído por uma
única força que atua ao longo de uma nova linha de ação.
• O sistema força-binário resultante para um sistema de 
forças será mutuamente perpendicular se:
1) as forças forem concorrentes, 
2) as forças forem coplanares, ou 
3) as forças forem paralelas.
Casos particulares de redução de um sistema 
de forças
• O sistema de forças coplanares é reduzido
a um sistema força-binário que consiste
em , que são mutuamente
perpendiculares.
R
OMR

 e 
• O sistema pode ser reduzido a uma
única força movendo-se a linha de ação
de até que seu momento em relação a
O se torne .R
OM

R

• Em termos de componentes retangulares,
R
Oxy MyRxR 
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Exercício
7. Para a viga seguinte, reduza o sistema
de forças dado a (a) um sistema força-
binário equivalente em A, (b) um
sistema força binário equivalente em B,
e (c) a uma força única ou resultante.
Observação: Como as reações de apoio não
estão incluídas, esse sistema não manterá a
viga em equilíbrio.
Solução
a) Calculamos a força resultante para 
as forças mostradas e o binário 
resultante para os momentos das 
forças em relação a A.
b) Encontramos um sistema força-
binário em B equivalente ao 
sistema força-binário em A.
c) Determinamos o ponto de 
aplicação para a força resultante 
de tal forma que seu momento em 
relação a A seja igual ao binário 
resultante em A.
SOLUÇÃO:
a) Calculamos a força e o binário resultantes 
em A.
        jjjj
FR


N 250N 100N 600N 150 

  jR

N600
 
       
   ji
jiji
FrM RA



2508,4
1008,26006,1



 kM RA

mN 1880 
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Solução
b) Encontramos um sistema força-binário em B
equivalente ao sistema força-binário em A.
A força fica inalterada pelo movimento do 
sistema força-binário de A para B.
  jR

N 600
O binário em B é igual ao momento em relação 
a B do sistema força-binário encontrado em A.
     
   kk
jik
RrMM AB
R
A
R
B



mN 2880mN 1880
N 600m 8,4mN 1880



 kM RB

mN 1000 
Solução
• Logo, a força única equivalente ao 
sistema dado é definida como:
𝑅 = 600 𝑁 ↓
𝑥 = 3,13 𝑚
c) A resultante do sistema de forças dado é 
igual a R, e seu ponto de aplicação deve ser 
tal que o momento de R em relação a A é 
igual a 𝑀𝐴
𝑅. Temos:
𝒓 × 𝑹 = 𝑴𝐴
𝑅
𝑥𝒊 × −600 𝑁 𝒋 = − 1880 𝑁𝑚 𝒌
−𝑥 600 𝑁 𝒌 = − 1880 𝑁𝑚 𝒌
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Exercício
8. Três cabos estão presos ao suporte,
como ilustrado. Substitua as forças
exercidas pelos cabos por um sistema
força-binário equivalente em A.
SOLUÇÃO:
• Determinamos os vetores posição 
relativos traçados do ponto A até os 
pontos de aplicação das várias forças.
• Decompomos as forças em 
componentes retangulares.
• Calculamos a força resultante,
 FR

• Calculamos o binário resultante,
   FrM RA

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SOLUÇÃO:
• Determinamos os vetores posição
relativos em relação a A:
 
 
 m 100,0100,0
m 050,0075,0
m 050,0075,0
jir
kir
kir
AD
AC
AB






• Decompomos as forças em componentes 
retangulares :
 
 N 200600300
289,0857,0429,0
175
5015075
N 700
kjiF
kji
kji
r
r
F
B
BE
BE
B











  
 N 1039600
30cos60cosN 1200
ji
jiFD




  
 N 707707
45cos45cosN 1000
ki
kiFC




• Calculamos a força resultante: 
 
 k
j
i
FR




707200
1039600
600707300



 
 N 5074391607 kjiR


• Calculamos o binário resultante:
 
k
kji
Fr
j
kji
Fr
ki
kji
Fr
FrM
DAD
cAC
BAB
R
A










9,163
01039600
0100,0100,0
68,17
7070707
050,00075,0
4530
200600300
050,00075,0








kjiM RA

)mN 9,118()mN 68,17()mN 30( 
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Exercício
9. Uma laje de fundação quadrada apoia
os quatro pilares como mostrado na
figura seguinte. Determine a
intensidade e o ponto de aplicação da
resultante das quatro cargas.
Solução
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10. Uma viga de 4 𝑚 de comprimento está sujeita a uma variedade de cargas, (a)
substitua cada carga por um sistema força-binário equivalente na extremidade A da
viga. (b) Quais das cargas são equivalentes?
Redução de um sistema de forças a um torsor
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Exercício
11. Duas forças de igual intensidade 𝑃
atuam sobre um cubo de aresta a
como mostra a figura. Substitua as
duas forças por um torsor equivalente
e determine (a) a intensidade e a
direção da força resultante 𝑅, (b) o
passo do torsor, (c) o ponto do torsor
que intercepta o plano 𝑦𝑧.
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