PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 2016.1 - UPE - LESSA

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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
01.Determine o ponto da parábola , com , que se encontra mais próximo da origem. 
 Resp: ( 
√ 
 
 
 
 
 ) 
02.Encontre a maior área possível para um retângulo com base sobre o eixo dos e vértices superiores sobre a curva 
 . 
 Resp: 
 √ 
 
 
03.Uma linha de transmissão é necessária para fazer a conexão de uma estação de força na margem do rio a uma ilha a 4Km rio 
abaixo e a 1Km da margem. Encontre o custo mínimo para tal linha, dado que custa $50.000,00 por Km para o fio sob a água 
e $30.000,00 por Km para o fio sob o solo. 
 Resp : $160.000,00 
 
04.Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40km de uma costa quase reta, para 
uma cidade que dista 100km, como mostra a figura a seguir. Se a barca tem uma velocidade de 18km por hora e os carros têm 
uma velocidade média de 50km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida 
possível? 
 Ilha 
 
 
 
 40km 
 
 E Cidade 
 Resp: da cidade 
 
 100km 
 
 
05. Sendo A e B constantes positivas, a força entre dois átomos em uma molécula é dada por : f(r) = - 
 
 
 +
 
 
 , onde r é a 
distância entre os àtomos. Que valor de r minimiza a força entre os átomos ? 
 Resp : r = 
 
 
 
 
06. Uma lâmpada está suspensa a uma altura h acima do chão conforme ilustra a figura abaixo. A iluminação no ponto P é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto P até a lâmpada e diretamente proporcional ao cosseno do 
ângulo . A que distãncia do chão deve estar a lâmpada para maximizar a iluminação no ponto P ? 
 
 
 
Resp : √ m 
 
 
 
 
 
07.Um recipiente cilíndrico sem tampa deve ter 375π cm³ de capacidade.O custo do material usado na base é de U$ 0,15 por cm² 
e o custo do material usado na lateral é de U$ 0,05 por cm². Se não há perdas na construção, ache as dimensões que 
miniminizam o custo de material.. 
 Resp : raio do cilindro = 5cm e altura do cilindro = 15cm 
 
08.Uma janela em estilo normando consiste em um retângulo com um semicírculo sobre ele. Se o perímetro de uma janela 
normanda for de 10 m, determine qual deve ser o raio do semicírculo e a altura do retângulo,. Tal que a janela deixe passar 
o máximo de luz. 
 Resp : raio do semicículo = 
4
10
m e altura do retângulo = 
4
10
 m 
 
 
 
 
09.Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de 288 cm3, onde a base é um retângulo com um 
comprimento três vezes maior que a largura. Ache as dimensões da caixa fabricada com o mínimo material. 
 
 Resp: 12 m X 4 m X 6 m 
 
10.Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios 
nas extremidades. O custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do 
tanque deve ser de 10πm³, que dimensões minimizarão o custo da construção? 
 
 
 
 Resp : raio =
2
1 3 15
m ;comprimento do cilindro = 2
3 15
m 
 
11.Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a. Deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos 
quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados 
de modo que o volume da caixa seja o maior possível. 
 Resp : a/6 
 
12.Um gerador de corrente continua tem uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, onde E e r são 
constantes. Se R ohms for a resistência de um resistor ligado externamente ao gerador e se P watts for a potência útil 
lançada pelo geradora no circuito, então P = 
2
2
)( Rr
RE

. Mostre que P é máxima quando as resistências interna e externa 
forem iguais. 
 
13.Deve-se fazer uma taça de cartolina em forma de cone circular reto, de volume de 10cm³. Determine as dimensões que exigem menor 
quantidade de material. 
 Resp : raio da base = 
6
²
450

cm e altura = 

30
3
450
² cm. 
 
14. Uma fornalha é capaz de produzir X toneladas por dia de aço do tipo A e Y toneladas de aço do tipo B, onde Y = 
X
X


10
540
 
.Se o preço de mercado do aço A é a metade do aço B, quantas toneladas de aço A devem ser produzidas por dia para que a 
receita seja máxima ? 
 
 Resp : aproximadamente 5,5 toneladas. 
 
15.Numa dada comunidade, uma certa epidemia alastra-se de tal forma que x meses após o seu início, P% da população estará 
infestada, onde P =
22
2
)x1(
x30

 . Em quantos meses o número de pessoas infectadas atingirá o máximo e que porcentagem 
da população esse número representa? 
 Resp : 1mês; 7,5% 
 
16.Um muro tem 3m de altura, é paralelo à parede de um edifício,e está a 0,3m desta. Determine o comprimento da menor 
escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro.(Sugestão: Use semelhança de triângulos) 
 
 Resp: 

4,45m