lista de calculo 1 (continuidade)

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FUNDAC¸A˜O UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
CAˆMPUS UNIVERSITA´RIO DE PALMAS
ENGENHARIA CIVIL - ENGENHARIA ELE´TRICA
Professor: Gilmar Pires Novaes
Aluno(a):
Matr´ıcula:
2a LISTA DE EXERCI´CIOS DE CA´LCULO I
1. Quais das seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas? Justifique suas respostas.
a) A temperatura em um local espec´ıfico como uma func¸a˜o do tempo.
b) A temperatura em um tempo espec´ıfico como uma func¸a˜o da distaˆncia em direc¸a˜o
a oeste a partir de uma determinada cidade.
c) A altitude acima do n´ıvel do mar como uma func¸a˜o da distaˆncia em direc¸a˜o a oeste
a partir de uma determinada cidade.
d) O custo de uma corrida de ta´xi como uma func¸a˜o da distaˆncia percorrida.
e) A corrente ele´trica nos circuitos para as luzes de uma sala como uma func¸a˜o do
tempo.
[Exerc´ıcios 2-16] Classifique os pontos de descontinuidade das func¸o˜es cujos gra´ficos
sa˜o dados a seguir.
2.
2
3.
4.
5.
3
6.
7.
8.
9.
4
9.
10.
11.
12.
5
6
13.
14.
15.
16.
7
[Exerc´ıcios 17-26] Determine, em cada caso, as constantes a e b de modo que a
func¸a˜o dada seja cont´ınua em todo o seu domı´nio.
17. f(x) =

x3, se x < −1
ax+ b, se − 1 ≤ x < 1.
x2 + 2, se x ≥ 1
18. f(x) =

−x, se − 3 ≤ x ≤ −2
ax2 + b, se − 2 < x < 0.
6, se x ≥ 0
19. f(x) =

x2, se x ≤ −2
ax+ b, se − 2 < x < 2.
2x− 6, se x ≥ 2
20. f(x) =

2x− a, se x < −3
ax+ 2b, se − 3 ≤ x ≤ 3.
−5x+ b, se x > 3
21. f(x) =

x, se x ≤ 1
ax+ b, se 1 < x < 4.
−2x, se x ≥ 4
22. f(x) =

x+ 2a, se x < −2
3ax+ b, se − 2 ≤ x ≤ 1.
3x− 2b, se x > 1
23. f(x) =

2x+ 1, se x ≤ 3
ax+ b, se 3 < x < 5.
x2 + 2, se x ≥ 5
24. f(x) =

3x+ 6a, se x < −3
3ax− 7b, se − 3 ≤ x ≤ 3.
x− 12b, se x > 3
25. f(x) =

x2 − 4
x− 2 , se x < 2
ax2 − bx+ 3, se 2 ≤ x < 3.
2x− a+ b, se x ≥ 3
26. f(x) =

ax2 − bx+ 1, se x ≤ −1
x2 + x, se − 1 < x < 2.
bx2 + ax+ 4, se x ≥ 2
27. Quais condic¸o˜es necessa´rias e suficientes a e b devem satisfazer para que a func¸a˜o
real f , definida por
f(x) =

ax− b, se x ≤ 1
3x, se 1 < x < 2,
bx2 − a, se x ≥ 2
seja descont´ınua em apenas um dos nu´meros 1 ou 2? Justifique sua resposta.
28. Dada a func¸a˜o real f , definida por
f(x) =
{
|x− [[x]]|, se [[x]] e´ par
|x− [[x+ 1]]|, se [[x]] e´ ı´mpar ,
determine os nu´meros nos quais f e´ descont´ınua.
29. Determine o valor que cada func¸a˜o real definida a seguir deve ter no valor de x
correspondente (em que ela na˜o esta´ definida) para que ela seja cont´ınua em R.
a) f dada por f(x) =
√
2 + 3
√
x− 2
x− 8 , x = 8.
b) f dada por f(x) =
√
x2 − 7x+ 16−√6
(x− 5)√x+ 1 , x = 5.
c) f dada por f(x) =
10x − 1
x
, x = 0.
8
30. Calcule os limites a seguir usando continuidade.
a) lim
x→+∞
sen
(
pix
−3x+ 2
)
b) lim
x→+∞
arcsen
(
x
−2x+ 1
) c) limx→+∞ ln
(
x+ 1
x
)
d) lim
x→0
esenx
e) lim
x→+∞
cos(2arctgx)
APLICAC¸O˜ES
1. As taxas para despachar cargas por navio sa˜o, frequentemente, baseadas em
fo´rmulas que oferecem um prec¸o menor por quilo quando o tamanho da carga e´ maior.
Suponha que C(x) seja o custo total, dado por
C(x) =

0, 80x, se 0 < x ≤ 50
0, 70x, se 50 < x ≤ 200,
0, 65x, se x > 200
em que x denota o “peso” (em quilogramas) de uma carga.
a) Esboce o gra´fico de C.
b) Determine os nu´meros nos quais C e´ descont´ınua.
c) Interprete, em termos pra´ticos, os pontos de descontinuidade de C.
2. Suponha que a taxa postal T de uma carta seja calculada da seguinte forma: R$0, 22
por qualquer peso ate´ os 30 primeiros gramas, e enta˜o R$0, 17 a cada 30 gramas, ou frac¸a˜o
adicional, ate´ 330 gramas adicionais. Se x gramas e´ o peso da carta, tal que 0 < x ≤ 330,
a) expresse T como func¸a˜o de x.
b) esboce o gra´fico T .
c) determine os nu´meros no intervalo (0, 330) nos quais T e´ descont´ınua.
d) interprete, em termos pra´ticos, os pontos de descontinuidade de T .
3. A tarifa T cobrada para dirigir em certo trecho de uma rodovia com peda´gio e´ de
R$5, 00, exceto durante o hora´rio de pico (entre 7 da manha˜ e 10 da manha˜ e entre 4 da
tarde e 7 da noite), quando a tarifa e´ de R$7, 00.
a) expresse a tarifa T como func¸a˜o do tempo t, medido em horas apo´s a meia-noite.
b) esboce o gra´fico de T .
c) determine os nu´meros nos quais T e´ descont´ınua.
d) interprete, em termos pra´ticos, os pontos de descontinuidade de T .
4. Um estacionamento para estudantes em uma universidade cobra R$2, 00 para a
primeira meia hora (ou para qualquer frac¸a˜o de hora), e R$1, 00 para cada meia hora (ou
para qualquer frac¸a˜o de hora) subsequente, ate´ uma dia´ria ma´xima de R$10, 00. Discuta
os significados das descontinuidades da func¸a˜o custo para um estudante que utiliza esse
estacionamento.
5. Um ga´s e´ mantido a` temperatura constante em um pista˜o (figura a seguir). A`
medida que o ga´s e´ comprimido, o volume V decresce ate´ que atinja certa pressa˜o cr´ıtica.
Acima dessa pressa˜o, o ga´s assume a forma l´ıquida. Justifique por que V , como func¸a˜o
de P , e´ descont´ınua em P = 100 torrs.
9
6. A forc¸a gravitacional F exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma
distaˆncia r do centro do planeta e´ dada por
F (r) =
{
GMr
R3
, se r < R
GM
r2
, se r ≥ R ,
em que M e´ a massa da Terra, R e´ o seu raio e G e´ a constante gravitacional.
F e´ uma func¸a˜o cont´ınua de r? Justifique sua resposta.
7. O peso W de um objeto e´ dado por
W (x) =
{
ax, se x ≤ R
b
x2
, se r > R
,
em que x e´ a distaˆncia desse objeto ao centro da Terra, R e´ o raio da Terra, e a e b sa˜o
constantes positivas. Que relac¸a˜o deve existir entre essas constantes para que W seja uma
func¸a˜o cont´ınua? Justifique sua resposta.
8. Se uma esfera oca de raio a e´ carregada com uma unidade de eletricidade esta´tica,
a intensidade E do campo em um ponto P depende da distaˆncia x do centro dessa esfera
a P pela seguinte lei:
E(x) =

0, se 0 ≤ x < a
1
2a2
, se x = a .
1
x2
, se x > a
Discuta a continuidade de E.
9. Um pa´ıs taxa em 15% a renda de um indiv´ıduo ate´ R$20.000, 00 e em 20% a renda
acima daquele limite.
a) Expresse o imposto total T como func¸a˜o da renda x.
b) Esboce o gra´fico de T .
c) T e´ cont´ınua ou descont´ınua? Justifique, em termos pra´ticos, sua resposta.
10. Uma companhia telefoˆnica debita R$0, 25 pelo primeiro minuto (ou frac¸a˜o) de
ligac¸a˜o interurbana, e R$0, 15 para cada minuto adicional (ou frac¸a˜o).
a) Expresse o custo total C como func¸a˜o de uma ligac¸a˜o de x minutos.
b) Esboce o gra´fico de C.
c) C e´ cont´ınua ou descont´ınua? Justifique, em termos pra´ticos, sua resposta.
10
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO (TVI)
1. Um corredor parte do repouso e corre numa pista circular. Ele para quando, enta˜o,
volta ao ponto de partida. Mostre que, pelo menos uma vez durante essa volta, ele deve
ter desenvolvido a mesma velocidade que em pontos diametralmente opostos.
2. Um alpinista comec¸a a escalar uma montanha a`s 8 horas, no sa´bado, e chega ao
topo a`s 16 horas. Acampa no topo e desce no domingo, saindo a`s 8 horas e voltando para
o seu ponto original de partida a`s 16 horas. Mostre que, em algum momento no domingo,
ele estava a` mesma altura em que esteve nesse instante no sa´bado.
3. Um monge tibetano deixa o monaste´rio a`s 7 horas da manha˜ e segue sua caminhada
usual para o topo da montanha, chegando la´ a`s 7 horas da noite. Na manha˜ seguinte,
ele parte do topo a`s 7 horas da manha˜, anda pelo mesmo caminho de volta e chega ao
monaste´rio a`s 7 horas da noite. Mostre que existe um ponto no caminho que o monge vai
cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.
4. No estudo da queda de objetos pro´ximos a` superf´ıcie da Terra, a acelerac¸a˜o g devidaa` gravidade e´ usualmente considerada como sendo a constante 9, 8 m/s2. Entretanto,
a forma el´ıptica da Terra e outros fatores causam variac¸o˜es nesse valor que dependem
da latitude. A seguinte fo´rmula, conhecida como Fo´rmula da Gravidade Elipsoidal do
Sistema Geode´sico Mundial, de 1984 (WGS 84), e´ usada para prever o valor de g na
latitude φ graus (tanto ao norte quanto ao sul do Equador):
g = 9, 7803253359
1 + 0, 0019318526461sen2φ√
1− 0, 0066943799901sen2φm/s
2.
Demonstre que g = 9, 8 m/s2 em algum lugar entre as latitudes 38o e 39o.
5. A temperatura T (em oC) na qual a a´gua ferve e´ dada, aproximadamente, pela
fo´rmula
T (h) = 100, 862− 0, 0415
√
h+ 431, 03,
em que h e´ a altitude (em metros, acima do n´ıvel do mar).
Demonstre que a a´gua ferve a 98oC a uma altitude entre 4000 e 4500 metros.
6. A figura a seguir mostra uma escada de 12 m apoiada, por cima de um muro de
5 m, em uma parede situada a 3 m atra´s do muro. Determine as poss´ıveis distaˆncias
(aproximadas) x da base da escada a` base do muro.
7. Uma a´rvore de 100 m esta´ a 20 m de uma cerca de 10 m. Essa a´rvore quedra a uma
altura de x pe´s, conforme figura a seguir. Ela cai, de modo que seu tronco apenas toca
11
a parte superior dessa cerca quando a extremidade toca o solo, do outro lado da cerca.
Determine as poss´ıveis alturas (aproximadas) x de quebra dessa a´rvore.
8. Demonstre que cada uma das equac¸o˜es dadas a seguir tem uma raiz no intervalo
dado correspondente.
a) x3 − 4x2 + x+ 3 = 0, [1, 2].
b) x3 + x+ 3 = 0, [−2,−1].
c) 2x3 − 4x2 + 5x− 4 = 0, [1, 2].
d) x4 − x− 1 = 0, [−1, 1].
e) x2 +
1
2x
− 2 = 0,
[
1
4
, 1
]
.
f) x
5
3 + x
1
3 − 1 = 0, [−1, 1].
g) x3 −√x+ 2 = 0, [1, 2].
9. Demonstre que a equac¸a˜o x3 + x2 − 2x− 1 = 0 tem, no mı´nimo, uma raiz real em
[−1, 1].
10. Demonstre que a equac¸a˜o x4 + 5x3 + 5x− 1 = 0 tem, no mı´nimo, duas ra´ızes reais
distintas em [−6, 2].
11. Demonstre que a equac¸a˜o x3 − 4x+ 2 = 0 tem treˆs ra´ızes distintas em [−3, 3].
12. Localize os zeros de cada uma das func¸o˜es dadas a seguir.
a) f(x) = 2x3 + 4x− 4.
b) f(x) = x3 − 5x+ 3.
c) f(x) = x5 − 3x+ 1.
d) f(x) = x3 − 2senx+ 1
2
.
e) f(x) = 100e−
x
100 − 0, 01x2.
f) f(x) = arctgx+ x− 1.
13. Existe um nu´mero real que e´ exatamente uma unidade a mais do que seu cubo?
Justifique sua resposta.
14. Demonstre que, se a e b sa˜o nu´meros reais positivos, a equac¸a˜o
a
x3 + 2x2 − 1 +
b
x3 + x− 2 = 0
tem, no mı´nimo, uma soluc¸a˜o no intervalo (−1, 1).
OBSERVAC¸A˜O. Ha´ uma raiz de x3 + 2x2 − 1 nesse intervalo, a qual estamos des-
considerando para que a equac¸a˜o dada esteja bem definida.
15. Verifique se cada uma das func¸o˜es dadas a seguir satisfaz as hipo´teses do TVI no
intervalo [a, b] correspondente dado. Em caso afirmativo, obtenha um valor c ∈ (a, b) tal
que f(c) =
f(a) + f(b)
2
. Se na˜o, verifique se c ∈ (a, b) ainda existe.
12
a) f(x) =
x+ 1
x2 + 1
, [−2, 3].
b) f(x) =
4x+ 3
x− 1 , [−3, 2].
c) f(x) = secx, [−pi, 2pi].
d) f(x) = senx− 3cos(2x),
[pi
2
, 2pi
]
.
[EXTRA]
Admita que, em qualquer dado instante, a temperatura da superf´ıcie da Terra varie
continuamente com a posic¸a˜o. Demonstre que existe pelo menos um par de pontos sobre
o Equador, diametralmente opostos, nos quais a temperatura e´ a mesma.
13
RESPOSTAS
1.
a) Cont´ınua.
b) Cont´ınua.
c) Descont´ınua.
d) Descont´ınua.
e) Descont´ınua.
2. 1: tipo salto; 3: remov´ıvel.
3. 0: tipo salto.
4. 0: remov´ıvel; 1: tipo salto.
5. 1: tipo salto; 2: remov´ıvel.
6. 0: remov´ıvel; 1: tipo salto.
7. 1: tipo salto; 2: remov´ıvel.
8. 0: tipo salto.
9. Igual a` 8.
10. −2: tipo salto; 0 e 4: infinita.
11. 0 e 2: infinitas.
12. −2 e 2: infinitas; 0: tipo salto.
13. −2, 5 e 2: tipo salto; 1: remov´ıvel.
14. −3, −1, 0, 5: tipo salto; 2, 5: remov´ıvel.
15. −2 e 2: tipo salto; 1: remov´ıvel.
16. −2, 5: remov´ıvel; −0, 5, 2 e 3: tipo salto.
OBS: considere apenas uma das “bolinhas” (em x = 3) aberta, de modo que a des-
continuidade e´ do tipo salto.
17) a = 2; b = 1.
18) a = −1; b = 6.
19) a = −3
2
; b = 1.
20) a = −3; b = −6.
21) a = −3; b = 4.
22) a = 1
3
; b = 2
3
.
23) a = 10; b = −23.
24) a = 2; b = −3.
25) a = 1
2
; b = 1
2
.
26) a = −3; b = 2.
27)
Cont´ınua em x = 1; descont´ınua em x = 2: a = b+ 3, b 6= 3.
Cont´ınua em x = 2; descont´ınua em x = 1: a = 4b+ 6, b 6= 3.
28) Na˜o existem tais nu´meros: f e´ cont´ınua em todo o seu domı´nio (conjunto dos
nu´meros reais).
29)
a) f(8) = 1
72
b) f(5) = 1
4
c) f(0) = ln(10)
14
30)
a) −
√
3
2
b) −pi
6
c) 0 d) 1 e) −1
APLICAC¸O˜ES
1. b) 50; 200.
2.
3. c) 7; 10; 16; 19.
4. 1 segundo pode custar ao estudante 1 real.
5. Em P = 100 torrs, as formas gasosa e l´ıquida coexistem em equil´ıbrio, e a substaˆncia
na˜o pode ser classificada como ga´s ou como l´ıquido.
6. Sim.
7. b
a
= R3.
8. E e´ descont´ınua apenas em x = a.
9. a)
T (x) =
{
0, 15x, se 0 < x ≤ 20000
3000 + 0, 20(x− 20000), se x > 20000 .
b) T e´ cont´ınua em todo o seu domı´nio.
10. a)
C(x) =
{
0, 25, se 0 < x ≤ 1
0, 25 + 0, 15(x− 1), se x > 1 .
b) C e´ descont´ınua em todo nu´mero inteiro maior do que 1.
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO (TVI)
1. Suponhamos que a velocidade do corredor, depois que ele corre x metros, seja v(x)
(em metros/segundo), e que a circunfereˆncia da pista seja 2a metros. Porque ele comec¸a
do repouso e para depois de uma volta, temos v(0) = v(2a) = 0. Suponhamos que v seja
cont´ınua para 0 ≤ x ≤ 2a. Enta˜o a func¸a˜o f(x) = v(x+a)−v(x), que e´ a diferenc¸a entre a
velocidade desse corredor em pontos diametralmente opostos, e´ cont´ınua para 0 ≤ x ≤ a.
Temos f(0) = v(a) − v(0) = v(a) e f(a) = v(2a) − v(a) = −v(a). Se v(a) = 0, enta˜o
esse corredor tem a mesma velocidade (zero) em x = 0 e no ponto oposto (x = a). Se
v(a) 6= 0, enta˜o f(0) e f(a) teˆm sinais opostos e, pelo TVI, existe algum x0 (x0 ∈ (0, a))
tal que f(x) = 0. Com esse x0 temos v(x0 + a) = v(x0). Portanto, esse corredor tem a
mesma velocidade em x e no ponto oposto x+ a.
2. Resoluc¸a˜o ana´loga a`quela do Exerc´ıcio 3 a seguir.
3. Consideremos:
i) u(t) a distaˆncia do monge ao monaste´rio, como uma func¸a˜o do tempo t (em horas),
no primeiro dia;
ii) d(t) a distaˆncia do monge ao monaste´rio, como uma func¸a˜o do tempo t (em horas),
no segundo dia;
iii) D(t) a distaˆncia do monaste´rio ao topo da montanha.
Das informac¸o˜es fornecidas sabemos que u(0) = 0, u(12) = D, d(0) = D e d(12) = 0.
Agora, consideremos a func¸a˜o u− d, que e´ claramente cont´ınua. Calculamos (u− d)(0) =
15
−D e (u − d)(12) = D. Assim, pelo TVI, existe algum tempo t0 (t0 ∈ (0, 12)) tal que
(u− d)(t0) = 0, o que equivale a u(t0) = d(t0). Portanto, nesse instante t0, apo´s 7 : 00, o
monge estara´ no mesmo lugar em ambos os dias.
4. g e´ cont´ınua em [38o, 39o], g(38o) < 9, 8 m/s2 e g(39o) > 9, 8 m/s2. Portanto, pelo
TVI, existe c ∈ (38o, 39o) tal que g(c) = 9, 8 m/s2.
5. T e´ cont´ınua em [4000, 4500], T (4000) ∼= 98, 0995o C e T (4500) ∼= 97, 9478o C.
Portanto, pelo TVI, existe h ∈ (4000, 4500) tal que T (h) = 98o C.
6. O problema equivale a obter as soluc¸o˜es reais positivas da equac¸a˜o
x4 + 6x3 − 110x2 + 150x+ 225 = 0, as quais sa˜o x ∼= 2, 7 pe´s ou x ∼= 6, 5 pe´s.
7. O problema equivale a obter as soluc¸o˜es reais positivas da equac¸a˜o
x3 − 68x2 + 1100x − 5000 = 0, as quais sa˜o x ∼= 8, 2 pe´s ou x ∼= 13 pe´s ou x ∼= 46, 8
pe´s.
8. Denotando por f(x) o primeiro membro de cada uma das equac¸o˜es dadas, temos (a
existeˆncia de raiz no correspondente intervalo aberto e´ garantida pelo TVI, apo´s observar
que f satisfaz as suas hipo´teses, em cada caso):
a) f(1) = 1 > 0; f(2) = −3 < 0.
b) f(−2) = −7 < 0; f(−1) = 1 > 0.
c) f(1) = −1 < 0; f(2) = 6 > 0.
d) f(−1) = 1 > 0; f(1) = −1 < 0.
e) f
(
1
4)
=
1
16
> 0; f(1) = −1
2
< 0.
f) f(−1) = −3 < 0; f(1) = 1 > 0.
g) f(1) = 1−√3 < 0; f(2) = 6 > 0.
9. Denotando por f(x) o primeiro membro de cada uma das equac¸o˜es dadas, temos (a
existeˆncia de raiz no correspondente intervalo aberto e´ garantida pelo TVI, apo´s observar
que f satisfaz as suas hipo´teses, em cada caso): f(−1) = 1 > 0 e f(1) = −1 < 0.
10. Denotando por f(x) o primeiro membro de cada uma das equac¸o˜es dadas, temos (a
existeˆncia de raiz no correspondente intervalo aberto e´ garantida pelo TVI, apo´s observar
que f satisfaz as suas hipo´teses, em cada caso): f(0) = −1 < 0 e f(1) = 10 > 0;
f(−6) = 185 > 0 e f(−5) = −26 < 0.
11. Denotando por f(x) o primeiro membro de cada uma das equac¸o˜es dadas, temos (a
existeˆncia de raiz no correspondente intervalo aberto e´ garantida pelo TVI, apo´s observar
que f satisfaz as suas hipo´teses, em cada caso): f(−3) = −13 < 0 e f(−2) = 2 > 0;
f(0) = 2 > 0 e f(1) = −1 < 0; f(1) = −1 < 0 e f(2) = 2 > 0.
12. Em vez de localizar os zeros de cada uma das func¸o˜es dadas a seguir, apenas
demonstre que tais zeros existem. (A existeˆncia de raiz no correspondente intervalo
aberto e´ garantida pelo TVI, apo´s observar que f satisfaz as suas hipo´teses, em cada
caso):
a) f(0) = −4 < 0; f(1) = 2 > 0.
b) f(−3) = −9 < 0; f(−2) = 5 > 0; f(0) = 3 > 0; f(1) = −1 < 0; f(1) = −1 < 0;
f(2) = 1 > 0.
c) f(−2) = −25 < 0; f(−1) = 1 > 0; f(0) = 1 > 0; f(1) = −1 < 0; f(1) = −1 < 0;
f(2) = 27 > 0.
d) f(−2) ∼= −5, 68 < 0; f(−1) ∼= 1, 18 > 0; f(0) = 0, 5 > 0; f(1) ∼= −0, 18 < 0;
f(1) ∼= −0, 18 < 0; f(2) ∼= 6, 68 > 0.
e) f(0) = 100 > 0; f(100) = 100e−1 − 100 < 0.
16
f) f(0) = −1 < 0; f (pi
4
)
= pi
4
> 0.
13. Se tal nu´mero existe, enta˜o ele satisfaz a equac¸a˜o x = x3 + 1 (⇔ x3 − x+ 1 = 0).
Denotando por f(x) o primeiro membro dessa equac¸a˜o, temos:
i) f e´ cont´ınua (f e´ polinomial!);
ii) f(−2) = −5 < 0;
iii) f(−1) = 1 > 0.
Portanto, pelo TVI, tal nu´mero existe.
14. Temos
a
x3 + 2x2 − 1 +
b
x3 + x− 2 = 0⇒ a(x
3 + x− 2) + b(x3 + 2x2 − 1) = 0.
Denotando por p(x) o primeiro membro dessa equac¸a˜o, temos:
i) p e´ cont´ınua (p e´ polinomial!);
ii) p(−1) = −4a < 0;
iii) p(1) = 2b > 0.
Portanto, pelo TVI, existe c ∈ (−1, 1) tal que p(c) = 0. (A u´nica raiz do denominador
da equac¸a˜o dada que pertence ao intervalo (−1, 1) e´
√
5− 1
2
, a qual na˜o anula p(x), pois
p
(√
5− 1
2
)
=
(3
√
5− 9)a
2
6= 0.)
15.
a) f satisfaz as hipo´teses do TVI: c ∼= −0, 83.
b) f na˜o e´ cont´ınua em x = 1. Logo, f na˜o satisfaz as hipo´teses do TVI. No entanto,
f(c) =
f(−3) + f(2)
2
para c =
11
3
.
c) f na˜o e´ cont´ınua em x = −pi
2
,
pi
2
,
3pi
2
.
f(−pi) + f(2pi)
2
= 0 para todo x ∈ [−pi, 2pi].
d) f satisfaz as hipo´teses do TVI: c ∼= 2, 38 ou c ∼= 4, 16 ou c ∼= 5, 25.