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2a Controle Modelos DORF

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Capítulo 2
Modelos Matemáticos de Sistemas
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Analogia Força-Corrente
202/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Substituindo
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Aproximações Lineares
302/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Relação entre duas variáveis quaisquer:
Expansão em 
Série de Taylor
0
Ponto de Operação
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aproximações Lineares
Ex 2.1
402/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
θ
Considere o torque aplicado a massa:
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Erro devido a linearização
502/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA EDO para Elementos Ideais
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Integral de Convolução
702/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Transformada de Laplace
802/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
A transformação de Laplace para uma função no tempo é:
A transformada de Laplace Inversa é escrita como:
A variável s de Laplace pode ser considerado um operador diferencial:
Além disso, pode ser obtido um operador integral:
A transformação de Laplace Inversa normalmente é
obtida através da expansão em frações parciais de Heaviside
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Funções de Transferência
902/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Fazendo a convolução entre u(t) e h(t), têm-se:
Assumindo a entrada como , encontra-se:
Da transformação de Laplace, por definição:
A saída é a entrada multiplicada pelo ganho H(s)
Aplicando um impulso unitário,
a saída será a função de transferência
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Massa-mola-amortecedor
Aplicação de Laplace
1002/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
0
0
Equação Característica no domínio do tempo,
quando igualado a 0
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Massa-mola-amortecedor
Aplicação de Laplace
1102/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Fazendo k/M = 2 e b/M = 3, têm-se:
Expandindo em frações parciais:
Considerando y0 = 1,
k2 = ? Num = [1 3];
Den = conv([1 1],[1 2]);
[r,p,k] = residue(Num,Den);
r = [2 -1];
p = [-1 -2];
k = [];
Princípio da 
Superposição
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Massa-mola-amortecedor
Transf. Laplace Inversa
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Mudando...
relações entre mola e atrito
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k/M = 2 e b/M = 3
y t( ) 2e
t-
1 e
2- t
-:=
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y t( )
t
k/M = 0,1 e b/M = 3
y t( ) 1.0114957546028551213 e
0.033712170138481985498- t
 0.011495754602855121339 e
2.9662878298615180145- t
-:=
0 50 100 150 200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y t( )
t
k/M = 2 e b/M = 0,1
k/M = 10 e b/M = 3
y t( ) e
3 t
2
-
cos
31 t
2







3 31 e
3 t
2
-
 sin
31 t
2







31
+:=
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
y t( )
t
0 20 40 60 80 100
1-
0.5-
0
0.5
1
y t( )
t
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Teorema do valor final
1402/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Considerando o Massa-mola em estudo:
Observa-se que o equilíbrio está na origem y = 0:
Se todos os polos de s.Y(s) estão no semipleno esquerdo, então:
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 3.11 Franklin
1502/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
0s
s
3
s s 2-( )





lim

3
2
-
t
3 e
2 t

2
3
2
-






lim


O Teorema do Valor Final só pode ser aplicado em sistemas estáveis:
Raízes?
0s
s
3
s s 2-( )





lim

3
2
-
t
3 e
2 t

2
3
2
-






lim


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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 16
Expansão em Frações Parciais Quando 
F(s) inclui pólos múltiplos(1)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 17
Expansão em Frações Parciais Quando 
F(s) inclui pólos múltiplos(2)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 18
Expansão em Frações Parciais Quando 
F(s) inclui pólos múltiplos(3)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 19
Expansão em Frações Parciais Quando 
F(s) inclui pólos múltiplos(4)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 20
Expansão em Frações Parciais Quando 
F(s) inclui pólos múltiplos(5)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 21
Expansão em Frações Parciais Quando 
F(s) inclui pólos múltiplos(6)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Transformada Inversa 
de Laplace
22Aula 3
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Transformada Inversa 
de Laplace
23Aula 3
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 24
Propriedade da 
Transformada de Laplace(1)
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Aula 3 25
Propriedade da 
Transformada de Laplace(2)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula 3 26
Propriedade da 
Transformada de Laplace(3)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Mecânicos de Rotação
27
• Lei fundamental da mecânica de rotação
෍torques = momento de inércia ∙ aceleração angular
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Rotação Básicos
28
• Sistema torque - momento de inércia
𝝉 𝒕 = 𝐽𝜶 𝒕 = 𝐽
𝑑𝝎 𝒕
𝑑𝑡
= 𝐽
𝑑2𝜽 𝒕
𝑑𝑡2
– 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo
– 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo
– 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo
– 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo
– 𝐽: momento de inércia total do eixo
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Rotação Básicos
29
• Sistema torque - mola
𝝉 𝒕 = 𝐾𝜽 𝒕 = 𝐾න𝝎 𝒕 𝑑𝑡 = 𝐾ඵ𝜶 𝒕 𝑑𝑡
– 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo
– 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo
– 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo
– 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo
– 𝐾: constante elástica de torção da mola
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Rotação Básicos
30
• Sistema torque - amortecedor
𝝉 𝒕 = 𝐵𝝎 𝒕 = 𝐵
𝑑𝜽 𝒕
𝑑𝑡
= 𝐵න𝜶 𝒕 𝑑𝑡
– 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo
– 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo
– 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo
– 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo
– 𝐵: constante de atrito viscoso do amortecedor
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.16 - NISE
3102/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.17 - NISE
3202/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Todas as forças sobre M1
Forças sobre M1 decorrentes 
apenas de movimento de M1
Forças sobre M1 decorrentes 
apenas de movimento de M2
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.17 - NISE
3302/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Todas as forças sobre M2
Forças sobre M2 decorrentes 
apenas de movimento de M2
Forças sobre M2 decorrentes 
apenas de movimento de M1
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resumindo
3402/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.18 - NISE
3502/02/2016
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.18 - NISE
3602/02/2016
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.18 - NISE
3702/02/2016
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.19 - NISE
02/02/2016
Torques em J1 decorrentes 
apenas do movimento de J1
Torques em J1 decorrentes 
apenas do movimento de J2
Diagrama de corpo livre
final para J1
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.19 - NISE
02/02/2016
Torques em J2 decorrentes 
apenas do movimento de J2
Torques em J2 decorrentes 
apenas do movimento de J1
Diagrama de corpo livre
final para J2
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.19 - NISE
02/02/2016
𝜃2(𝑠) =
(𝐽1 + 𝐷1𝑠 + 𝐾) 𝑇(𝑠)
−𝐾 0
(𝐽1 + 𝐷1𝑠 + 𝐾) −𝐾
−𝐾 (𝐽2 + 𝐷2𝑠 + 𝐾)
Regra de Cramer
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.20 - NISE
4102/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.20 - NISE
4202/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.20 - NISE
4302/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Rotação - Engrenagens Ideais
44
– Supostas rígidas
– Não possuem atrito
– Não possuem momento de inércia
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Rotação - Engrenagens Ideais
45
• Rotação:
𝝎𝟏(𝒕)
𝝎𝟐(𝒕)
=
𝑟2
𝑟1
=
𝑁2
𝑁1
• Conjugado:
𝝉𝟐(𝒕)
𝝉𝟏(𝒕)
=
𝑟2
𝑟1
=
𝑁2
𝑁1
• Potência: 𝝉𝟏(𝒕) 𝝎𝟏 𝒕 = 𝝉𝟐(𝒕) 𝝎𝟐 𝒕
– 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular em função do tempo
– 𝒗(𝒕): vetor velocidade no ponto de contato em função do tempo
– 𝝉(𝒕): vetor torque em função do tempo
– 𝒇(𝒕): vetor força no ponto de contato em função do tempo
– 𝑁: número de dentes da engrenagem
– 𝑟: raio da engrenagem
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas com Engrenagens
4602/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Sistema rotacional acionado por
engrenagens
Sistema equivalente com relação à 
saída após reflexão do torque de entrada.
Sistema equivalente com
relação à entrada após reflexão das impedâncias.
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.22 - NISE
4702/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Sistema usando um trem de
engrenagens
sistema
equivalente 
com relação
à entrada
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Mecânicos de Rotação
48
• Exemplo 1
𝐽𝑟𝑒𝑓 = 𝐽𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝑁𝑟𝑒𝑓
𝑁𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
2
– Na figura, temos a representação de um sistema de rotação dotado de
um jogo de engrenagens supostas ideais. Os vetores de movimento e
as constantes envolvidas, bem como o torque (conjugado motor) 𝐶𝑚,
que age sobre o primeiro rotor, estão devidamente indicados. Note
que o segundo eixo, ao contrário do primeiro que é rígido, apresenta
uma constante elástica de torção 𝐾. Desenvolva as equações que
modelam esse sistema.
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Importância deste Estudo
4902/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Acoplamento Elástico vs. Engrenagem
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Motor CC
5002/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Volante/
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
MOTOR CC COM EXCITAÇÃO 
INDEPENDENTE
Modelo:
• Resistências constantes
• Perdas magnéticas e de
saturação desprezadas
• Reação da armadura não
modelada
• Campo constante e 
desacoplado da armadura
• Comutação ideal
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Motor CC controlado pela 
corrente de campo
5202/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Mantendo a armadura constante, têm-se:
O torque do motor é igual ao da carga:
Perturbações, 
como rajadas 
de vento
Torque para um volante de inércia:
Posição
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Motor CC controlado pela 
corrente de campo
5302/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Motor CC controlado pela 
corrente da armadura
5402/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Mantendo o campo constante, têm-se:
O torque do motor é igual ao da carga:
Torque para um volante de inércia:
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Motor CC controlado pela 
corrente da armadura
5502/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Eletromecânicos
• Servomotor de corrente contínua controlado pelo 
circuito de armadura
– 𝒊𝒂(𝒕): vetor corrente de armadura
– 𝑒𝑎(𝒕): vetor força eletromotriz
– 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante
– T𝒎(𝒕): vetor conjugado motor (torque)
– 𝐽: momento de inércia do motor
– 𝐾𝑚: constante de ganho do motor
– b: constante de atrito viscoso do motor
56
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Eletromecânicos
• Equação do circuito de armadura
• 𝒗𝒂(𝒕) = 𝐿𝑎
𝑑𝒊𝒂(𝒕)
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑎𝒊𝒂(𝒕) + 𝑒𝑎(𝒕)
• Equação da força eletromotriz induzida
• 𝑒𝑎 𝒕 = 𝐾𝑚𝝎(𝒕)
• Equação do conjugado eletromagnético
• T𝒎(𝒕) = 𝐾𝑚𝒊𝒂(𝒕)
• Equação do conjugado eletromecânico
• T𝒎(𝒕) = 𝐽
𝑑𝝎(𝒕)
𝑑𝑡
+ b𝝎(𝒕)
57
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Eletromecânicos
• Funcionamento em regime permanente
•
𝑑𝝎(𝒕)
𝑑𝑡
= 0
𝑑𝒊𝒂(𝒕)
𝑑𝑡
= 0
• 𝒗𝒂 = 𝑅𝑎𝒊𝒂 + 𝑒𝑎
• 𝑒𝑎 = 𝐾𝑚𝝎
• T𝒎 = 𝐾𝑚𝒊𝒂
• T𝒎 = b𝝎
58
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Eletromecânicos
• Característica de conjugado em regime permanente
• T𝒎(𝝎) =
𝐾𝑚
𝑅𝑎
(𝒗𝒂 − 𝐾𝑚𝝎)
59
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Eletromecânicos
• Característica de potência em regime permanente
• 𝑃 𝝎 =
𝐾𝑚𝒗𝒂
𝑅𝑎
−
𝐾𝑚
2
𝑅𝑎
𝝎 𝝎
• 𝑃carga = 𝐵𝝎
2
• 𝝎𝑚á𝑥 =
𝒗𝒂
𝐾𝑚
• 𝑃𝑚á𝑥 =
𝒗𝒂
2
4𝑅𝑎
61
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.23 - NISE
6202/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Motor cc e
carga
Curva torque-velocidade
𝑣𝑎 = 100 V
𝑣𝑎
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.23 - NISE
6302/02/2016
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Curva torque-velocidade
T𝒎(𝝎) =
𝐾𝑚
𝑅𝑎
(𝒗𝒂 − 𝐾𝑚𝝎)
𝐾𝑚
𝑅𝑎
= 5
T𝒎(0) = 500 Nm 𝝎 0 = 50 rad/s
𝑣𝑎 = 100 V
500 =
𝐾𝑚
𝑅𝑎
(100 − 𝐾𝑚. 0) 0 =
𝐾𝑚
𝑅𝑎
(100 − 𝐾𝑚. 50)
𝐾𝑚 = 2
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 2.23 - NISE
6402/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Motor cc e
carga
𝑣𝑎
𝜃(𝑠)
𝑣𝑎(𝑠)
𝐾𝑚
𝑅𝑎
= 5
𝐾𝑚 = 2
𝜃(𝑠)
𝑣𝑎(𝑠)
=
Τ𝐾𝑚 𝑅𝑎. 𝐽𝑚
𝑠 𝑠 + Τ1 𝐽𝑚 𝐷𝑚 + Τ𝐾𝑚
2 𝑅𝑎
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas Eletromecânicos
• Exemplo 2
– Um servomotor de imã permanente tem resistência de 
armadura de 𝑅𝑎 = 2,33 Ω, conjugado/torque máximo (para 
𝜔 = 0), T𝑚á𝑥 = 0,25 𝑁𝑚 e tensão nominal de 𝑣𝑎 = 14 𝑉. 
Determine para essa tensão: a) a velocidade máxima (𝜔𝑚á𝑥); 
b) a característica de conjugado; c) a potência máxima; d) o 
ponto de operação (𝜔, 𝑃) para um conjugado de carga 
constante Tcarga = 0,05 𝑁𝑚.
65
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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Motor CC Fracionário
6602/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Sistema de Leitura de 
Acionadores de Disco
6702/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Disk read/write mechanism 
Source: Courtesy of Hewlett-Packard Company
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Sistema de Leitura de 
Acionadores de Disco
6802/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Sistema de Leitura de 
Acionadores de Disco
6902/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Que motor CC apresenta 
essa função de transf.?
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Sistema de Leitura de 
Acionadores de Disco
7002/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
p/
Resposta a um degrau: 0,1/s
Controlando pela Armadura,
Como ficaria essa resposta?
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Tempo de resposta para 
dispositivos eletromecânicos
7102/02/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel

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