Erros e Medidas

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Universidade do Estado do Rio Grande do Norte – UERN
Faculdade de Ciências Exatas e Naturais – FANAT
Departamento de Física –DF
Disciplina
Física Instrumental
Assunto
Erros e Medidas
Prof. Idalmir de Souza Queiroz Júnior
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Erros e Medidas
1. Título: 
	Erros e Medidas
2. Objetivos
	Aprender a medir grandezas corretamente e dar tratamento adequado para os erros cometidos.
3. Teoria
	Um instrumento de medidas pode ser definido como uma extensão de nossos sentidos, e serve para determinar o valor ou variável. É interessante apresentarmos alguns conceitos, que nem sempre são tão claros como pode parecer.
Acuracidade ou Exatidão: Maior ou menor aproximação do valor verdadeiro da variável que está sendo medida.
Precisão:Medida de reprodutibilidade da medida, ou seja, o quanto diferem entre si sucessivas medidas da mesma grandeza.
Sensitividade: Medida do quanto varia a leitura do instrumento para uma determinada variação na grandeza na grandeza medida.
Resolução: É a menor variação do valor medido detectável pelo instrumento.
Erro: Desvio do verdadeiro valor da variável medida.
	Alta Precisão	Baixa Precisão	Alta Precisão
	Baixa Acuracidade	Baixa Acuracidade	Alta Acuracidade
Figura 1: Precisão e exatidão em medidas.
	Por exemplo, dois voltímetros idênticos, sendo que um deles está descalibrado, são usados em determinadas medições. Ambos têm a mesma precisão, pois fornecem o mesmo número de algarismos significativos, mas o voltímetro calibrado é o mais acurado.
3.1. Algarismo Significativo 
	Considere uma medida de comprimento feita com uma régua dividida em cm conforme a figura 2.
Figura 2: Medida efetuada em uma régua graduada em cm.
	Um bom valor para o comprimento da haste, seria de 11,3 cm. Mas talvez outro bom valor fosse 11,2 cm. Não há dúvidas quanto ao valor 11, este algarismo é correto. O terceiro algarismo (2 ou 3), é estimado ou duvidoso. Os três algarismos são considerados significativos. Se observarmos a figura 3, onde a medição é realizada com uma régua graduada em milímetros, com isso garantimos mais um algarismo significativo: 11,31 cm. Agora temos que 11,3 é formado por algarismos corretos, enquanto que o último algarismo, 1, é um algarismo estimado ou duvidoso, pois ele poderia ser 2, ou 3.
Figura 3: Medida efetuada em uma régua graduada em mm.
3.2. Operações Aritméticas
	A precisão de um número pode ser verificada pela quantidade de algarismos significativos apresentadas pelo instrumento na medição. Em uma medição as todas as operações devem ter a mesma quantidade de algarismos significativos. Se a medida do perímetro de um retângulo for feita usando uma régua em cm para a medição do comprimento, e dá 11,7 cm, e uma régua graduada em mm, for usada para medir a largura, e dá 22,43 cm, obtemos:
	Perímetro	=	2 x 11,7 cm	+	2 x 22,43 cm 
			=	23,4 cm	+	44,86 cm 
	Como realizar a soma: 23,4? Cm + 44,86 cm ? Para tanto, devemos apresentar apenas uma casa decimal.
	Perímetro	=	2 x 11,7 cm	+	2 x 22,4 cm 
			=	23,4 cm	+	44,8 cm 
			=	68,1 cm
	Porém, podemos ter um tratamento mais elaborado estudando a propagação dos erros.
3.3. Propagação dos Erros
	Primeiramente, como devemos apresentar o erro? Qualquer medição deve ser representada por todos os algarismos significativos, por exemplo, a medição com a régua graduada em cm pode ser
	l = (11,7 ( 0,2) cm
ou seja, o valor medido está entre 11,5 cm e 11,9 cm, onde o termo 0,2 cm é a imprecisão absoluta da medição. A medição com a régua graduada em mm poderia ter o seguinte resultado:
	l = (11,75 ( 0,02) cm
onde o valor medido está entre 11,73 cm e 11,77 cm, e a imprecisão absoluta é 0,02 cm. Podemos representar a medição com o erro representado de três maneiras:
Erro Absoluto: l = (11,7 ( 0,2) cm
Erro Relativo: l = 11,7 cm ( 0,2/11,7 = 11,7 cm ( 0,017 
Erro Percentual: l = (11,7 ( 0,2/11,7x100) cm = 11,7 cm ( 1,7 %
	Outra informação importante, é que as grandezas em um experimento podem ser dependentes ou independentes. As grandezas independentes são aquelas que não dependem uma da outra, uma medida não influencia na outra medida, como a medição da altura e da largura de um bloco. Já o caso da medição da corrente elétrica e da tensão em um resistor dependem uma da outra, neste caso são grandezas dependentes. A medida de uma afeta a medida da outra grandeza. Temos então:
Para Grandezas Independentes:
Soma: S ( s = A + B ( [(a)2 + (b)2]½ 
Diferença: D ( d = A - B ( [(a)2 + (b)2]½
Produto: P ( p/P = A x B ( [(a/A)2 + (b/B)2]½ 
Razão: R ( r/R = A / B ( [(a/A)2 + (b/B)2]½
Para Grandezas Dependentes:
Soma: S ( s = A + B ( (a + b) 
Diferença: D ( d = A - B ( (a + b)
Produto: P ( p/P = A x B ( (a/A + b/B) 
Razão: R ( r/R = A / B ( (a/A + b/B)
onde a, b, s e d são erros absolutos, e, a/A, b/B, p/P e r/R são erros relativos. Na soma e na diferença os erros são absolutos, enquanto que no produto e na razão eles são relativos.
3.4. Análise Estatística dos Dados
	Em ciência e tecnologia, é fundamental a realização de medidas de grandezas físicas. Estas grandezas podem ser, por exemplo, comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre dois pontos, carga elétrica transportada, intensidade luminosa, e muitas outras. Para se caracterizar o sistema de freios de um automóvel, por exemplo, realiza-se uma medida da distância percorrida após o acionamento dos freios quando o carro se movia a uma certa velocidade. Ao se realizar uma medida, há sempre fontes de erro que a afetam. As fontes de erro fazem com que toda medida realizada, por mais cuidadosa que seja, esteja afetada por um erro experimental. Os erros experimentais podem ser classificados em dois grandes grupos: erros sistemáticos e erros aleatórios.
	Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Erros sistemáticos fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão (ou acuracidade) da medida. Erros sistemáticos podem ser causados devido:
Ao instrumento que foi utilizado: por exemplo, erros causados em medidas de intervalos de tempo feitas com um relógio que atrasa;
Ao método de observação utilizado: por exemplo, medir o instante de ocorrência de um relâmpago pelo ruído do trovão associado;
A efeitos ambientais: por exemplo, a medida de freqüência da luz emitida por um laser, que pode depender ligeiramente da temperatura ambiente;
A simplificações do modelo teórico utilizado: por exemplo, não incluir o efeito da resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida do tempo de queda de uma bolinha de ping-pong de uma altura fixa.
	Uma das principais tarefas do realizador de medidas é identificar e eliminar o maior número possível de fontes de erro sistemático. Já os erros aleatórios são flutuações, para cima ou para baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas de uma mesma grandeza numa mesma situação experimental esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos. Os erros aleatórios afetam a precisão da medida. Nem sempre se pode identificar as fontes de erros aleatórios. Algumas fontes típicas de erros aleatórios são:
Método de observação: erros devidos ao julgamento feito pelo observador ao fazer uma leitura abaixo da menor divisão de uma escala, como por exemplo, medir o comprimento de uma folha de papel com uma régua cuja menor divisão é 1 mm com precisão na medida de 0,5 mm;
Flutuações ambientais: mudanças não previsíveis na temperatura, voltagem da linha, correntes de ar, vibrações (por exemplo, causadas por passagem de pessoas perto do aparato experimental ou veículos nas vizinhanças).
	Erros aleatórios podem ser tratados quantitativamente através de métodos estatísticos, de maneira que seus efeitosna grandeza física medida podem ser, em geral, determinados.
a) Média Aritmética:
	Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas, se forem realizadas muitas medições aproximadamente a metade das medidas feitas estará acima e metade estará abaixo do valor correto. Por isso, uma boa estimativa para o valor correto da grandeza será a média aritmética dos valores medidos:
onde N é a quantidade de medições, xi é o i-ésimo valor medido e 
 é o valor médio.
b) Desvio Padrão:
	Ao se realizar várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da média. Quando eles se afastam muito da média, a medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão. Quando o conjunto de medidas feitas está mais concentrado em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta, e os valores medidos têm uma distribuição de baixa dispersão. Quantitativamente a dispersão do conjunto de medidas realizadas pode ser caracterizada pelo desvio padrão do conjunto de medidas, definido como:
onde o termo di = |xi - 
|, é conhecido como desvio médio da i-ésima medida, e o desvio médio pode ser dado por D = d1 + d2 + ... + dN = |xi - 
|.
	Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando o desvio padrão é alto. Pode-se demonstrar que o desvio padrão caracteriza o intervalo dentro do qual há 68% de probabilidade de ocorrência de um valor medido. Dito de outra forma, isto significa que se for feito um conjunto muito grande de medições, 68% delas estarão dentro do intervalo
 -  e 
 + .
	Podemos também ter o erro padrão médio, dado por: 
	Outra grandeza importante é a variância que é o quadrado do desvio padrão, dado por v = 2, e tem a vantagem de ser aditiva.
c) Regressão Linear:
	O Método dos Mínimos Quadrados é muito útil para o cálculo do ajuste linear. Para um grupo de dados, a melhor reta que passa por esse ponto é dada por:
	Y = ax + b	(	
 
				
	Para se ter uma boa idéia de como está o ajuste da curva, devemos observar o coeficiente de correlação das grandezas, quanto mais próximo de ( 1, melhor será o ajuste. O coeficiente de correlação, R, é dado por:
onde, x e y, são os desvios padrões das grandezas x e y.
4. Atividades
	Em um experimento com um pêndulo simples, os valores de 5 medidas sucessivas do período foram encontrado. Calcule a média, os desvios médios individuais, o desvio médio e o desvio padrão.
	T (s)
	1,56
	1,54
	1,55
	1,57
	1,53
Tabela 1: Valores medidos do período de um pêndulo simples.
	Em um experimento de cinemática, temos os valores medidos da distância percorrida pelo tempo. Faça um gráfico de d x t relativo a esta tabela. Encontre a equação da melhor reta que passa por estes pontos. Calcule o coeficiente de correlação R dos valores medidos. 
	d (cm)
	10
	20
	30
	40
	50
	T (s)
	0,12
	0,23
	0,37
	0,48
	0,61
Tabela 1: Valores medidos da distância percorrida pelo tempo.
5. Bibliografia
Cruz, C.H.B., Fragnito, H.L., Costa, I.F. e Mello, B.A., “Guia para Física Experimental - Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros”, IFGW, Unicamp, 1997.
Damo, H.S., “Física Experimental I – Mecânica, Rotações, Calor e Fluidos”, EDUCS, RS, 1985.
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