1 Symm

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Simetria
Simetria
Motivo: a parte fundamental de um design simétrico que, 
quando repetido, cria um padrão final
Simetria
Motivo: a parte fundamental de um design simétrico que, 
quando repetido, cria um padrão final
Operação: alguma ação que reproduz o motivo para criar 
um padrão
Simetria
Motivo: a parte fundamental de um design simétrico que, 
quando repetido, cria um padrão final
Operação: alguma ação que reproduz o motivo para criar 
um padrão
Elemento: uma operação localizada em um ponto 
particular no espaço
Simetria 2-D
Elementos de simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
= rotação 360o/2 
para reproduzir o 
motivo em um 
padrão simétrico
6
6
um padrão simétrico
Elementos de simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
= rotação 360o/2 
para reproduzir o 
motivo em um 
padrão simétrico
= símbolo para um eixo de 
simetria (rotação) binário
Motivo
Elemento
Operação
6
6
Simetria 2-D
6
6
primeiro 
passo da 
operação
segundo 
passo da 
operação
Simetria 2-D
Elementos de simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
= rotação 360o/2 
para reproduzir o 
motivo em um 
padrão simétrico
= símbolo para um eixo de 
simetria (rotação) binário
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos 
têm um simetria 
intrínsica
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos 
têm um simetria 
intrínsica
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos 
têm um simetria 
intrínsica
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos 
têm um simetria 
intrínsica
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos 
têm um simetria 
intrínsica
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos 
têm um simetria 
intrínsica
Simetria 2-D
Elementos de simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos tem 
uma simetria 
intrínsica
rotação de 180o o torna coincidente
Simetria 2-D
Elementos de simetria
1. Rotação
a. Eixo binário
Alguns objetos tem 
uma simetria 
intrínsica
rotação de 180o o torna coincidente
Um segunda rotação de 180o traz 
o objeto de volta à sua posição 
original
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
b. Eixo ternário
= rotação 360o/3 
para reproduzir o 
motivo em um 
padrão simétrico
6
6
6
Simetria 2-D
6
6
6
passo 1
passo 2
passo 3
Elementos de Simetria
1. Rotação
b. Eixo ternário
= rotação 360o/3 
para reproduzir o 
motivo em um 
padrão simétrico
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
6
6
6
6
6
6 6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
1-fold 2-fold 3-fold 4-fold 6-fold
 Z
Eixos de rotação 5 e > 6 não funcionam em combinação com translações nos cristais. 
Esta é a razão pela qual foram excluídos aqui.
a
identity
Objectos com simetria:
Simetria 2-D
Eixos 4, 2, e 3 em um cubo
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Elementos de Simetria
2. Inversão (i)
inversão através de um 
centro de simetria 
reproduz um motivo em 
um padrão simétrico
= símbolo para um centro 
de inversão
inversão é identica a um eixo 
2 em 2-D, mas é única em 3-
D (tente com suas mãos)
6
6
Simetria 2-D
Elementos de simetria
3. Reflexão (m)
Reflexão através de um 
‘plano de espelho’ 
reproduz o motivo 
 
= símbolo para um 
plano de espelho (ou 
reflexão)
Simetria 2-D
Simetria 2-D
Simetria 2-D
Agora temos 6 únicas operações de simetria 2-D: 
Simetria 2-D
Agora temos 6 únicas operações de simetria 2-D: 
1 2 3 4 6 m
Simetria 2-D
Agora temos 6 únicas operações de simetria 2-D: 
1 2 3 4 6 m
Rotações são operações congruentes
⇒ reproduções são identicas
Simetria 2-D
Agora temos 6 únicas operações de simetria 2-D: 
1 2 3 4 6 m
Rotações são operações congruentes
⇒ reproduções são identicas
Inversão e reflexão são operações enantiomórficas
⇒ reproduções são do tipo “esquerdo-direito”
Simetria 2-D
Combinações de elementos de simetria são também possíveis
Para criar uma analise completa da simetria em torno de um ponto 
no espaço, devemos tentar todas as combinações possíveis dos 
elementos de simetria
Para clareza e facilidade de ilustração, continuamos somente com 
exemplos 2-D
Simetria 2-D
Combinações de elementos de simetria são também possíveis
Para criar uma analise completa da simetria em torno de um ponto 
no espaço, devemos tentar todas as combinações possíveis dos 
elementos de simetria
Combinando eixo de rotação binário (2) com espelhos 
(planos de simetria)
Simetria 2-D
Combinando um eixo de rotação 2 com um espelho
Passo 1: refletir
(pode ser qualquer um primeiro)
Simetria 2-D
Simetria 2-D
Combinando um eixo de rotação 2 com um espelho
Passo 2: rotacionar
Combinando eixo de rotação 2 com um plano de simetria
Passo 1: refletir
Passo 2: rotacionar (tudo)
Simetria 2-D
Combinando eixo de rotação 2 com um plano de simetria
Passo 1: refletir
Passo 2: rotacionar (tudo)
é tudo??
Simetria 2-D
Combinando um eixo de simetria 2 com um plano de 
simetria
Passo 1: refletir
Passo 2: rotacionar (tudo)
Não! Um segundo espelho é 
necessário
Simetria 2-D
Combinando um eixo de rotação 2 com um plano de 
simetria
O resultado é o Grupo pontual 2mm
“2mm” indica 2 espelhos
Os espelhos são diferentes
 (não equivalentes por simetria)
Simetria 2-D
Agora combinando um eixo de rotação-4 com um espelho
Simetria 2-D
Simetria 2-D
Agora combinando um eixo de rotação- 4 com um espelho
Passo 1: refletir
Simetria 2-D
Agora combinando um eixo de rotação-4 com um espelho
Passo 1: refletir
Passo 2: rotacionar 1
Combinando um eixo de rotação-4 com um espelho
Passo 1: refletir
Passo 2: rotacionar 2
Simetria 2-D
Combinando um eixo de rotação-4 com um espelho
Passo 1: refletir
Passo 2: rotacionar 3
Simetria 2-D
Combinando um eixo de rotação-4 com um espelho
Simetria 2-D
Combinando um eixo de rotação-4 com um espelho
Outros elementos?
Simetria 2-D
Combinando eixo de rotação-4 com plano de simetria
Sim, mais dois espelhos
Algum outro elemento?
Simetria 2-D
Combinando eixo de rotação-4 com plano de simetria
Sim, mais dois espelhos
Algum outro elemento?
Simetria 2-D
Combinando eixo de rotação-4 com plano de simetria
4mm
Nome do Grupo Pontual??
Sim, mais dois espelhos
Algum outro?
Simetria 2-D
Combinando eixo de rotação-4 com plano de simetria
4mm
Nome do Grupo Pontual??
Sim, mais dois espelhos
Algum outro?
Simetria 2-D
Porque não 4mmmm?
Eixo de rotação ternário (3) com um espelho cria o grupo 
pontual 3m
Porque não 3mmm?
Simetria 2-D
Eixo-6 com um plano de simetria cria o grupo pontual 6mm
Simetria 2-D
Simetria 2-D
Qualquer outra combinação é:
Simetria 2-D
Qualquer outra combinação é:
Incompativel
Simetria 2-D
Qualquer outra combinação é:
Incompativel
(2 + 2 não pode ser feito em 2-D)
Simetria 2-D
Qualquer outra combinação é:
Incompativel
(2 + 2 não pode ser feito em 2-D)
Redundante com outros já tentados
Simetria 2-D
Qualquer outra combinação é:
Incompativel
(2 + 2 não pode ser feito em 2-D)
Redundante com outros já tentados
m + m → 2mm porque cria um eixo-2
Simetria 2-D
Qualquer outra combinação é:
Incompativel
(2 + 2 não pode ser feito em 2-D)
Redundante com outros já tentados
m + m → 2mm porque cria um eixo-2Isso é o mesmo que 2 + m → 2mm
Simetria 2-D
Os 6 elementos originais mais as 4 combinações criam 10 
possibilidades de Grupos Pontuais 2-D:
 1 2 3 4 6 m 2mm 3m 4mm 6mm
 Qualquer padrão 2-D de objetos que circundam um ponto 
deve-se enquadrar em um desses grupos de simetria
Simetria 2-D
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria 3-D
4. Rotoinversão
a. Rotoinversão-1 ( 1 )
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria 3-D
4. Rotoinversão
a. Rotoinversão-1 ( 1 )
Passo 1: rotacionar 360/1
 (identidade)
Simetria 3-D
4. Rotoinversão
a. Rotoinversion ( 1 )
Passo 1: rotacionar 360/1
 (identidade)
Passo 2: inverter
Isso é o mesmo que i, portanto 
não é uma operação nova
Novos elementos de simetria 3-D
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
b. Rotoinversão-2 ( 2 )
Passo 1: rotacionar 360/2
Note: este é um passo 
temporário, o elemento 
intermediário do motivo 
não existe no padrão final
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
b. Eixo-2 de rotoinversão ( 2 )
Passo 1: rotacionar 360/2
Passo 2: inverter
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria 
4. Rotoinversão
b. Eixo-2 de rotoinversão ( 2 )
O resultado:
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
b. Eixo-2 rotoinversão ( 2 )
Isto é o mesmo que m, portanto 
não é uma nova operação
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Passo 1: rotacionar 360o/3 
Novamente, este é um 
passo temporário, o 
elemento do motivo 
intermediário não existe 
no padrão final pattern
1
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Passo 2: inverter através 
do centro
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Compleção da primeira 
sequência
1
2
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Rotacionar outro 360/3
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Inverter através do centro
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Completa o segundo passo 
para criar a face 3
1
2
3
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
O terceiro passo cria a 
face 4 
 (3 → (1) → 4)
1
2
3
4
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Quarto passo cria a face 5 
(4 → (2) → 5)
1
2
5
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
O quinto passo cria a face 6
 (5 → (3) → 6)
Sexto passo retorna a face 1
1
6
5
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )
Este é único
1
6
5
2
3
4
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
Simetria 3-D
Novos elementos de 
simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
1: Rotaciona 360/4
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
1: Rotaciona 360/4
2: Inverte
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
1: Rotaciona 360/4
2: Inverte
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
3: Rotaciona 360/4
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
3: Rotaciona 360/4
4: Inverte
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
3: Rotaciona 360/4
4: Inverte
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
5: Rotaciona 360/4
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
5: Rotaciona 360/4
6: Inverte
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
Também é uma operação única
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )
Uma representação mais 
fundamental do padrão
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
3
2
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
3
2
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
3
4
2
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
3
4
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
3
4
5
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
3
4
5
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
3
4
5
6
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
Note: isto é o mesmo que um eixo-3 de 
rotação perpendicular ao plano do 
espelho
Top View
Simetria 3-D
Novos elementos de simetria
4. Rotoinversão
e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )
 Um padrão mais simples
Top View
Simetria 3-D
Agora temos 10 únicas operações de simetria 3-D: 
 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 
Simetria 3-D
Agora temos 10 únicas operações de simetria 3-D: 
 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 
Combinações desses elementos são também possíveis
Simetria 3-D
Agora temos 10 únicas operações de simetria 3-D: 
 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 
Combinações desses elementos são também possíveis
Uma análise completa da simetria em torno de um ponto no espaço 
requer que tentamos todas as combinações possíveis desses 
elementos de simetria
Simetria 3-D
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2 || m = 2mm
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2|| m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
b. Eixo de rotação ⊥ ao espelho
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
b. Eixo de rotação ⊥ ao espelho
2 ⊥ m = 2/m
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
b. Eixo de rotação ⊥ ao espelho
2 ⊥ m = 2/m
3 ⊥ m = 3/m, também 4/m, 6/m
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
b. Eixo de rotação ⊥ ao espelho
2 ⊥ m = 2/m
3 ⊥ m = 3/m, também 4/m, 6/m
c. A maioria de outras rotações + m são impossíveis
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
b. Eixo de rotação ⊥ ao espelho
2 ⊥ m = 2/m
3 ⊥ m = 3/m, também 4/m, 6/m
c. A maioria de outras rotações + m são impossíveis
Eixo-2 a um ângulo qualquer com uma espelho?
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
b. Eixo de rotação ⊥ ao espelho
2 ⊥ m = 2/m
3 ⊥ m = 3/m, também 4/m, 6/m
c. A maioria de outras rotações + m são impossíveis
Eixo-2 a um ângulo qualquer com uma espelho?
Em alguns casos a 45o ou 30o são possíveis
Simetria 3-D
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotação
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotação
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotação
2 + 2 a 90o → 222 (o terceiro 2 requerido a partir da 
combinação)
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotação
2 + 2 a 90o → 222 (o terceiro 2 requerido a partir da 
combinação)
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotação
2 + 2 a 90o → 222 (o terceiro 2 requerido a partir da 
combinação)
4 + 2 a 90o → 422 ( “ “ “ )
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotação
2 + 2 a 90o → 222 (o terceiro 2 requerido a partir da 
combinação)
4 + 2 a 90o → 422 ( “ “ “ )
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotação
2 + 2 a 90o → 222 (o terceiro 2 requerido a partir da 
combinação)
4 + 2 a 90o → 422 ( “ “ “ )
6 + 2 a 90o → 622 ( “ “ “ )
Simetria 3-D
Simetria 3-D
Como em 2-D, o número de combinações possíveis é 
limitado somente pela incompatibilidade e redundância
Simetria 3-D
Como em 2-D, o número de combinações possíveis é 
limitado somente pela incompatibilidade e redundância
Simetria 3-D
Como em 2-D, o número de combinações possíveis é 
limitado somente pela incompatibilidade e redundância
Há somente 22 combinações únicas possíveis em 3-D, 
quando combinados com os 10 elementos 3-D originais 
proporciona 32 grupos espaciais 3-D
Simetria 3-D
Fig. 5.18 of Klein (2002) Manual of 
Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
Simetria 3-D
Table 5.1 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
Os 32 Grupos Pontuais 3-D
Table 5.1 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
Os 32 Grupos Pontuais 3-D
Cada padrão 3-D deve se conformar a um deles.
Table 5.1 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
Os 32 Grupos Pontuais 3-D
Cada padrão 3-D deve se conformar a um deles.
Isto inclui cada cristal, e cada ponto dentro do cristal
Table 5.1 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
Table 5.3 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
Os 32 Grupos Pontuais 3-D
Table 5.3 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
Os 32 Grupos Pontuais 3-D
Reagrupados por Systemas Cristalinos
Table 5.3 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Simetria 3-D
After Bloss, Crystallography and 
Crystal Chemistry. © MSA
Simetria 3-D
Os 32 Grupos Pontuais 3-D
After Bloss, Crystallography and 
Crystal Chemistry. © MSA