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Fenômenos Mecânicos – BC0208
Aula 9
Roosevelt Droppa Jr
(roosevelt.droppa@ufabc.edu.br)
03/12/2013
Centro de Ciências Naturais e Humanas (CCNH)
Universidade Federal do ABC (UFABC)
� Sistemas e arredores
� Trabalho feito por uma força constante 
� Produto escalar
O que veremos hoje...
Estudo de caso: queda livre
Y0 = H
( )2 2 2y yi y iv v a y y= + −
Estudo de caso: queda livre
( )212
21
2
0d mv mgy
dt
mv mgy
+ =
+ = energia do sistema
Energia cinética
Energia potencial
Y0 = H Quantidade que se conserva no tempo:
ENERGIA
( )2 2 2y yi y iv v a y y= + −
�Energia é conservada
�Isto significa que energia não pode ser criada 
ou destruída
�Se a quantidade total de energia num sistema 
muda, ela só pode ser devida à energia que 
cruza os limites de um sistema por algum 
mecanismo de transferência de energia
Conservação de energia
� Dizemos que realizamos Trabalho sobre um objeto quando ao aplicamos uma 
certa força sobre este objeto, ele efetua algum deslocamento na direção da 
força aplicada.
� Se o deslocamento na direção da força é nulo, então o Trabalho realizado 
também é nulo.
� O Trabalho realizado é uma grandeza escalar, podendo ser positivo, negativo ou 
nulo.
� O Trabalho é medido em Joules (J) no S.I.
W =
�
F ⋅
�
d
Deslocamento
Força
Trabalho
W = Fd cosθ
θ
Ângulo entre a Força e a 
direção do deslocamento
�
A = Acos θ
A
iˆ +A sin θ
A
jˆ
�
B = B cosθ
B
iˆ +B sin θ
B
jˆ





�
A ⋅
�
B = A
x
B
x
+A
y
B
y
�
A ⋅
�
B = AB cosθ
A
cosθ
B
+AB sin θ
A
sin θ
B
�
A ⋅
�
B = AB cos θ
A
− θ
B( )
Produto Escalar
Trabalho e Energia
Trabalho e Energia
O trabalho realizado sobre um objeto por um agente que 
aplica sobre o mesmo uma força constante é o produto do 
deslocamento realizado e da componente da força na 
direção desse deslocamento
θ
N
�
P
�
F
�
d
�
F cos θ
W = Fd cos θ
W =
�
F
R
⋅
�
d
=
�
P +
�
N +
�
F( )⋅
�
d
=
�
P ⋅
�
d +
�
N ⋅
�
d +
�
F ⋅
�
d
= Pd cos 90+Nd cos 90+Fd cosθ
= d F cosθ
Trabalho e força constante
θ
F
�
d
�
θ = 30
F = 50N
d = 3m





W = Fd cosθ
W = 50×3×cos30
W = 130J
Força constante: exemplo 1
Um faxineiro está puxando um aspirador de pó 
pela mangueira a 30o com a horizontal fazendo 
uma força de 50 N. Calcule o trabalho realizado 
pelo homem sobre o aspirador após puxá-lo por 
uma distância de 3 m.
Um objeto movendo-se no plano xy realiza um deslocamento 
submetido a uma força constante . Calcule:
a) O trabalho realizado sobre o objeto. 
b) O comprimento do deslocamento.
c) A intensidade da força.
d) O ângulo entre a força e o deslocamento.
�
d = 2,0 iˆ + 3,0 jˆ( )m�
F = 5,0iˆ + 2,0 jˆ( )N
b) d = 22 + 32 = 13m
c) F = 52 + 22 = 29N
a) W =
�
F ⋅
�
d = 2×5+ 3×2
W = 16J
d)
�
F ⋅
�
d = Fd cosθ
cosθ =
�
F ⋅
�
d
Fd
=
16
377
= 34,5�
Força constante: exemplo 2
Um fazendeiro engata um trenó carregado de madeira ao seu trator e o puxa até uma 
distância de 20 m ao longo de um terreno horizontal. O peso total do trenó carregado é 
igual a 14700 N. O trator exerce uma força constante de 5000 N, formando um ângulo de 
36,9° acima da horizontal, como indicado na figura. Existe uma força de atrito de 3500 N 
que se opõe ao movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o 
trabalho total realizado por todas as forças.
Força constante: exemplo 3
Agora suponha que a velocidade inicial v1 do trenó é seja 2,0 m/s. Qual é a velocidade 
escalar do trenó após um deslocamento de 20 m?
Força constante: exemplo 4
Trabalho e força variável
W =
�
F ⋅
�
d
Deslocamento
Força
Trabalho
Trabalho e força variável
O Trabalho realizado sobre um objeto ao longo de uma trajetória é igual à 
soma dos trabalhos realizados em cada trecho dessa trajetória
W = Wi
i=1
n
∑ e Wi = F
��
i (x) ⋅∆x
�
i ⇒ W = F
��
i (x) ⋅∆x
�
i
i=1
n
∑
Para uma trajetória de comprimento finito, se tomarmos um número de 
trechos n muito grande, podemos dizer que em cada um desses pequenos 
trechos,
n→∞⇒∆x→ dx
E a somatória torna-se uma integral:
W = lim
n→∞
F
��
i (x) ⋅∆x
�
i
i=1
n
∑






= F
��
(x) ⋅d x
�
xi
x f
∫
Em particular, se a 
força e o deslocamento 
estão na mesma direção,
W = F(x)dx
xi
x f
∫
( )F x
x
W
Trabalho e força variável
Para esticar uma mola precisamos realizar trabalho. A força aplicada a suas 
extremidades corresponde à força exercida pela mola segundo a Lei de 
Hooke.
( )
f
i
x X X
x
x
W F x dx F dx kxdx kX= = = =∫ ∫ ∫ 2
0 0
1
2
Trabalho e força variável
Molas
Análise gráfica
Trabalho e força variável
Molas
2 4 6
1
3
5
x(m)
F(N) W = F(x)dx= F
1
(x)dx
0
4
∫
W
1
� ����� �����
+ F
2
(x)dx
4
6
∫
W
2
� ����� �����0
6
∫
F
1
(x)= 5
F
2
(x)=15−2,5x




W = 5dx+ 15−2,5x( )dx
4
6
∫
0
4
∫
W = 5x
0
4
+ 15x−2,5
x2
2






4
6
W = 5×4−5×0+
+15×6−1,25×62−15×4+1,25×42
W = 20+90−45−60+20⇒W = 25J
W =W
1
+W
2
W
1
= 4×5= 20
W
2
=
2×5
2
= 5
W = 20+5⇒W = 25J
W1 W2
Força variável: exemplo 1
A intensidade de uma força atuando sobre um corpo em função de sua posição é 
descrita pelo gráfico abaixo. Qual o trabalho realizado por essa força para um 
deslocamento entre 0 e 6 m? 
Força variável: exemplo 2
Um carrinho com 0,100 kg de massa está ligado à extremidade de um trilho de ar 
horizontal por uma mola cuja constante é 20 N/m. Inicialmente a mola não está 
esticada e o carrinho se move com velocidade igual a 1,50 m/s da esquerda para a 
direita. Ache a distância máxima d que o carrinho pode se mover para a direita:
(a) Supondo que o ar esteja passando pelo trilho e o atrito seja desprezível e
(b) Supondo que o ar não esteja fluindo no trilho e o coeficiente de atrito cinético 
seja µc = 0,47.
Bibliografia
Serway, R. A.; Jewett Jr., J. W. Princípios de Física -
Mecânica Clássica, Vol. 1, cap. 2, Cengage Learning, 2004.
Young, H. D.; Freedman, R. A. Sears & Zemansky, Física I -
Mecânica, vol. 1, cap. 2, Pearson Education do Brasil, 2008.