Exercícios: Integrais Duplas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS DUPLAS 
PROF. EDSON FIGUEIREDO LIMA JR. 
 
Nos exercícios 01 a 08, calcule 

D
ydxdyxf ),(
, onde 
D
 é a região descrita em cada caso. 
01. 
2)(
1
),(
yx
yxf


 , 
D
 o retângulo 
21,43  yx
. 
02. 
2
2
),(
y
x
yxf 
 , 
D
 no 1º quadrante, limitada pelas retas 
2,  xxy
 e pela hipérbole 
x
y
1

. 
03. 
xyxf ),(
, 
D
 o triângulo cujos vértices são 
)1,1(,)0,0(
 e 
)1,0(
. 
04. 
xyxf ),(
, 
D
 no 1º quadrante, limitada pela reta 
2 yx
 e pelo arco da circunferência de raio 1, 
que tem seu centro no ponto 
)1,0(
. 
05. 
y
x
eyxf ),(
, 
D
 limitada pela parábola 
xy 2
 e pelas retas 
0x
 e 
1y
. 
06. 
22),( yxyxf 
 , 
D
 o triângulo cujos vértices são 
)1,1(,)0,0( 
 e 
)1,1(
. 
07. 
22
),(
yx
x
yxf


 , 
D
 limitada pela parábola 
2
2x
y 
 e pela reta 
xy 
. 
( Sugestão: 
21 (1 )
2
arctg u du uarctgu ln u c   
) 
08. 
22),( yxyxf 
, 
D
 no 1º quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela circunferência de 
centro na origem e raio 
a
. 
Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida. 
09. 
 
4
0
12
3 2
)),((
x
x
xdydyxf
 10. 
 
1
0
3
2
)),((
x
x
xdydyxf
 
11. 
 


a xa
a
xa
xdydyxf
0
2
22
22
)),((
 
12. 
 


1
0
1
1 2
)),((
y
y
ydxdyxf
 
13. Escreva 
∫(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜋𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)𝑑𝑥
2
0
 
como uma integral dupla e esboce graficamente a região de integração correspondente. 
14. Calcule 
ydxd
b
y
a
x
D
  2
2
2
2
1
, sendo 
D
 ),({ yx
 R2 / 
}1
2
2
2
2

b
y
a
x
. 
( Sugestão: Faça 
uax 
 e 
vby 
) 
15. Calcule 
ydxdyxyx
D
  )(sen)(
22
, onde 
D
 ),({ yx
 R2 / 
}||||  yx
. 
( Sugestão: Faça 
yxu 
 e 
yxv 
) 
16. Se 
D
 ),({ yx
 R2 / 
}1||||  yx
, mostre que 



1
1
)()( udufydxdyxf
D
. 
( Sugestão: Faça 
yxu 
 e 
yv 
) 
17. Calcule a área da região que não contém a origem, sendo limitada pela reta 
1x
 e pela circunferência 
422  yx
. 
18. Calcule a área da região interior à elipse de equação 
1
94
22

yx
. 
19. Calcule a área da região compreendida entre as parábolas 
25102  xy
 e 
962  xy
. 
20. Calcule a área da região em destaque na figura abaixo. 
 
21. Calcule a área comum aos círculos limitados por 
422  yx
 e 
4)2( 22  yx
. 
22. Calcule a área da região interior à lemniscata 
)2(cos22 r
 e exterior à circunferência de centro na 
origem e raio unitário. 
23. Calcule a área da região interior à cardióide 
cos1 r
 e à direita da reta 
4
3
x
. 
24. Calcule o volume limitado pelo cilindro 
422  yx
 e pelos planos 
0z
 e 
4 zy
. 
25. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 
22 4yxz 
, pelo plano 
0z
 e pelos cilindros 
xy 2
 
e 
yx 2
. 
26. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 
224 yxz 
, pelo cilindro 
yyx 822 
 e pelo plano 
0z
. 
27. Calcule o volume do sólido limitado pelo plano 
0z
, pelo cilindro 
xyx 222 
 e pelo cone 
222 zyx 
. 
28. Calcule o volume do sólido contido no parabolóide 
222 yxz 
, limitado por este e pela esfera de 
equação 
3222  zyx
. 
29. Calcule o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelas superfícies 
,1,  yxyxz
 
xyxyyx 2,,2 
 e 
0z
. 
( Sugestão: Faça 
yxu 
 e 
x
y
v 
) 
30. Ao calcular-se, por dupla integração, o volume V do sólido situado abaixo da superfície de equação 
22 yxz 
 e acima de uma região D do plano XY, obteve-se a seguinte soma de integrais 
V = 
  


2
1
2
0
22
1
0 0
22 ))(())((
yy
ydxdyxydxdyx
. 
Qual é esse sólido? É possível obter o valor do mesmo volume sem a necessidade do cálculo de uma 
soma de integrais? Qual o valor do volume? 
 
 
 
R E S P O S T A S 
01. 
)
24
25
(ln
 02. 
4
9
 03. 
6
1
 04. 
6
1
 05. 
2
1
 06. 
6

 07. 
2ln
 08. 
6
3a
 
 
09. 
 
48
0
3
12
)),((
y
y
ydxdyxf
 10. 
   
3
2
12
0
3
2
3
)),(()),((
y
y
y
ydxdyxfydxdyxf
 
 
11. 
  



a yaya
yaa
a
a
ydxdyxfydxdyxf
2
22
2
22
2 00 2
)),(()),((
 
 
12. 
  




1
0
1
0
0
1
1
0
)),(()),((
2
xx
xdydyxfxdydyxf
 13. 2
2
0
1
( )
1
x
x
d y dx
y

 
 
 
14. 
3
2 ba
 15. 
3
4
 17. 
3
3
4


 18. 
6
 19. 
3
1516 20. 146/9 
21. 
)334(
3
2

 22. 
3
3


 23. 
16
398  24. 
16
 25. 
7
3
 26. 
96
 
27. 
9
32
 28. 
3
)536(  29. 
)24(
3
1

 
 
 
 
30. O sólido corresponde a um cilindro com base triangular cujo volume vale 4/3. Esse valor pode ser obtido 
através do cálculo da integral dupla 21
2 2
0
[ ( ) ]
x
x
x y d y d x

 
. 
 
