4 Variáveis Aleatórias Conjuntas

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GL301 – Estatística I
Leonardo T. Duarte
Primeiro Semestre de 2013
Variáveis Aleatórias Conjuntas
 
Variáveis aleatórias conjuntas
● Até o momento, vimos algumas VAs discretas e 
contínuas unidimensionais
● Em muitas situações, no entanto, há um grande 
interesse em modelar duas ou mais grandezas 
conjuntamente
 
Variáveis aleatórias conjuntas
● Até o momento, vimos algumas VAs discretas e 
contínuas unidimensionais
● Em muitas situações, no entanto, há um grande 
interesse em modelar duas ou mais grandezas 
conjuntamente
● Exemplo: deseja-se, num processo de 
manufatura, analisar a variabilidade do peso e do 
volume de um produto
● Neste caso, a base desta descrição requererá um 
modelo probabilístico multidimensional 
 
VAs discretas conjuntas
● Exemplo: sejam as variáveis aleatórias X e Y definidas 
como riscos associados ao funcionamento de um 
gerador e de uma máquina em uma indústria.
0 → nenhum risco de falhar, 1 → risco moderado de 
falhar, 2 → alto risco de falhar 
● Estamos interessados na distribuição conjunta dos riscos
 
VAs discretas conjuntas
● Exemplo: sejam as variáveis aleatórias X e Y definidas 
como riscos associados ao funcionamento de um 
gerador e de uma máquina em uma indústria.
0 → nenhum risco de falhar, 1 → risco moderado de 
falhar, 2 → alto risco de falhar 
● Estamos interessados na distribuição conjunta dos riscos
● Suponha que as probabilidades conjuntas dos riscos são
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2
0 0.2 0.1 0.2
x 1 0.1 0.05 0.05
2 0.15 0.1 0.05
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● Sejam X e Y duas variáveis discretas
● Para cada ponto (x,y) do espaço amostral associado ao 
experimento conjunto modelado por X e Y, a função 
massa de probabilidade conjunta fXY(x,y) é definida por
fXY(x,y) = P(X = x, Y = y)
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● Sejam X e Y duas variáveis discretas
● Para cada ponto (x,y) do espaço amostral associado ao 
experimento conjunto modelado por X e Y, a função 
massa de probabilidade conjunta fXY(x,y) é definida por
fXY(x,y) = P(X = x, Y = y)
● No exemplo anterior, a fmp foi caracterizada pela tabela 
de probabilidade conjunta
● fXY(x,y) diz respeito a probabilidades, e logo:
fXY(x,y) ≥ 0
● Além disso, a probabilidade do evento certo deve ser 1
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● No caso de uma distribuição conjunta (bidimensional) de 
variáveis X e Y, o espaço amostral é formado por pares 
(x,y)
 
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● No caso de uma distribuição conjunta (bidimensional) de 
variáveis X e Y, o espaço amostral é formado por pares 
(x,y)
● Em nosso exemplo anterior, tínhamos o seguinte espaço 
amostral:
 
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
1 . 8
2
x
y
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● No caso de uma distribuição bivariável, fmp é uma 
função no 3.
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● No caso de uma distribuição bivariável, fmp é uma 
função no 3.
● Em nosso exemplo anterior, a fmp pode ser expressa 
pela seguinte figura
0
0 . 5
1
1 . 5
2
0
0 . 5
1
1 . 5
2
0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
xy
f X
Y
(x,
y)
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● Dada uma fmp conjunta de VAs X e Y, como calcular a 
probabilidade de ocorrer um subconjunto do espaço 
amostral?
● Como calcularíamos, no exemplo, a probabilidade de ao 
menos um dos elementos operar com alto risco?
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● Dada uma fmp conjunta de VAs X e Y, como calcular a 
probabilidade de ocorrer um subconjunto do espaço 
amostral?
● Como calcularíamos, no exemplo, a probabilidade de ao 
menos um dos elementos operar com alto risco?
● Qual o evento associado a esse caso? 
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
1 . 8
2
x
y
Subconjunto desejado do espaço 
amostral
Pares: (0,2), (1,2), (2,2),(2,0), (2,1) 
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● Para calcular a probabilidade de ocorrer um subconjunto 
do espaço amostral a partir de uma fmp conjunta, 
devemos somar as probabilidades de cada um dos 
elementos do subconjunto.
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● Para calcular a probabilidade de ocorrer um subconjunto 
do espaço amostral a partir de uma fmp conjunta, 
devemos somar as probabilidades de cada um dos 
elementos do subconjunto.
● A probabilidade P[ (X,Y) ∈ A], onde A é subconjunto do 
espaço amostral, é dado por
 
Função de massa de probabilidade 
conjunta
● Para calcular a probabilidade de ocorrer um subconjunto 
do espaço amostral a partir de uma fmp conjunta, 
devemos somar as probabilidades de cada um dos 
elementos do subconjunto.
● A probabilidade P[ (X,Y) ∈ A], onde A é subconjunto do 
espaço amostral, é dado por
● Em nosso exemplo: A = {(0,2), (1,2), (2,2),(2,0), (2,1)}
● Logo 
P[ (X,Y) ∈ A] = fXY(0,2) + fXY(1,2) + fXY(2,2) + fXY(2,0) + 
fXY(2,1) = 0.15 + 0.1 + 0.05 + 0.05 + 2 = 0.55 
 
 
FMPs marginais de X e Y
● Considere uma fmp conjunta fXY(x,y) utilizada para 
modelar o experimento aleatório descrito pelas VAs X e Y
● Como determinar a distribuição de cada uma das VAs 
separadamente?
 
FMPs marginais de X e Y
● Considere uma fmp conjunta fXY(x,y) utilizada para 
modelar o experimento aleatório descrito pelas VAs X e Y
● Como determinar a distribuição de cada uma das VAs 
separadamente?
● Em nosso exemplo, qual a distribuição de probabilidade 
dos riscos associados ao gerador? 
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2
0 0.2 0.1 0.2
x 1 0.1 0.05 0.05
2 0.15 0.1 0.05
 
FMPs marginais de X e Y
● Vamos calcular P(X = 0), P(X=1) e P(X=2)
P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2) = 0.5 
P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 0.2
P(X=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = 0.3
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2
0 0.2 0.1 0.2
x 1 0.1 0.05 0.05
2 0.15 0.1 0.05
 
FMPs marginais de X e Y
● Vamos calcular P(X = 0), P(X=1) e P(X=2)
P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2) = 0.5 
P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 0.2
P(X=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = 0.3
● Logo 
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2
0 0.2 0.1 0.2
x 1 0.1 0.05 0.05
2 0.15 0.1 0.05
 
FMPs marginais de X e Y
● O processo que acabamos de fazer é chamado de 
marginalização de uma fmp conjunta → a partir de 
fXY(x,y), determina-se a fmp marginal de X
● Poderíamos calcular também a distribuição marginal de 
fY(y)
 
FMPs marginais de X e Y
● O processo que acabamos de fazer é chamado de 
marginalização de uma fmp conjunta → a partir de 
fXY(x,y), determina-se a fmp marginal de X
● Poderíamos calcular também a distribuição marginal de 
fY(y)
● O termo marginal vem do fato de que, na tabela de 
distribuição, as somas para que realizamos são 
geralmente exibidas nas margens da tabela 
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2 P(X = x)
0 0.2 0.1 0.2 0.5
x 1 0.1 0.05 0.05 0.2
2 0.15 0.1 0.05 0.3
P(Y = y) 0.45 0.25 0.3
 
FMPs marginais de X e Y
● De um modo geral as distribuições marginais de X e Y 
podem ser obtidas a partir de fXY(x,y) da seguinte 
maneira
 
 
VAs contínuas conjuntas
● Também podemos definir uma distribuição conjunta de 
variáveis contínuas
● Exemplo: Seja um X e Y VAs associadas a duas 
dimensões de um produto.
● Qual a probabilidade de um produto escolhido ao acaso 
ter dimensões no intervalo 0.1<x<0.2 e 0.3 < y < 0.4?
● Para responder esta pergunta, precisamos definir o 
conceitode função densidade de probabilidade conjunta
 
 
VAs contínuas conjuntas
● Sejam X e Y VAs contínuas, a fdp conjunta fXY(x,y) 
associada a esta variável é uma função que deve 
satisfazer as seguintes propriedades:
● Dada fXY(x,y), como calcular P[ (X,Y) ∈ A], onde A é um 
conjunto bidimensional?
 
VAs contínuas conjuntas
● Exemplo: considere que as dimensões do produto podem 
ser modeladas pela seguinte VA conjunta
● Calcule k para que fXY(x,y) seja uma VA conjunta.
 
 
VAs contínuas conjuntas
● A integral conjunta deve somar 1 (evento certo)
 
 
VAs contínuas conjuntas
● Logo, em nosso exemplo, a VA conjunta é dada por 
● Como calcular 
P[(0.1<X<0.2, 0.3 < Y 
< 0.4)]?
● Temos que integrar a 
fdp fXY(x,y) neste 
intervalo.
 
VAs contínuas conjuntas
● Calculando P[(0.1<X<0.2, 0.3 < Y < 0.4)]
● Resolver esta integral dupla
 
VAs contínuas conjuntas
● Suponha agora que queiramos calcular a probabilidade 
P(X > Y)
● Temos que integral fXY(x,y) na região definida por X>Y
 
Marginalização de VAs contínuas 
conjuntas
● Assim como no caso discreto, é possível definir, para 
uma fdp conjunta formada por X e Y, as fdps marginais 
de X e Y
● Caso discreto Caso contínuo
 
VAs contínuas conjuntas
● Em nosso exemplo, ache a distribuição marginal de 
 
Distribuições condicionais
● Tanto para o caso discreto quanto para o caso contínuo, 
podemos definir o conceito de distribuição condicional
● Retomando o exemplo de VA discreta
● Qual a função massa de probabilidade de X dado que 
observamos Y=1 (sabemos que a máquina opera com 
risco moderado de falhar)?
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2 P(X = x)
0 0.2 0.1 0.2 0.5
x 1 0.1 0.05 0.05 0.2
2 0.15 0.1 0.05 0.3
P(Y = y) 0.45 0.25 0.3
 
Distribuições condicionais
● Neste caso, a fmp de X dado que Y é 1 pode ser obtida 
pela coluna referente a y=1.
● No entanto, devemos normalizar esta coluna por fY(1) = 
p(Y=1).
● Logo
 
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2
0 0.2 0.1 0.2
x 1 0.1 0.05 0.05
2 0.15 0.1 0.05
 
Distribuições condicionais
● Podemos generalizar o procedimento realizado e utilizá-
lo para calcular a distribuição de X condicionada a Y
● Dadas duas VAs X e Y, a fdp (ou fmp) de Y dado que X=x 
pode ser obtida através da seguinte relação
● Esta definição existe apenas se fX(x) ≠ 0
 
Distribuições condicionais
● Exemplo caso contínuo: na situação anterior tínhamos:
 
Distribuições condicionais
● Exemplo caso contínuo: na situação anterior tínhamos:
● Logo 
 
Esperança condicional
● Uma distribuição (fmp ou fdp) condicional satisfaz todos 
os requisitos de uma VA
● Assim sendo, podemos definir o conceito de esperança 
condicional
● Retomemos nosso exemplo no caso discreto
● Dado que Y=1, qual o valor esperado para o risco do 
gerador, i.e., E{X|Y=1}?
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2
0 0.2 0.1 0.2
x 1 0.1 0.05 0.05
2 0.15 0.1 0.05
 
Esperança condicional
● Dado que Y=1, qual o valor esperado para o risco do 
gerador, i.e., E{X|Y=1}?
● Cálculo da esperança:
E{X|Y=1} = fX|Y(0,1)*0 + fX|Y(1,1)*1 + fX|Y(2,1)*2
= 0.4*0 + 0.2*1 + 0.4*2 = 1
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2
0 0.2 0.1 0.2
x 1 0.1 0.05 0.05
2 0.15 0.1 0.05
 
Esperança condicional
● A esperança condicional pode ser definida tanto para 
VAs contínuas quanto discretas
 
Variáveis aleatórias independentes
● Vimos o conceito de independência no caso de 
probabilidades
● Este mesmo conceito pode ser aplicado para o caso de 
duas VAs X e Y
● Duas VAs são ditas independentes se
● Quando esta condição é verificada, temos 
automaticamente as seguintes condições satisfeitas e 
vice-versa 
 
Variáveis aleatórias independentes
● Exemplo: em nosso exemplo para o caso discreto X e Y 
são independentes?
● Já calculamos f(X|Y=1)(x|y=1). Note que difere de fX(x)! 
y
P(X=x,Y=y) 0 1 2 P(X = x)
0 0.2 0.1 0.2 0.5
x 1 0.1 0.05 0.05 0.2
2 0.15 0.1 0.05 0.3
P(Y = y) 0.45 0.25 0.3
● Conclusão: X e Y não são 
independentes!
 
Variáveis aleatórias independentes
● O tempo de vida útil (em horas) de dois componentes de 
uma máquina é modelado pelas VAs exponenciais X1 e 
X2 de parâmetros λ1 = 1/1000 e λ2 = 1/1200. As vidas 
úteis destes componentes são independentes, qual a 
probabilidade de ambos durarem pelo menos 1500?
● Como X1 e X2 são independentes, temos
● A probabilidade de ambos durarem pelo menos 1500 é:
 
Ilustração independência
● Numa indústria de alimentos, deseja-se controlar o peso 
e o volume de um pacote de biscoitos
 
5
Independentes Dependentes
 
Aplicação do conceito de independência
● Separação de dados
 
 
Exercício
Seja a distribuição conjunta
● Calcule c para que f(x,y) seja uma distribuição no 
intervalo 0 < x < 1, 0 < y < 1
● Calcule E{X}
● Calcule E{Y} 
 
 
Valores esperados de uma distribuição 
conjunta
● Assim como no caso de distribuições unidimensionais, 
podemos definir o conceito de valor esperado para 
distribuições conjuntas
 
Valores esperados de uma distribuição 
conjunta
● Assim como no caso de distribuições unidimensionais, 
podemos definir o conceito de valor esperado para 
distribuições conjuntas
● Sejam X e Y as VAs de uma distribuição conjunta cuja 
fdp (ou fmp) é dada por fXY(x,y), o valor esperado de uma 
função h(X,Y) é dado por
Caso discreto 
Caso contínuo
 
Valores esperados de uma distribuição 
conjunta
● Exemplo: Considere a seguinte distribuição conjunta 
discreta
 
y
P(X=x,Y=y) 1 2 3 4 5
1 0 0.05 0.05 0.05 0.05
x 2 0.05 0 0.05 0.05 0.05
3 0.05 0.05 0 0.05 0.05
4 0.05 0.05 0.05 0 0.05
5 0.05 0.05 0.05 0.05 0
 
Valores esperados de uma distribuição 
conjunta
● Calcule a esperança da distância absoluta de X e Y
 
Valores esperados de uma distribuição 
conjunta
● Calcule a esperança da distância absoluta de X e Y
● E{h(X,Y)}, onde h(X,Y) = |X-Y|
● E{|X-Y|} = 0*fXY(1,1) + 1*fXY(1,2) + … + 4*fXY(1,5) + ...+ 
0*fXY(5,5) = 2
y
h(X,Y) 1 2 3 4 5
1 0 1 2 3 4
x 2 1 0 1 2 3
3 2 1 0 1 2
4 3 2 1 0 1
5 4 3 2 1 0
 
Covariância
● Vimos que duas VAs X e Y podem ser independentes ou 
dependentes
● Quando elas são dependentes, é de interesse dispor de 
medidas capazes de quantificar o quão relacionadas as 
VAs X e Y são
 
Covariância
● Vimos que duas VAs X e Y podem ser independentes ou 
dependentes
● Quando elas são dependentes, é de interesse dispor de 
medidas capazes de quantificar o quão relacionadas as 
VAs X e Y são
● Uma possível medida neste sentido é a covariância
Cov(X,Y) = E{ (X-E{X}) (Y-E{Y}) }
● Caso discreto
● Caso contínuo
 
Covariância
● Manipulando a covariância podemos obter uma nova 
expressão
Cov(X,Y) = E{ (X-E{X}) (Y-E{Y}) }
Cov(X,Y) = E{XY – XE{Y} -E{X}Y +E{X}E{Y}}
Cov(X,Y) = E{XY} – E{XE{Y}} – E{E{X}Y} + E{X}{Y}
Cov(X,Y) = E{XY} – E{Y}E{X} – E{X}E{Y} + E{X}E{Y}
Cov(X,Y) = E{XY} – E{X}E{Y}
● Note que Cov(X,X) é a própria variância de X
 
Interpretação da covariância
● Vamos considerar duas VAs tal que E{X}=E{Y} = 0;Cov(X,Y) = 
E{XY} – E{X}E{Y} = E{XY}
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
X
Y
C o v a r i â n c i a 1 . 0 0 1 1
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
X
Y
C o v a r i â n c i a - 0 . 9 6 0 9 9
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
X
Y
C o v a r i â n c i a - 0 . 0 4 6 8 6 9
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
1 0
2 0
3 0
4 0
X
Y
C o v a r i â n c i a 9 . 2 1 6 6
 
Covariância
● Exemplo: Um banco possui duas linhas de crédito casadas para 
pequenasempresas. Ele pode emprestar uma quantia para 
investimento e outra para capital de giro. Para cada um desses 
itens, pode ser emprestado R$ 1000k ou R$ 2000k, o que depende 
de algumas condições impostas para cada uma linhas. Baseado 
em informações de 2 anos, chegou-se a conclusão de que este 
processo pode ser modelado pela seguinte distribuição conjunta,
X → quantia emprestada para capital de giro
Y → quantia emprestada para investimento
● Calcule a covariância desta distribuição
y
P(X=x,Y=y) 1 2 P(X=x)
x 1 0.3 0.1 0.4
2 0.2 0.4 0.6
P(Y = y) 0.5 0.5
 
Covariância
● Vamos calcular cov(X,Y)
● Primeiramente, temos que E{X} = 1*0.4 + 2*0.6 = 1.6 e 
E{Y} = 1*0.5 + 2*0.5 = 1.5
● E{XY} = 1*1*0.3 + 1*2*0.1 + 2*1*0.2 + 2*2*0.4 
= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 1.6 = 2.5
Cov(X,Y) = E{XY} – E{X}E{Y} = 2.5 – 1.6*1.5 = 0.1 
y
P(X=x,Y=y) 1 2 P(X=x)
x 1 0.3 0.1 0.4
2 0.2 0.4 0.6
P(Y = y) 0.5 0.5
 
Covariância
● Exemplo: Considere uma distribuição conjunta discreta X 
e Y dada por
1
1 . 1
1 . 2
1 . 3
1 . 4
1 . 5
1 . 6
1 . 7
1 . 8
1 . 9
2
1
1 . 1
1 . 2
1 . 3
1 . 4
1 . 5
1 . 6
1 . 7
1 . 8
1 . 9
2
0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
0 . 3
0 . 3 5
0 . 4
x
y
f X
Y
(x,
y)
 
Covariância
● Considere agora que a distribuição conjunta é dada por 
● Vamos calcular cov(X,Y)
● Primeiramente, temos que E{X} = 1*0.5 + 2*0.5 = 1.5 e 
E{Y} = 1*0.5 + 2*0.5 = 1.5
● E{XY} = 1*1*0.25 + 1*2*0.25 + 2*1*0.25 + 2*2*0.25 
= 0.25 + 0.5 + 0.5 + 1 = 2.25
Cov(X,Y) = E{XY} – E{X}E{Y} = 3.25 – 1.5*1.5 = 0
y
P(X=x,Y=y) 1 2 P(X=x)
x 1 0.25 0.25 0.5
2 0.25 0.25 0.5
P(Y = y) 0.5 0.5
 
Covariância
● Função massa de probabilidade no caso 
equiprovável
1
1 . 1
1 . 2
1 . 3
1 . 4
1 . 5
1 . 6
1 . 7
1 . 8
1 . 9
2
1
1 . 1
1 . 2
1 . 3
1 . 4
1 . 5
1 . 6
1 . 7
1 . 8
1 . 9
2
0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
x
y
f X
Y
(x,
y)
 
Covariância
● Exemplo: numa indústria alimentícia, há um processo de 
embalagem de uma caixa de bombons composta por três tipos de 
chocolates diferentes (amargo, ao leite e branco)
● Este processo é composto por dois subprocessos. Primeiramente 
duas máquinas depositam os chocolates amargo e ao leite em 
uma quantidades que podem ser diferentes. Em seguida, uma 
terceira máquina deposita chocolate branco até que a caixa tenha 
um quilograma
● O primeiro processo pode ser modelado pela seguinte distribuição 
conjunta
onde
● X → quantidade de chocolate amargo em quilograma
● Y → quantidade de chocolate ao leite em quilograma
 
Covariância
● Plotando a densidade conjunta
● Vamos calcular a covariância desta densidade conjunta
 
Covariância
● Primeiro passo: calcular E{X} e E{Y}
● É fácil mostrar que E{X} = 2/5
● Pela simetria do problema fX(x) = fY(y) e, logo, E{Y} = 2/5
● Resta calcular E{XY}!
 
Covariância
● Calculando E{XY}
● Cov(X,Y) = E{XY} - E{X}E{Y} 2/15 – (2/5)*(2/5) = -2/75
● Covariância negativa neste caso → quantidade maior de 
chocolate amargo implica numa quantidade menor de 
chocolate ao leite
 
Correlação
● A covariância é sensível à escala
● Por exemplo, considere a distribuição dada por
● Suponha agora que multiplicamos X e Y por 1000 
y
P(X=x,Y=y) 1 2 P(X=x)
x 1 0.3 0.1 0.4
2 0.2 0.4 0.6
P(Y = y) 0.5 0.5
y
P(X=x,Y=y) 1000 2000 P(X=x)
x 1000 0.3 0.1 0.4
2000 0.2 0.4 0.6
P(Y = y) 0.5 0.5
Cov(X,Y) = 0.1
Cov(X,Y) = 100000
 
Correlação
● É possível definir uma medida de “relação” entre duas VAs 
que não dependa da escala
● Esta medida é conhecida como coeficiente de correlação e é 
definida como
● onde σX e σY correspondem aos desvios padrão de X e Y, 
respectivamente
● Corr(X,Y) = 0, variáveis descorrelacionadas!
● O coeficiente de correlação satisfaz
-1 < Corr(X,Y) < 1
Corr(aX+b , cY + d) = Corr(X,Y) → Transformações lineares 
em cada direção não afeta o coeficiente de correlação!
 
Correlação
● A covariância é sensível à escala
● Por exemplo, considere a distribuição dada por
● Suponha agora que multiplicamos X e Y por 1000 
y
P(X=x,Y=y) 1 2 P(X=x)
x 1 0.3 0.1 0.4
2 0.2 0.4 0.6
P(Y = y) 0.5 0.5
y
P(X=x,Y=y) 1000 2000 P(X=x)
x 1000 0.3 0.1 0.4
2000 0.2 0.4 0.6
P(Y = y) 0.5 0.5
Cov(X,Y) = 0.1
Corr(X,Y) = 0.4082 
Cov(X,Y) = 100000
Corr(X,Y) = 0.4082 
 
Correlação
● Exemplo: caso contínuo 
● Embora estejam descolocados, os dados possuem o 
mesmo coeficiente de correlação (Corr(X,Y) = 0.7) 
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
X
Y
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
X
Y
 
Interpretação da correlação
● O coeficiente de correlação é uma excelente medida de 
relação linear entre duas variáveis
● Exemplos (wikipedia)
● Corr(X,Y) = 1 ou -1 se, e somente se, Y = aX + b (a ≠ 0)
● Correlação não implica em causalidade!
 
Correlação e independência
● Duas variáveis aleatórias X e Y independentes, serão 
necessariamente descorrelacionadas
● No entanto, a recíproca não é verdadeira. É possível existir 
variáveis descorrelacionadas que não são dependentes
● Exemplo: considere uma VA uniformemente distribuída no 
seguinte quadrado abaixo
X
Y
● É possível mostrar que 
corr(X,Y)=0
● No entanto, X e Y são 
dependentes
 
Distribuição normal bivariada
● É possível estender a definição de VA normal para o caso 2D
● A distribuição normal bivariada é dada por
● Onde ρ é o coeficiente de correlação
● Note que se ρ = 0, então , temos que
● Portanto, neste caso fXY(x,y) = fX(x)fY(y)
● Conclusão: no caso de distribuições normais, se duas 
variáveis X e Y são correlacionadas, então elas serão 
necessariamente independentes
 
Distribuição normal bivariada: exemplos
μX=μY= 0, σX=σY=1, ρ=0 μX=μY= 0, σX=σY=1, ρ=0.6
 
Distribuições multidimensionais
● Podemos definir distribuições conjuntas para N VAs 
● Sejam X1, X2,...,XN VAs contínuas. A fdp conjunta fX1, 
X2,...,XN(x1, x2,...,xN) é uma função que deve satisfazer as 
seguintes propriedades:
● Dada fX1, X2,...,XN(x1, x2,...,xN), como calcular P[ (X1, X2,...,XN) 
∈ A], onde A é um conjunto no espaço N-dimensional?
 
Distribuições multidimensionais
● Exemplo (Montgomery): um produto eletrônico 
dependente do funcionamento de quatro componentes. 
O tempo de vida (em horas) destes componentes é 
modelado pela seguinte distribuição conjunta
para x1,x2,x3,x4 ≥ 0
Qual a probabilidade do produto funcionar por pelo menos 
1000 horas? 
● Queremos P(X1 > 1000, X2 > 1000, X3 > 1000, X4 > 1000) = 
 
 
Combinação linear de VAs
● Dado um conjunto de VAs X1, X2,...,Xp, e constantes c1, 
c2,...,cp, então
Y = c1X1 + c2X2 + … + cpXp
é uma combinação linear de X1, X2,...,Xp
 
● É possível mostrar que a média da combinação linear, E{Y} 
= c1E{X1} + c2E{X2} + … + cpE{Xp}, é dada por:
● A variância da combinação linear é
● Caso de duas variáveis
Combinação linear de VAs
 
● Num processo de manufatura, o comprimento e a largura 
de uma peça são modelados por variáveis aleatórias X1 e 
X2 normais de médias 2 e 5 cm, respectivamente. As 
variâncias destas VAs são, respectivamente, 0.01 e 0.04
● Há correlação entre estas duas medidas, de modo que 
Cov(X1,X2) = 0.01
● Calcule a probabilidade de que o perímetro da peça 
produzida seja menor do que 13 cm
Combinação linear de VAs: exemplo
 
● Solução: O perímetro pode ser descrito pela VA aleatória
Y = 2X1 + 2X2
● Já vimos no curso que a soma de duas VAs gaussianas 
resulta em VA gaussiana. Logo Y segue uma distribuição 
gaussiana
● Precisamos calcular a média e variância de Y
E{Y} = 2E{X1} + 2E{X2}= 14 cm
σY2 = 22 σX12 + 22 σX22 + 23 Cov(X1,X2) = 0.28
● Logo queremos encontrar P(Y<13) onde Y segue uma 
normal de média 14 e variância 0.28.
● Basta calcular FY(13) = 0.029 = 2.9%
Combinação linear de VAs: exemplo
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