Propriedades de Funcões ContÍnuas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
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Lista de Cálculo I - Teoremas sobre funções contínuas
Prof: Rafael Antônio Rossato
1) Seja f(x) = x5 ++x+ 1. Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1,0].
2) Prove que a equação x3 − 11+x4 = 0 admite ao menos uma raiz real.
3) Prove que o conjunto A =
{
x2+x
1+x2 : −1 ≤ x ≤ 1
}
admite máximo e mínimo.
4) Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real. Generalize este resultado para todo
polinômio de grau ímpar.
5) Seja f : [−1, 1]→ R, dada por f(x) = x2+x1+x2 .
a) Prove que f(1) é o valor máximo de f .
b) Prove que existe x1 ∈ (−1,0), tal que f(x1) é o valor mínimo de f .
6) Seja f : [a,b] → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em [a,b]. Prove que existem
números reais m e M , com m < M , tais que Imf = [m,M ].
7) Seja f : [0,1]→ R contínua e tal que, para todo x ∈ [0,1], 0 ≤ f(x) ≤ 1. Prove que existe c ∈ [0,1] tal que
f(c) = c.
8) Seja f contínua em [a,b] e tal que f(a) < f(b). Para quaisquer que sejam s e t em [a,b], suponha que
s 6= t ⇒ f(s) 6= f(t). Prove que f é estritamente crescente em [a,b].
9) Seja f uma função dada por f(x) = 2x3 −√x2 + 3x.
a) Verifique que f é contínua em [0,+∞).
b) Mostre que 1 é a única raiz de f em (0,+∞), que f(2) > 0 e que f(1/2) < 0.
c) Conclua que f(x) > 0 em (1,+∞), e que f(x) < 0 em (0, 1).
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