Matem Financ Basica 2010

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
BÁSICA
Rio de Janeiro
2010
2a edição
REALIZAÇÃO
Escola Nacional de Seguros – FUNENSEG
SUPERVISÃO E COORDENAÇÃO METODOLÓGICA
Diretoria de Ensino e Produtos
ASSESSORIA TÉCNICA
Hugo César Said Amazonas – 2010
Marcos Antonio Simões Peres – 2009
CAPA
Gerência de Mercado
DIAGRAMAÇÃO
Info Action Editoração Eletrônica
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG.
E73m Escola Nacional de Seguros. Diretoria de Ensino e Produtos.
Matemática financeira básica/Coordenação metodológica da Diretoria de Ensino e Produtos;
assessoria técnica de Hugo César Said Amazonas. – 2.ed. – Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2010.
140 p.; 28 cm
A assessoria técnica do presente material contou com a colaboração de Marcos Antonio Simões
Peres em 2009.
1. Matemática financeira. I. Amazonas, Hugo César Said. II. Título.
09-0870 CDU 511(072)
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele,
sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola.
aseada nos princípios que a regem desde sua criação, em 1971, a Escola Nacional de
Seguros promove diversas iniciativas no âmbito educacional, que contribuem para um mercado
de seguros, previdência complementar, capitalização e resseguro cada vez mais qualificado.
Essa é a filosofia presente em nossas ações, que compreendem a elaboração de cursos, exames,
pesquisas, publicações e eventos, e que confirmam nossa condição de principal provedora de serviços
voltados à educação continuada dos profissionais dessa indústria.
Em um mercado globalizado, mudanças de paradigmas são constantes e, para seguir esse movimento,
o investimento em treinamento e atualização é apontado por especialistas como essencial.
A Escola Nacional de Seguros, que nasceu de uma proposta do próprio mercado, está à sua disposição
para compartilhar todo nosso conhecimento e experiência, bens intangíveis e inestimáveis, que o
acompanharão em sua jornada.
Todo o acervo de conhecimentos e maturidade na formação de profissionais e gestores de alto nível se
reflete na qualidade do material didático elaborado pela equipe da Escola. Formada por especialistas
em seguros com sólida trajetória acadêmica, o saber disponível em nosso material didático é um
grande aliado para o voo profissional de cada um de nós.
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SUMÁRIO 5
1 REVISÃO DE MATEMÁTICA, 7
O Uso de Frações e a Divisão, 7
Frações Próprias, 8
Frações Impróprias, 9
Fatorar, Exponenciar e Radiciar, 9
Fatorar, 9
Exponenciar, 10
Radiciar, 10
Exponenciando e Radiciando com Calculadoras, 11
Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrônica, 15
Porcentagens, 15
O Significado das Porcentagens, 15
O Denominador 100, 16
Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens, 16
Maneiras de se Expressar as Porcentagens, 17
Equações do 1o Grau, 18
2 CONCEITOS BÁSICOS, 21
A Matemática Financeira, 21
Valor do Dinheiro no Tempo, 21
Fluxo de Caixa, 21
Esquema – Representação Gráfica do Diagrama do Fluxo de Caixa – DFC, 22
Juro(s), 22
Taxa de Juro(s), 22
Esquema, 23
Formulação Matemática, 23
Regimes de Juros de Capitalização, 23
Conceitos Financeiros Diversos, 24
3 JUROS SIMPLES, 27
Juros Simples, 27
Taxas Proporcionais, 29
Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos, 31
Valor Futuro (a Juros Simples), 32
Fixando Conceitos, 39
6 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA
4 DESCONTO SIMPLES, 43
Taxas de Desconto, 43
Desconto Comercial, 45
Cálculo do Desconto Comercial, 45
Fixando Conceitos, 49
5 JUROS COMPOSTOS, 53
Juros Compostos, 53
Convenções ou Notações Utilizadas em Juros Compostos, 54
Taxas Equivalentes, 56
Fixando Conceitos, 69
6 DESCONTO COMPOSTO, 75
Desconto Racional Composto, 75
Encontrando o Valor Atual, 75
Fixando Conceitos, 85
TESTANDO CONHECIMENTOS, 89
ANEXOS
Anexo 1 – Convenções/Notações, 91
Anexo 2 – Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes, 93
Anexo 3 – Solução Utilizando uma Calculadora HP-12C, 95
GABARITO, 97
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA, 139
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UNIDADE 1 7
REVISÃO DE MATEMÁTICA
O Uso de Frações e a Divisão
As frações expressam sempre uma divisão de um número por outro. Os termos de uma fraçãosão o numerador e o denominador. O numerador corresponde ao dividendo, enquanto odenominador corresponde ao divisor. O resultado de uma fração equivale ao quociente
da divisão.
Suponha que eu tenha sete cartões de visita em meu bolso e que cinco desses cartões sejam escuros e os
demais sejam claros. Qual a porcentagem de cartões escuros em relação ao total?
Vamos, primeiramente, representar graficamente o número de cartões escuros e claros, e a relação deles
com o total de cartões.
Na parte superior da figura que se segue, está representado o número total de cartões (sete).
Na parte inferior, estão representados os números de cartões escuros (cinco) e claros (dois).
Além da representação gráfica, a relação entre 5 (cartões escuros) e 7 (total de cartões) pode ser
expressa sob a forma de fração ou armando-se uma conta de divisão.
 5
 = 0,714 equivale a 5 7
 7 0,714
1
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA8
Frações Próprias
É quando o denominador é maior que o numerador, significando que o resultado é inferior à unidade.
No exemplo anterior, o denominador “7” é maior do que o numerador “5”. O quociente “0,714” (o resultado)
é menor do que a unidade.
Exemplos de frações próprias:
• 270 dias é fração do ano comercial (360 dias), pois é menor do que o tempo de um ano e representa
3/4 ou 0,75 do ano.
• um semestre (180 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o tempo de um ano (um
semestre é 1/2 – metade – do ano ou 0,5 do ano).
• um trimestre (90 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o tempo de um ano (um
trimestre é 1/4 do ano ou 0,25 do ano).
• um mês (30 dias) é fração do ano, pois é menor do que o tempo de um ano (um mês é 1/12 do ano ou
0,0833 do ano).
• um dia é fração do mês, pois ele é menor do que o tempo de um mês (um dia é 1/30 do mês ou 0,0333
do mês).
• uma hora é fração do dia, pois ela é menor do que o tempo de um dia (uma hora é 1/24 do dia ou
0,041667 do dia).
• um minuto é fração de uma hora, pois ele é menor do que o tempo de uma hora (um minuto é 1/60 da
hora ou 0,016667 da hora).
Vamos agora representar o trimestre como fração do ano.
Quando agrupamos os doze meses do ano em grupos de três, obtemos quatro períodos ou quatro trimestres.
Cada trimestre representa a quarta parte de um ano ou 1/4 ou 0,25 ou 25% do ano.
1o trimestre janeiro fevereiro março
2o trimestre abril maio junho
3o trimestre julho agosto setembro
4o trimestre outubro novembro dezembro
4 trimestres = 1 ano
trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4
um ano
UNIDADE 1 9
Frações Impróprias
É quando o numerador é maior que o denominador, significando que o resultado é maior do que a
unidade (maior do que um).
Contudo, já que costumamos representar as relações entre as quantidades sob a forma de fração, colocando
uma quantidade no numerador e outra no denominador, também chamamos de fração essa forma de
dividir (no caso, impropriamente, daí o nome fração imprópria).
Exemplos de frações impróprias:
• um ano e um semestre é uma vez e meia o tempo de um ano ( 3 ou 1,5 ano).
2
• um ano é duas vezes o tempo de um semestre.
• um dia é 24 vezes o tempo de uma hora.
• uma hora é 60 vezes o tempo de um minuto.
Observação
Repare que todos os resultados das frações impróprias são maiores do que a unidade
(maiores do que um).
Fatorar, Exponenciar e Radiciar
Fatorar
É apresentar um número sob a forma de um produto de outros números, chamados fatores. Todo número
natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 125 num produto de fatores:
125 = 5 × 5 × 5
Decomposiçãodo número 40:
40 = 2 × 2 × 2 × 5
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA10
Exponenciar
É elevar um número a uma potência.
Aproveitando os resultados da fatoração, temos que:
625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 54
No caso acima, o “5” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele é multiplicado (“4”) é o
“expoente”.
Como se pode ver, nós fixamos a base (o “5”) e somamos o número de vezes que ele foi multiplicado
(o “4” é o expoente).
Vejamos outro exemplo de exponenciação:
8 = 2 × 2 × 2 = 23
No caso acima, o “2” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele é multiplicado (“3”) é o
“expoente”.
Radiciar
Radiciar é achar a raiz de um número, ou seja, dividir sucessivamente um número por outro, uma quantidade
de vezes definida, e produzir sempre resto zero. A quantidade de vezes que efetuamos as divisões é
chamada de índice.
Exemplo:
O valor da raiz quadrada é o resultado que se encontra ao dividirmos um número por outro, duas vezes,
sendo o resto igual a zero.
Qual o número que ao dividir 64 duas vezes sucessivamente produz resto zero?
Esse número é 8, pois 82 = 64 (8 × 8 = 64).
Na radiciação, o símbolo √ é o radical, “2” é o índice, “64” é o radicando e “8” é a raiz.
Podemos escrever 2, sob a forma de fração 2/1. Assim, o índice é “2”, e “1” é o expoente do radicando “64”.
 
2√ 641 = 8 ou 64 1/2 = 8 (observe que o resultado “8” é um número inteiro)
UNIDADE 1 11
Qual o número que ao dividir 64 três vezes sucessivamente produz resto zero?
Esse número é 4, pois 43 = 64 (4 × 4 × 4 = 64).
Quando o índice é “2” ou quando não há um índice especificado no radical, chamamos de raiz quadrada.
No cálculo abaixo, “3” é o índice, “64” é o radicando, e “4” é a raiz, pois 43 = 4 × 4 × 4 = 64.
 
3√ 641 = 4 ou 641/3 = 4 (observe que o resultado “4” é um número inteiro)
Quando o índice é “3”, chamamos de raiz cúbica. No exemplo anterior, “4” é a raiz cúbica de 64.
Ambos os resultados produziram raízes cujos números são inteiros (8 e 4), mas isso acontece muito pouco.
Na maioria dos casos, ao radiciarmos um número o resultado não é um número inteiro. Isto é, a
fatoração não produz um único fator que se repete.
Exponenciando e Radiciando com Calculadoras
Os cálculos de exponenciação e de radiciação são semelhantes. Eles envolvem a digitação da base
(o número que se quer exponenciar) e do expoente (o valor que representa o número de vezes que se
quer exponenciar). Vimos que a diferença entre exponenciar e radiciar é que, na radiciação, o expoente
é um número não inteiro. Por essa razão, devemos ter cuidado ao digitarmos o expoente fracionário,
pois as calculadoras e planilhas eletrônicas possuem internamente uma ordem preestabelecida de realizar
as operações.
Há várias regras e macetes para acharmos a raiz de um número, qualquer que seja o seu índice (o número
de divisões sucessivas). Mas, em vez de memorizar fórmulas e regras e quebrar a cabeça fazendo
contas, devemos aproveitar o progresso técnico e usar uma calculadora financeira, uma calculadora
científica ou planilhas do tipo Excel. As calculadoras possuem uma tecla de exponenciação, onde “y”
(a base) é o número que se deseja exponenciar e “x” é o expoente.
yx é a tecla de expoente
O cálculo da raiz (de qualquer índice) de um número pode ser feito sempre se utilizando um expoente
que é uma fração, na qual o denominador é o índice e o numerador é 1.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA12
Assim, para acharmos a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) do número 40, elevamos 40 ao
expoente fracionário (1/32). Aqui o numerador “1” é o expoente de 40 e o denominador 32 é o índice.
Veja o exemplo:
3 2
401/32 é o mesmo que √ 401 = 1,122185
• Como usar a calculadora científica para achar a raiz índice 32 do número 40:
1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será o nosso expoente = 0,03125,
conforme calculado anteriormente
2. digite 40 e aperte a tecla yx
3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =
4. o resultado é 1,122185 (observe que o resultado não é um número inteiro)
• Como usar a calculadora HP 12C® para achar a raiz índice 32 do número 40:
1. digite 40 e aperte a tecla ENTER
2. digite 32
3. aperte a tecla 1/x e depois aperte a tecla yx
4. o resultado é 1,122185
Elevando-se o número 1,122185 ao expoente 32 resulta no número 40. Confira esse resultado, utilizando
a função yx da sua calculadora científica, conforme feito a seguir:
1. digite 1,122185
2. aperte a tecla yx
3. digite 32 e aperte a tecla =
4. o resultado é 40
• Como usar a calculadora HP 12C® para realizar esse mesmo cálculo:
1. digite 1,122185 e aperte a tecla ENTER
2. digite 32
3. digite yx
4. o resultado é 40
Ou seja, exponenciação e radiciação são operações inversas (uma “vai” e a outra “vem”, e vice-versa,
como a soma com a subtração, e a multiplicação com a divisão).
UNIDADE 1 13
Aplicação prática 1
Achar a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) de 4.567,88, usando sua
calculadora financeira ou científica.
3 2
 √ 4.567,881 = 1,301266 ou 4.567,88 1/32 = 1,301266
Resposta: 1,301266 (observe que a raiz não é um número inteiro)
• Usando a calculadora científica:
1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será o nosso
expoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente
2. digite 4567,88 e aperte a tecla yx
3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =
4. o resultado é 1,301266
• Usando a calculadora financeira HP 12C®:
1. digite 4567,88 e aperte a tecla ENTER
2. digite 32 e aperte a tecla 1/x
3. aperte a tecla yx
4. o resultado é 1,301266
Isto significa que o número 1,301266 elevado ao expoente 32 resulta no número 4.567,88.
1,30126632 = 4.567,88
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA14
Aplicação prática 2
Qual o número que ao dividir 8.888 duas vezes sucessivamente produz resto zero?
Esse número é 94,27619 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888
à potência 1/2 ou 0,5).
 2√ 8.8881 = 94,27619
• Usando a calculadora científica:
1. digite 8.888 e aperte a tecla yx
2. digite o expoente 0,5 e aperte a tecla =
3. o resultado é 94,27619
• Usando a calculadora financeira HP 12C®:
1. digite 8.888 e aperte a tecla ENTER
2. digite 2 e aperte a tecla 1/x
3. aperte a tecla yx
4. o resultado é 94,27619
Qual o número que ao dividir 8.888 três vezes sucessivamente produz resto zero?
Esse número é 20,71419 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888
à potência 1/3 ou 0,33). Use o exemplo anterior como guia.
 3√ 8.8881 = 20,71419
Qual o número que ao dividir 8.888 nove vezes sucessivamente produz resto zero?
Esse número é 2,746351 (use sua calculadora financeira ou científica, elevando 8.888
à potência 1/9, ou 0,111).
 9√ 8.8881 = 2,746351
UNIDADE 1 15
Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrônica
Para achar a raiz índice 32 do número 40, utilizando a planilha EXCEL, procedemos da seguinte forma:
• digitamos, na sequência (ver reprodução da planilha), o sinal de igual “=”; o número “40”; o sinal de
expoente “^”; o símbolo “abre parênteses”; o número “1”; o sinal de divisão “ / ”; o número “32”;
o símbolo “fecha parênteses” e, por último, pressionamos a tecla “entra”. Obtém-se o mesmo resultado
encontrado ao utilizarmos a calculadora: 1,122185.
Porcentagens
O Significado das Porcentagens
Imagine que você encomendou 100 cartões de visita e que 5 cartões vieram com defeito.
Isto significa que, “em 100 cartões de visita.” – ou em cada cento – 5 cartões apresentam defeito. Daí as
expressões “por cento”, “percentagem”, “porcentagem”.
Se eu comprei 100 cartões e o percentual de cartões defeituosos é igual a 3%, conclui-se que 3 cartões
estavam com defeito. Se eu comprei 200 cartões e o percentual de defeituosos é igual a 3%, conclui-se
que 6 (seis) cartões estavam com defeito, pois (200 × 0,03 = 6).
MATEMÁTICAFINANCEIRA BÁSICA16
Imagine agora que você atrasou o condomínio no valor de R$ 150,00 e deve pagar multa de 2%.
Para calcular o valor da multa, multiplique R$ 150,00 por 2% (0,02).
R$ 150,00 × 0,02 = R$ 3,00 (valor da multa).
O valor total a ser pago é igual a R$ 150,00 + R$ 3,00 = R$ 153,00
O Denominador 100
Toda vez que tivermos uma fração e o denominador for 100, estaremos diante de uma porcentagem.
• 1/100 (1% ou 0,01) – lê-se “um por cento”, “um centésimo”;
• 5/100 (5% ou 0,05) – lê-se “cinco por cento”, “cinco centésimos”;
• 10/100 (10% ou 0,1) – lê-se “dez por cento”, “um décimo”;
• 50/100 (50% ou 0,5) – lê-se “cinquenta por cento”, “um meio”, “metade”;
• 100/100 (100% ou 1) – lê-se “cem por cento”, “um inteiro”;
• 150/100 (150% ou 1,5) – lê-se “cento e cinquenta por cento”, “um e meio”; e
• 200/100 (200% ou 2) – lê-se “duzentos por cento”, “dois”.
Estamos bastante acostumados a efetuar as quatro operações fundamentais (somar, subtrair, multiplicar
e dividir).
Façamos, porém, uma pequena revisão de conceitos que aprendemos nos ensinos fundamental e médio.
Vamos efetuar algumas operações utilizando números escritos sob a forma de porcentagens ou nas suas
formas decimais equivalentes.
Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens
Exemplos:
• Somar: 5% + 10% = 0,05 + 0,1 = 0,15 ou 15%.
• Subtrair: 10% – 4% = 0,1 – 0,04 = 0,06 ou 6%.
• Multiplicar: 10% × 5% = 0,1 × 0,05 = 0,005 ou 0,5% (lê-se cinco milésimos ou meio por cento).
Como você vê, 10% × 5% não é igual a 50%!
Quando desejamos multiplicar porcentagens com o objetivo de acumular os resultados, devemos efetuar
os cálculos utilizando fatores, isto é, somando-se “um” ao valor das porcentagens, multiplicando os fatores
e, após, deduzindo-se “um” do resultado.
UNIDADE 1 17
Multiplicar Acumulando: 10% × 5%, acumulando o resultado.
(1 + 0,10) × (1,05) – 1 = (1,1 × 1,05) – 1 = 1,155 – 1 = 0,155 ou 15,5%
Quando queremos multiplicar acumulando um percentual a um valor, basta transformar essa porcentagem
em fator e multiplicar ao valor.
Utilizando o exemplo da multa do condomínio, visto anteriormente. Primeiro calculamos a multa de 2% e
depois somamos ao valor principal. Essa operação poderia ser feita em uma só operação:
R$ 150,00 × 1,02 = R$ 153,00
Dividir: 10% ÷ 5% = 0,1 ÷ 0,05 = 0,02 ou 2%
Quando desejamos dividir porcentagens com o objetivo de desacumular os resultados, devemos efetuar
os cálculos utilizando fatores, isto é, somando-se “um” ao valor das porcentagens, dividindo-se os fatores
e, após, deduzindo-se “um” do resultado.
Dividir (Des) Acumulando: 10% ÷ 5%, (des) acumulando-se os resultados.
(1 + 0,10) ÷ (1 + 0,05) – 1 = 1,04761905 – 1 = 0,04761905 ou 4,76%
Maneiras de se Expressar as Porcentagens
Há várias maneiras de se expressar porcentagens:
• 5% ou “5:100” (cinco dividido por cem) ou 5 ÷ 100 ou 0,05 (cinco centésimos);
• 10% ou “10:100” (dez dividido por cem) ou 10 ÷ 100 ou 0,10 (um décimo); e
• 3,33% ou “3,33:100” (três vírgula trinta e três dividido por cem) ou 3,33 ÷ 100 ou 0,0333 (trezentos e
trinta e três décimos de milésimos).
Quando efetuamos o cálculo com máquina de calcular, podemos fazê-lo usando a tecla de porcentagem.
É importante, entretanto, que você saiba o significado dos resultados, como no caso da multiplicação
anteriormente observado.
18 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA
Equações do 1o Grau
Chamamos de equação do 1º grau toda equação que pode ser representada sob a forma ax + b = 0, em
que a e b são constantes reais e a é diferente de 0. A letra x recebe o nome de incógnita e é o valor que
queremos encontrar para satisfazer a igualdade.
Exemplo 1
Uma aplicação financeira rendeu de juros de R$ 100,00. Esses juros somados ao
valor aplicado totalizaram R$ 400,00.
Podemos representar essa aplicação em forma de equação:
x + 100 = 400, onde x é o valor aplicado, 100 são os juros ganhos e 400 é o saldo final
da aplicação.
Para resolvermos essa equação utilizamos as seguintes regras:
1. tudo que tem a incógnita, neste caso x, fica de um lado do sinal de igual e tudo que
não tem a incógnita fica do outro lado do sinal de igual.
2. quando um termo muda de lado, ele troca de sinal. Se ele está somando, passa
para o outro lado subtraindo e vice-versa; se está multiplicando, passa para o outro
lado dividindo e vice-versa.
Então,
x = 400 – 100, o valor 100, que estava somando do lado esquerdo do sinal de igual,
passou para o lado direito subtraindo.
Fazendo a operação 400 – 100, temos que:
x = 300
Substituindo x na equação inicial, teremos que: 300 + 100 = 400, ou seja, 400 = 400 a
igualdade foi satisfeita.
UNIDADE 1 19
Exemplo 2
Os juros de uma aplicação financeira equivalem a 1/3 do valor aplicado. Quanto devo
aplicar para meu saldo final ser de R$ 400,00?
Escrevendo em forma de equação, teremos (chamaremos o valor aplicado, que é a
nossa incógnita, de P) que:
P + P/3 = 400; o valor aplicado P mais os juros ganhos, que equivale a 1/3 do valor
aplicado, é igual a 400.
Podemos escrever assim:
P + 1/3 × P = 400
Calculando 1/3, temos que:
P + 0,333333 × P = 400
1,333333 × P = 400
Passando o 1,333333 para o outro lado do sinal de igual:
P = 400 ÷ 1,333333 (o valor 1,333333, que estava multiplicando, passa para o outro
lado dividindo)
P = 300,00
As equações funcionam como se fossem uma balança, e o sinal de igual é o ponto de
equilíbrio, portanto:
a) adicionando um mesmo número a ambos os lados de uma equação, ou subtraindo
um mesmo número de ambos os lados, a igualdade se mantém.
x + 100 = 400, se subtrairmos 100 de ambos os lados:
x + 100 – 100 = 400 – 100
x = 300
b) dividindo ou multiplicando ambos os lados de uma equação por um mesmo número,
não nulo, a igualdade se mantém.
P + P ÷ 3 = 400, se multiplicarmos por 3 ambos os lados:
(P + P ÷ 3) × 3 = 400 × 3
3 × P + 3 ÷ 3 × P = 1.200
3 × P + P = 1.200
4 × P = 1.200, dividindo por 4 ambos os lados:
4 × P ÷ 4 = 1.200 ÷ 4
P = 300
20 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA
C
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UNIDADE 2 21
2 CONCEITOS BÁSICOS
A Matemática Financeira
Amatemática financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos fluxos de caixa aolongo do tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. Trata, essencialmente, do estudo dovalor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para se compararem as quantias
movimentadas em datas distintas, efetuando análises e comparações através de relações formais.
Dominar os fundamentos básicos da matemática financeira, bem como conhecer e utilizar as
ferramentas adequadas, capacita os usuários a tomarem decisões quanto a investimentos e a
empréstimos, otimizando os seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis.
Valor do Dinheiro no Tempo
Um dos fundamentos da atividade financeira é a variação do valor do dinheiro ao longo do tempo.
Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100,00 do que dispor desse valor numa data futura qualquer.
Independentemente da existência de inflação, alguém que disponha de R$ 100,00, hoje, pode aplicá-los
a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter os mesmos R$ 100,00, mais
algum valor complementar. Como consequência disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do
tempo, o que significa que somente podem ser comparados valores quando em uma mesma data.
Esta data é conhecida como data focal.
Fluxo de Caixa
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de recebimentos e pagamentos, ocorridos ou a ocorrer, durante
um certo intervalo de tempo. Para a representação gráfica, os recebimentos – denominados entradas,
são informados com uma seta voltada para cima; e os pagamentos – denominados desembolsos, são
representados com uma seta voltada para baixo e distribuídos ao longo de uma linha horizontal
(que representa o tempo).
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA22
Esquema – Representação Gráficado Diagrama do
Fluxo de Caixa – DFC
Juro(s)
O cálculo de juros faz parte de toda a atividade econômica. Quando se diz que uma geladeira custa
R$ 600,00 à vista e é vendida em 3 parcelas de R$ 220,00, isso significa que a diferença entre o
valor de R$ 660,00 do pagamento a prazo e R$ 600,00 do pagamento à vista refere-se ao valor dos juros
que o comprador está pagando (R$ 60,00).
Mas por que se pagam juros? Porque alguém que tinha disponibilidade de dinheiro (capital) adiantou esse
dinheiro para que a geladeira estivesse à disposição do comprador. Por esse empréstimo, essa pessoa
cobra um determinado valor que se denomina juros.
Se alguém recebe um determinado valor a título de juros, isso implica que outra pessoa pague o mesmo
valor por esses juros.
Taxa de Juro(s)
A taxa de juros é a razão entre os juros pagos no final do período e o valor originalmente aplicado.
Matematicamente, é representada por i. Usa-se i para identificar a taxa de juros, que pode ser expressa
em fração decimal, ou na forma percentual (i = 5% → i = 5 ÷ 100 → i = 0,05).
Exemplo
O investidor A aplica R$ 1.000,00, no 1o dia do mês, no Banco K. No 1o dia do mês
subsequente, o Banco K devolve ao investidor A R$ 1.050,00.
Juros = R$ 1.050,00 – R$ 1.000,00 = R$ 50,00
Taxa de Juros no Período = (50,00 ÷ 1.000,00) = 0,05 ou 5%
Os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 representam os períodos de tempo em que ocorrem as
movimentações: entradas (1, 3, 4 e 5) e saídas (0 e 2).
0
1
2 3 4 5
UNIDADE 2 23
Esquema
Formulação Matemática
i = Juros ou i (%) = Juros × 100
Capital Capital
R$ 1.000,00 – aplicação
(Saída de Caixa)
R$ 1.050,00 – resgate
(Entrada de Caixa)
Período
• Transforma-se uma taxa decimal em percentual multiplicando-se o valor da taxa por 100.
• Transforma-se uma taxa percentual em decimal dividindo-se o valor da taxa por 100.
Exemplos de formas idênticas de expressão das taxas de juros
Taxas Percentual Forma Decimal Fração
2% ao mês 2% a.m. 0,02 a.m. 2/100 a.m.
15% ao ano 15% a.a. 0,15 a.a. 15/100 a.a.
Embora os modos de expressão acima apresentados sejam semelhantes, a forma mais comum de expressar
uma taxa de juros é a forma percentual com o período abreviado.
Exemplo: 2% a.m., 15% a.a. etc.
Regimes de Juros de Capitalização
A maneira como o cálculo dos juros é efetuado define o regime dos juros. Podem ser dois os regimes de
capitalização: juros simples e juros compostos.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA24
Conceitos Financeiros Diversos
Existem outros conceitos básicos em matemática financeira, os quais devem ficar claros, bem como a
nomenclatura utilizada:
• Valor Presente ou Principal (P) – Valor Atual ou Capital Inicial. Corresponde ao valor do dinheiro
na Data Zero do Fluxo de Caixa, ou no instante presente. Em algumas literaturas e máquinas financeiras,
adota-se a nomenclatura PV ou, ainda, VP;
• Valor Futuro ou Montante (F) – valor do dinheiro em uma data futura. Este Valor Futuro é o Valor
Principal acrescido dos Juros (j) incorridos no período. Em algumas literaturas e máquinas financeiras,
adota-se a nomenclatura FV ou ainda VF;
• Juros (j) – remuneração do capital empregado:
– para o investidor: remuneração do investimento;
– para o tomador: custo do capital obtido no empréstimo;
• Tempo de Investimento (n) – como se denomina o número de períodos da aplicação (tempo);
• Período de Capitalização – conceito associado à periodicidade de remuneração associada à captação
de juros no regime de juros compostos.
Exemplo: mensal, bimestral, trimestral, anual.
Devemos lembrar que, em regime de juros compostos, o incremento (juros) passa a fazer parte do
capital somente depois de vencido o período de capitalização.
Exemplo: você coloca na caderneta de poupança um valor qualquer: se retirá-lo antes de vencer o
período de capitalização (mensal), nada receberá do banco;
• Taxa de Juros (i) – índice que determina a remuneração do capital num determinado tempo
(dia, mês, ano...), também conhecido por taxa efetiva do investimento;
• Prestações Uniformes (PMT) – valor de cada prestação, associado a séries uniformes;
• Desconto (D) – refere-se ao valor financeiro que deve ser subtraído do valor nominal quando
antecipamos o pagamento de um documento (título, nota promissória, cheque...);
• Taxa de Desconto (id) – índice de decréscimo do valor nominal de um documento quando antecipamos
seu pagamento;
• Ano Civil – período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28(29), 30 ou 31 dias,
também chamado de ano-calendário;
• Ano Comercial – ano de 360 dias, considerando-se todos os meses com 30 dias. É muito utilizado
em operações financeiras.
UNIDADE 2 25
Convenções/Notações
 Descrição Nomenclatura Adotada Outras Nomenclaturas
Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A
Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M
Juros Simples ou Compostos J –
Tempo n t
Prazo de Carência m c
Taxa de Juros i r, k
Taxa de Juros Anual aa ao ano
Taxa de Juros Semestral as ao semestre
Taxa de Juros Trimestral at ao trimestre
Taxa de Juros Mensal am ao mês
Desconto D –
Taxa de Desconto id forma decimal da taxa
Prestações Uniformes PMT A
Recebimento R rec
Pagamento G pg, P
Valor Atual de uma Série AP A
Montante de uma Anuidade SF S
Comentário
No Brasil, adota-se, normalmente, o ano civil para a contagem dos dias e o ano
comercial (com 360 dias) para o cálculo das taxas de juros. Estes juros são também
conhecidos como juros bancários. Quanto aos meses, consideram-se todos os meses
como tendo 30 dias. É, por exemplo, o caso da caderneta de poupança, que paga
juros mensais, independentemente da quantidade de dias do mês, que pode variar de
28 a 31 dias.
• Critérios adotados nos cálculos
Neste material, todas as vezes que surgirem operações envolvendo frações, serão consideradas quatro
casas decimais para o cálculo da resposta, exceto nas situações que envolvam potências
(exponenciações – aplicáveis a juros compostos), quando serão utilizadas seis casas decimais.
Observação
Na utilização de calculadoras financeiras ou científicas para operações em sequência,
normalmente não se “zeram” as memórias, o que pode redundar em cálculos que
ofereçam respostas com ligeiras diferenças (de aproximação), em relação aos
resultados aqui expressos.
26 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA
• Critério de arredondamento
Adotaremos o critério internacional de arredondamento de valores:
Último Dígito Resultado Exemplo
0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 125,852 → 125,85
5 Somar 1 ao que fica, após eliminar o número 5 125,85 → 125,90
6, 7, 8, 9 Somar 1 ao que fica, após eliminar o último dígito 125,9 → 126,00
Ju
ro
s 
Si
m
p
le
s
UNIDADE 3 27
JUROS SIMPLES
Juros Simples
No regime de capitalização a juros simples, os juros de cada período são calculados tendo sempre comobase o valor do capital inicial.
Exemplo: Suponha uma pessoa que quer investir R$ 1.000,00 e entrega, em 1o de janeiro, esse valor
ao Banco A, que lhe promete juros simples de 10% ao ano. Qual será o seu saldo credor ao final de
3 anos?
O quadro a seguir resume o rendimento do investimento:
Data Base Cálculo (Capital) Juros de Cada Ano Saldo Final
Ano 1 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.100,00
Ano 2 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.200,00
Ano 3 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.300,00
3
0 1 2 3 4 5 ...
J (Juros)}
Valor PresenteP
t
R$
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA28
Aplicação prática
O Banco A aplicou o dinheiro do cliente à taxa de 10% ao ano, sobre o capital inicial
(R$ 1.000,00), mas não permitiu que o cliente retirasse os juros nem o remunerou por
esses juros, que ficaram à disposição do banco durante todo o tempo da aplicação.
Como foi apurado o valor R$ 1.300,00?
O capital (R$ 1.000,00) é multiplicado pela taxa (10%). Apura-se R$ 100,00.
Emseguida, esse valor é multiplicado por 3, que é o número de anos em que o dinheiro
ficou aplicado, e encontramos os juros.
Juros = Capital × Taxa × Tempo de Aplicação
Cálculo adotando a simbologia:
P – principal ou capital inicial (no exemplo R$ 1.000,00)
j – juros simples
n – tempo de aplicação (no exemplo, 3 anos)
i – taxa de juros no período (no exemplo 10%)
Na maioria dos exercícios de matemática financeira, são fornecidas algumas variáveis para se encontrar
o valor da variável que se procura.
j = P × i × n, é a fórmula do cálculo dos juros simples.
Essa fórmula só pode ser aplicada se o tempo de aplicação n for expresso na
mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i, considerado o prazo em
ano, taxa ao ano, prazo em mês, taxa ao mês etc.
Aplicação prática
1. Uma pessoa tomou emprestada a importância de R$ 2.000,00, pelo prazo de
2 anos, à taxa de 40% ao ano. Qual o valor dos juros simples a ser pago?
Dados:
P = 2.000
n = 2 anos
i = 40% a.a. = 40 ÷ 100 = 0,4 a.a.
Cálculo:
j = P × i × n
j = 2.000 × 0,40 × 2 = 1.600
Resposta: O valor dos juros simples a ser pago é de R$ 1.600,00.
UNIDADE 3 29
2. Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicação de R$ 2.000,00,
pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês.
Dados:
P = 2.000
n = 3 meses
i = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m.
Cálculo:
j = P × i × n
j = 2.000 × 0,015 × 3 = 90,00
Resposta: O valor dos juros simples a receber é de R$ 90,00.
Taxas Proporcionais
Denominam-se taxas proporcionais aquelas que, aplicadas a um mesmo valor presente (principal), geram
um mesmo valor futuro (montante), para um mesmo intervalo de tempo.
Exemplo
Calcular a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
O primeiro passo é reduzir o tempo a uma mesma unidade. Lembrando que 1 ano = 12
meses, temos: 30% está para 12 meses, assim como x está para 1 mês (Regra
de Três).
Ou seja:
30% ÷ 12 = x ÷ 1
x = 30% ÷ 12 = 2,5%
Logo: 2,5% é a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
2,5% 2,5%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mês
Ano
2,5%
• Duas taxas são proporcionais quando os seus valores guardam uma proporção com o tempo a que
elas se referem. Para fazer o cálculo, é preciso reduzir o tempo a uma mesma unidade.
• Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio de “Regra de Três”.
• Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a taxa (i), alterando uma ou
outra variável, uma vez que as relações são proporcionais.
• Estes conceitos são válidos apenas e tão somente para Taxas de Juros Simples.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA30
Aplicação prática
1. Calcule a taxa mensal proporcional a 300% ao ano.
Como 1 ano = 12 meses, temos: 300% ÷ 12 = x ÷ 1 = x = 25%
Resposta: 25% ao mês é proporcional a 300% ao ano.
2. Apurar a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre.
Como: 1 ano = 4 trimestres, temos: 6% × 4 = 24%
Resposta: 6% ao trimestre é proporcional a 24% ao ano.
3. Qual a taxa semestral proporcional a 4% ao bimestre?
Como: 1 semestre = 3 bimestres, podemos escrever: 4% × 3 = 12%
Resposta: 12% ao semestre é proporcional a 4% ao bimestre.
4. Qual é a relação de proporcionalidade entre as taxas de juros anuais (i.a.), semestrais
(i.s.), trimestrais (i.t.), mensais (i.m.) e diárias (i.d.).
Resposta: i.a. = 2 × i.s.; i.a. = 4 × i.t.; i.a. = 12 × i.m.; i.a. = 360 × i.d.;
5. Quais são as taxas de juros: anual, semestral, trimestral e mensal proporcionais à
taxa diária de 0,10%?
Taxa ao dia = 0,10% = 0,10 ÷ 100 = 0,0010
Taxa ao ano = 0,0010 × 360 = 0,36 → 0,36 × 100 = 36,0% a.a.
Taxa ao semestre = 0,0010 × 180 = 0,18 → 0,18 × 100 = 18,0% a.s.
Taxa ao trimestre = 0,0010 × 90 = 0,09 → 0,09 × 100 = 9,0% a.t.
Taxa ao mês = 0,0010 × 30 = 0,030 → 0,03 × 100 = 3,0% a.m.
Resposta: 36,0% a.a.; 18,0% a.s.; 9,0% a.t.; 3,0% a.m.
Atenção
Para o cálculo de Juros Simples Comercial:
2 semestres
3 quadrimestres
UM ANO TEM 4 trimestres
6 bimestres
12 meses
360 dias
UNIDADE 3 31
Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos
• Juros Simples Comercial – são os juros cujo cálculo considera o ano comercial (com 360 dias) e o
mês comercial (com 30 dias).
• Juros Simples Exatos – neste caso, considera-se o número exato de dias do ano (365 ou 366, caso
o ano seja bissexto).
Aplicação prática
1. Um empréstimo de R$ 6.000,00, realizado em 20/07 foi pago em 25/11 do mesmo
ano. Sendo a taxa de 18,25% ao ano, qual o valor total dos juros simples exatos a
ser pago?
Inicialmente, determina-se o número de dias:
De 20/07 a 31/07 – 11 dias *
01/08 a 31/08 – 31 dias
01/09 a 30/09 – 30 dias
01/10 a 31/10 – 31 dias
01/11 a 25/11 – 25 dias
Total: 128 dias
* No cálculo de períodos financeiros, para se apurar o valor dos juros ou do montante
futuro, não se considera a data inicial. No exemplo, é o dia 20/07.
Dados:
P = 6.000,00
n = 128 dias; n = 128 ÷ 365 = 0,3507 anos
i = 18,25% a.a. = 0,1825 a.a.
Cálculo:
j = 6.000 × 0,1825 × 0,3507 = 384,02
Resposta: O valor dos juros simples exato a ser pago é de R$ 384,02.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA32
2. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3
meses e 10 dias, obtenham-se juros simples de R$ 11.000,00?
Dados:
P = 66.000,00
j = 11.000
i = mensal
n = 3 meses e 10 dias = 100 dias = (100 ÷ 30) meses (atenção: divide-se por 30 dias,
isto é, 1 mês, porque se deseja saber a taxa mensal).
j = P × i × n
Sendo os juros de R$ 11.000,00, pode-se escrever:
11.000 = 66.000 × i × 100 ÷ 30
i = 11.000 ÷ (66.000 × (100 ÷ 30))
i = 0,05 a.m. = 5% a.m.
Resposta: A taxa é de 5% ao mês.
Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a taxa (i), alterando
uma ou outra variável, uma vez que as relações são proporcionais.
Valor Futuro (a Juros Simples)
No caso do cliente que aplicou R$ 1.000,00 no banco e obteve R$ 300,00 de juros, quando terminar o período
de aplicação ele terá R$ 1.300,00. Esse valor é chamado de Valor Futuro (ou montante) e engloba o valor
presente do capital (P), acrescido dos juros auferidos no período.
O Valor Futuro – F é, portanto, a soma do capital investido ou aplicado mais os juros obtidos na aplicação
durante um determinado período de tempo.
Sendo:
F = P + j
Lembrando que j = P × i × n, então o valor futuro (F) é:
F = P + P × i × n
Colocando P em evidência, temos que:
F = P (1 + i × n)
UNIDADE 3 33
Aplicação prática
1. Qual o valor futuro que receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00
durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês, em regime de juros simples?
Dados:
P = 28.000
n = 15 meses
i = 3% a.m. = 0,03 a.m.
Como:
F = P (1 + i × n)
Então:
F = 28.000 (1 + 0,03 × 15)
F = 28.000 (1 + 0,45)
F = 28.000 × 1,45
F = 40.600
Este problema poderia ser resolvido de outro modo:
j = 28.000 × 0,03 × 15 = 12.600
Como: F = P + j
F = 28.000 + 12.600 = 40.600
Resposta: F = R$ 40.600,00
2. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a
18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, em regime de juros simples?
Dados:
F = 14.800
n = 18 meses ÷ 12 = 1,5 anos
i = 48% a.a. = 0,48 a.a.
F = P (1 + i × n)
14.800 = P (1 + 0,48 × 1,5)
14.800 = P (1 + 0,72)
14.800 = P (1,72)
P = 14.800 ÷ 1,72
P = 8.604,65
Resposta: O capital inicial necessário é de R$ 8.604,65.
3. Quanto rende, a juros simples, um capital de R$ 100.000,00, investido a 9% ao mês
durante 8 meses?
Dados:
P = 100.000
i = 9% a.m. = 0,09 a.m.
n = 8 meses
Como: j = P × i × n
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA34
j = 100.000 × 0,09 × 8
j = 72.000
Resposta: Rende R$ 72.000,00 de juros.
4. Quais os juros simples de uma aplicação de R$ 200.000,00, a 4,8% ao mês, pelo
prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias:
Dados:
P = 200.000
i = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mês
n = 2 anos, 3 meses e 12 dias
Ou seja: 720 dias + 90 dias + 12 dias = 822 dias = 822 ÷ 30= 27,4 meses
O número de dias (822) é dividido por 30, para se apurar a quantidade de meses. Como
a taxa é mensal, o tempo também terá de ser expresso em meses. Desse modo, apuram-
se os juros simples da aplicação.
j = 200.000 × 0,048 × 27,4
j = 263.040
Resposta: Os juros são de R$ 263.040,00.
5. Um capital foi aplicado a juros simples, a uma taxa de 3% ao mês. No final de 1
ano, 4 meses e 6 dias rendeu de juros R$ 97.200,00. De quanto era esse capital?
Dados:
j = 97.200
i = 3 ÷ 100 a.m. = 0,03 a.m.
n = 1 ano, 4 meses e 6 dias = 360 + 120 + 6 = 486 dias ÷ 30 = 16,2 meses
Cálculo
P = ?
j = P × i × n
97.200 = P × 0,03 × 16,2
P = 200.000
Resposta: O capital era de R$ 200.000,00.
6. Um investidor empregou, durante 2 anos, 3 meses e 20 dias a quantia de R$ 70.000,00.
Sabendo-se que essa aplicação rendeu juros simples de R$ 75.530,00, qual foi a
taxa simples mensal da aplicação?
Dados:
P = 70.000
j = 75.530
n = 2 anos, 3 meses e 20 dias (720 + 90 + 20) = 830 dias ÷ 30 = 27,6667 meses
i = ? (mensal)
UNIDADE 3 35
Como j = P × i × n
75.530 = 70.000 × i × 27,6667
i = 75.530 ÷ (70.000 × 27,6667)
i = 0,039 = 3,9% a.m.
Resposta: A taxa mensal foi de 3,9%.
7. A quantia de R$ 25.000,00 acumulou, em 1 ano, 4 meses e 18 dias, um montante de
R$ 47.410,00. Qual foi a taxa simples mensal da aplicação?
Dados:
P = 25.000
F = 47.410
n = 1 ano, 4 meses e 18 dias = 360 + 120 + 18 = 498 dias → (498 ÷ 30) meses
Cálculo:
i = ? (mensal)
F = P (1 + i × n)
Então: 47.410 = 25.000 (1 + i × 498 ÷ 30)
i = 0,054 = 5,4% a.m.
Resposta: A taxa simples mensal foi de 5,4%.
Para o cálculo da taxa de juros, pode-se também utilizar a fórmula:
i = F – 1 × 1
P n
Logo:
i = (47.410 ÷ 25.000 –1) × (1 ÷ 498 ÷ 30)
i = 0,054 = 5,4% a.m.
8. Quanto rende de juros simples um capital de R$ 12.000,00, aplicado a 84% a.a.,
durante 3 meses?
Dados:
P = 12.000
i = 84% a.a. = 0,84 a.a.
n = 3 meses = 3 ÷ 12 anos
Como: J = P × i × n
Então: J = 12.000 × 0,84 × 3 ÷ 12
J = R$ 2.520,00
Resposta: O valor dos juros é R$ 2.520,00.
[ ]
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA36
9. Um valor aplicado a certa taxa de juros simples rende, em 1 ano, 2 meses e 20
dias, um valor igual a 1/3 do principal. Qual a taxa anual dessa aplicação?
Dados:
j = (1 ÷ 3) × P = P ÷ 3
n = 1 ano, 2 meses e 20 dias = 360 + 60 + 20 = 440 dias → (440 ÷ 360) anos
Variável desejada: i = ? (ao ano)
Sendo: j = P × i × n
Então, P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360)
Multiplicando por 360 os dois lados da equação:
360 × P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360) × 360
120 × P = 440 × P × i
120 × P = 440 × P × i (simplifica-se cortando o P)
120 = 440 × i
i = 120 ÷ 440
i = 0,2727 = 27,27% a.a.
Resposta: A taxa anual é de 27,27%.
10. Quantos meses um capital de R$ 500,00, aplicado à taxa de 30% ao bimestre,
leva para produzir R$ 1.050,00 de juros simples?
Dados:
P = 500
J = 1.050
i = 30 ÷ 100 a.b. = 0,30 a.b.
n = ?
j = P × i × n
Logo: 1.050 = 500 × 0,3 × n
n = 7 bimestres ou 7 × 2 meses = 14 meses
Resposta: São necessários 14 meses para se obter esse valor de juros.
11. Qual o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 10.000,00, à taxa de 2,5% ao mês,
durante 3 anos?
Dados:
P = 10.000
n = 3 anos = 3 × 12 = 36 meses
i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 a.m. = 0,025 a.m.
Cálculo de F:
Como F = P (1 + i × n), então:
F = 10.000 (1 + 0,025 × 36)
F = 19.000
Resposta: O Valor Futuro será de R$ 19.000,00.
UNIDADE 3 37
12. O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa (juros simples) de 0,5% ao dia.
O investimento foi feito por um prazo de 116 dias. Qual o total de juros?
Dados:
P = 10.000
i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.
n = 116 dias
j = P × i × n, logo:
j = 10.000 × 0,005 × 116
j = 5.800
Resposta: O total de juros é de R$ 5.800,00.
13. Em quantos anos um capital, aplicado a juros simples de 10% a.a., triplica?
Dados:
P = P (capital qualquer)
F = 3 P (triplo do capital inicial)
F = P + J → J = F – P
→ J = 3P – P
J = 2P
i = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.
n = ?
Como: j = P × i × n
Logo: 2 P = P × 0,1 × n → n = 20
Resposta: O capital triplicará em 20 anos.
O cálculo do tempo de investimento pode também seguir a fórmula: n = F – 1 × 1
 P i
Logo: n = (3 ÷ 1 – 1) × (1 ÷ 0,1)
n = 20 anos
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA38
14. Nos problemas em que não aparece o capital, você poderá usar o valor R$ 100,00
para facilitar sua resolução. Basta resolver a questão anterior usando este artifício:
Dados:
P = 100,00
F = 3 × P = 3 × 100 = 300,00
F = P + J → J = F – P
J = 300 – 100
J = 200
i = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.
n = ?
Como J = P × i × n
Logo, 200 = 100 × 0,1 × n → n = 20.
Resposta: O capital triplicará em 20 anos.
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FIXANDO CONCEITOS 3 39
[1] Dada a taxa anual de 42%, a taxa mensal proporcional é de:
(a) 3,5% (b) 6% (c) 7% (d) 10,5% (e) 12%
[2] A taxa mensal proporcional a 30% ao ano é de:
(a) 1,5% (b) 2,5% (c) 3% (d) 3,5% (e) 6%
[3] A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre é de:
(a) 16% (b) 24% (c) 32% (d) 36% (e) 38%
[4] Os juros simples de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano,
4 meses e 10 dias são de:
(a) R$ 1.125,00 (b) R$ 1.150,00 (c) R$ 1.175,00 (d) R$ 1.225,00 (e) R$ 1.250,00
[5] Aplicando R$ 2.800,00 por 1 ano, 5 meses e 3 dias, obtemos juros simples de R$ 2.872,80. Qual a taxa
mensal simples dessa aplicação?
(a) 2% (b) 3% (c) 4% (d) 5% (e) 6%
[6] Que quantia aplicada durante 2 anos, 3 meses e 15 dias, à taxa simples de 2,75% ao mês, produz um
montante de R$ 307.343,75?
(a) R$ 150.000,00 (b) R$ 175.000,00 (c) R$ 200.000,00 (d) R$ 225.000,00 (e) R$ 250.000,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA40
[7] Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, à taxa simples de 3,5% ao mês, durante 6 meses. Ao final
desse tempo, o capital acumulado (F) é de:
(a) R$ 8.800,00 (b) R$ 9.300,00 (c) R$ 10.420,00 (d) R$ 11.380,00 (e) R$ 12.100,00
[8] A quantia de R$ 50.000,00, aplicada durante 5 meses, rendeu R$ 7.500,00 de juros simples. A taxa
mensal é de:
(a) 3% (b) 4% (c) 5% (d) 6% (e) 7%
[9] Aplicando R$ 30.000,00 durante um certo tempo, a 40% ao ano, obtivemos R$ 24.000,00 de juros
simples. O tempo de aplicação foi de:
(a) 1 ano (b) 2 anos (c) 3 anos (d) 4 anos (e) 5 anos
[10] Para obter R$ 6.000,00 de juros simples, aplicou-se a quantia de R$ 10.000,00 por 4 anos. A taxa
anual dessa aplicação foi de:
(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20% (e) 25%
[11] Qual a taxa mensal que faz com que um capital, investido a juros simples durante 16 meses, tenha seu
valor triplicado?
(a) 10% (b) 12,5% (c) 14,5% (d) 15% (e) 16,5%
[12] Um capital, aplicado a uma taxa de 12% a.m., rende juros simples que são iguais a 1/10 do seu valor
inicial. Qual o total de dias em que esse capital foi aplicado?
(a) 5 dias (b) 10 dias (c) 15 dias (d) 20 dias (e) 25 dias
[13] Uma pessoa investiu um capital de R$ 60.000,00, durante 146 dias, à taxa de juros simples de 9%
a.m. Os juros simples desse investimento foram de:
 (a) R$ 22.530,00 (b) R$ 23.880,00 (c) R$ 26.280,00 (d) R$ 27.480,00 (e) R$ 28.260,00
[14] O capital que produziu um montante de R$ 86.400,00, investido a juros simples durante 8 meses,
a 138% a.a., é de:
 (a) R$ 30.000,00 (b) R$ 35.000,00 (c) R$ 40.000,00 (d) R$ 45.000,00 (e) R$ 50.000,00
FIXANDO CONCEITOS 3 41
[15] Um capital, aplicado a uma taxa de 90% a.a., renderá juros simples iguais a 1/20 do seu valor. O total
de dias de aplicação desse capital será de:
(a) 10 dias (b) 20 dias (c) 30 dias (d) 40 dias (e) 50 dias
[16] O capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., gerou um montante de R$ 953.120,00. O total de
meses em que esse capital foi aplicado a juros simples foi de:
(a) 6 meses (b)7 meses (c) 8 meses (d) 9 meses (e) 10 meses
[17] A taxa mensal de um capital de R$ 480.000,00 que, aplicado em 3 meses e 20 dias, produziu
R$ 4.400,00 de juros simples foi de:
 (a) 0,25% (b) 2,5% (c) 25% (d) 27,5% (e) 31,25%
[18] Dois capitais, de R$ 11.000,00 e R$ 5.000,00, estiveram aplicados durante 3 anos a juros
simples. O primeiro capital esteve aplicado à taxa de 7% a.a. e rendeu R$ 1.110,00 a mais do que o
segundo. A taxa a que esteve aplicado o segundo capital foi de:
(a) 4% a.a. (b) 5% a.a. (c) 6% a.a. (d) 7% a.a. (e) 8% a.a.
[19] A soma de um capital com seus juros é igual a R$ 2.553,47. Qual o valor dos juros simples da
aplicação, que durou 110 dias, à taxa de 7% a.a.:
(a) R$ 53,47 (b) R$ 54,38 (c) R$ 55,29 (d) R$ 56,12 (e) R$ 58,50
[20] Qual é o prazo necessário para se duplicar um capital aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m.?
(a) 20 meses (b) 22 meses (c) 24 meses (d) 25 meses (e) 30 meses
[21] Encontrar o capital que, acrescido de juros simples a 6,5% a.a., em 1 ano e 4 meses, gera um
montante de R$ 7.824,00:
(a) R$ 7.200,00 (b) R$ 7.400,00 (c) R$ 7.600,00 (d) R$ 7.800,00 (e) R$ 7.900,00
[22] A taxa mensal de um capital de R$ 8.000,00, que, em 6 meses, gerou juros simples de R$ 2.640,00,
foi de:
(a) 3,5% (b) 4,5% (c) 5,5% (d) 6,5% (e) 7,5%
[23] Um capital de R$ 32.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 12% a.a., rende R$ 4.800,00. O total
de meses dessa aplicação é de:
(a) 11 meses (b) 12 meses (c) 13 meses (d) 14 meses (e) 15 meses
42 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA
[24] Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a uma taxa de 20% a.t., ao longo de 15 meses, rendeu de
juros simples:
(a) R$ 20.000,00 (b) R$ 30.000,00 (c) R$ 50.000,00 (d) R$ 75.000,00 (e) R$ 100.000,00
[25] Os juros simples de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 6% a.a., pelo prazo de 18 dias,
são de:
(a) R$ 100,00 (b) R$ 120,00 (c) R$ 150,00 (d) R$ 180,00 (e) R$ 200,00
[26] O montante de uma aplicação de R$ 80.000,00, a juros simples de 3,5% a.m., pelo prazo de 9 meses, é de:
(a) R$ 100.000,00 (b) R$ 102.500,00 (c) R$ 105.200,00 (d) R$ 106.800,00 (e) R$ 108.000,00
[27] Os juros simples de uma aplicação de R$ 12.000,00, a 36% a.a., por um trimestre são de:
(a) R$ 1.080,00 (b) R$ 1.180,00 (c) R$ 1.280,00 (d) R$ 1.380,00 (e) R$ 1.480,00
[28] Os juros simples de uma aplicação de R$ 350.000,00, à taxa de 4% a.m., aplicados por 72 dias, são de:
(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 31.200,00 (c) R$ 32.400,00 (d) R$ 33.600,00 (e) R$ 36.000,00
[29] Um capital, acrescido de seus juros de 21 meses, soma R$ 156.400,00. O mesmo capital, diminuído
de seus juros de 9 meses, é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples desses
investimentos.
(a) 100.125,32 e 1.95% a.m.
(b) 103.795,74 e 1,98% a.m.
(c) 105.540,26 e 2,01% a.m.
(d) 108.800,05 e 2,08% a.m.
(e) 109.645,47 e 2,12% a.m.
[30] Quanto se deve aplicar hoje em uma instituição financeira, que paga juros simples de 6% a.m., para
se obter R$ 200.000,00 no fim de 39 dias?
(a) R$ 150.688,40 (b) R$ 168.800,36 (c) R$ 185.528,76 (d) R$ 190.000,00 (e) R$ 198.222,22
[31] O juro comercial simples de R$ 10.000,00, aplicado há 198 dias, à taxa de 6% ao ano, é de:
(a) R$ 166,67 (b) R$ 303,03 (c) R$ 313,33 (d) R$ 330,00 (e) R$ 600,00
D
es
co
n
to
 S
im
p
le
s
UNIDADE 4 43
DESCONTO SIMPLES
Taxas de Desconto
B ancos e outras instituições financeiras realizam operações de desconto de títulos diversos.Nesse caso, o credor do título recebe hoje o valor do título que tem vencimento futuro,mediante o pagamento de deságio e cessão dos direitos creditórios. Nessas operações,
são negociados títulos como notas promissórias (NP), duplicatas e outros.
Conceitos
Deságio – valor de desconto que se deduz de uma obrigação a ocorrer no futuro, para que essa possa ser
quitada antecipadamente.
Cessão dos direitos creditórios – cessão do valor a receber numa data, por pessoa física ou jurídica, que
pode ser negociado com terceiros.
n (período de
antecipação)
F (Valor Nominal)
D (Desconto)
P
tempo
•
•
P (Va
lor A
tual
)
R$
4
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA44
Quando alguém tem algo a pagar e outro tem algo a receber, podem ocorrer situações como:
• o devedor tem disponibilidade de recursos e opta por pagar antes da data predeterminada. Neste caso,
o prazo de empréstimo é reduzido. Logo, é razoável que o devedor pague menos pelo empréstimo.
Assim, ele se beneficia com um abatimento correspondente aos juros que seriam gerados por esse
dinheiro, durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; e
• pode ocorrer, também, que o credor (quem emprestou o dinheiro) necessite do dinheiro antes da data
marcada. Como, quase sempre, o devedor não pode antecipar o pagamento, pois já se programou
para pagar na data predeterminada, o credor vende seu título de crédito a um terceiro. Ora, esse
agente também vai querer ser remunerado com os juros do capital que adiantar, considerando-se o
intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento.
Em ambos os casos, há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades – a que seria
paga e a que efetivamente foi paga. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.
As operações citadas são denominadas operações de desconto.
Na operação de desconto, usamos alguns termos específicos:
• data de vencimento – dia fixado, no título, para pagamento da aplicação;
• valor nominal ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate (F) – valor indicado no título
(importância a ser paga no dia do vencimento);
• valor atual ou valor presente ou valor descontado (P) – líquido pago (antes do vencimento);
• prazo (n) – o tempo em períodos (dias, meses ou anos), compreendido entre o dia em que se negocia
o título e o seu vencimento. O prazo inclui o último dia (ou mês ou ano) e exclui o primeiro; e
• desconto (D) – pode ser entendido como sendo a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
O desconto pode ser feito, considerando-se, como capital, o valor nominal ou o valor atual. No primeiro
caso, temos um desconto comercial e, no segundo, um desconto racional.
Não abordaremos aqui o assunto desconto racional.
UNIDADE 4 45
Desconto Comercial
É a modalidade de desconto mais utilizada. É denominada desconto comercial, bancário ou por fora o
equivalente aos juros simples, produzidos, pelo valor nominal do título, no período de tempo correspondente
à taxa fixada.
Cálculo do Desconto Comercial
Pela definição acima, têm-se:
P = F – D
D = F × id × n
onde:
D = valor do desconto comercial (em moeda R$)
F = valor nominal do título ou valor de face ou valor futuro
P = valor presente, correspondente ao valor futuro, descontado o valor do desconto “D”
id = taxa de desconto (na forma decimal)
n = prazo de antecipação (tempo)
Nota: também neste caso, n e id devem estar na mesma unidade de tempo.
Outra fórmula para o cálculo:
P = F – D, como D = F
 
 
 ×
 
 
 id × n, o cálculo do valor presente pode ser simplificado para a fórmula:
P = F
 
 
 ×
 
 
 (1 – id × n)
Conclusão
O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois, para prazos
longos, o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do título.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA46
Aplicação prática
1. Um título de R$ 3.000,00 é descontado por fora, 6 meses antes do seu vencimento,
a uma taxa de 2% ao mês. Considerando regime de capitalização de juros simples,
qual o valor do desconto?
Dados:
F = 3.000
id = 2% a.m. = 0,02 ao mês
n = 6 meses
Cálculo:
D = F × id × n
D = 3.000 × 0,02 × 6
D = 360
Resposta: O desconto é de R$ 360,00.
2. Um título de R$ 5.000,00 foi descontadopor R$ 3.750,00. Sabendo que o tempo de
antecipação foi de 4 meses, qual a taxa mensal de desconto simples?
Dados:
F = 5.000
P = 3.750
D = 5.000 – 3.750 = 1.250
id = ?
n = 4 meses
Cálculo:
D = F × id × n
1.250 = 5.000 × id × 4
1.250 = 20.000 × id
id = 6,25% a.m.
Resposta: A taxa de desconto foi de 6,25% ao mês.
3. Qual o valor atual de um título de R$ 1.200,00, resgatado 8 meses antes do seu
vencimento, a uma taxa de 42% ao ano, considerando-se os juros simples?
Dados:
F = 1.200
P = ?
id = 42 ÷ 100 = 0,42 ao ano
n = 8 meses = 8 ÷ 12 anos (porque a taxa id é anual)
Cálculo:
P = F × (1 – id × n)
P = 1.200 × (1 – 0,42 × 8 ÷ 12)
P = 864
Resposta: O valor atual do título é R$ 864,00.
UNIDADE 4 47
Outro modo de calcular:
D = F × id × n
D = 1.200 × 0,42 × (8 ÷ 12)
D = 336
P = F – D
P = 1.200 – 336 = 864
4. Calcule o valor do desconto simples de um título de R$ 1.720,00, descontado 3
meses e 20 dias antes do vencimento, a uma taxa de 38,7% ao ano.
Dados:
F = 1.720
D = ?
id = 38,7 ÷ 100 = 0,387 ao ano
n = 3 meses e 20 dias = 90 + 20 = 110 dias
ou seja: n = (110 ÷ 360) anos (porque a taxa id é anual)
Cálculo:
D = F × id × n
D = 1.720 × 0,387 × (110 ÷ 360)
D = 203,39
Resposta: O valor do desconto é de R$ 203,39.
5. Uma promissória de R$ 1.480,00 foi resgatada, 4 meses antes do seu vencimento,
por R$ 1.220,00. Qual a taxa anual da operação, considerando o regime de
capitalização a juros simples?
Dados:
F = 1.480
P = 1.220
D = 1.480 – 1.220 = 260
id = ? (ao ano)
n = 4 meses = 4 ÷ 12 anos (porque a taxa id desejada é anual)
Cálculo:
D = F × id × n
260 = 1.480 × id × 4 ÷ 12
id = 0,5270 = 52,70% a.a.
Resposta: A taxa anual é de 52,70%.
6. Calcule o valor de um título que foi resgatado por R$ 796,24, 6 meses antes do seu
vencimento, a uma taxa de 7% ao mês em juros simples.
Dados:
F = ?
P = 796,24
id = 7 ÷ 100 = 0,07 ao mês
n = 6 meses
48 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA
Cálculo:
P = F (1 – id × n)
796,24 = F (1 – 0,07 × 6)
Resposta: O valor do título é R$ 1.372,83.
7. Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 900,00, descontado 5 meses
antes do seu vencimento, a uma taxa de 3% ao mês?
Dados:
F = 900
D = ?
id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês
n = 5 meses
D = F × id × n
Cálculo:
D = 900 × 0,03 × 5
D = 135
Resposta: O desconto é de R$ 135,00.
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FIXANDO CONCEITOS 4 49
[1] Uma nota promissória de R$ 186.000,00, vencendo em 72 dias, sofreu R$ 3.199,20 de desconto
comercial simples. A taxa anual usada nessa operação foi de:
(a) 6% (b) 7,6% (c) 8,6% (d) 9,2% (e) 10,4%
[2] O valor atual de um título de R$ 20.000,00, descontado a 5% a.a., em 6 meses, considerando juros
simples é de:
(a) R$ 19.500,00 (b) R$ 20.000,00 (c) R$ 21.500,00 (d) R$ 22.000,00 (e) R$ 23.500,00
[3] O valor atual de um título que, descontado a 6% a.a., 4 meses antes do vencimento, produziu o
desconto comercial simples de R$ 600,00 é de:
(a) R$ 28.200,00 (b) R$ 28.600,00 (c) R$ 29.200,00 (d) R$ 29.400,00 (e) R$ 30.000,00
[4] Devo a um amigo R$ 110.000,00. Desejo liquidar a dívida, endossando-lhe um título que possuo
de R$ 90.000,00, vencendo em 1 mês e 25 dias. Se o desconto comercial simples for feito a 8% a.a.,
a quantia em dinheiro que devo dar é de:
(a) R$ 21.100,00 (b) R$ 24.800,00 (c) R$ 25.300,00 (d) R$ 28.900,00 (e) R$ 88.900,00
[5] Calcular o valor nominal de uma duplicata que, à taxa de 6% a.m., sofreu um desconto bancário ou
comercial ou por fora de R$ 60,00, ao ser resgatado 2 meses antes de seu vencimento:
(a) R$ 300,00 (b) R$ 400,00 (c) R$ 500,00 (d) R$ 600,00 (e) R$ 700,00
[6] Para descontar uma nota promissória, a uma taxa de desconto comercial simples de 15% ao mês,
60 dias antes do vencimento, uma pessoa recebe o líquido de R$ 280,00. O valor nominal é de:
(a) R$ 100,00 (b) R$ 200,00 (c) R$ 300,00 (d) R$ 400,00 (e) R$ 500,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA50
[7] Um título de R$ 350,00 é descontado por R$ 245,00, 6 meses antes do vencimento. A taxa mensal de
desconto comercial simples é de:
(a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% (e) 5%
[8] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 800,00, 3 meses e 18 dias antes do vencimento,
a uma taxa de 4% ao mês, é de:
(a) R$ 115,20 (b) R$ 122,30 (c) R$ 124,50 (d) R$ 132,80 (e) R$ 135,40
[9] Uma letra de câmbio foi descontada por R$ 320,00, 8 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de
desconto comercial simples de 1,5% ao mês. O valor nominal era de:
(a) R$ 341,41 (b) R$ 356,56 (c) R$ 363,64 (d) R$ 392,92 (e) R$ 402,02
[10] Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 6.072,00. Sabendo que
a taxa de desconto comercial simples foi de 4% ao mês, o tempo de antecipação foi de:
(a) 3 meses (b) 4 meses (c) 5 meses (d) 6 meses (e) 7 meses
[11] Uma letra de câmbio de valor nominal de R$ 4.700,00 foi resgatada 1 mês e 6 dias antes do seu
vencimento, à taxa de 2,2% ao mês. O valor do desconto comercial simples foi de:
(a) R$ 112,20 (b) R$ 118,06 (c) R$ 121,09 (d) R$ 124,08 (e) R$ 125,09
[12] Uma nota promissória de R$ 18.600,00, vencendo em 272 dias, sofreu um desconto bancário
de R$ 930,00. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:
 (a) 0,25% (b) 0,35% (c) 0,45% (d) 0,55% (e) 0,65%
[13] Uma letra, descontada por fora à taxa de 2,5% ao dia, produziu o desconto comercial simples
equivalente a 1/4 de si mesma. O prazo de antecipação foi de:
 (a) 6 dias (b) 8 dias (c) 10 dias (d) 12 dias (e) 15 dias
[14] Um título de valor nominal de R$ 6.000,00 é resgatado 4 meses antes de seu vencimento a uma taxa
de desconto comercial simples de 36% ao ano. O valor atual pago é de:
(a) R$ 5.080,00 (b) R$ 5.180,00 (c) R$ 5.280,00 (d) R$ 5.380,00 (e) R$ 5.480,00
FIXANDO CONCEITOS 4 51
[15] Um título de R$ 1.800,00 foi resgatado 9 meses antes do seu vencimento. Se a taxa de desconto
simples foi de 2,75% ao mês, o valor do desconto comercial simples foi de:
(a) R$ 445,50 (b) R$ 450,80 (c) R$ 475,50 (d) R$ 490,30 (e) R$ 498,20
[16] Uma pessoa resgatou uma duplicata pela metade do preço 8 meses antes do seu vencimento. A taxa
mensal de desconto comercial simples foi de:
(a) 5% (b) 5,75% (c) 6% (d) 6,25% (e) 7,25%
[17] Uma nota promissória de R$ 16.000,00 foi resgatada por R$ 14.880,00 a 21 dias do seu vencimento.
A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:
(a) 6% (b) 7% (c) 8% (d) 9% (e) 10%
[18] Um título de valor nominal de R$ 4.000,00 é resgatado por R$ 3.600,00, 5 meses antes de seu
vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa transação é de:
(a) 1,2% (b) 1,5% (c) 2% (d) 2,5% (e) 3%
[19] Um título de R$ 13.000,00 foi descontado por fora por R$ 9.100,00. Sabendo-se que foi resgatado
5 meses antes de seu vencimento, a taxa mensal de desconto foi de:
(a) 4% (b) 5% (c) 6% (d) 7% (e) 8%
[20] Uma nota promissória de R$ 1.530,00 foi descontada a uma taxa de desconto comercial simples de 8%
ao ano, produzindo um desconto de R$ 71,40. O prazo da antecipação em meses foi de:
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7
[21] Uma nota promissória foi paga 7 meses e meio antes do seu vencimento, sofrendo um desconto
comercial simples à taxa de 8% ao mês. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 4.800,00, podemos afirmar
que o valor nominal da promissória foi de:
(a) R$ 8.000,00 (b) R$ 9.000,00 (c) R$ 10.000,00 (d) R$ 11.000,00 (e) R$ 12.000,00
[22] Um título de R$ 640,00 foi resgatado 11 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto
comercial simples de 1,85% ao mês. O valor deste desconto foi de:
(a) R$ 130,24 (b) R$ 132,38 (c) R$ 141,12 (d) R$ 143,15 (e) R$ 144,20
[23] Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 foi resgatado por um valor atual de R$ 1.820,00.Sabendo-se
que a taxa mensal de desconto comercial simples é de 3% ao mês, então o prazo de antecipação foi de:
(a) 2 meses (b) 3 meses (c) 4 meses (d) 5 meses (e) 6 meses
52 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA
[24] Em uma operação financeira, o valor nominal do título é igual a 10 vezes o desconto comercial
simples concedido. Sendo a taxa de desconto simples de 2% ao dia, o prazo de antecipação foi de:
 (a) 3 dias (b) 4 dias (c) 5 dias (d) 6 dias (e) 7 dias
[25] O valor do desconto de um título de R$ 20.000,00, a 6% ao mês, em 1 ano é de:
(a) R$ 12.000,00 (b) R$ 12.600,00 (c) R$ 14.000,00 (d) R$ 14.400,00 (e) R$ 15.000,00
[26] Um título de R$ 4.200,00 foi resgatado por R$ 3.800,00, 8 meses antes do vencimento. A taxa mensal
de desconto comercial simples foi de:
(a) 0,92% (b) 1% (c) 1,19% (d) 1,35% (e) 2%
[27] Deseja-se resgatar um título cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, 4 meses antes de seu vencimento.
Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 30% ao ano, o desconto obtido na hora do
resgate será de:
(a) R$ 120,00 (b) R$ 150,00 (c) R$ 180,00 (d) R$ 200,00 (e) R$ 220,00
[28] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.400,00, descontado 2 meses e 18 dias
antes do vencimento, a uma taxa de 36% ao ano, é de:
(a) R$ 158,80 (b) R$ 161,30 (c) R$ 172,40 (d) R$ 187,20 (e) R$ 191,80
[29] O valor atual de um título de R$ 4.500,00, resgatado 6 meses e 12 dias antes do seu vencimento, a
uma taxa de 45% ao ano, é de:
(a) R$ 3.180,00 (b) R$ 3.340,00 (c) R$ 3.380,00 (d) R$ 3.400,00 (e) R$ 3.420,00
[30] O valor de um título que foi resgatado por fora por R$ 1.080,00, 4 meses antes do seu vencimento, a
uma taxa de 0,5% ao dia, era de:
(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.600,00 (d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00
[31] O valor nominal de um título, resgatado 16 meses antes do vencimento, é de R$ 6.000,00, e a taxa de
desconto comercial simples é de 1,5% ao mês. O valor do desconto obtido foi de:
(a) R$ 1.145,00 (b) R$ 1.240,00 (c) R$ 1.350,00 (d) R$ 1.440,00 (e) R$ 2.832,00
[32] Um título de R$ 35.000,00 será resgatado 24 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa
de desconto comercial simples é de 8,75% ao ano, o desconto obtido na hora do resgate será de:
(a) R$ 5.836,23 (b) R$ 6.125,00 (c) R$ 7.437,00 (d) R$ 8.950,00 (e) R$ 9.128,30
Ju
ro
s 
C
o
m
p
o
st
o
s
UNIDADE 5 53
JUROS COMPOSTOS
Juros Compostos
E m relação aos juros simples, os juros produzidos por um capital são sempre os mesmos, qualquerque seja o período. O motivo disso é que os juros simples são sempre calculados sobre ocapital inicial, não importando o montante correspondente ao período anterior.
Exemplo
Um capital de R$ 100,00 aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de
juros simples:
Capital Inicial = R$ 100,00
Relembrando (Juros Simples): j = P × i × n
Mês Juros Simples Montante (F)
1 100 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00
2 100 × 0,02 × 1 = 2,00 104,00
3 100 × 0,02 × 1 = 2,00 106,00
No regime de juros compostos, porém, os juros a cada período são calculados sobre o
montante existente no período anterior. Dessa forma, os juros do período anterior são
incorporados ao capital. Pode-se dizer, então, que, no regime de juros compostos,
“os juros rendem juros”. Este é o regime mais utilizado.
Tomando o exemplo anterior, de acordo com a definição, temos:
Capital Inicial = R$ 100,00
5
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA54
Assim, no regime de juros compostos, os juros produzidos no fim de cada período são
somados ao capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a render juros no
período seguinte.
Mês Juros Compostos Montante (F)
1 100,00 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00
2 102,00 × 0,02 × 1 = 2,04 104,04
3 104,04 × 0,02 × 1 = 2,08 106,12
Juros compostos são aqueles que, a partir do segundo período, são calculados
sobre o montante relativo ao período anterior.
Convenções ou Notações Utilizadas
em Juros Compostos
J – juros compostos
P – capital inicial → valor tomado emprestado
F – Valor Futuro ou Montante → valor do capital inicial acrescido de juros compostos
i – taxa de juros compostos
Período de capitalização – ciclo de tempo necessário para gerar juros compostos
Exemplo: na caderneta de poupança, este ciclo é de 30 dias.
n – tempo de aplicação – quantidade de períodos de capitalização do investimento.
Veja outras nomenclaturas na Tabela (Anexo 1).
Comentário
Nos enunciados de exercícios e/ou aplicações práticas, quando não estiver definido o
período de capitalização, este será entendido como sendo aquele apresentado no tempo
de aplicação do investimento.
Entendendo como calcular o montante (Valor Futuro) de um investimento.
Supondo-se um investimento cujo capital inicial seja P, aplicado a uma taxa de juros compostos igual a “i”
durante “n” períodos de capitalização, temos:
Período Juros Montante
1o J1 = P × i F1 = P + J1 = P + P × i = P (1 + i) → F1 = P (1 + i)
2o J2 = F1 × i F2 = F1 + J2 = F1+ F1× i = F1 (1 + i) → F2 = P (1 + i) × (1 + i) → F2 = P (1 + i)2
3o J3 = F2 × i F3 = F2 + J3 = F2+ F2× i = F2 (1 + i) → F3 = P (1 + i)2 × (1 + i) → F3 = P (1 + i)3
UNIDADE 5 55
Analisando a sequência anterior, podemos deduzir que, para “n” períodos, teremos:
F
n
 = P (1 + i)n
onde:
F = montante ou Valor Futuro
P = capital inicial
i = taxa de juros compostos
n = tempo de aplicação
Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J)
Sabendo que, em qualquer investimento, o montante é sempre igual ao capital inicial adicionado aos juros,
então, podemos escrever:
J
n
 = F
n
 – P
Substituindo a fórmula do montante temos que:
J
n
 = P (1 + i)n – P
Colocando o capital inicial em evidência:
J
n
 = P [(1 + i)n – 1]
onde:
J
n
 = juros compostos
P = capital inicial
i = taxa de juros compostos
n = tempo de aplicação
O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização.
Importante
Essas fórmulas serão válidas exclusivamente se a taxa e o período estiverem na
mesma unidade de tempo (ano, mês, dia...)
Aplicação prática
1) Qual o montante e os juros compostos de uma aplicação de R$ 4.000,00, a uma
taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, considerando o período de capitalização
mensal?
Resolução:
P = 4.000,00
i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.
n = 14 m
Sabemos que F
n
 = P(1 + i)n
F = 4.000 × (1 + 0,025)14
F = 4.000 × (1,025)14 = 4.000 × 1,412974
F = 5.651,90
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA56
Logo:
J = F – P
J = 5.651,90 – 4.000,00 = 1.651,90
Outra forma de calcular os juros:
J = P[(1 + i)n – 1]
J = 4.000 [(1 + 0,025)14 – 1]
J = 4.000 [0,412974]
J = 1.651,90
Resposta: O montante do investimento é de R$ 5.651,90 e os juros compostos
foram de R$ 1.651,90.
Observe que na aplicação prática anterior, o período (n) e a taxa (i) estão na mesma unidade de tempo (mês).
Taxas Equivalentes
Denominam-se taxas equivalentes aquelas que, aplicadas a um mesmo capital, geram um mesmo valor
futuro (montante), no mesmo intervalo de tempo.
Em juros compostos, calculamos a taxa equivalente, utilizando a seguinte fórmula:
1 + I = (1 + i)n
onde:
I = taxa do período maior
i = taxa do período menor
n = relação de conversão entre os períodos envolvidos
Observação
Lembre-se de multiplicar o resultado, por 100 para apresentar a taxa percentual.
Aplicação prática
1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
Dados:
Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano
Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)
Portanto:
1 + I = (1 + i)n
1 + I = (1 + 2 ÷ 100)12
I = (1,02)12 – 1
I = 1,268242 – 1
UNIDADE 5 57
I = 0, 268242 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)
I = 26,8242% a.a.
Resposta: A taxa anual equivalente a 2% a.m. é de 26,8242% a.a.
2. Qual a taxa mensalequivalente a 30% a.a.?
Dados:
Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano
Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)
Portanto:
1 + I = (1 + i)n
1 + 30 ÷ 100 = (1 + i)12
1,30 = (1 + i)12
Dividindo os índices por 12, temos:
(1,30)1÷12 = 1 + i
1,022104 – 1 = i
i = 0,022104 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)
i = 2,2104% a.m.
Resposta: A taxa mensal equivalente a 30% a.a. é de 2,2104% a.m.
3. Qual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre?
Dados:
Períodos envolvidos (trimestre e ano). Menor: trimestre Maior: ano
Relação de conversão: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)
Portanto:
1 + I = (1 + i)n
1 + I = (1 + 3 ÷ 100)4
I = (1,03)4 – 1
I = 1,125509 – 1
I = 0,125509 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)
I = 12,5509% a.a.
Resposta: A taxa anual equivalente a 3% a.t. é de 12,5509% a.a.
4. Qual a taxa diária equivalente a 70% ao trimestre?
Dados:
Períodos envolvidos (dia e trimestre). Menor: dia Maior: trimestre
Relação de conversão: 90 (Quantos menores cabem dentro do maior?)
Portanto:
1 + I = (1 + i)n
1 + 70 ÷ 100 = (1 + i)90
1,70 = (1 + i)90
Dividindo os índices por 90, temos:
(1,70)1÷90 = 1 + i
1,005913 – 1 = i
i = 0,005913 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)
i = 0,591328% a.d.
Resposta: A taxa diária equivalente a 70% a.t. é de 0,591328% a.d.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA58
Comentários
• A solução de um problema de juros compostos passa pela observação das unidades,
apresentadas na taxa e no período de capitalização. Lembre-se sempre de converter
a taxa para a mesma unidade do período de capitalização ou transformar o tempo
para o mesmo período de capitalização.
• Em problemas de juros compostos, é muito mais fácil converter a unidade de tempo,
ou seja, use a taxa (i) dada pelo problema e mude a unidade de tempo.
Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes
• Vamos estabelecer as taxas equivalentes de 3% ao mês.
• Some 1 a 3% = 1 + 0,03 = 1,03, que chamaremos de coeficiente de capitalização.
• Para encontrar as taxas equivalentes, basta elevar o coeficiente à unidade de tempo
desejada (bimestre, trimestre etc) e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.
Taxa
Unidade de Quantidade Elevar o Equivalente
Tempo Desejada de Meses Coeficiente Cálculo 3% a.m.
 
bimestre 2 (1,03)² subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09 % a.b.
trimestre 3 (1,03)³ subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27 % a.t.
quadrimestre 4 (1,03)4 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.
semestre 6 (1,03)6 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41 % a.s.
ano 12 (1,03)12 subtrair 1 e multiplicar por 100 42,58 % a.a.
• Vamos fazer o caminho inverso do que foi feito na tabela anterior, usando uma
taxa de 42,58% ao ano.
• Some 1 a 42,58% = 1 + 0,4258 = 1,4258 (coeficiente de capitalização).
• Para voltar de uma taxa equivalente, basta elevar o coeficiente a 1 (um) sobre a
unidade de tempo desejada e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.
• Procure, através destes exemplos, converter taxas em outras unidades de tempo,
como trimestre, bimestre etc.
Taxa
Unidade de Elevar o Equivalente
Tempo Desejada 1 Ano Tem Coeficiente Cálculo 42,58% a.a.
 
meses 12 (1,4258)1/12 subtrair 1 e multiplicar por 100 3% a.m.
bimestres 6 (1,4258)1/6 subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.
trimestres 4 (1,4258)1/4 subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.
quadrimestres 3 (1,4258)1/3 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.
semestres 2 (1,4258)1/2 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.
UNIDADE 5 59
Exemplo
Qual será o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, a juros compostos, a uma
taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 14 meses?
Resolução:
P = 4.000,00
i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.
n = 14 meses
F = ?
Análise inicial: a taxa efetiva está no mesmo período de capitalização → não
necessita de conversão.
Logo:
F = P (1 + i)n
Substituindo os dados já conhecidos, temos:
F = 4.000 × (1 + 0,025)14
F = 4.000 × (1,025)14
F = 4.000 × 1,412974
F = 5.651,90
Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 5.651,90.
Aplicação prática
1. Quais os juros compostos de uma aplicação de R$ 20.000,00, a 4% ao ano, durante
8 meses?
Dados:
P = 20.000,00
J = ?
n = 8 meses
i = 4% a.a.
Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade,
portanto, devemos converter a taxa de ano para meses.
Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano
Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)
Portanto:
1 + I = (1 + i)n
1 + 4 ÷ 100 = (1 + i)12
1,04 = (1 + i)12
(1,04)1÷12 = 1 + i
1,003274 – 1 = i
i = 0,003274 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)
i = 0,327374% a.m.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA60
Substituindo na fórmula do montante, temos:
F = P (1 + i)n
F = 20.000 × (1 + 0,003274)8
F = 20.000 × (1,003274)8
F = 20.000 × 1,026492
F = 20.529,84
Logo:
J = F – P → 20.529,84 – 20.000,00
J = 529,84
Resposta: Os juros compostos são de R$ 529,84.
2. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.000,00, em regime de juros
compostos, aplicado durante 6 meses, à taxa de 3,5% ao mês?
P = 6.000
F = ?
i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês
n = 6 meses
Como F = P × (1 + i)n
Logo:
F = 6.000 (1 + 0,035)6
F = 6.000 (1,035)6
F = 6.000 × 1,229255
F = 7.375,53
Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 7.375,53.
3. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após
8 meses rendeu um montante de R$ 19.752,14.
F = 19.752,14
P = ?
i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês
n = 8 meses
F = P × (1 + i)n
19.752,14 = P (1 + 0,035)8
19.752,14 = P (1,035)8
19.752,14 = P × 1,316809
19.752,14 ÷ 1,316809 = P → P = 15.000
Resposta: O capital aplicado foi de R$ 15.000,00.
UNIDADE 5 61
4. O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado, a juros compostos, por 2 dias, à taxa de
36% ao ano. Qual o montante obtido?
P = 12.000,00
F = ?
n = 2 dias
i = 36% a.a.
Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto,
devemos converter a taxa de ano para dias.
Períodos envolvidos (dia e ano). Menor: dia Maior: ano
Relação de conversão: 360 (Quantos menores cabem dentro do maior?)
Portanto:
1 + I = (1 + i)n
1 + 36 ÷ 100 = (1 + i)360
1,36 = (1 + i)360
(1,36)1 ÷ 360 = 1 + i
1,000854 – 1 = i
i = 0,000854 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)
i = 0,085449% a.d.
Substituindo na fórmula do montante, temos:
F = P (1 + i)n
F = 12.000 × (1 + 0,000854)2
F = 12.000 × (1,000854)2
F = 12.000 × 1,001710
F = 12.020,52
Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 12.020,52.
5. Quais os juros de uma aplicação de R$ 1.500,00, a juros compostos de 1,13% ao
mês, durante um semestre?
F = ?
P = 1.500
i = 1,13 ÷ 100 = 0,0113 ao mês
n = 1 semestre = 6 meses
Como F = P × (1 + i)n
Então:
F = 1.500 (1 + 0,0113)6
F = 1.500 (1,0113)6
F = 1.500 × 1,069744
F = 1.604,62
Resposta: O valor dos juros é de 1.604,62 – 1.500 = R$ 104,62.
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA62
6. Qual o montante de um capital de R$ 3.000,00, a juros compostos de 2% ao mês,
durante 1 dia?
P = 3.000,00
F = ?
n = 1 dia (Período de capitalização = diário)
i = 2% a.m.
Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto,
devemos converter a taxa de mês para dia.
Períodos envolvidos (dia e mês). Menor: dia Maior: mês
Relação de conversão: 30 (Quantos menores cabem dentro do maior?)
Portanto:
1 + I = (1 + i)n
1 + 2 ÷ 100 = (1 + i)30
1,02 = (1 + i)30
(1,02)1÷30 = 1 + i
1,000660 – 1 = i
i = 0,000660 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)
i = 0,066031% a.d.
Substituindo na fórmula do montante, temos:
F = P (1 + i)n
F = 3.000 × (1 + 0,000660)1
F = 3.000 × (1,000660)1
F = 3.000 × 1,000660
F = 3.001,98
Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$