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Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Par ordenado
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cartesiano Produto Cartesiano
Renata de Freitas e Petrucio Viana
Instituto de Matema´tica, UFF
Abril de 2011
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Suma´rio
• Par ordenado.
• Produto cartesiano.
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Kuratowski
• Matema´tico poloneˆs.
• Caracterizou grafos planares.
Kazimierz Kuratowski
(1896 – 1980)
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Par ordenado 1
Todo objeto matema´tico esta´ no universo V
(sem urelementos).
Mas muitos objetos matema´ticos na˜o se parecem com
conjuntos!
Por exemplo, os pares ordenados:
(a, a) 6= (a, a, a) 6= (a) mas {a, a, a} = {a, a} = {a}
(a, b) 6= (b, a) mas {a, b} = {b, a}
se a 6= b mesmo se a 6= b
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Par ordenado
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Par ordenado 2
Definic¸a˜o (Kuratowski, 1921 - Wiener, 1914)
Sejam a, b ∈ U . O par ordenado ab e´ o conjunto
(a, b) = {{a}, {a, b}}.
Teorema Para todos a, b, c, d ∈ U , temos que
(a, b) = (c , d) se, e somente se, a = c e b = d .
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Problema 1
Prove o teorema anterior.
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Par ordenado 3
Um programa pode ser visto como um conjunto de pares
ordenados, as entradas e sa´ıdas do programa.
444
444Programa
sa´ıda
entrada
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Definic¸a˜o
Sejam A,B ⊆ U . O produto cartesiano de A e B e´ o conjunto
A× B = {(a, b) ∈ U : a ∈ A e b ∈ B}.
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Problema 2
Considere a ∈ A e b ∈ B. Verdadeiro ou falso?
(a) (a, b) ∈ P(A ∪ B)
(b) (a, b) ∈ P(P(A ∪ B))
(c) (a, b) ∈ P(P(P(A ∪ B)))
(d) (a, b) ∈ P(P(P(P(A ∪ B))))
(e) A× B ∈ P(A ∪ B)
(f) A× B ∈ P(P(A ∪ B))
(g) A× B ∈ P(P(P(A ∪ B)))
(h) A×B ∈ P(P(P(P(A∪B))))
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Propriedades ba´sicas de ×
Para todos os conjuntos A,B,C :
(1) Associatividade ???
(2) Comutatividade ???
(3) A× ∅ = ∅
(4) Distributividade sobre ∩ ???
(5) Distributividade sobre ∪ ???
(6) A× B ???
Desafio: encontrar propriedades verdadeiras para todos os
conjuntos A e B para os itens marcados com ???.
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Exerc´ıcios
1. Exerc´ıcios do Menezes
(Paulo B. Menezes, Matema´tica Discreta para Computac¸a˜o e
Informa´tica, 2a. edic¸a˜o, Sagra Luzzatto / Instituto de Informa´tica da
UFRGS, Porto Alegre, 2006).
2. Exerc´ıcios do Scheinerman
(E.R. Scheinerman, Matema´tica Discreta, Thomson, Sa˜o Paulo,
2006).
3. Exerc´ıcios da Lista 8.
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