Trabalho Dinâmica - Momento de Inercia de cilindros de mesma massa (UFSC JOINVILLE)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS JOINVILLE 
CENTRO DE JOINVILLE 
DINÃMICA – 2016/1 
 
 
RELATÓRIO DO EXPERIMENTO RELACIONADO AO MOMENTO DE INERCIA DE 
CILINDROS DE MESMA MASSA 
 
Leonardo H. Tártari* - 13103801 
 
Universidade Federal de Santa Catarina *loe_tartari@hotmail.com 
 
 
RESUMO 
 
Neste trabalho, usando o conceito de dinâmica de corpo rígido e relações cinemáticas, irá ser 
tratado qual a relação entre aceleração de um cilindro descendo um plano inclinado com o momento 
de inércia do mesmo, mostrando que dois cilindros de mesma massa, porém, variando apenas o 
momento de inércia, possuem uma aceleração diferente um do outro. Para mostrar tal relação, foi 
gravado um vídeo experimental mostrando na prática a diferença na aceleração. Os conceitos usados 
e cálculos envolvidos será mostrado e explicado a seguir. 
 
 
CONCEITOS USADOS 
 
Relações cinemáticas: 
 
Foi utilizado a relação cinemática que relaciona a aceleração do centro de gravidade com a 
aceleração angular: 
 
𝑎𝑐𝑔 = 𝛼𝑅 (1) 
 
Onde “R” é a distância entre o vetor aceleração e a referência. 
Para definir o momento de inércia foi utilizado a equação que relaciona a velocidade de um 
corpo com a velocidade angular do mesmo: 
 
𝑣 = 𝜔𝑅 (2) 
 
Onde “R” é a distância entre o vetor velocidade e a referência. 
Para definir a segunda lei de Newton para rotação foi utilizado a relação entre variação da 
velocidade angular no tempo com a aceleração angular, dada pela equação cinemática: 
 
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝛼 (3) 
 
 
Momento de inércia: 
 
Define-se o momento de inércia como a “dificuldade” de movimentar o corpo em uma direção. 
A resistência que um corpo possui à mudança de sua velocidade angular, é conhecida como momento 
de inércia. O momento de inércia é calculado a partir do somatório da energia cinética de várias 
partículas de um corpo rígido (considerando um corpo rígido como um conjunto de partículas, e cada 
partícula com uma velocidade diferente), sendo assim temos: 
 
𝑇 =
1
2
𝑚1𝑣1
2 +
1
2
𝑚2𝑣2
2 + ⋯ +
1
2
𝑚𝑛𝑣𝑛
2 =
1
2
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑣𝑖
2 (4) 
 
Sendo 𝑚𝑖 a massa de cada partícula e 𝑣𝑖 a velocidade. 
Como 𝑣𝑖 não é constante para todas as partículas, mas a velocidade angular é, então podemos 
substituir 𝑣𝑖, pela equação 2, ficando assim: 
 
𝑇 =
1
2
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
(𝜔𝑟𝑖)
2 =
1
2
(∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑟𝑖
2) 𝜔2 (5) 
 
O valor entre parênteses, onde contém 𝑚𝑖 e 𝑟𝑖, chamamos de momento de inércia, dado pela letra 
“I”, ficando claro que o valor do momento de inércia depende de como a massa está distribuída em torno de 
seu eixo de rotação. Definido o momento de inercia, temos como equação: 
 
𝐼 = ∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑟𝑖
2
 , ou ainda de forma simplificada, 𝐼 = 𝑚𝑟2 (6) 
 
 
Segunda lei de Newton para rotação (Newton-Euler): 
 
Considerando a equação da conservação do momento angular de um corpo rígido, e 
derivando-a no tempo temos: 
 
𝑑𝐻
𝑑𝑡
= 𝐼 (
𝑑𝜔
𝑑𝑡
) (7) 
 
Como resultado da equação 7 temos que: dH/dt = ∑ 𝜏𝑒𝑥𝑡 e d𝜔/dt = 𝛼, sendo 𝜏 o torque de 
cada força externa e H sendo o momento angular definido como H=I𝜔. Portanto, efetuando as 
substituições, chegamos a equação que define a segunda lei de Newton para rotação, também 
conhecida como método de Newton-Euler: 
 
∑ 𝜏 = 𝐼𝛼 , 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎, ∑ 𝑀 = 𝐼𝛼 (8) 
 
Sendo M os momentos exercidos no corpo rígido. 
 
 
EXPERIMENTO: 
 
Materiais utilizados para o experimento: 
 
Para o experimento foi usado duas barras de rosca sem fim de 1 metro de comprimento cada, 
cortadas em oito pedaços de 25 cm. Quatro discos de MDF com raio de 10,1 cm para formar os 
cilindros. Para a fixação dos discos foi necessário 32 porcas e arruelas. Como mostra a imagem 
abaixo. 
 
 
 
 
FIGURA 1 – Materiais utilizados. 
 
 
 
Calculando o momento de inércia das barras: 
 
Já definido o momento de inércia, tendo uma equação simplificada I=mr², é preciso o 
momento de inércia das barras. Considerando a massa de cada disco como 𝑚𝑑, trabalhando somente 
com as barras pois os discos são iguais para os dois cilindros e não vão influenciar no momento de 
inércia das barras, portanto, 𝑚𝑏 ≫ 𝑚𝑑. 
Considerando também a massa de cada barra como 𝑚𝑏/4, e sendo quatro barras, temos uma 
massa total de 𝑚𝑏. No cilindro “A”, onde as barras estão a uma distância a = 2,5cm, o momento de 
inércia fica: 
 
𝐼𝐴 = 4
𝑚𝑏
4
𝑎2 = 4
𝑚𝑏
4
(2,5)2 = 6,25𝑚𝑏 (9) 
 
Na imagem abaixo é mostrado como ficou, após a montagem, o cilindro “A”. 
 
FIGURA 2 – Cilindro “A”. 
 
 
 
 
 
Para o cilindro “B”, as barras estão a uma distância b = 8,5cm do centro do cilindro, portanto: 
 
𝐼𝐵 = 4
𝑚𝑏
4
𝑏2 = 𝑚𝑏(8,5)
2 = 72,25𝑚𝑏 (10) 
 
Na imagem abaixo, é mostrado como ficou, após a montagem, o cilindro “B”. 
 
FIGURA 2 – Cilindro “B”. 
 
 
Pelos valores de 𝐼𝐴 e 𝐼𝐵 já podemos ter uma noção de que o momento de inércia do disco “B” 
é maior do que o do cilindro “A” devido as massas serem iguais, ou seja, a dificuldade de colocar o 
cilindro “B” em movimento é maior do que a do cilindro “A”, e é isso que será provado a partir do 
experimento e da modelagem matemática a partir da segunda lei de Newton para rotação e equações 
cinemáticas. 
A grandeza do momento de inercia calculado é [kg.cm²], em centímetros para facilitar os 
cálculos. 
 
Modelando o problema: 
 
O objetivo da modelagem deste problema é achar a relação entre as duas acelerações dos dois 
discos (
𝑎𝐴
𝑎𝐵
), fazendo os cálculos algébricos, conhecendo algumas variáveis, e no final determinar se 
a relação entre as acelerações obtida condiz com o resultado do experimento. 
Os cálculos foram feitos numa folha separada e digitalizado, onde é explicado cada passo 
feito. 
 
 
Como resultado da modelagem obteve-se que a aceleração do cilindro “A” é 1,61 vezes mais 
rápido que o cilindro “B” isso em condições ideias, tendo em vista que são soltos no mesmo instante, 
não considerando o arrasto com o ar e tendo um tempo exato para a descida de cada cilindro. 
 
 
Resultado do experimento: 
 
No experimento feito os cilindros foram soltos do repouso em uma mesa inclinada com um 
metro de comprimento, tendo uma inclinação de 7,1°. O ângulo em que a mesa está inclinada não 
influencia no resultado buscado no experimento assim como as massas das barras, dependendo 
somente do raio “R” do disco e dos valores “a” e “b” que é a distância das barras até o centro do 
cilindro, sendo a = 2,5 cm e b = 8,5 cm. Tal dependência é mostrada no item 5 da modelagem acima. 
Foi cronometrado três vezes o tempo de descida de cada cilindro e depois tirando a média dos 
três tempos para diminuir o erro, como mostra a tabela a seguir. 
 
Tempos Cilindro A Cilindro B 
𝑡1 1,02 s 1,27 s 
𝑡2 0,99 s 1,20 s 
𝑡3 1,01 s 1,21 s 
𝑡𝑀 (tempo médio) 1,0067 s 1,2267 s 
TABELA 1 – Tempos obtidos medidos experimentalmente. 
 
Com os tempos médios obtidos e sabendo a distância percorrida, é possivel achar pela cinemática 
a velocidade e a aceleração média para cada cilindro no determinado instante de tempo. Logo: 
 
 Cilindro A Cilindro B 
Velocidades (m/s) Δ𝑥
Δ𝑡
=
1
1,0067
= 0,9933 
Δ𝑥
Δ𝑡
=
1
1,2267
= 0,8152 
Acelerações (m/s²) Δ𝑣
Δ𝑡
=
0,9933
1,0067
= 0,9867 
Δ𝑣
Δ𝑡
=
0,8152
1,2267
= 0,6645 
TABELA 2 – Velocidades e aceleraçãoes. 
 
Com as acelerações dos cilindros do experimento calculadas, é possível saber a relação entreas acelerações do cilindro “A” e “B”: 
𝑎𝐴
𝑎𝐵
=
0,9867
0,6645
= 1,485 
 
 
Resultado geral: 
 
Foi concluido que somente variando o momento de inércia de um corpo é possivel variar desde 
a velocidade final até a aceleração. Para a modelagem feita foi obtido uma relação 
𝑎𝐴
𝑎𝐵
= 1,61 e para a 
relação calcula a partir do experimento foi obtido 
𝑎𝐴
𝑎𝐵
= 1,485. Os valores obtidos foram próximos um 
do outro, confirmando a afirmação de que a variação do momento de inércia reflete diretamente na 
aceleração no corpo rígido, isso aplicando o conteúdo que foi passado em sala (cinética e cinemática) 
e por experimento. 
O erro obtido entre as duas relações foi de 7,7%. A relação calculada pela cinética e cinemática 
foi em condições ideiais, com cilindro perfeito, desconsiderando arrasto do ar e soltos no mesmo 
instante, já no experimento, foi tentado fazer o melhor possível para não ter erros grandes, porém, os 
erros vão sendo acumulados a partir dos tempos cronometrados que foi tirado a média, o arrasto com 
o ar não influencia consideravelmente, foi tentado soltar os cilindros na mesma posição em todas as 
vezes e os discos utilizados não eram 100% circulares tendo um pequeno erro no raio também, nada 
que fosse possível inflienciar consideravelmente nos resultados do experimento.