Aula 01 – Distribuições Discretas de

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Aula 01 – Distribuições Discretas de
Probabilidades
Prof. Me. André Breve
andre.breve@estacio.br
CCE1009 – Estatística Aplicada à Eng. Produção
Introdução
Estatística Aplicada à Engenharia de Produção – Prof. Me. André Breve
Variável Aleatória
É	uma	variável	(normalmente	representada	por	X)	que	tem	um	único	valor
numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento.
Suponhamos um espaço amostral S e que, a cada ponto amostral, seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória, indicada por uma letra maiúscula, sendo Não valores indicados por letras minúsculas.
Ex 1: Um sistema de comunicação por voz para uma empresa comercial contém 48 linhas externas. Em certo tempo, o sistema é observado e algumas das linhas estão sendo usadas. Seja a variável aleatória X o número de linhas em uso. Então, X pode assumir qualquer um dos valores inteiros de 0 a 48. Quando o sistema é observado, se 10 linhas estão em uso, então X = 10.
Variável Aleatória
Ex 2: Lançamento simultâneo de 2 moedas S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}
Variável Aleatória X = Número de Caras (Ca)
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Introdução
PontoAmostral
X
(Ca,Ca)
2
(Ca,Co)
1
(Co,Ca)
1
(Co,Co)
0
Distribuição de Probabilidade
Descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória
A	distribuição	de	probabilidade	é	frequentemente	expressa	na	forma	de um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula
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Introdução
Distribuição de Probabilidade
Ex 3: Considere a distribuição de freqüências relativa ao número de
acidentes diários em um estacionamento:
Em um dia, a probabilidade de:
Não ocorrer acidentes: p = 22/30 = 0,73
Ocorrer 1 acidente: p = 5/30 = 0,17
Ocorrer 2 acidentes: p = 2/30 = 0,07
Ocorrer 3 acidentes: p = 1/30 = 0,03
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NºAcidentes
Frequências
0
22
1
5
2
2
3
1
Soma =30
Introdução
Distribuição de Probabilidade
Ex 2: continuação
As probabilidades podem ser apresentadas numa tabela denominada distribuição de probabilidades:
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Introdução
NºAcidentes
Probabilidades
0
0,73
1
0,17
2
0,07
3
0,03
Soma =1
Distribuição de Probabilidade
Definição: Seja X uma variável aleatória que assume os valores: x1, x2, x3,
..., xn. A cada valor xi correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de tais pontos no espaço amostral.
A soma das probabilidade será igual a 1
Os valores x1, x2, ..., xn e seus correspondentes p1, p2, ..., pn definem uma distribuição de probabilidade.
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Introdução
Distribuição de Probabilidade
Retomando o ex 1: Lançamento simultâneo de duas moedas
Logo, a distribuição de probabilidades fica:
Introdução
PontoAmostral
X
P(X)
(Ca,Ca)
2
1/2 x 1/2 =1/4
(Ca,Co)
1
1/2 x 1/2=1/4	1/4 + 1/4 =2/4
(Co,Ca)
1
1/2 x 1/2 =1/4
(Co,Co)
0
1/2 x 1/2 =1/4
NºCaras
P(X)
2
1/4
1
2/4
0
1/4
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Distribuição de Probabilidade
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelece-se uma correspondência entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P.
Essa correspondência define uma função, cujo domínio são os valores de xi e o conjunto imagem é formado pelos valores de pi (i = 1, 2, ..., n). Essa função é denominada função probabilidade e representada por:
f(x) = P(X = xi)
A função P(x = xi) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
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Introdução
Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos:
1. O experimento tem um número fixo de tentativas
2. As tentativas tem que ser independentes (O resultado de qualquer tentativa individual não afeta as probabilidades nas outras tentativas)
3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas categorias (em geral, chamadas de sucesso e fracasso)
4. A probabilidade de um sucesso permanece constante em todas as
tentativas.
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Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Se um experimento satisfaz esses quatro requisitos, a distribuição da variável aleatória X (número de sucessos) é chamada de distribuição de probabilidade binomial (ou distribuição binomial).
Os problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas são característicos do uso de distribuição binomial. Ex: obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda.
Sabe-se que quando da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não realização desse mesmo evento é q = 1 - p.
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Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
–	Suponha a realização de uma prova n vezes sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função:
•
Onde:
P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas.
p é a probabilidade que o evento se realize em uma só prova (sucesso).
q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova (insucesso ou fracasso)
é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a
–	Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial
Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
Exercícios:
Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas três caras nessas cinco provas.
Dois times de futebol, A e B, jogam entre si seis vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.
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Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
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•
Distribuição Binomial
Exercícios:
Determine	a	probabilidade	de	obtermos	exatamente	três	caras	em	seis lançamentos de uma moeda.
Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes.
jogam	entre	si	seis	vezes.	Encontre	a
Dois	times	de	futebol,	A	e	B,
probabilidade de o time A:
ganhar dois ou três jogos
ganhar pelo menos um jogo
6)		A	probabilidade	de	um	produto 	 apresentar	defeito	é	de	2,5%.	Qual	é	a probabilidade de, na compra de 5 produtos, pelo menos um ser defeituoso?
Modelo Poisson
O modelo Poisson é muito utilizado em experimentos físicos e biológicos.
–	Ex: Número de carros que passam por um cruzamento por minuto
Em todas as situações, a variável aleatória consiste na contagem de resultados discretos que ocorrem em um meio contínuo (tempo, superfície e volume)
Essas variáveis podem assumir os valores 0, 1, 2, ..., e seu comportamento é descrito pela distribuição de Poisson
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Distribuição Poisson
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Distribuição Poisson
•
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Distribuição Poisson
Exercício:
1) Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio (no horário comercial) é uma variável aleatória discreta com distribuição Poisson com taxa de 5 pedidos por hora:
Calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora
Em um dia de trabalho (8 horas),
qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?
Não haver nenhum pedido, em um dia de trabalho, é um evento raro?
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Distribuição Normal
•
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Distribuição Normal
•
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Distribuição Normal
Distribuição Binomial no Excel
Distribuição Normal
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Distribuição Binomial no Excel
Distribuição Normal
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Distribuição Binomial no Excel
Distribuição Normal
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Distribuição Poisson no Excel
Distribuição Normal
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Distribuição Poisson no Excel
Distribuição Normal
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Distribuição Poisson no Excel
Distribuição Normal
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