HOGBEN - Euclides sem Lágrimas - Capítulo IV

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CAPITULO IV 
~UCLIDES SEM LÁGRIMAS 
ou 
'Q Q_ue se F_oâe Fazer com a Geometria 
'Nos cat)ífulos anteriores, esforçamo-nos por fazer uma .recóns· 
tifitlção, em parte imaginada, do mundo de antanho, o mundo em que 
os homens começavam apenas a balbuciar a linguagem das grandezas. 
Até cêrca de 2000 a. C., muito pouco se fêz no sentido de inventar 
princípios gerais relativos à contagem e me.diçiio das coisas. A lite· 
ratura matemática ainda não existia. As realizações arquitetônicas 
de nossos antepassados impressionam-nos bem mais que as poucas 
tabuletas de aritmética comercial desenterradas em Nippur, ou o papiro 
que encerra hHlo quanto conhecemos :acêrca da sabedoria sacerdotal 
da civilização do Nilo. A grande pirâmide de Queops foi o grande 
monumento que êles ergueram àquelas momentosas verdades sôbrc 
triângulos, que transmitiam de bôca em bôca, sacerdotes a noviço~. 
mestres rle obras a aprendizes , escravos artífices aos seus filhos. Por-
tentoso monumento! Talvez ainda exista, no dia em que deixarmos de 
aprender como os gregos construíram a sua grande pirâmide de lógica, 
não menos rígida e inabalável!... Não resta a menor dúvida que 
ns mquitctos dos templos e os coletores de impostos já haviam adquirida 
a prEltica de traçar modelos na areia para orientá-los na arte de medir 
sombras e dimensões, muito antes de aparecerem os primeiros homens 
que colecionaram as figuras traçadas e tentaram formular os princí-
pios fundamentais das artes construtivas. O traçado na areia con-
tinuou a ser, por séculos e séculos, o único método resolutivo do :; 
problemas geométricos. Arquimedes, o maior matemático da anti-
guidade, estava a fazer desenhos na areia, quando foi massacrado pela> 
legiões romanas. Os métodos pelos quais os homens fizeram as 
primeiras construções geométricas, com o auxílio de cordas e cavilhas, 
tio de prumo e nivel d'água, são bem mais notáveis que os livros 
sôbrc êles escritos. 
Aos chineses cabe a glória de terem sido os primeiros a lançar 
as bases ele uma literatura de grandezas. A medida que o tempo passa, 
mais 11os capacitamos do quanto lhes devemos. A ilustração que 
reprocluzi!l~os na Fig. 19, basta para justificar a nosr-a crença de <Jue, 
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. EUCLIDES SEM LÁGRIMAS 121 . 
meio milênio antes dos gregos, êles lá haviam descobertd regras gerai' 
importantíssimas relativas às figuds. Também sôbre os números, 
descobriram muitas causas interessantes misturadas, porém, com bo1 
dose de bobagens. Parec~ provável que já conhecessem as famílias nu-
merais, tão importantes na moderna estatística. Lamentàvelmentc, 
apenas uma pequena parcela de seus conhecimentos chegou até nós. ú 
resto se perdeu. Como as duas bibliotecas de Alexandria, as primitivas 
bibliotecas chinesas foram incendiadas. Esta calamidade não foi obr& 
da guerra. O incêndio foi propositado, tal como a destruição da 
cultura alemã pelo chanceler Hitler. Ordenou-o um imperador que 
acreditava, como Bernard Shaw, que os homens haveriam de escreve! 
melhor se lessem um pouco ·menos. 
· A princípio os chineses gozavam de pelo menos uma vantagem 
sôbre as primeiras civilizações européias. Os sc'us o rganizadores d~ 
calendários constituíam uma casta cerimonial menos fechada. :Ries 
eram tipos mais leigos. Não sabemos porque os chineses não cumpri· 
ram as suas promessas mais antigas; potlcmos apenas conjeturar sõbre 
alguns dos seus obstáculos, Uma das razões, pode ter sido o fato da 
sua educação ter começado cedo demais. Além di sto, êles estavam 
carregados com uma complicada escrita de hicroglifos, imprópria para 
exprimir coisas simples de maneira simples. Por isso, êles llão foram 
adiante. 
Qs gregos que, possivelmente, aprenderam muito dêles, não tinham 
nem o obstáculo da casta sacerdotal, nem o de uma educação custosa. 
Enquanto os chineses escreviam seus primeiros livros de matemática, C' 
continente grego era invadido por certas tribos nômades provindas 
do norte. :Rsses invasores arianos eram originários de desoladas es-
tepes, de raras noites estreladas. Não conheciam a arte de escrever. 
Ignoravam as artes da construção e do comércio. Não dispunham 
de pesos e medidas. Só o que sabiam fazer era assolar as costas da 
Asia Menor, onde fundaram pequeninos reinos, como a Lidia, insig-
nificantes cidades-estados, como Mileto, bem no ext remo da grantl~ 
cadeia de portos comerciais fundados pelos maiores comerciantes c 
navegadores da antiguidade. Foi por intermédio dos fenícios-semitas 
que o homem nórdico contraiu a sua primeira divida para com os 
judeus. Dívida, esta, d!! aluno para professor. Com êles aprendeu 
a . ler, a escrever, a contar. Sua própria ignorância facilitou-lhe re· 
nunciar à complicada escrita pictórica .e aos ideogramas que embar-
gavam o progresso das primitivas civilizações do Egito e da China. 
Lançou mão dos velhos símbolos, para representar a,s sonoridades de 
sua língua mais simples. Adotou um bom alfabeto, com que começou 
a compor frases claras e simples. Como não o esmagassem tradiçõe' 
de ~er.imoniais complicados, podia sondar os segredos sacerdotais com 
!=\lr!qsgl!l9.e, ~ll! :vez de 9 fa:zer · ~on~ ~eyer§nci!J., Ningu~~ !h e~ cns~ 
1?.2 MARAVILHAS DA MATEMÁTICA 
nara que "no princípio era o Verbo". No princípio era o Caos. ·p;, 
ordem, fê-la êle, depois de se familiarizar com o caos. 
Não sabemos se êstes selvagens nórdicos que ocuparam o nor-
deste mediterrâneo tinham olhos azuis e cabelos louros. Só sabemos 
r1ue nada, em absoluto, justifica a crença que as realizações científicas 
ela civiliza~ão grega eram fruto de seu equipamento racial. Os dois 
famosos funclàdores da geometria grega, Tales (640-549 a. C.) e 
Pitágoras ( 587-507 a. C.) eram -ambos de origem fenícia . A ciência 
e a matemática só penetraram no continente grego, quando êste já se 
encontra~ no fim de seu período de formação. Introdl)ziu-as na 
côrte de Péricles, Aspásia, sua amante, cidadã de Mileto, cidade do 
litoral da Ásia Menor. Mileto era a pátria de: Tales. Foi a convite 
da favorita que Anaxágoras transpôs o mar Jônio e pisou o continente 
grego. Pitágoras e Empédocles, os primeiros que estudaram o vácuo, 
viviam na Itália e na Sicília. Demócrito, o especulador do átomo, 
morava em Abclera, entre a Ási-a Menor e o continente grego. A 
cstrêla da ciência grega já se punha no horizonte, qua·ndo o culto da 
filosof ia começou. Grega nunca fôra, no sentido continental da pa-
lavra. E a princípio, nem sequer o fôra no sentido racial. 
A origem tiriana de Pitágoras talvez explique os sinais evi-
'1entes de influência chinesa encontrados em seus escritos, objeto do 
próximo capítulo. Pitágoras muito viajara pela Ásia. Nos dia~ 
de st1a mocidade, entrara em contato com a grande comunidade co-
mercial, portão das rotas comerciais do interior asiático. Quanto a 
fales que viveu numa ilha ou numa comunidade costeira, sem castas 
viajado, conhecera o Egito; aplicara os pri~cípios que imaginara à me-
dição da altura da Grande Pirâmide; predissera o eclipse ocorrido a 28 
de maio de 585 a. C.; fizera experiências com o âmbar; foi o primeirn 
a observar as atrações magnéticas e estudara o Íman. Não cultiva\·a 
a matemática como instrumento de perfeição espiritual. Provàvel-
mente ficaria muito surpreendido se lhe dissessem que ela poJia servir 
~ara isto. A situação gc<Jgráfica valeu a êsses gregos jônios (como 
Tales que viveu numa ilha ou numa comunidade costeira, sem casta~ 
preexistentes de comissários eclesiásticos), uma grande vantagem sô-
hre seus contemporâneos chineses. Bem a podemos vislumbrar num 
fr:~gnwnto do primeiro grande materialista sôbre o qual K-arl Marx 
escreveu a sua tese doutoral. Eis as palavras de Demócrito: 
"De todos os meus contemporâneos, fui o que mais viajou, o 
que mais conhecett a terra; visitei as regiões mais remotas, estudei 
os clima·s mais diversos, os mais variados países, ouvimais ge·nte. 
~inguém me venceu em construções e demonstrações geométricas, 
uem mesmo os geÔI!_letras do Egito, entre os quais passei cinco longos 
anos". . . . 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS I l~J 
. ' 
r'"' Não é de admirar qüe Platão - para quem a geometria era um 
éXercício do intelecto desencarnado - desejasse ver incendiadas tôdas 
as obras de Demócrito. 'Eernard Shaw elogiou a sabeDoria do César 
Fascista que assistiu, sem pestanejar, ao incêndio da Biblioteca de 
j\Jexandria e à conseqüente destruição dos sessenta traraclos de De-
mócrito e de tôdas as realizações astronômicas dos alexandrinos. O 
mesmo fogo destruiu, por certo, também, muita conversa-fiada inútil 
e prejudicial. Os males do intelectualismo grego, êstes, porém, so-
breviveram à destruição das chamas. Os bens, ficaram nas cinzas. 
'As únicas realizações substanciais que nos restaram foram a ciência 
corrompida de Aristóteles e a geometria platônica, levada por Eucli-
des para Alex-andria. 
Foi êste Euclides quem declarou, certo dia, não haver est rada 
real para a matemátic-a. Disse-o a um rei, mas é provável que também 
o dissesse a seus alunos. E quando um dêles lhe perguntou para 
que servia a geometria, o mestre mandou um escravo dar-lhe uma 
moeda a fim de que êle tivesse uma compensação pelo seu trabalho. 
Não obstante a opinião de Euclides, a ativa sociedade cosmopolita ele 
Alexandria não tardou a encontrar uma utilidade para a sua geometria. 
Outro tanto faremo~ nós. 
AS LIMITAÇOES DE EUCLIDES 
Nossa geração presenciou uma verdadeira revol11ção no conceito 
clássico doa geometria. Hoje, associâmo-la principalmente aos nomes 
de Ernst Ma c h e Einstein. Já sabemos que a geometria de Euclides 
não é a que melhor nos faculta a medição do espaço. Isto não quer 
dizer que não seja, ainda, um conhecimento útil. Sempre o foi e 
ainda o é. As novas descobertas mostraram apen-as que ela tem suas 
limitações. Julgo conveniente mencionar, desde logo, algumas, ao 
invés de relegá-las tôdas para o fim do livro. Para muitos propósitos, 
a geometria grega ainda é o melhor instrumento à nossa disposição. 
Qualquer balança de venda é de mais serventia, no lar, que uma ba-
lança química. A própria delicadeza desta, que lhe permite estimar 
as dimensões do átomo, torna-a inconveniente para usos domésticos. 
Pois bem, aprendemos, ainda hoje, a geometria de E11clides, para usos 
domésticos. A geometria dos seus mestres jônios fundava-se, origi-
nàriamente, na observação de como os homens construíam casas e 
loteavam a terra. Ela cessa de ser útii1, quando se trata de determi-
nar a posiçãl) da mais distante nebulosa ila constelação da Ursa Maior. 
Essas nebulosas distam de nós mais de trezentos anos luz. A luz, 
com sua velocidade de dezoito milhões de quilômetros por minuto, leva 
t~ez,eptos !l!lOS para percorrer q espaço que delas nos se).lara. 
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124 MARAVILHAS DA MATEMÁTICA 
Não nos surpreenderão essas limitações, se levarmos em c<Jnta 
o fato de ser a geometria grega circunscrita pelo seu ambiente social. 
Já vimos que a aritmética grega não lograva descobrir o resultado 
da corrida de Aquiles e da tartaruga. A geometria grega tampouco. 
Originária da prática de desenhar na areia e de construir .coisas per-
manentes, tais como edifícios e navios, esta geometria não levava em. 
consideração a existência do tempo. Suas linhas, ângulos e figuras, 
uam todos fixos. Porisso, quando recorremos a suas figuras imu-
táveis para orientar-nos na medição de um mundo eminentemente 
mutável, temos de recolher, às pressas, aquilo que os gregos expur-
garam das figuras. Nada há de tão sólido que possa permanecer 
exatamente tal corno é. Quando afirmamos que a superfície do 
Brasil é de 8 500 000 quilômetros quadrados, admitimos que suas 
fronteiras não se alterarão, pelo menos durante o período em que 
pretendemos usar esta in formação, como também que o volume da 
terra permaneça inalterável. Na realidade, o mundo encolhe à mé· 
dida que vai esfriando. Seu encolhimento é sensível num período de 
várias eras geológicas. 
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I 
I 
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Area 
200x200 
g unidades quadradas. 
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Perímetro -
800 unidad•s 
...... -.-_-__ -_-_-__ ....,z'"'o'"'o~-------_-_ ----.-~ 
Area- 100x300 unidades 
quadradas 
Perímetro- 800 unidade' 
': ... :-.-__ -_-_-__ -_-__ -_-__ -_-_-:-3~0~0------_-__ -_-_-__ -_-_-__ -.J .. 
Fir. 28 - A RELATIVIDADE DO TAMANHO E A S!I!RVENTIA SOOIAL. 
+ I 
I 
6 
o 
I 
I 
+ 
Quando afirmamos que determinada cabca tem um certo volume, 
referimo-nos a u'a medida suposta invariável entre a ocasião de sua 
manufatura e a de sua destruição. Como o fator tempo não interessa 
na utilização particular que daremos a esta informação, ou desprezâ-
mo-Io, ou isolàmo-lo do es.P"lço. Quando asseveramos que determi-
nado terreno tem tal superfície (ou área), não levamos em considera-
ção o fato de a terra encolher-se p<Jr resfriamento. Nem mesmo as 
pessoas interessadas na exploração do subsolo, por bem saberem que 
não se pode cavar até o centro da terra, muito menos interferir com 
os antípodas, levam em conta a profundidade dos terrenos que adqui-
rem. Os primeiros homens que procuraram medir áreas não estavam 
inte.ressados em explorar o subsolo; sim em saber quantos grãQs po-
denam semear em seus campos, quantos poderiam colhêr, ou quantas 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS UI 
ovelhas e reses pôr a pastar. Foi apenas quando tiveram de construir 
cercados para proteger seus rebanhos, vinhas e templos - onde 
propiciavam os deuses, senhores da chuva, das estações, do sol -
~ue de.P"lraram com um novo problema. A Figura 28 mostra como 
um cercado do . mesmo tamanho pode circunscrever dois terrenos ou 
lotes de áreas diferentes. No primeiro, o número de grãos que se 
podem semear, ou o número de ovelhas que se podem tosquiar, é um 
têrço maior que nd segundo. Quando medimos comprimentos, des-
prezamos esta particularidade, que em nada afeta a construção do 
cercado. O comprimento é a dimensão que interessa ao construtor 
de muros. A área, a dimensão que interessa aos semeadores. O 
volume, a dimensão que interessa aos que trocam leite e vinho. O inte-
lectual grego não percebia a relatividade que existia entre a dimensão t 
a utilização social. . Os anatomistas das figuras criam haver chegado ao 
extremo limite da dissecação, quando isolaram a linha, o ângulo e o 
ponto (isto é, a posição de onde partem as linhas). Eram êstes os 
elementos imutáveis, exteriores ao tempo, e pois, eternos. A partir 
desta base inabalável, bem podia a razão alçar seu vôo e conquistar. 
aôzinha, o resto da verdade. A linha era o comprimento, na sua 
pureza e simplicidade. O ponto, a posição, na sua pureza e simpli-
cidade. 
Bem outra é nossa atitude. Para nós - conforme observou 
Oscar Wilde - nunca a verdade é simples, e raramente pura. Os 
gregos estudavam a anatomia dos objetos mortos. A anatomia sur-
giu antes que o homem pudesse c<Jnceber a fisi<Jiogia do corpo vivo, 
móvel, mutável. E' ela que nos ensina a localização dos órgãos do 
corpo, e que nos diz como orientar-nos dentro dêste corpo. A geo· 
metria das figuras planas ensina-nos a orientar-nos por entre as fi-
guras planas. A anatomia expõe a natureza do cadáver dissecando-o. 
A geometria expõe a natureza das figuras planas dissecando-as. Nem 
todos os liv.ros de anatomia partem do mesmo ponto. Tampouco o~ 
de ~eometr!a. Observa·ndo-.s~ como os órgãos das figuras planas 
- hnhas, angulos e superf1c1es - são reunidos entre si, p<Jdemos 
começar de onde nos aprouver, isto é, de acôrdo com o que admiti-
mos como es.tabelecido. Não existem verdades eternas, das quais 
devemos part1r. As regras enunciadas sôbre as figuras planas, co-
mo sô?re as figura.s sólidas, são tôdas verdades aproximadas, quan-
do aplicadas à med1ção de um mundo em mutação. São tôdas exce-
lentesmodelos para orientar-nos nas obras de construção e de di-
visão da terra. Até certo ponto, prestam-se muito bem para a 
d~scrição do macrocosmo das estrêlas. Demócrito não perdeu os 
cmco anos que passou entre os egípcios, observando a sua maneira 
de construir e de dividir o ~erreno, para transmitir os princípios a 
seus concidadãos. 
126 MARAVILHAS DA MATEMÁTICA 
A geometria, objeto dêste capítulo, é a que trata das figuras que 
se podem traçar com régua e compasso, seguncjo a prescrição platô-
nica . Assim sendo, a perfeita igualdade encontrada entre os números 
inteiros, machos ou fêmeas, da aritmética grega, não tem cabimento. 
Os ângulos, áreas e linhas que aqui figuram, só podem ser represen-
tados por números esticáveis, isto é, pelos números que se aplicam 
a medições reais. A expressão AB = CD não significa "a linha AB 
é exatamente igual à linha CD", pois que não se podem fazer linha~ 
exat<nnente iguais a régua e a compasso. Sua tradução correta é 
a seguinte: "Medi AB para obterdes o comprimento de CD com 
a precisão necessária". 
Os gregos não estavam acostumados a presenciar variações radi-
cais e rápidas de costumes. Contavam o tempo com relógios solare~ 
~ ampulhetas. Não possuíam nenhum aparelho físico, capaz de medir 
mtervalos de tempo in feri ores àquele que leva um ôvo para cozinhar . 
Era, pois , natural que julgassem a medição do espaço completamente 
independente da medição do tempo. A arquitetura, a agrimensura 
e o comércio, haviam secularizado o espaço nos países que os mate-
máticos gregos visitavam, mas o registro do tempo ainda era, em 
grande parte, prerrogativa da casta sacerdotal. E a geometria grega 
.não se ressentia desta usurpação. O próprio Arquimedes, que apren· 
dera geometria no Egito e aplicava-a à construção de rodas e alavan-
cas, cria que a reta é necessàriamente reta por ser o caminho m:üs 
curto entre dois pontos . Isto, que é verdade para a mor parte das 
finalidades práticas, não é uma verdade inevitável, eterna. E por 
que não o é, diz-nos o biologista. Há uma parte de nosso ouvido 
interno sensível à influência da gravidade. Graças a ela o gato cai sem· 
pre, exatame·nte, sôbre as quatro patas e o peixe se mantém de barriga 
para baixo. Se agitarmos o fluído que enche o nosso ouvido interno 
- como quando giramos ràpidamente o corpo - ficaremos tontos, sem 
saber se o teto é ch!l.o ou se o chão é teto. O camarã~;~ possui um 
órgão idêntico. Se o enchormos de limalha de aço, o camarão obede-
cerá à atração de um magneto, ao invés de à gravidade. Se as linhas 
do campo magnético forem curvas, jamais o camarão poderá nadar 
segundo uma reta. Para êle, o caminho mais curto entre dois pontos 
será uma curva. As mais simples estimativas sôbre o comprimento 
de uma linha, envolvem movimentação dos músculos dos olhos. De· 
pendem, pois, do tempo e elo espaço. Tôdas as ilusões óticas sôbre 
distâncias provém do fato de elas nos obrigarem a forçar os olhos a 
fazer um movimento a que não estão afeitos. No mundo real da 
biologia, tamanho e movimento são entidades inseparáveis. 
Ao abandono do fator tempo deve o método de Euclides uma. 
outra limit>ação, a que só seremos sensíveis quando estudarmos, como 
os. ár~bes, a compor sentenças em linguagem matemática. Na época 
EUCLIDES SEM LAGRIMAS m 
em que êstes usavam figuras planas, como os gregos, para reproduzir 
em escala os objetos de seus problemas de cálculo, não tardaram a 
observar uma curiosa discrepância. Os modelos que traçavam só 
eram capazes de dar urna resposta a cada pergunta. Mas há pergun-
tas que admitem várias respostas e os árabes conheciam suficiente-
mente os números para saber que, em muitos casos, dois e mais clêles 
podem ser respostas igualmente satisfatórias a determinadas perguntas. 
A discrepância observada era devida a uma razão muito simples: não 
terem as figuras de Euclides, posição determinada. Com efeito, a 
geometria grega considerava idênticas, coisas evidentemente diversas . 
Não desprezava apenas o tempo, também a posição. Foi só quando 
a determinação do ponto de um navio no mar inspirou uma nova 
geometria, que o fator tempo se incorporou definitivamente à ciência 
geométrica. Mostra-nos a Fig. 26 que Aquiles só · alcançou a tarta-
ruga quando êste fator "tempo" entrou nas cogitações geométricas. 
O estudo desta limitação leva-nos às primeiras definições usadas 
na dissecação das figuras planas, isto é, às instruções que nos ensinam 
oomo deitar o cadáver e aplicar o escalpêlo. A geometria de Eu-
Enfado 
.~ -~ :»>---·--··-···---~ 
Dcsnslre 
Flr. 29 
!IM OIMA. - Dolo trilnculOI podem ••• eemelhont" quonto A Iom• ( l•to 6, 
ler- 01 trh lnguloo eqnlvolenlea) e, no enlanto, dlverooo qnonto ao t•m•nho. 
EM BAIXO. - Doh triAnruloa podem t-er a. mesm& fo11na e o mo!mo t:uu&ohoj 
alo o~n~, IÓ t&rlo completamente equir.lon\u .., livorom a moomo podçll.o, 
llll MARAVILHAS DA :MATEMATICA 
clides admitia que as figuras podiam ser análog-as quanto à forma, 
ao tamanho ou a ambos. Quando análogas em forma e tamanho, 
Euclides as considerava completamente iguais. Figuras limitadas por 
retas são análogas quanto à forma, ou semelhantes (observe-se o uso 
desta palavra) quando têm os ângulos equivalentes. São análogas 
em tamanho quando, tanto seus lados como seus ângulos, são equi-
valentes e encerram superfícies equivalentes. Dois triângulos Podem 
encerrar áreas equivalentes, sem que por isso tenham os lados e ân-
gulos equivalentes. A Fig. 29 mostra-nos que, se quisermos usar 
as figuras comQ modelos do mundo real, devemos atentar para outra 
característica importante, além do tamanho e da forma. 
· Não perderemos tempo em discutir a utilidade das tentativas eu-
clideanas de demonstrar quando dois triângulos têm o mesmo tamanho. 
Euclides começou a sua dissecação pelo ponto mais difícil. O pro-
cedimento mais lógico é principiar por inquirir de que dados preci-
samos para . traçar um triângulo, uma vez decidida a sua posição. 
Mesmo f!artmdo de Un:t !ll.!l9. !ixo _(Fig. 30) 1 ~ possíy:e! traçai: gu.at!o 
COMO BK TRACA. UM TRIANGULO 
(o) Oonheeem·Jo os eomprimentoa doa trila Ladoo. 
,.) Conhe.·.•m·IO OI comprimenl<>a do doi• lodos • o tamanho do an~to e-. 
preendtdo entre êlo1. .. .. 
(•) Conhecem-se _o comprimento tle um lado e os tamanhoa doa dois &nruJ01 q,u 
" ~~lroa do11 Jadoo formam com o Lado oonhocldo, 
............. --\~f -
------------------ C '41 I, 
--~·-~ . 
·-·--- ti ~~:~:~---:~~~-----------------·- B J 
~~ -·------------------Lt-h!:::r:~!:!" 
---- ~~~---===~~----~~~~~~----~~~~~ --=-~ - --=- -=----
Uli! DAS PRIMlllinAS MANEinAS Dlll UTILIZAR O O.A.SO (~), 
ATRIBUJDA A '!'ALES 
Fi~. 30 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS 12A --------~------------------------------------~ . 
triângulos, a menos que nos informem qual a posição desejada. 'A 
Fig. 30(a) apresenta dois dêsses triângulos PQ.Ssíveis, de que os outros 
dois não são mais que inversões. A anatomia doas figuras planas, 
segundo a geometria grega, é útil como modêlo do mundo real, porque 
revela a equivalência de ângulos, linhas e superfícies fàcilmente m.e-
díveis, com ângulos, linhas e superfícies, difíceis de medir. As verdades 
aproximadas que apresenta, não são mais que processos de se medir 
quantidades insuscetíveis de medição direta. Para descobrir essas 
verdades aproximadas, o grego se valia de verdadeiros truques de 
dissecação, tais como dividir a figura em triângulos, reconhecer quais 
os completamente iguais, e deduzir, dêsses, quais as -linhas e ângulos 
equivalentes. Pelas razõ:es apresC'!ltadas "na página 77, é impossível 
descobrir quais os elementos exatamente iguais das figuras traçadas 
a régua e compasso. Contornamos êste obstáculo esquecendo a frase 
"completamente iguais, ou iguais em todos os respeitos", e passaremos 
a classificar os triângulos em semelhantes (angulos iguais) e não-
semelhantes, equivalentes em área ounão equivalentes em área, equi-
valentes em tamanho (lados, ângulos e áreas equivalentes) e não 
equivalentes em tamanho. Para serem iguais em todos os respeitos, 
os triângulos precisam de ter outra característica comum: a posição. 
Dois triângulos equivalentes quanto à forma, à área, ao tamanho e 
à posição, são perfeitamente idênticos, isto é, se con fundem. Triân-
gulos equivalentes em tamanho, distintos e diversos em posição, po-
dem diferir de duas maneiras, conforme sejam ou não invertidos, um 
em relação ao outro, como reflexos num espelho. 
O contôrno de dois triângulos que sejam imagens refletidas, I»' 
dem coincidir, se êlcs forem de vidro ou de tecido estampado, com o 
mesmo padrão, de ambos os lados. Se porém, o padrão fôr diferente 
nos dois lados do tecido, ou se o vidro fôr espelhado num loado só, os 
contôrnos não mais coincidirão. 
Uma vez decidida a posição do triângulo, fácil será traçá-lo, desde 
que se tenha uma das três informações já indicadas (Fig. 30). 
A primeira informação é o comprimento dos três lados. Conhecidos 
os t~ês !ados de um triângulo, para construí-lo, começa-se por traçar 
o pnmetro, depois, com a abertura do compasso igual ao comprimento 
de cada um dos outros, traçam-se dois arcos de círculo em tôrnú das 
extremidades do primeiro lado traçado. A intersecção dos dois arcos 
de círculo é a única extremidade possível dos outros dois lados. Se 
a soma dos dois lados fôr menor que o primeiro, os dois arcos não 
se cortarão e o triângulo será impossível. 1hte método se baseia 
no fato de ser a distância de qualquer ponto de uma circunferência 
a seu centro, igual à distância de qualquer outro ponto ao centro 
comum. Esta definição da circunferência outra coisa não é senão a 
exposição de CQWO, !J.pr~ncípio, o homem 'traçava círculos 11a' areia -
130 MARAVILHAS DA MATEMáTICA 
com duas hastes de madeira (uma das quais era fixada), - unidas 
por um pedaço de corda (Fig. 18) . 
A segunda in formação necessária ao traçado de um triângulo ~ 
a do comprimento de dois lados e do ângulo por êles formado. Co-
nhecidos êstes dados, fácil é traçar o triângulo, sendo para isto bas-
tante unir por uma reta a extremidade dos dois lados conhecidos . Se 
o ângulo fôr maior que dois ângulos retos, não será possível construir 
um triângulo que o contenha como elemento seu. 
A terceira in formação que possibilita o traçado de um triângulo 
é o conhecimento de um dos lados e dos dois ângulos a êle adjacentes. 
O triângulo será possível se a soma dos dois ângulos conhecidos não 
exceder dois retos . Traçados os ângulos, será o bastante prolongar 
as retas que os limitam até se encontrarem. A Fig. 30 mostra como 
êste processo serviu, desde longa data, para a determinação gráfica da 
distância de um navio a um ponto da c.osta. · 
Vistos os três processos de se construir um triângulo a partir de 
tres espécie ele informações, podemos enunciar três regras que ex· 
põem as conexões existentes entre os elementos de uma figura, uma 
vez . dissecada em triângulos: 
R egra N .• 1 dos Trin11g11los. - Triângulos de lados equivalentea, 
·são equivalentes em tamanho. 
Regra N .0 2 dos TrilÍ11gulos . - Dois triângulos são equivalentes 
em tamanho se, em um dêles, dois lados e o ângulo com-
preendido entre êles, forem equivalentes aos do outro triân-
gulo. 
Regra N.• 3 dos Triângulos. - Dois triângulos serão equiva-
lentes em tamanho se um lado e os dois ângulos adjacentes 
do primeiro forem equivalentes a um lado e aos dois ângulos 
adjacentes do segundo. 
'A geometria euclideana tem uma terceira limitação que a toma 
dcsnecessàriamente complicada. O geômetra jônio Tales demonstrou 
que a relação existente entre os lados correspondentes de dois triân-
gulos semelhantes é sempre a mesma, independente do compri· 
mento dêsses lados. Em capítulo posterior veremos como êste teorema 
permitiu a determinação da altura da Grande Pirâmide. Não nos 
deve surpreender, aliás , o fato de ter sido esta verdade descoberta 
em época tão remota. Muito embora ainda não a houvesse formulado, 
o homem de antanho já -agia como se a conhecesse, sempre que usava 
a geometria para fazer figuras em escala. Reconhecida a veracidade 
do teorema, não é di ficil deduzir de seu enunciado corolários de 
grnnde utilidade. A razão principal da complexidade de Euclides é 
tei: ' co!~ca~() as r_azões no f!m ~e seu ljyro, il,~ i!lY~S ~e !lº pri!lcípio, 
lllUCLIDES SEM LAGRIMAS 131 
A causa dêste retardamento é fácil de compreender. Euclides tinha 
os movimentos embaraçados pela · cultura social em que vivia. O 
mun~~ dos g~eg.os não era um mundo de juros, consumos de gasolina, 
e analtses qmm1cas. As razões não eram entidades familiares. Re-
presentavam um processo de divisão comumente efetuado num apa-
relho muito rígido, o ábaco. Os alunos de Euclides não podiam 
compreendê-las como nós. 
Sua dificuldade é, aliás, bem desculpável. Suponha-se que saibamos 
que o consumo de gasolina de um automóvel é de um litro por 8 qui-
lômetros. Para obter o número de quilômetros que se pod-em percorrer 
sem reabastecimento, basta.multiplicar o número de litros existentes 
no tanque, por 8. Para obter o número de litros necessários a uma 
viagem, basta dividir o número de quilômetros que se pretende per-
correr por 8. Ambos os processos são extremamente fáceis, em nossa 
aritmética. Mas a aritmética do ábaco era diferente. A multiplica-
ção de um número próprio por outro dá sempre um resultado exato, 
obtível por adições reiteradas (Fig. 6). Dividir um número próprio 
por outro equivale a achar quantas vêzes se pode tirar um do outro. 
No efetuar desta operação, sobravam, em geral, algumas contas no 
Abaco. Raramente se encontrava uma resposta exata. Por isso a 
divisão era uma operação muito mais difícil de se compreender na-
queles tempos, em que os homens julgavam que um número, para ser 
~ai, precisava ser próprio. O próprio Euclides viu-se obrigado a 
consagrar todo um livro (o Livro V) , à ilustração daquelas regras 
tão simples de proporção que, no capítulo precedente, condensamos 
na chamada regra diagonal. Se desenhardes dois triângulos retân-
I 
I 
I 
I 
I 
' Alrura de 
50 m~rros 
I 
I 
I 
' I I 
I 
25 
<---·--· 75 melros-----·-,. 
~---··---···-·--------\5O melros·-···--···----~---~ 
Plano do horizonre (base l . 
. E'J,. 81. - DECLIVIDADE DE UM POR TRts. 
Bo õ lnrulo formado pela utroda eom o nlvol do horl<On\o 6 A, t..nrenl<l do A c:: .:. 
8 
.. A flrura 6 também um hlero~ll!o da dlvlsllo por B. Para ulilid.·l• eomo hl, 
muque o ndmero de unldadea a dl;idlr a6bre a lioh·ba•• o moça a porpoodicular. 
'I' elaro que a perpondicukr valorl - do nlor Npruentado na bau, 
• 
) 
I 
·-' 
' • 
\ ~2 MARAVILHAS !DA MATEMÁTICA 
gulas, o primeiro com 4 centímetros de base por 3 de altura, o segtmdo 
com 8 centímetros por 6 de altura e se os comparardes, percebereis, 
sem dificuldade, que dois triângulos com lados correspondentes na 
mesma razão, não é fenômeno menos compreensível que o de uma 
motocicleta ter o mesmo consumo de gasol!na, 11a Sexta-~~i!a ~ 
Paixão e num dia de Carnaval. 
Uma das relações existentes entre os lados de um triângulo 'é, 
na vida moderna, quantidade mui familiar. Encontrâmo-la escrita 
à margem das vias férreas e das estradas de rodagem nas imediações 
<las rampas perigosas. Uma declividade de 1 por 10 quer dizer 
que se desenhardes em escala, um triângulo retângulo, um lado re-
presentando o declive da estrada ou da montanha (hipotenusa), outro 
representando o nível do horizonte (base), ~ Q ~~!~Ç!~g, perpe!!~9J!!I>r 
a altura é um décimo da base, ou: · · 
altura 1 
base 10 
Em matemática, costuma-se chamar esta razllo, tangente (to ân-
gulo (A) formado pelo declive com o plano do horizonte, e repre-
sentá-la pel~ abreviatura tg A, que significa: "Procurai o número 
correspondente a A na tábua das tangentes"(1). Há dois ramos 
da matemática particularmente interessados em declividades. 'A tri· 
gonometria as tabula, de modo que é sempre possível calcular o valor 
de uma distância difícil ou impossível de medir diretamente (como, 
por exemplo, a distância da terra à lua) desde que se possa medir o 
ângulo ~ e alguma outra distância (por exemplo, a distância 
entre dms pontos da terra). Isto equivale a utilizar o conhecimento 
d.o consumo de gasolina de um automóvel para calcular quantos qui-
lometros se pode percorrer sem reabastecimento, ou de qu'3.1ltOS litros 
se precisa para percorrer determinada distância, . · . 
. .O ramo d~ mate_m.ática denominado cálculo diferencial, especia-
hza-se em med1r declividades que vergam; é comparável a uma arit-
mética especializada em calcular distâncias, a partir do consumo de 
gasolina de um automóvel que tem o tanque :vasàndo. Se Euclides 
fizesse uma idéia da importância que as razões assumiriam no futuro 
de certo faria mais por inseri-las - !=<)mo .fazemos. ,......, nas primei~ 
págin~ Qe se\! C!l~SQ ~e geo!J1e~r!a. - ----
(1) Se consultarmos uma tAbua de linhas trlgonomêtrlcaa naturnla, 
veremos que a tangente de 6'7' ê quase en.tamente 0,1, Assim a ramp~ 
de 1 po~ 10, co~responde a um~ decllyl~a!!e !!~ §.'1'1 .. · · · · ' -· -
.d EUCLIDES SEM LAGRIMAS 133 
fo.TODO DE EUCLIDES 
Se eu fôsse o Doutor Watson, e Sherlock Holmes, como era seu 
costume, me dissesse: "~ ccê conhece os meus métodos, Watson", 
retrucaria, incontinenti: - "Ignoro-os, meu senhor. Faça o favor 
de mos explicar". Euclides, como ·vimos, valia-se de um truque para 
descobrir as conexões existentes entre os vários órgãos (linhas, ângu-
los e superfícies) das figuras mortas: dissecava-as em triângulos. Co-
nhecidos um ou dois lados de cada, não precisava veri ficar a equiva-
lência dos ângulos para declarar a equivalência dos triângulos. O 
grau pastoril, baseado no calendário das estações, não tem o menor 
'r,J.lor para o reconhecimento da equivalência dos ângulos. Os geô-
metras das cidades-estados usavam, para .comparar o tamanho dos 
ângulos, o chamado ângulo urbano dos construtores de templos. ( Fig. 
~2): A 4e.HJ1ÍS~Q de ângulo reto proposta por Euclides equivale a 
Nível 
de bô/ha 
fio de prumo 
Horizonle 
l'lr. 82. - OOMO BE APRENDE A SOMAR !NGUL09, 
dizer que o espaço compreendido entre o fio de prumo e o nível do ho-
rizonte é o mesmo em qualquer direção. Não é preciso passar cinco anos 
entre os sábios do Egito para descobrir esta verdade. Dois ângul-os 
perfazem um ângulo reto (900) se um representa a inclinação de uma 
estaca oblíqua sôbre o horizonte, e o outro a inclinação da mesma 
estaca em relação a um fio de prumo. Se estudardes as legendas da 
Fig. 33, pouca dificuldade tereis em apreender as duas regras que a 
geometria aplica ao reconhecimento da equivalência dos ângulos. Ei-las: 
Regra N.• 1 dos A11gulos. - Quando duas retas ·se encontram 
sôbre o mesmo ponto de uma terceira, a soma dos três ân-
gulos formados é igual a dois retos, ou 180>. 
'~egra N.• 2 dos A1tgulos. - Quando duas retas se c;ortam, os 
ângulos o~ostos pelo y~rtice são iguais. 
MARAVILHAS DA MATEMÁTICA 
Duas outras regras aplicáveis ao reconhecimento da equivalência 
de dois ângulos, evocam ao espírito uma quarta limitação da geometria 
de Euclides. Euclides definia as paralelas como retas que, por mais 
que se prolonguem, jamais se encontrarão. Esta definição, depois 
ele conduzir-nos ao sétimo céu, abandona-nos, como Platão, no espaço. 
Porque a verdade é que não conhecemos nenhuma superfície tão plana 
que nos permita prolongar indefinidamente duas linhas, conservan-
do -as retas. Nossos desenhos são feitos em pedaços tão reduzidos 
da terra que, em comparação com o restante, nos parecem realmente 
planos. A moderna astronomia ensina-nos que não . seriam as para-
lelas euclideanas o gênero de linhas capazes de alcançar as mais remotas 
estrêlas, se êste emprêgo lhes déssemos. Muito mais lógico é começar 
por itHluirir como se pode reconhecer quando duas linhas são paralelas. 
Uma das maneiras de se fazer êste reconhecimento é fixar 
que duas vigas são paralelas , quando igualmente inclinadas ~ôbre uma 
te rceira em que ambas se apóiam, ou, em linguagem técnica, quando os 
ângulos con:espondentes são equivalentes (Fig. 33). :Voltando à Fig. 12 
(I) REGRA N.• 1 DOS ANGUJ ·OB. 
O Anrulo do melo 6 90• -o+ UO•- • 
ou 180° -a- c. 
Os tt·h &nrulo• junto& perfazem 
(180'- c- •> + " + c = 180° 
(11) REGRA N.• 2 DOS ANGUL09, 
.A. IIJuro foi deunh•4• duu Yh .. l' 
<:omp&rando·as TemM que: · 
180°- a = 180°- c ,' , a = c. 
P:s lngnloe a e c l&o chamado• &a .. 
• iuloo opoo\oo pelo y611loo. 
(i i i) 
(111) AS DUAS REGRAS DAS PARALELAS. 
(o) Vorlflt11ndo o poralcllomo do duu vl,oo. 
!bl Moolrando quaio oo lnrulo• equivalent.eo, qulaquer quó tolam tu&l poaloen. 
Fie. sa 
EUCLIDES SEM LlGRIM~B 135 
. . \ 
e comparando-a com a Fig. 33, vereis que êste é o princípio em que se 
baseia a utilização do astrolábio, na medição do ângulo que uma colina 
ou uma estréia fazem com o horizonte. A REGRA N .• 2 DOS ÂN-
GULOS in forma-nos que também os ângulos alternos inten1os (a e c 
na Fig. 33) são equivalentes, o que nos dá duas ·novas regras sôbre 
~ngulos equivalentes: 
Regra N .• 1 do Paralelismo. - Quando uma reta corta duas 
paralelas, os ângulos correspondc11les que forma são equi-
valentes. 
Reg'T'a N .• 2 do Paralelismo. - Quando uma reta corta duas 
paralelas, forma ângulos altcrnos-intemos equivalentes. 
Quanto à equivalência de duas linhas - evidente qua ndo se 
trata de lados correspondentes de triângulos equivalentes, ou de la-
dos do mesmo quadrado, ou de lados equivalentes de um triângulo 
isósceles - há u'a maneira de descobri-la, já usada neste livro. Uma 
segu·nda regra, aliás, existe, que nem mencionaríamos, se não nos aju-
das~ a safar-nos de uma grande dificuldade. Para verificar a equi-
valência de dois triângulos, é indispensável reconhecer ao menos um 
lado equivalente. Se dissecamos uma figura, em que somos incapazes de 
reconhecer um lado equivalente sequer, cumpre-nos desmembrá-la em 
dois triângulos, por meio de uma reta qualquer. Os dois triângulos for-
mados terão necessàriamente um lado em comum, o que quer dizer 
que um dos lados do primeiro triângulo será equivalente a um dos 
lados do sugundo. ' 
Euclides usava um terceiro truque, para nós desnecessário. Po-
demos contr.ntar-nos com as duas regras que daremos a seguir. A 
que um dos lados do primeiro triângulo será equivalente a um dos lados 
do segundo. 
Regra N .• 1 das Retas. - Duas retas são equivalentes, quando 
raios do mesmo círculo. 
Regro N .• 2 das Retas. - Se unirdes por uma reta dois dos 
vértices de uma figura, dividi-la-eis em 2 figuras tendo um 
lado comum: a reta. que traçastes. Haverá, assim, ao menos 
um lado da primeira figura, equivalente a um lado da se-
gunda. 
Para compldar o nosso estu(lo sôbre a dissecação, só nos ·falta 
saber dissecar o círculo. O círculo pode ser dissecado, ou em setores 
'(o que se faz traçando-se os raios), ou em segmet~los circulares 
(o que se faz unindo-se por uma reta dois pontos da circunferên-
cia). A face curva dos setores e segmentos circulares chama-se 
arco, Uma reta que, partindo de um ponto da circunferênc\a; passa 
( 
186 MARAVILHAS DA MATEMÁTICA 
pelo centro do círculo_ e vai terminar no outro extremo da drcunferên· 
cia, chama-se díâm~tro; sua propriedade é dividir o círculo em duas 
partes iguais, os semi-círculos. 
Até agora, ainda não falamos sôbre o retângulo. Nãd obstante, ~ 
um elemento imprescindível na dissecação das figuras. Para traçá-lo, 
é suficiente saber que é uma figura fechada, limitada por quatro retas 
paralelas duas a duas, e que possui um ângulo reto. · A Regra N.• 
1 do Paralelismo mostra-nos, porém, que, nos quadriláteros desta 
natureza, se:Uill ângu!o ~ reto, os outros três ~a!llb~U1 Q ~er!o. {~J:· 
34, (f)) . 
. -- -~ 
/ Arco '\ 
r.P Paralela a 
o AH 
1:1.3 
.,"t> 
~::!. 
o 3 t---
ª a\90° 
c 
0 A Compnmento B 
dado 
(e) 
(b) 
(d) 
I ... F I 
:(rrr) aça llt-1!! : 
:para ter DC ! 
r·-, paralela a AB:--.. 
I d ' . -~· • . I C\ 
'(ii)""[]""(;;)·--
Meça AD · Faça lb-l'l 
perpen- para ter CB 
di cu lar a AB •, •, paralela 
' b' • 
·····-- a , . . ..L~.fi._Q 
l (i) Meça AB 1 . 
! <'> I 
Fie. H. - ANATOMIA DO OIIÚJULO !I DO RBlTANGULO. 
LF.I AS NOTA. - Paro to-açar o• lados parel<loo utlllu a REGRA n • 1 DAS PARJ. 1~ 'r&~l.oomcçaodo por h16r 4 "" ~o•. P•rllodo dhtt modo, TOl'il qu~ lodo• 01 &o~;ulo; 
i 
EUCLIDES SEM LÃGRIMAS 131 
. São muito poucas as regras geométricas que permitiram aos su-
~essores dos gregos inventar linguagens de grandezas mais úteis e· 
menos trabalhosas tais como a trigonometria e a álgebra. Para nós, 
1erá suficiente uma dúzia delas. Dispo-las-emos em três classes, se-
gundo o contexto social em que se originaram. Euclides denominava 
teorema a apresentação de uma regra acêrca de figuras. Segundo ·o. 
materialista Demócrito, chama-la-emas demonstração. Grupa-las-emcs. 
;egundo o modo pelo qual foram primeiro usadas e reconhecidas, assim: 
Quatro demonstrações de agrimensura, quatro demonstrações de medi--
'ões de sombras, com propósitos arquitetônicos e quatro demonstraçõe! 
óe astronomia, ou de ciência calendária. Antes, porém, cumpre apren-
der a aplicar as três regras sôbre triângulos, para que possamos com-
preender os três métodos de dissecação que essas demonstrações tn· 
~olvem. Não .s~ P?de ser anatomista sem antes aprender a usar ~' 
mstrumentos Cirurg1cos. 
REGRAS DE DISSECAÇÃO 
(a) Como dissecar 11111 tmgulo ém 'dois ri11gulos equivalentes. 
( Bissecção). 
,Vimos, no Capítul_o 2, que êste problema surgiu quando os 
arqtutetos de templos tiveram de traçar o meridiano sôbre a areia 
p~ra que o templo ficasse ~orretamente orientado. Comparai a Fig: 
J:J (a) com a F1g. 9. A F1g. 35 mostra-nos como êles determinavam 
k li~~a Leste-Oest~, _in_dicadora _do poente no dia da grandt: festa da 
lertii1dade: o Equmocw da Pnmavera. Os dois triângulos BOP e-
t\OP são eq~ivalentes porque os três lados do primeiro são equiva-
lentes aos tres lados do segundo. Como os raios dos três círculos 
traçados em tôrno dos pontos A, B e O são equivalentes (pois gue 
desenhados Com o mesmo pedaço de corda), · · 
BP = AP} 
BO =AO 
OP = OP 
(Regra N. 0 1 das Relns) 
(Regra N. 0 2 das Retas) 
Assim, ~s dois triângulos BOP e AOP sendo equivalentes em 
~manho, o angulo BOP formado por BO e OP é equivalente a<> 
a~gulo A_?P for,mado pelos lados correspondentes AO e OP. Na 
figura o angulo e de 85°, mas, para qualquer ângulo, o método seria 
D mesmo. 
, ( b) Com~ baixar mna perpendiwlar sôbre Ht.tla reta. _ O 
~e~odo se ba~e1a ua observação do oscilar do fio de prumo. O fio 
md1ca a vertical quando na posição média de suas os~la_~>_\iíes. Na 
138 MARAVILHAS DA MATEM1TICA 
figura 35 (b), P é o ponto de que se deseja baixar uma perpendicular 
sâbre a reta CD. Em primeiro lugar, traça-se um círculo qualquer,. 
com centro em P , que corte a reta CD nos pontos A e B. Depois, 
acha-se a bissetriz (isto é, faz-se a bissecção) do ângulo PAB me· 
diante o primeiro método de bis secção: traça-se, assim, PO. E' 
claro que os ângulos OPB e OPA s~:rão equivalentes. Comparando-
os dois triângulos BOP e AOP vemos que: 
PA PB (Rrgra N.• 1 das Retas) 
PO PO (Regra N .' 2 das Retas) 
Angulo APO == Ângulo OPB 
p 
I )o ;x 
I 
/ 
I , 
I 
C .__.A 
................. _ 
~·J Bolundo , do ponto P, nma 
porpend icullu. 
I 
/ , 
I 
I 
I 
;;""' 
I 
(o) Leftnt&ndo, do ponto P 41 
uma Teta , uma perpendicular. 
Fi(. 35. - REGRAS DE BISSECÇ.lO. 
EUCLIDES SEM L!GRlMAS I 13, 
Segundo a Regra N.• 2 dos Triângulos, os dois triângulos são 
r.quivalentes em tamanho, portanto, o ângulo POB, formado por PO e 
OB, é equivalente ao ângulo POA formado pelos lados correspon-
dentes PO e OA. Quando uma reta incide sôbre outra forman do 
dois ângulos equivalentes, êsses dois ângulos são necessàri amente 
retos . Assim sendo, PO é perpendicular a CD, isto é, forma com 
CD um ângulo reto. 
(c) Como levantar, de um ponto de uma reta, uma perpendi-
cular a ela. - O problema consiste em achar o ponto de suspensão 
do fio de prumo que, em sua posição vertical, passaria pelo ponto do 
.-qual se quer levantar a perpendicular. Na • figura 35 (c) P é o 
ponto de onde se deseja levantar a perpendicular à reta AB, isto é, 
levantar uma reta que forme com AB um ângulo reto. Começa-se 
por traçar, com centro em P, um círculo de raio r que corte AB em 
C e D. Depois, com centro em C, traça-se um círculo maior, de raio R, 
e o mesmo círculo, com centro em D . Os triângulos COP e DOP 
terão, em virtude da Regra N .• 1 dos Trrongulos, equivalentes pois: 
CO- R= DO 
CP- r= DP 
OP- OP 
Nestes dois triângulos equivalentes, os ângulos OPD e OPC são 
eorrespondentes, e pois, equivalentes. Assim sendo, OP forma com 
AB um ângulo reto. . · 
Antes de darmos início às nossas demonstrações o leitor dcvt! 
decorar as nove regras que enunciamos : as 3 regras dos triângulos, 
as 2 dos ângulos, as 2 de ·paralelismo e as 2 das retas. 
QUATRO DEMONSTRAÇOIDS DE AGRIMENSURA 
As três primeiras . demonstrações apresentadas por Euclides nos 
livros I, II e VI, já eram conhecidas pelos Egípcios e Sumerianos 
há dois mil anos. A última, apresentada no II Livro, é, provàvel-
rnente, de origem greg-a e muito mais recente. Referem-se tôdas il· 
medição das áreas e naturalmente foram inspiradas pelo cálculo da 
superffcie de tratos de terra. Partindo da primitiva unidade de me-
dida, o espaço plano contido num quadrado, podemos mostrar como 
se calcula a área de um retângulo , pela soma de uma trama de 
~uadrados e, também, como obter um retângulo duas vêzes maior 
que um triângulo retângulo dado. Isto nos permite calcular a área 
Cle qualquer triângulo retângulo. A seg'Uir demonstramos que qual-
quer triângulo pode ser subdividido em dois triângulos retângulos. 
Isto nos permite calcular a área de qualquer triângt:lo. Qualquer 
'figura limira.da por lados retos pode ser subdividida em triângulos 
HO MARAVILHAS DA MATEMÁTICA 
(F. 36) Com êste conhecimento podemos medir a superfície de lg. . 
qualquer terreno, seja qual fôr a sua fonm, desde que tenha lados 
retos, 9. tru9.ue de Eucli<:les, é, P:9is, o método do agrimensor. 
!'Ir. B~ 
Sabendo oaleular a &ru dt 11m \riln(ulo qulquer, :POdtmOI medir • 111plll'llole 44 
•••1quer terreno, deidfl QUI llmlt.ad.o por ltnbu re\11. 
Além de modelos de medição de terra, essas demonstrações são 
modelos do modo de se efetuar cálculos. A segunda e última, por 
exemplo, sugerem algumas maneiras de abreviar o trabalho no ábaco. 
Mais tarde, essas mesmas demonstrações levaram os Arabes a inventar 
as regras de cálculo que hoje usamos. Chamâmo-las de Algebra. 
Conquanto poss-a parecer mais lógico partir da conexão existente entre 
o retângulo e o quadrado, começaremos por estudar a relação entre 
o triângulo retângulo e o retângulo, porque para demonstrar como 
se calcula a área do retângulo, precisaremos de algo que depende da 
referida relação. 
Demonstração 1 
"A diagonal do retângulo divide-o em dois triângulos retângulos 
equivalentes". 
Na Fig. 37, AC é,a diagonal do retângulo ABCD. Vimos que 
todos os ângulos do retângulo são retos. (Fig. 34). Assim sendo, os 
triângulos ABC e ADC são retân:;:ulos, e nêles: 
(I) AC = d = AC (Regra N.• 2 das Retas) 
{II) ângulo CAB = ângulo ACD (Regra N.• 2 de Paralelismo, vide 
Fig. 33) (iii) 
{III) ângulo BCA = ângulo CAD (Regrq N.• 2 de Paralelismo, vide 
Fig. 33) (iii) 
Comparando (v) da Fig. 37 com (c) da Fig. 30, vemos, pela 
Regra N.• 3 de Triâ11gulosque os triângulos ABC (! ADC são equi .. 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS 141 
valentes. Podemos ainda exprimir a mesma conclusão dizendo que: 
•SabetJdo calcular a área de um retângulo, poderemos calcular a área de 
q1wlq11er triângulo retângulo, construi11do o retângulo, wjo comprimen-
to e largura, sejam equivaletltes aos dois catetos. Desta demonstração 
decorrem dois corolários muito importantes: 
(a) Os lados opostos de um retâ11gulo são equivalentes. - Como 
os dois triângulos são equivalentes em tamanho, os lados correspon-
dentes AB, AC e DC (AC sendo lado comum aos dois ângulos equi-
valentes CAB e ACD) são equivalentes. Quanto aos lados corres-
pondentes, AD e BC, também são iguais. 
(b) As perpmdiculares que mmn duas paralelas são equivalentes. 
- A figura 37 (vi) mostra porque AB e DE são paralelas. Sendo 
AD e BC perpendiculares, fqrmam ângulos correspondentes equiva-
lentes (Regra N .• 1 de Paralelismo), e são, pois, paralelas. Assim 
sendo, ABCD tem lados opostos paralelos, e como tem também um 
ângulo reto, é um retângulo. Portanto os lados opostos 1\P. e BC 
~o equivalentes. · 
(i) 
~AoB 
.. u 
~CQ 
Q, 
D Paralela a C 
AB 
::,~---" 
D (iii) C',, 
(i v) 
. . A 
(i i) 
A~B 
D C 
A dissecção consiste' 
em traçar a diagona( 
o 
u ' I "'\. ,.. .. 
. ·-o·b· · .. . ·~'.J •• 
..... ..., 
·-- a' cf_\.41 
: (uii) ; 
Fi,. 37, - DEMONSTRA.CAO 1, 
142 MARAVILHAS DA MATEM.lTICA 
Demonstração 2 
"Se se divide um lado de um retângulo em dois segmentos quais-
quer, sua área total será equivalente à soma das áreas dos retângulm 
formados pelo lado não-dividido e cada segmento do lado dividido'' . 
O lado AB de comprimento B, do retângulo representado na Fig 
38 (i) é dividido em três segmentos AP, PQ e QB, com l, m e " uni-
dades de comprimento, respectivamente. A Fig. 38 (ii) mostra romo s~ 
faz a dissecação, baixando dos pontos P e Q perpendiculares ao lado 
oposto. Isto divide a figura em três retângulos. Como os ladm 
opostos do retângulo são equivalentes (Demonstração 1 (a)), as per-
pendiculares são equivalentes a H, lado inteiro do retângulo. E' 
evidente, pois, que: 
A área de todo o retângulo H por B = Soma das áreas doe 
retângulos H por l, H por m e H por tt. 
A P Q B 
t 
I 
I rtlângulo completo 
H 
' j H por B 
t Lê--,-_-__ -.• -. ----.-_-;8::---.-----------------._, 
-.~-·tt unidades-----• 
• I 
:~aL--~~--~~--t 
c 
----- . ·- -- -
H por I H por 
m 
(i i) 
(i v) 
l'\ Area da wângulo I 
const1tuida dt IJ faixaa 
retangulares, 
~~~ 
' 
I 
I 
I 
I 
Hporn H 
I 
I 
I 
I 
I , 
(iii) (v) 
·--------- b ________ __ .. 
t ~--a---,..~--- (b -a)---~ 
I 
I 
h 
·I 
I 
I 
t~~-+--------~ 
(vii) 
Cada faixa rem , de largura, 1 
untdade, e é dividida em x 
quadrados de unidade de lado. 
(vr) Perfazendo ao~ 
rodo y "vézes" x ~ 
unidades quadradas 
de nrcn. 
i'lr, SB, - DlliMONSTRAÇl.O I, 
EUCLIDES SEM L.tGRI.MAS 141 
Imaginemo-nos egípcios ou sumerianos. Cumpre-nos descobrir 
l nossa própria custa que a palavra "por" significa o mesmo que 
"multiplicar". Para descobri-lo desenhamos um retângulo em es-
cala (Fig. 38 (iii)) e dividimos um dos lados em x unidades de com-
primento e o outro em y unidades de comprimento (compare-se a 
Fig. 24, em que x = 4 e y = 3) . Se atentardes nas figuras 38 (iv, 
v e vi), vereis que podemos escrever : 
HB unidades de área = (Hl + Hm + Hn) unidades de área, 
e. como 
podemos, ainda, escrever : 
H (I+ m + n) = Hl + Hm + Hn 
Se subtrairmos o pequeno retângulo h por a em (vii) do retân-
cuJo h por b, obteremos, do mesmo modo: 
h (b- a) = hb - ha {fi) 
Essas duas conclusões podem ser usadas para abri:viar o trabalho 
de multiplicação no ábaco. A princípio, multipli~ar 36 por 25 si~i­
fica.va rontar 25 vêzes 36, sem recolocar as mtssangas na postçao 
primitiva. Na Idade Média, quando já se começava a usar os n~­
meros arábicos, mas ainda r:ão era hábito decorar a tabuada de multt-
plieação, a tábua de multiplicação por 2 já era sabida de cor e 
usada na efetuação de uma multiplicação muito simples, a chamada 
dt~plicação. Graças a (a) podemos escrever: 
36 X 25 = 36 (16 + 8 + 1) 
E efetuar a operação por partes, assim: 
36 X 2= 36 + 36 
36 X 4= 72+ 72 
36 X 8 = 144 + 144 
36 X 16 = 288 + 288 
36 X 16 = 576 
36 X 8 288 
36 X 1 - 36 
900 
72 
144 
288 
= 576 
144 MARAVILHAS DA MATEMA.TICA 
Na antiguidade, outro método de multiplicar parece ter encon-
trado. alguma aceitação, pois que os povos primitivos, - como as 
de N1ppur o demonstram - deram-se ao trabalho de compilar tábua& 
de quadrados. E' lícito escrever: 
25 X 36 = 25 (25 + 11) 
E, da mesma maneira: 
25 X 36 = 252 + 11 · (25) = 25' + 11 · (11 + 14) 
- 252 + 1 p + 11 . (14) = 252 + 1P + 11 . (11 + 3) 
252 + 1 p + 1 p + 3 ( 11) 
- 25• + 1 J2 + 1 J2 + 3 ( 3 + 3 + 3 + 2) 
- 252 + 11' + 1)2 + 3• + 32 + 32 + 3 . (2) 
E, consult-ando a tábua de quadrados, teríamos: 
625 + 121 + 121 + 9 + 9 + 9 + 6 
sendo a última operação efetuada de cabeça. 
A arlição final, feita no ábaco, daria o re&ultado correto 900. 
"A área de um triângulo é a mel'ade do produto de um lado pela 
perpendicular baixada do vértice oposto", 
, Partindo do espaço plano encerrado num quadrado, oomo medida 
da area, aprendemos a calcular a área de um -retângulo e a de um 
triângulo retângulo. Vamos agora aprender a calcular a área (A) 
de um triângulo qualquer. A dissecação ·a fazer é muito simple, 
(Fig. 39). 
(i) Se nenhum dos ângulos é maior que 90", baixa-se uma per-
pendicular do vértice sôbre a base. Isto subdivide o triângulo em 2 
triângulos retângulos. Cada um dêles, em virtude da Demonstração 1, 
equivale a metade da área de um retângulo. E como a área de um 
retângulo, em virtude da Demonstração 2, é igual ao produto dos lados 
Mas, v1mos que 
A= !px + !PY 
-! flx + ! PY = 1- p (x + y) Dem. 2(a)' 
A -- H (;r+ y) 
ou A-- Hb 
EUCLIDI!lS SEM LÁGRIMAS HG 
(ii) Se um dos ângulos fôr maior que 90", baixa-se uma per-
pendicular sôbre o prolongamento da base (como na Fig. 39(ii)). 
Teremos: 
A = ! p (b + x) - ! px = 
= !(Jb + ! px - t px 
ou A = ! pb 
(a) Além de ensinar a medir a área de um triângulo, esta 
demonstração contribui para a descoberta de um princípio importan-
tíssimo de "medição de sombras" (Dem. 7). Se um triângulo (área 
A) tem por base B unidades de comprim<!nto e por altura p, e outro 
triângulo (área a) tem por lYase b unidades de comprimento e a 
mesma altura p, a relação existente entre suas áreas pode ser expressa 
dêste modo_: 
A 
a 
B 
b 
Isto e, a razão 'das 'áreas Cle triângulos de meS11W aliura, 'é iguaL 
d razão de suas bases. Para a importa·ntíssima demonstração a que 
nos referimos, precisamos saber reconhecer quando dois triângulos 
têm a mesma altura. Para isto existem duas regras: 
(b) TriâtJglllos com base sôbre a mesma ,-ela e v~rtices 110 
mesmo ponto, têm necessàriamet1te a mesma altura. 
E' o que se pode ver na Fig. 39 (iv). Os triângulos ABC, ABE, 
AED, ADC, AEC e ABD têm todos a mesma altura. 
(c) Os triâllgJtlos de base comum terão trecessàriametJte a mes-
tna altura, se os se11s vértices se acharem todos sôbre uma mesm<1 l-inha, 
paralela d base. 
E' o que se vê na Fig. 39 (iii). Vimos, na Demonstração 1 (b) 
que as perpendiculares que unem duas paralelas são equivalentes. 
Demonstração 4 (Como dissecar um quadrado) 
"Se se divide o lado de um quadrado em dois segmentos, a área 
rio quadrado será equivalente à soma das áreas el os quadrados cujos 
lados são os dois segmentos, mais duas vêzes a área do retângulo de 
lados iguais aos dois segmentos". 
Um quadrado é um retângulo de lados equivalentes (o que seria 
imediatamente perceptível , não fôsse a confusão dos têrmos). Na 
Fig. 40 (i), dividiu-se o lado AB do quadrado grande em dois seg-
mentos,AP (de y unidades de comprimento) e PB (de .t' uniclaclcs 
de comprimento) . Portanto, o comprimento AB é (.t' + y). O 
mesmo se fêz ao lado BC. Dos pontos P e Q, baixaram-se perpen-
lU MARAVILHAS DA MATEM·ATICA 
-.-x--,.. 
------1}-----
(i) 
p 
.-----· b+Jf ,,_.,,. 
(i i) 
8 
(i i i) (i v) 
INr. Si. - DElfONSTRAOlO 8, 
~-···Jf·•·,. 
c 
IJ 
di~ulares aos lados opostos. Cada uma delas aivide o quadrado em 
d_01s retângulos. Fácil é deduzir o comprimento dos lados das quatro 
f1gurás formadas, atendendo-se ao fato de que os lados opostos de um 
retângulo são equivalentes. 
A áre~ do quadrado maior é AB X BA, ou .(x + y)•. ~os-
tra-!_105 a !1gura que: · 
(x + y) 2 unidades de área = 
~ (x• + 2.-ry + y') das mesmas unidades de área, 
isto é: 
EUCLIDES SEM LÃGnTMAS H'l 
Por l1J1Ya demonstração iemelhante (Fig. 40 (ii)), chega-se a; 
x•- y• = (x-y) x + (x-y) y 
Aplicando-se a Demonstração 2 (a): 
x1 - y' = (x- y) (x + y) 
Veremos no capítulo 7 que as espécies de multiplicação repre-
sentadas hieroglificamente por estas figuras desempenharam um papel 
muito importante na descoberta da Algebra. Será conveniente para 
o leitor conferir pessoalmente essas regras de multiplicação, efe-
tuando-as em exemplos numéricos, verbi gratia: 
(a) (3 + 4)3 = 7• = 3' + 2 (3 X 4) + 41 
- (9 + 24 + 16) = 49 
(b) 71 - 4' = 33 - (7- 4) (7 + 4) 
Esta demonstração não é mais que simples aplicação da regra d( 
calcular a área de um retângulo. Ignora-se se, em outros tempos, 
o homem a utilizou em seus trabalhos de agrimensura. Utilizavam-na 
os antigos para abreviar o trabalho de · multiplicação no ábaco, ins-
(i) 
~ 
' I 
I 
xz = 
x( x-y) 
~ .__ ...... ___ ___ . X--·-·- ... ·--·~ 
(i i) 
!1'11. (0, - DEMONSTRAQlO (. 
Erumento imprescindível enquanto não se inventou uma: e5crita. nu· 
mera! que possi·bilitasse os cálculos diretos. Nicômaco de Alexan-
dria (100 d. _CJ explica com() se utilizava a dernogs!ralãp, 9uan.do 
148 MARAVILHA~ DA MATEMATICA 
os matemáticos (que dizer do homem do povo?) ainda não sabiam 
a tábua de multiplicar. Vejamos dois exemplos: 
(a) Para multiplicar 37 por 25, achava-se o número eqüidis-
tante de ambos (isto é, o número do meio) - ~1, no caso em aprêço 
- e depois escrevia-se: · · · 
37 X 25 = (31-6)(31+6) 
Isto feito, o único trabalho é procurar o quadrado de 31 e o (te 6 
nas velhas tábuas de quadrados - como as encontradas em Nippur 
(2000 a. C.) -e subtrair o segundo do primeiro, o qne é muito mais 
simples que os métodos apresentados para ilustrar o uso da Demons-
tração 2. 37X25=3l2-6"=925 (Confira o resultado). Agora, 
vamos proceder à multiplicação de 36 por 25. Não existe número 
inteiro eqüidistante dos dois fatôres, de modo que se tem de usar o 
número mais próximo de 36, como por exemplo: 
36 X 25 = (37 -1) 25 = (37 X 25) - 25 (Dem. 2 (b)) 
= 3 p - 6· · - 25 = 900 
O número eqüidistante de dois outros dados é denominado médw 
aritmética. · Não há quantidade, em tôda a linguagem de grandezas, 
mais mal empregada pelos políticos, do que ela. Se a e b são doi~ 
números, sua média aritmética é ! (a+ b); se a= 37 e b = 25, a 
média aritmética será ! (37 + 25) =! (62) = 31. Para os valores 
36 e 25 a média aritmética será 30 !. 
( b) Esta forma de abreviar o trabalho no ábaco acentuou a 
necessidade de boas tábuas de quadrados. O interessante é que a 
mesma fórmula pode simplificar-lhes o cômputo. Suponha-se, por · 
exemplo, que já conhecemos os quadrados dos números de 1 a 100, 
e queremos estender a tabela até valores maiores, segundo a reco-
mendação do próprio Nicômaco. Para obter o quadrado de wn nú-
mero maior de 100, por exemplo, 118, procede-se assim: 
(118) 2 
(118) 2 -
(18) 2 = (118-18) (118 + 18) 
.(100) (136) + (18) 2 = 13 924 
Multiplicar por dez, cem, mil ou qualquer outro múltiplo de dez, 
no ábaco, é muito mais simples que multiplicar por outro número 
qualquer, pelo menos para os que adotam a escrita decimal. Assim 
sendo, o processo que acabamos de apresentar permite o)lte1: !esul-
tados <:O!l} uma rapidez muilo maior. 
EUCLIDES SEM LAGRIMAS 149 
QUATRO DEMONSTRAÇOES DE MEDl?ÃO DE SOMBRAS 
Para nós, produtos urbanos da civilização nórdica, habi~uados a 
morar em casas de grandes janelas, dotadas de todo o conforto mo-
derno, com gás, luz elétrica, relógios e até m.esmo (ao me~os p~ra os 
mais felizes) geladeiras e aspiradores de po, be"_1 .c.usta_ Ima~mar a 
importância que tinham luz e sombra, ~as velh~s ciVIh~açoes c;Iadoras 
das primeiras cidades de pedra. .~oJe em dm, precisamos mventa~ 
experiências que mostrem aos menmos que a luz, atravess.ando uma 
fresta caminha segundo uma trajetória reta, e que os raws do sol 
são p~ralelos. Os primeiros habitantes de cidades, que tinham apena~ 
por janelas estreitos orifícios pelos quais a luz .d? sol e o lu~r ~e 
coavam fazendo cintilar a poeira 'em suspensão, vivtam na abundancta 
da luz ~olar que projetava sombras lon~as e nítidas, bem.,defit~idas na 
areia. Não precisavam de quem lhes dtssesse que a luz cammh~ se-
gundo trajetórias retas" ou que. ~aios de ~uz provindos de objetos 
muito distantes formam entre st angulos tao pequenos que bem se 
pode considerá-los paralelos. P.odiam. percebê-lo à própria custa, 
a qnalquer hora do dia ou da nmte (Ftg. 41). 
Quando Tales visitou o Egito e calculou a altura da Gran~e 
Pirâmide meuindo-lhe a sombra, a velha civilização do Nilo já havia 
sucumbido, sucessivamente, aos assírios e .aos hitita~ . Conquant? ~os 
afirmem as crônicas de seu tempo ter e~e. marav1l~ado os egipctos 
com êste proceder, não resta a menor duvida que ele empregara o 
F I~ U 
Quanto nuta dhh.nto um corpo celeste, menor .o ln~ln. fo r ~11'LilD ~los niM . . d• 
kla proveniente& de a uns extremidades. Quando a du;tnn cll\ c 111 1\ lln granüe, os I ~ 10 ' 
paruom 'P&taleloa. O l.ngulo existente entre o.a doi! pontos . maia a{a!.tad~s do d1~~ 
aolar, ou lnnr.r (t.&l com, 6 ob!ervado da t&rra) é de npcna! .me10 grau, llpro~tme.damente. 
O .par•tellamo doa raios do a.ol ou da lua .ora um conh ectmen~o comunisstmo para. o• 
llomen. quo .'iriam an\o~ da invenç~o do ndro, em easa• de 1anolas alt.aa • oalr&Jkt. 
160 MARAVILHAS DA MATEMJTICA 
mesmo pnnCJpiO de medição arquitetôniL-a adotado pelos construtores 
das pirâmides. A arte de medir sombras era uma das grandes arte! 
da antiguidade. A geometria do triângulo resultou da prática da 
medição da sombra para fins arquitetônicos, clo mesmo modo que a 
geometria do retângulo resultou da prática de medir a superfície dos 
terrenos, com o fito de taxar o pequeno lavrador. A geometria es· 
tava em pleno florescer, no Egito e na Mesopotâmia, quando oo povot 
nórrl icos erigiram aquêles drculos e avenidas de pedra que ainda hoje 
se podem ver em Devon f'. Cornwall, províncias a que aportavam GS 
navios fenícios em busca de estanho. Aliás, em tôdas as regiões em 
que êste metal era abundante, encontram-se ruínas de inúmeras aldeias 
totalmente constituídas de choupanas de pedra. Os nórdicos, como 
os bantus, jamais construíram templos ou cidades por iniciativa prÓ· 
pria. O atraso dos habitantes da Europa setentrional não era devido 
à sua estupidez - como cria Aristóteles, o apóstolo da escravatura, -
ou como ensinava o culto Said de Toledo na época em que os mouros 
construíam m~gníficos lYalneários destinados a serem destmídos pelos 
mesmos conquistadores nórdicos que, expulsan{lo os judeus, introdu-
dram na arte espanhola o odor de santidade que ela até hoje conserva. 
Aristóteles e Said tinham tanta razão em desprezar o nórdico, quanto 
os civilizados modernos que espezinham os bantus. Todos êsses cri· 
ticos severos esquecem-se de tomar em consideração as condições ma-
teriais que possibilitaram o advento das civilizações. Todo progresso 
era impossível. antes de se descobrir a arte de registrar o tempo. 
Nas regiõesem que o quadrante solar não podia ser mais que um 
enfeite de jarrlim, a vida metropolitana e a lavoura pouco progrediram 
tté o dia em que uma casta sacerdotal estrangeira introduziu um 
relógio-de-vela, destinado a marcar a hora das matinas e das vésperas. 
As quatro demonstrações que seguem figuram, respedivamen· 
le, no I ( 5, 6, 8) e sexto (7) livros de Euclides. As três primeiras1 
conhecia-as o fenício Tales. A última ainda hoje se acha associada 
ao nome de Pitágoras, outro fenício, conqüanto não nos faltem motivoa 
para crer que êle a aprendeu dos chineses. Ao explicá-las, preten· 
demos dar exemplos de sua utilização na arquitetura e na agrimensura 
e mostrar como, mais tarde, os alexandrinos aplicaram-nas à repre-
sentação dos céus. A primeira - de tôdas a mais simples - .não 
tem aplicação direta. Sua importância reside no fato de contribuir 
para a compreensão das outras três. 
Demo11stra.ção 5 
"A soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos 
retos". 
Para rlemonstrar esta verdade, tudo o que temos a fazer é apoiar 
o vértice de um triângulo numa barra reta e ~?:irá-lo até que o lado 
1 
I 
I 
l 
i 
EUOLIDES SEM LAGR'J.MAS l bl 
- ·------
oposto fique paralelo à barra. Na Fig. 42 (i), (ii) e (iii), as legen 
d:u esclarecem o processo, que se pode resumir como segue: 
A. + B + C = D + C + E (Regra N.• 2 de Paralelismo) 
D +C+ E= 180" (Regra N.• 1 dos Angnlos- Fig. 33 (i)). 
A demonstração é tão simples que aproveitaremos o ensejo pa1a 
aplicar como é usada para ilustrar os princípios da medição de som-
bras, expostos nas três demonstrações que seguem. 
(a) Dois triâng~tl os séW equivalentes quat1do I êtn 14tn lado ' 
dois â11gulos equit•alet1tes. 
A regra confere com a que aprendemos páginas atrás, a chamada 
Regra N .• j dos Triângulos, que afirma que se pode traçar um triân-
gulo, conhecidos o lado a e os ângulos B e C. E, se ~o invés de .B. r 
C se conhecesse A (ângulo oposto ao lado a, conhecido) e B, facii· 
mente se calcularia o ângulo C da maneira seguinte: 
A+ B +C= 180• 
'' C = 18()<> - (A+ B) 
rir. 62. - DElÚ)NBTRAO.lO ~. 
.J 
151 MARAVILHAS DA MATEMATICA 
isto é, se A fôr 600 e B = 60•, C será 180•- (600 + 600) ou C= 60". 
Se A fôr 45• e B = 900, C será igual a 1800- ( 45• + 900), isto é, 
45•. Se A fôr 3Ü" e B = 900, C será igual a 6()<>, Reciprocamente, 
conhecidos A e C, podemos calcular B. Por exemplo, se A fôr fJ:J' 
e C= 900, B = 1800- (A+ C), isto é, 30•. 
( b) Conhecido um dos ângulos não-retos de um triângulo r~-
18t~gulo, (A), conhece-se, ipso-facto, o outro ângulo não-reto (90•-A). 
Isto, aliás, não é novidade. Se os três ângulos de um triângulo 
valem respe<:tj_va.mente A, 900 e (90•- A), sua soma vale 1~ •. ist9 ~ 
A + 900 + 90• - A = 1800 
Os três lados do triângulo .retângulo têm denominações especiai!. 
O lado maior, oposto ao ângulo reto, chama-se hipotenusa. Sendo A 
um dos ângulos não-retos, o lado que lhe é oposto se chama altura. 
O terceiro lado se chama base. E' evidente que as denominações 
base e alt11ra dependem da posição do triângulo e que a altura, com 
referência ao ângulo 90•- A, é a base com referência a A, e vice-
versa. (Fig. 42 (iv), (v) e (vi)). 
(c) Triângulos t·ctâ11gulos ccrm o mesmo ângttlo agudo são se-
tndha1.1t_es, isto ~~ equiâug_u[os ~Fig: . 43 _(i))_. 
(i) (i i) 
90 
(i v) 90'~ lhê,-A 
rir. 43 
·i 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS 153 
(d) Triâ11g1úos retângulos que, coloc~dos vértice sôbre vértice 
(como na Fig. 43 (i i)), ficarem com as lnpote1111sas e um .dos lados 
tm li11ha, são semelhantes, isto á, eqiiiângulos (Fig. 43 (1~). 
(e) A perpendicular, baixada d~ ângulo reto. !ôbre a lup~tenusa, 
divide o triângulo retângulo em do1s outros trtangulos retangulos, 
semelhantes entre si e ao triângulo primitivo. . 
Eis o que apresenta a Fig. 43 (iii) e (iv). E' êste um dos ma1s 
importantes truques para a dissccaçã.o de triângulos. 
A A 
A 
[(a) O Triângulo Eqt~ilátao 
AA 
(b) O Triângulo 
Retângulo isósceles 
~se 
Flr. U. - DEMONSTRAÇÃO .5. 
154 MARAVILHAS DA MATEMÁTICA 
Demonstração 6 
"Se dois lados de um triângulo são equiva'lentes, os ângulos que 
lhes são opostos, também são equivalentes; e, se dois ângulos são 
equivalentes, os lados opostos também o serão". 
A demonstração enuncia, pois, uma dupla verdade, mas a rlis~e­
cação é a mesma para ambas . Disseca-se o triângulo em dois, divi-
dindo-se o ângulo formado pelos lados equivalentes (isto é, o ângulo 
não-equivalente do triângulo) pela sua bissetriz, segundo a primeira 
regra de dissecação. 
(i) Se nos afiançam que AB =I= AC {Fig. 44 (i)), com• 
parando os triângulos ADP e APC verificamos que: 
AB = l = AC 
Ângulo BA P - !- a = Ângulo CAP 
AP - AP (elemento comum) 
Portanto, segundo a Regra N.• 2 de Triâ11gulos, os dois triân· 
gulos são equivalentes. Isto quer dizer que seus lados e ângulos 
correspondentes são equivalentes. Assim sendo, o ângulo ACB, opos· 
to a AB, é equivalente ao ângulo ABC, oposto ao lado equivalente AC. 
(ii) Se nos afianç-am (Fig. 44 (ii)), que os ângulos B (ABC) 
e C (ACB) são equivalentes, teremos : 
ABC 
DAP 
AP 
ACB (segundo nos informam) 
!a= CAP 
AP (elemento comum) 
Mas, vimos na Demonstração 5 (n) que dois triângulos são equi· 
valentes quando têm um lado e dois ângulos correspondentes equiva-
lentes. Assim sendo, os triângulos APB e APC são equivalentes. 
Portanto, o lado AB oposto ao ângulo ACB é equivalente ao lado 
correspondente AC, oposto ao ângulo equivalente ABC. Antes de 
mostrarmos como se poclc utilizar êstc conhecimento para calcular a 
altma de um barranco pela somhra projetada, ou para dar a um 
e<li fício a altura que se deseja, vejamos como esta demonstração nos 
fornece um método mui simples de traçar ângulos de 300, f:JJ' e 45• 
(Vide Fig. 44, na sua parte inferior). 
(a) Como traçar ât~gulos d'e 30• e 60•. - Podemos construir 
um triângulo equilátero (triângulo que tem os três lados iguais), 
dobrando uma corda dividida por nós, em três segmentos iguais. Pelo 
que acabamos de aprender, se os três lados são equivalentes (com· 
primento l), os três ângulos também o serão. E como os três per-
\ 
r 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
; 
I 
I 
! 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS 
Como se mede a a!cum 
de um barranco 
l'lr . • !. - MEDINDO A SOMBRA PARA OALOULAR A. ALTURA. 
155 
O elroulo que rodtia o ~qusno obal~oo 1nlar, te.m como ra;o o comprimento ct. 
tr6prlo obelisco, de maneira que, qul\ndo o 8ol atinro a alLura de 4.5• aôbre o hori110nk, 
• 1ombra tanrenci1 a circunferência tracada, 
fazem 1800, cada um dêles é igual a um têrço de 1800, isto é, flY'. 
Se atentardes para a Fig. 44 (i), vereis que, como os triângulos ABP 
é ACP são equivalentes, o lado BP é equivalente ao lado correspon-
dente, PC, isto é, P divide BC em duas partes equh'alen.tes. No 
triângulo eqi.tiláter<> dissecado similarmente na parte inferior da fi. 
gura, vemos que os lados opostos aos ângulos de 30•, valem !-I. Basta 
pois unir o vértice .de um triângulo equilátero ao meio do lado oposto, 
para se obter um ângulo de 300. Os dois ângulos formados sôbre 
o lado oposto, de cada lado desta bissetriz, valem 90". (Demonstra-
ção 5). 
(b) Como traçar âng11los de 45•. - A demonstração 5 (b) 
mostrou-nos que, se um dos ângulos de um triângulo retângulo, vale 
45•, o outro também vale 45•. Assim sendo, todo o triângulo retâQ-
gulo com um ângulo agudo de 45•, tem necessàriamente dois ângulos 
equivalentes e, pois , dois lados equivalentes. Uma vez traçado um 
ângulo reto, para obter um ângulo de 45•, basta medir distâncias equi-
valentes (l), aplicá-las sôbre a altura e sôbre a base e unir as extre-
midades. Os geômetras e arquitetos egípcios faziam o mesmo com 
bastonetes e cordas sôbre a areia. Nós outros, fazêmo-lo com tachi-
nhas e barbante, sôbre a pranche-ta de desenho.A utilidade desta demonstração (outrora chamada, a Pons Asi-
norum, isto é, a ponte dos burros - porque os burros que a ensina-
vam davam-se a todos os cuidados para destruir a ponte que a liga 
ao mundo real) - vêmo-la na Fig. 45. Quando o sol alcança a 
altura de ~5· sôbre o horizoote (a 45• do zen i te, por conseguinte), 
i 
156 MARAVILHAS DA MATEMATICA 
os raios "de luz, 0 barranco e a sombra, o~.'o raio de .luz, a s.o~bra e 
qualquer objeto elevado, formam um tnangul~ retangulo 1sosceles. 
Isto quer dizer que, neste momento, ~ compnmento da sombra ~ 
equivalente à altura do barranco. 
Um processo dt medir 
a altura da grande Pirãmidt, 
lll n+S 
c h 
Fir. 's .l 
(• Sombra 
... , · ~a escac!& 
············p-r,- -- ... l .. ) ... __ _ 
· Qtiii>~õ i iõmliri tõõft ii blrõuli 
de~ r a. lo icual à ai tu ra da. est..1ca.; 
a altura (h) da pil·nmide é obtida 
aomando o con1prim'!n la da som.1 
ora (8) ~ IIIOIWO da !>Ali (b) 1 
Quondo 0 col ~11& i 45' ,abrii o borizonh, a jlllura d!! plr&mlde I lcuol aõ 
õomp>im•!!lo d~ •ombn m6ia ~ !l'•l•d~ da buo, 
Para: calctâ~i~-.~tiirii{ altura: por êste métod~ indireto, finca-se 
um bastonete na areia e espera-se oaté que o compnmento da sombra 
seja igual à altura· · ~o bastonete·. Neste momento, mede-se a som?ra 
do barranco, e ipso-facto, obtém-se a s~":. a~tura. Ac01~tece, porem; 
que na região em que se edificaram as ptramtdes, o sol so alcança ~5 
de altura ao meio-dia, em dois dias do ano. Naturalmente era Im-
possível esperar estas duas raras ocasiões, para to~ar a altura . das 
pirâmides. E' muito mais incômod? e demorado f~car espera~do a 
data propícia, que aprender a segumte demonstraçao, que ensma a 
usa~ () process() para quall!U!!.!: ~ngu!<:l 9o ~Q\. ~e ~orycntura ~ ach~.r· 
i . 
' ,. 
; 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS !57 
des demasiado longa, consolai-vos pensando no tempo que, graças 
a · ela, economizareis mais tarde. 
A Fig. 46 é o projeto de um quadrante solar que qualquer pessoa 
pode construir num terraço ou num quintal e que lhe permitirá -
p;>mo mais tarde vereis - calcular a altura da casa, sua latitude ~ 
L s 
IS) parafuso 
o 
Nível de 
bõlha 
l'ir. 46. - PROJETO DE UM QUADRANTE IMPROVISADO. 
longitude, a hora e o quanto a terra parece oscilar em seu eixo du-
rante o ano (isto é, a inclinação da órbita em relação aos polos, 
chamada, pelos astrônomos, - obliqüidade da eclíptica). 
DemoJJslração 7 
"A relação dos lados correspondentes dos triângulos semelhantes 
é a mesma". 
A dissecação que vamos fazer é manhosa e em três est{tgios. A 
esquerda da Fig. 47, traçaram-se dois triângulos semelhãntes, ABC e 
DEF, de modo que se pudesse observar a equivalência dos ângulos . 
Quando queremos demonstrar algo de novo, a primeira coisa que deve-
mos fazer é perguntar-nos o que já sabemos sôbre o objeto de nossa 
demonstração. No caso em aprêço, êste objeto são as relações, ou ra-
zões. Até então, a única coisa que sôbre elas sabemos é que as áreas de 
triângulos da mesma altura estão na mesma razão que suas respec-
tivas bases (Demonstração 3). Assim sendo, temos de achar triân-
gulos cujas bases sejam lados correspondentes nos dois triângulos que 
estamos oa comparar. Para isto, comecemos colocando os dois triân-
gulos na mesma figura. 
(i) Figura da direita: Aplica-se o comprimento DF sôbrc AC, 
a partir de A, e obtém-se assim AH, equivalente a DF. Em seguida 
15S ~IAil.AVILHAS DA MATEMÁTICA 
A o A A 
ti 
E F 
E'ir. '7. - DEMONSTRAQAO 1. 
traça-se GH, paralela a BC. Comparando os triângulos AGH e 
ABC. verificamos que os ângulos: 
GAH = BAC 
GAH = EDF (·.·os triângulos ABC e DEF são semelhante!) 
AHG = ACB L 
AGH = ABC f Regra N.• 1 de Paralelismo 
AHG = DFE; e AGH = DEF (·: os triângulos ABC e 
DEF são semelhantes). 
Assim, comparando os triângulos DEF e AGH temos; 
ângulo EDF = ângulo GAH 
DF = AH (por construção) 
ângulo DFE = ângulo AHG 
Em virtude da Regra N.• 3 dos Triângulos, DEF ~ AGH slio 
equivalentes, 
GH = EF e AG =DE (o) 
(ii) Na Demonstração 3 aprendemos que triângulos que têm 
base sôbre a mesma reta e o vértice oposto sôbre uma paralela à base, 
terão necessàriamente a mesma altura. Dêste fato nos valeremos, para 
darmos o próximo passo. Traçando as lin~as que unem os pontos 
GC e HB (Fig. 47, à direita) e pondo a figura de cabeça para baixo 
(como na Fig. 48 (ii), percebe-se imediatamente que (Demonstração 
3 (c) Fig. 39 (iii)): 
Área do Triângulo BGH = Área do Triângulo GCH ,(b) 
EUCLIDES SEM LÁGRIMAS 151 
(i) 
(i i) 
A 
:A 
B G A 
G 
A~ 
Flc. 48. - DEMONSTllAQÃO 1 (Coc!.lnuaç!lo). 
(iii) Na Demonstração 3 aprendemos, também, que os triângu-
los cujos bases estão sôbre uma reta e cujos vértices opostos, coinci-
dam, terã?~ necessàriamente, a mesma altura. Podemos obter dois pa-
res de trtangulos nestas condições, incorporando o triângulo AGH, 
primeiro ao triângulo GHB e depois ao triângulo GCH. E' claro que: 
Área dos triângulos AGH+BGH =Área dos triângulos AGH+GCH 
ou Área do triângulo AHB =Área do triângulo AGC (c) 
Os triângulos AHB e AGH, assim como AGH e AGC, têm a 
mesma altura (Demonstração 3 (b)). Assim sendo, e em virtude da 
Demonstração 3 (a) - que afirma que as áreas dos triângulos de 
mesma altura estão na mesma razão que as suas bases - podemos 
escrever: 
Área AHB 
Área AGH = 
AB 
AG 
e 
Área AGC 
Área AGH 
Como as áreas de AHB e AGC são equivalentes, 
AB 
A~ 
AC 
AH 
AC 
AH 
~ · 
·• 
160 MARAVILHAS DA MATEJMATICA 
;Em yjrtude de .(a), (pág. 157), 
. AB AC 
--=--
DE DF 
Ou. em virtude ~a regra diagonal (pág. 105). 
AB DE 
AC DF 
Dissecação semelhante, permite demonstrar que: 
BC EF BC EF 
AC DF ou AB DE 
A Fig. 49 mostra-nos como Thales utilizou esta relação para 
medir a altura da Grande Pirâmide de Queops, evitando esperar um 
dos dias em que o sol meridiano atingisse a altura de 4So sôbre o hori· 
zonte. Fincou um bastão no solo, bem na extremidade da sombra 
da pirâmide. Bastão, raio de sol e sombra formavam um triângulo, 
de ângulos iguais a 90°, A e 90° - A. A altura da pirâmide, os raios 
de sol e a sombra acrescida da metade da base formavam outro, de 
ângulos equivalentes. Como os dois triângulos são semelhantes, os 
lados corrcspond.entes estão entre s1 na mesma razão, isto ~_; 
H 
!b + s 
p 
s 
Aplicando a regra diagonal, obtém-se para a altura da ~irâmide: 
A altura do bastão (p), a base (b) e as duas sombras ·(s e S) 
podem ser fàciimentc medidas ao meio-dia de qualquer data. 
O mesmo método pode servir para determinar a altura de qualquer 
objeto inacessível. Também podemos calcular a distância a que s~ 
encontra de nós, desde que possamos medir o ângulo que o seu tôpo 
faz com o horizonte (usando para isto um teodolito como o da Fig. 12). 
A maneira mais rudimentar de determinar êsses elementos é fazer uma 
figura em escala. Era êste o método displicente dos ~regos. Mas 
existe um método melhor que o precedente: o da geometria socializada 
011 trigonometria _(ta! ~om~ a costu!lla!110S chamar) dos ~exandrinos: 
j 
I 
t 
1 
EUCLIDES SEM. LAGRIMAS 161 
vara de medir 
Plr. 40. - OOMO TALES MEDIU A ALTURA DA GRANDE PI!l.AMIDE. 
O Anruto A 6 a lnclinaçlio do ool oObre o horizonte ao meio ·dia o ê, poio, e 
mew>~ para amboa oa lrillogulo!, 
Consiste em se organizar, de uma vez para tôdas, uma tabela das 
razões entre o bastão e ~ somiJra, para vários ângulos de inclinação. Se 
voltardes à Fig. 31, vereis que a relação entre bastão e sombra para 
um ângulo de inclinação, A, é o que, na linguagem dicionária da tri-
gonometria, se denomina tg A. Isto significa: "Procurai um nú-
mero num dicionário (tábua de tangentes) organizado de uma vez para 
tôdas, ao invés de vos dar ao trabalho de fazer uma figuro em escala 
cada vez que quiserdes estimar uma altura ou uma distància".