Aula 4 Medidas de Dispersão prof

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Estatística e Probabilidade 
 
PROF. Alan Gusmão 
Aula 4- Medidas de Dispersão 
 
Comparação entre o clima de duas cidades 
- ambas com temperatura média de 24°C 
- dúvida – será que a variação é a mesma? 
- sim – variabilidade entre mínimas e máximas iguais 
- não – uma delas apresenta maior variabilidade – maior 
ocorrência de extremos – mais frio e mais quente 
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Medidas de Dispersão 
Quando comparamos vários conjuntos de números, além da 
informação com relação ao “centro” do conjunto, devemos 
também avaliar o grau de dispersão dos dados. Essa 
dispersão nos indicará se os valores estão relativamente 
próximos uns dos outros ou não. 
Antigamente, quando íamos aos bancos, deveríamos formar 
filas separadas para os diversos caixas. Hoje em dia, 
normalmente, apenas uma fila é formada. Apesar desse fato 
não ter alterado o tempo médio de espera, fez com que a 
variação de tempo que passamos na fila tenha diminuído 
consideravelmente, pois a partir daí o tempo de espera não 
mais dependia da eficiência da pessoa que operava o caixa 
da fila onde você estava nem se as pessoas que estavam na 
sua frente iriam dar mais ou menos trabalho aos caixas. Com 
isso, os clientes ficam muito mais satisfeitos. 
Observe a importância de conhecermos a variação dos dados. 
estudaremos agora a amplitude dos dados, a variância e o 
desvio-padrão de um conjunto de dados. 
 
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Medidas de Dispersão 
Medidas de Dispersão 
• Amplitude 
 
• Desvio Médio 
 
• Variância 
 
• Desvio Padrão 
 
• Coeficiente de Variação ( C.V.) 
A amplitude, ou R, é a diferença entre o maior e o menor valor 
incluso no conjunto de dados. Dessa forma, quando H 
representa o maior valor do grupo e L representa o menor 
valor, a amplitude dos dados será: 
 
R = H - L 
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Amplitude 
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Amplitude 
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Desvio Médio Absoluto 
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Medidas de Dispersão 
- Notamos, então, a conveniência de serem criadas 
medidas que sumarizem a variabilidade de um conjunto 
de observações e que nos permita, por exemplo, 
comparar conjuntos diferentes de valores, como os 
dados acima, segundo algum critério estabelecido. 
- Um critério frequentemente usado para tal fim é aquele 
que mede a dispersão dos dados em torno de sua 
média, e duas medidas são as mais usadas: desvio 
médio e variância. O princípio básico é analisar os 
desvios das observações em relação à média 
dessas observações. 
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Medidas de Dispersão 
O resumo de um conjunto de dados por uma única medida 
representativa de posição central esconde toda a 
informação sobre a variabilidade do conjunto de 
observações. Por exemplo, para os dados 
grupo A (variável X): 3, 4, 5, 6, 7 
grupo B (variável Y): 1, 3, 5, 7, 9 
grupo C (variável Z): 5, 5, 5, 5, 5 
grupo D (variável W): 3, 5, 5, 7 
grupo E (variável V): 3, 5, 5, 6, 6 
temos todas as médias iguais a 5. 
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Medidas de dispersão 
Medidas de Dispersão 
 Variância 
 A variância da amostra, representada por 
s2, é obtida somando-se os quadrados dos 
desvios, em relação à sua média e dividindo 
o resultado pelo número de observações 
menos um. 
 
 Σ ( Xi – Média) 2 
 __________________ 
 
 ( n – 1) 
 
Medidas de Dispersão 
• DESVIO -PADRÃO 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada do valor obtido para 
a variância. 
Ele é o valor que quantifica a dispersão dos eventos 
sob distribuição normal, ou seja, a média das 
diferenças entre o valor de cada evento e a média 
central. 
 
 S = (Σ (Xi - X)² Fi )/ Σ Fi ) ^ (1/ 2) 
 
 
 
 
- O desvio médio (dm) e a variância (var) são 
definidos por 
 
 
 
 
 
respectivamente. Para o grupo A temos 
• dm(X) = 6/5 = 1,2, 
• var(X) = 10/5 = 2,0, 
enquanto para o grupo D temos 
• dm(W) = 4/4 = 1,0, 
• var(W) = 8/4 = 2,0. 
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Medidas de Dispersão 
- Podemos dizer, então, que, segundo o desvio médio, o 
grupo D é mais homogêneo que A, enquanto ambos são 
igualmente homogêneos, segundo a variância. 
- Sendo a variância uma medida de dimensão igual ao 
quadrado da dimensão dos dados (por exemplo, se os 
dados são expressos em cm, a variância será expressa 
em cm2), pode causar problemas de interpretação. 
Costuma-se usar, então, o desvio padrão, que é 
definido como a raiz quadrada positiva da variância. 
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Medidas de Dispersão 
- Para o grupo A o desvio padrão é 
 
 
- Suponha que observemos n1 vezes o valor x1 etc., nk 
vezes o valor xk da variável X. Então, 
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Medidas de Dispersão 
Medidas de Dispersão 
Coeficiente de Variação - Corresponde à relação 
entre o desvio-padrão e a média. 
 
 
 
Medidas de Dispersão 
• Calcule o desvio-padrão da amostra: 2, 2, 7, 8 e 
9 e marque a opção correta: 
Fórmula : 
A) 5,6. 
 B) 3,36. 
 C) 7,6. 
 D) 1,30. 
 E) 1,70. 
 
Medidas de Dispersão 
Segue abaixo os dados agrupados de uma sondagem de avaliação dos alunos 
em uma prova de concurso, composta por 30 questões, no qual a 
freqüência é relativa aos a quantidade de alunos que fizeram o concurso. 
Calcule o desvio padrão do número de questões que os alunos acertaram. 
 
• Classes fi Fi 
0 I----- 6 30 30 
6 I----- 12 25 55 
12 I----- 18 15 70 
18 I----- 24 10 80 
24 I----- 30 6 86 
 
ANÁLSE BIDIMENSIONAL 
- Frequentemente estamos interessados em analisar o 
comportamento do conjunto de duas ou mais variáveis 
aleatórias. 
- Um dispositivo bastante útil para se verificar a associação 
entre duas variáveis quantitativas, ou entre dois 
conjuntos de dados, é o gráfico de dispersão. 
- Suponha as variáveis X e Y extraídas de um estudo da 
carteira de clientes de uma companhia de seguros. 
X: número de anos de serviço de um agente da 
companhia de seguros 
Y: número de clientes atendidos por um agente da 
companhia de seguros. 
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Análise Bidimensional 
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Análise Bidimensional 
- Existem muitos tipos de associações possíveis; 
estudaremos somente o tipo de relação mais simples, 
que é a linear. 
- Definiremos uma medida que avalia o quanto a nuvem de 
pontos no gráfico de dispersão aproxima-se de uma 
reta. 
- Esta medida será definida de modo a variar num intervalo 
finito, especificamente, de -1 a +1. 
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Análise Bidimensional 
- O coeficiente de correlação (linear) entre duas 
variáveis é a medida do grau de associação (linear) 
entre elas e também da proximidade dos dados a 
uma reta. 
- Correlação, também chamada de coeficiente de 
correlação, indica a força e a direção do 
relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias. No 
uso estatístico geral, correlação se refere a medida da 
relação entre duas variáveis, embora correlação não 
implique causalidade. 
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Análise Bidimensional 
Definição: Dados n pares de valores (X1, Y1), (X2, Y2), 
(Xn, Yn), chamaremos de coeficiente de correlação 
entre as duas variáveis X e Y a 
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Análise Bidimensional 
Além do coeficiente de correlação entre duas variáveis 
existe, também, o calculo da covariância. 
 
A covariância entre duas variáveis aleatórias reais X e Y, é 
definida como a medida de como duas variáveis variam 
conjuntamente. A covariância é por vezes chamada de 
medida de dependência linear entre as duas variáveis 
aleatórias. Mede o grau de dependêncialinear entre 
duas variáveis. 
 
A covariância é muito usada em finanças para análise 
de rentabilidade de carteiras de investimento. 
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Análise Bidimensional 
- Definição: Dados n pares de valores (X1, Y1), (X2, Y2), 
(Xn, Yn), chamaremos de covariância entre as duas 
variáveis X e Y a: 
 
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Análise Bidimensional 
- Ou seja, a média dos produtos dos valores centrados 
das variáveis. 
- Com essa definição, o coeficiente de correlação 
pode ser visto como