ITA 1990Prova de Matematica

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ITA ITA ITA ITA ---- 1990 1990 1990 1990 
 
 
 
01.01.01.01. Dadas as funções ( ) ( ) ( )1 1x xf x e e= + − , { }0x∈ −ℝ 
( ) seng x x x= , x∈ℝ , podemos afirmar que: 
a) ambas são pares 
b) f é par e g ímpar 
c) f é impar e g é par 
d) f não par e nem ímpar e g é par 
e) ambas são ímpares 
 
 
02.02.02.02. Seja :f →ℝ ℝ a função definida por 
 
,
( ) ,
,
2
2 se 1
se 1 1
4 se 1
x x
f x x x
x
+ ≤ −

= − < ≤
 >
 
Lembrando que se A ⊂ ℝ então ( ) { | ( ) }1f A x f x A− = ∈ ∈ℝ 
considere as afirmações: 
I) f não é injetora e ([ , ]) { }1 3 5 4f − = 
II) f não é sobrejetora e ([ , ]) ([ , ])1 13 5 2 6f f− −= 
III) f é injetora e ([ , ]) [ , [1 0 4 2f − = − +∞ 
Então podemos garantir que: 
a) Apenas as afirmações II e III são falsas. 
b) As afirmações I e III são verdadeiras. 
c) Apenas a afirmação II é verdadeira 
d) Apenas a afirmação III é verdadeira 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
 
03.03.03.03. Seja a função : { } { }2 3f − → −ℝ ℝ definida por: 
( )
2 3
1
2
x
f x
x
−
= +
−
. 
Sobre sua inversa podemos garantir que: 
a) não está definida pois f não é injetora. 
b) não está definida pois f não é sobrejetora. 
c) está definida por ( )1
2
3
y
f y
y
− −=
−
, y ≠ 3 
d) está definida por ( )1
5
1
3
y
f y
y
− += −
−
, y ≠ 3. 
e) está definida por ( )1
2 5
3
y
f y
y
− −=
−
, y ≠ 3. 
 
 
 
04.04.04.04. Considere as equações 3z i= e ( )2 2 2 0z i z i+ + + = onde z é complexo. Seja 1S o conjunto das raízes 
da primeira equação e 2S o da segunda. Então: 
 
 
 
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a) 1 2S S∩ é vazio. 
b) 1 2S S∩ ⊂ ℝ 
c) 1S possui apenas dois elementos distintos. 
d) 1 2S S∩ é unitário. 
e) 1 2S S∩ possui dois elementos. 
 
 
05.05.05.05. A igualdade de 1 1z z+ = + , onde z∈ℂ , é satisfeita: 
a) Para todo z∈C tal que Re 0z = e Im 0z < . 
b) Para todo z∈C tal que Re 0z ≥ e Im 0z = . 
c) Para todo z∈C tal que 1z = . 
d) para todo z∈C tal que Im 0z = . 
e) Para todo z∈C tal que 1z < . 
Note: ℂ denota o conjunto dos números complexos, Re z a parte real de z e Im z a parte imagináría de 
z. 
 
 
06.06.06.06. Seja ( ) 5 416 78 5p x x x xα= − + ⋅ ⋅ ⋅ + − um polinômio de coeficientes reais tal que a equação ( ) 0p x = 
admite mais do que uma raiz real e ainda, a bi+ é uma raiz complexa desta equação com ab ≠ 0. 
Sabendo-se que 1/a é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de ( ) 0p x = que a 
soma destas raízes reais vale 7/8 enquanto que o produto é 1/64, o valor de α é: 
a) 32 b) 56 c) 71 d) 11 e) 0 
 
 
07.07.07.07. O conjunto das soluções reais da equação: 
ln(sen ) ln(sen )2 2x x= 
 é dado por: 
a) { | , }2x x k kπ π∈ = + ∈ℝ ℤ 
b) { | , }2x x k kπ π∈ = + ∈ℝ ℤ 
c) { | , }2x x k kπ∈ = ∈ℝ ℤ 
d) { | }1 1x x∈ − ≤ ≤ℝ 
e) { | }0x x∈ ≥ℝ 
 
 
08.08.08.08. Sabendo-se que 3 1x − é fator de 3 212 19 8 1x x x− + − então as soluções reais da equação: 
( ) ( ) ( )3 212 3 19 3 8 3 1 0x x xx − + − = 
somam: 
a) log3 12− b) 1 c) log3
1
12
3
− ⋅ d) -1 e) log3 7 
 
 
09.09.09.09. Numa progressão geométrica de três termos a razão é 2ae− , a soma dos termos é 7 enquanto que a 
diferença do último termo com o primeiro é 3. Nestas condições o valor de a é: 
a) ln 2 
b) − ln(5/2) 
c) ln 3 
d) − ln 2 
e) não existe numeral real a nestas condições. 
 
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10.10.10.10. Sejam as função f e g dadas por: 
:f →ℝ ℝ , 
,
( )
,
1 se 1
0 se 1
x
f x
x
 <
= 
≥
 
: { }1g − →ℝ ℝ , ( )
2 3
1
x
g x
x
−
=
−
 
Sobre a composta ( )( ) ( ( ))f g x f g x=� podemos garantir que: 
a) se 3 2x ≥ , ( ( )) 0f g x = 
b) se 1 3 2x< < , ( ( )) 1f g x = 
c) se 4 3 2x< < , ( ( )) 1f g x = 
d) se 1 4 3x< < , ( ( )) 1f g x = 
e) n.d.a 
 
 
11.11.11.11. Sejam os números reais α e x onde 0 2α π< < e 0x ≠ . Se no desenvolvimento de 
cos sen
8
1
x
x
α α ⋅ + ⋅ 
 
 , o termo independente de x vale 35/8, então o valor de α é: 
a) π/6 b) π/3 c) π/12 d) π/4 e) n.d.a 
 
 
12.12.12.12. Sejam a e b constantes reais positivas. Considere tg2 1x a t= ⋅ + e sec2 2 2 2y b t b= ⋅ − onde 0 ≤ t ≤ π/2. 
Então uma relação entre x e y dada por: 
a) ( )21
b
y x
a
= − , x a≥ . 
b) ( )
2
2
4
1
b
y x
a
= − , 1x ≥ 
c) ( )
2
1
b
y x
a
= − , x∀ ∈ℝ 
d) ( )
2
1
b
y x
a
= − − , 1x ≥ 
e) ( )
2
4
1
a
y x
b
= − , 1x ≤ 
 
 
13.13.13.13. Sabendo-se que θ é um ângulo tal que 
sen ( º ) cos ( º )2 60 60θ θ− = + , 
 então tgθ é uma número da forma 3a b+ onde: 
a) a e b são reais negativos. 
b) a e b são inteiros. 
c) 1a b+ = . 
d) a e b são pares. 
e) 2 2 1a b+ = 
 
 
14.14.14.14. Considere a matriz 
sen
log sen3
2
10 2
x
A
x
 
=  
 
 
onde x é real. Então podemos afirmar que: 
 
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a) A é inversível apenas para 0x > . 
b) A é inversível apenas para 0x = . 
c) A é inversível para qualquer x. 
d) A é inversível apenas para x da forma ( )2 1k π+ , k inteiro. 
e) A é inversível apenas para x da forma 2kπ , k inteiro. 
 
 
15.15.15.15. Sejam A, B e C matrizes quadradas n n× tais que A e B são inversíveis e tABCA A= , onde tA é a 
transposta da matriz A. Então podemos afirmar que: 
a) C é inversível e det det ( ) 1C AB −= . 
b) C não é inversível pois det 0C = . 
c) C é inversível e det detC B= . 
d) C é inversível e det (det ) det2C A B= ⋅ . 
e) C é inversível e det det detC A B= . 
Nota. det X denota o determinante da matriz quadrada X. 
 
 
16.16.16.16. Dizemos que dois sistemas da equações lineares são equivalentes se e somente se toda solução de um 
qualquer dos sistemas for também uma solução do outro. 
Considere as seguintes afirmações: 
I) Dois sistemas de equações lineares 3 3× , ambos homogêneos, são equivalentes. 
II) Dois sistemas de equação lineares, 3 3× , ambos indeterminados, não são equivalentes. 
III) Os dois sistemas de equações lineares dados a segui são equivalentes: 
5 2 3
8 4
10 4 2 14
x y x y z
y z x y z
x y z x y z
+ = + − = 
 + = − + = 
 + + = − + = 
 
De acordo com a definição dada podemos dizer que: 
a) As três afirmações são verdadeiras. 
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. 
e) As três afirmações são falsas. 
 
 
17.17.17.17. Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas , , ...,1 2 nx x x dado por: 
( ) ( )
( ) ( )
.......................................................
( ) ( )
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1 1 0
1 1 0
1 1 0
n
n
n n n n
a x a x a n x
a x a x a n x
a x a x a n x
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + − =
 + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + − =


 + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + − =
 
onde , , ...,1 2 na a a são números reais dados. Sobre a solução 
deste sistema podemos afirmar que: 
a) Se 0ia > , i = 1, 2,...., n o sistema possui uma única solução. 
b) Se 0ia < , i = 1, 2,...., n o sistema possui uma única solução. 
c) Se 0ia > , i = 1, 2,...., n o sistema é impossível. 
d) Se 0ia < , i = 1,2,...., n o sistema é impossível. 
e) O sistema possui infinitas soluções quaisquer que sejam os valores dos números , , ...,1 2 na a a dados. 
 
 
 
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18.18.18.18. Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande 
tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois 
marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo 
serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguintes o conteúdo de um pequeno 
baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois 
marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um 
deles teve a idéia na madrugada de pegar a sua parte prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as 
moedas em dois grupos idênticos e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, 
jogou - a ao mar agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais 
tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois 
montes iguais e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Jogou - a ao mar como agradecimento pela sua 
sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manha os dois marinheiros se sentiram 
constrangido em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas do baú em 
dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada um dos marinheiros a sua parte do prêmio e 
tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. 
Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiro foi de 29/17 
então o número de moedas que havia originalmente no baú era: 
a) 99 b) 95 c) 135 d) 87 e) n.d.a 
 
 
19.19.19.19. Na figura abaixo O é centro de uma circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por E e F é 
tangente a esta circunferência e que a medida dos ângulos 1, 2 e 3 são dadas, respectivamente, por 49À, 
18À, 34À, determinar a medida dos ângulos 4, 5, 6, 7. Nas alternativas abaixo considere os valores dados 
iguais às medidas de 4, 5, 6 e 7, respectivamente. 
 
 
 
a) 97À, 78À, 61À, 26À° 
b) 102À, 79À, 58À, 23À° 
c) 92À, 79À, 61À, 30À° 
d) 97À, 79À, 61À, 27À° 
e) 97À, 80À, 62À, 29À° 
 
 
20.20.20.20. Sejam as retas (r) e (s) dadas respectivamente pelas equação 3 4 12 0x y− + = e 3 4 4 0x y− + = . 
Considere (l) o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente (r) e 
(s). Uma equação que descreve (l) é dada por: 
a) 3 4 8 0x y− + = 
b) 3 4 8 0x y+ + = 
c) 1 0x y− + = 
d) 0x y+ = 
e) 3 4 8 0x y− − = 
 
 
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21.21.21.21. Seja C o centro da circunferência 2 2 6 2 0x y y+ − = . Considere A e B os pontos de intersecção desta 
circunferência com a reta 2y x= . Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices A, B e C é: 
a) 6 2 3+ 
b) 4 3 2+ 
c) 2 3+ 
d) 5 3 2+ 
e) n.d.a 
 
 
22.22.22.22. Considere a reta r mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta 2 3 7 0x y− + = 
intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto (1/4, 1/6) à reta r é: 
a) 
5 3
2
 b) 
4
13
 c) 3 13 d) 
2 3
7
 e) 
2
3
 
 
 
23232323.... Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor 
lado de um triângulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triângulo ABC é 
semelhante ao triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm3 é: 
a) 
2
3
x3 b) 3
2 2
5
x c) 3
3 3
10
x d) 3
3
10
x e) n.d.a 
 
 
24.24.24.24. Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, 
é perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos de 45À. Deste modo, o 
volume da pirâmide será igual a: 
a) 
1
2 2 2
6
− b) 
1
2 2
6
− c) 
1
2 2
3
− d) 
1
2 2 1
6
− e) n.d.a 
 
 
25. 25. 25. 25. Considere a região do plano cartesiano xOy definida pelas desigualdades 1x y− ≤ , 1x y+ ≥ e 
( )2 21 2x y− + ≤ . O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo x é igual a: 
a) 
4
3
π b) 
8
3
π
 c) ( )4 2 2
3
π− d) ( )8 2 1
3
π− e) n.d.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO 
 
01. 01. 01. 01. C 
02. 02. 02. 02. C 
03. 03. 03. 03. E 
04.04.04.04. D 
05. 05. 05. 05. B 
06. 06. 06. 06. C 
07. 07. 07. 07. A 
08. 08. 08. 08. A 
09. 09. 09. 09. D 
10. 10. 10. 10. C 
11.11.11.11. D 
12. 12. 12. 12. D 
13.13.13.13. B 
14.14.14.14. C 
15.15.15.15. A 
16.16.16.16. E 
17.17.17.17. E 
18.18.18.18. B 
11119.9.9.9. D 
20.20.20.20. A 
21.21.21.21. E 
22.22.22.22. B 
23.23.23.23. C 
24.24.24.24. A 
25.25.25.25. B