gaalLista8 - 3 prova

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GAAL- lista 8 (Uhh! Finalmente)
19 de Novembro de 2014
1. Para cada uma das matrizes A sime´tricas, determine uma matriz P tal que P−1AP e P tP
sejam diagonais, isto e´, P diagonaliza A ortogonalmente
(a) A =
 −2 0 360 −3 0
−36 0 −23

(b) A =

−7 24 0 0
24 7 0 0
0 0 −7 24
0 0 24 7

2. Para cada uma das matrizes A sime´tricas, determine uma matriz P tal que P−1AP seja
diagonal e P−1 = P t, isto e´, P diagonaliza A ortogonormalmente
(a) A =
(
4 1
1 4
)
(b) A =
(
6 2
√
3
2
√
3 7
)
(c) A =
(
6 5
5 4
)
3. Determine o gra´fico das seguintes coˆnicas
(a)
(x− 5)2
4
+
(y − 1)2
9
= 1
(b)
(x− 5)2
4
− (y − 1)
2
9
= 1
(c)
(x− 5)2
4
− (y − 1)
2
9
= −1
(d)
(x− 5)2
4
=
(y − 1)2
9
(e)
x− 5
4
=
(y − 1)2
9
(f)
(x− 5)2
4
=
y − 1
9
4. Determine a equac¸a˜o da elipse com centro em (3,−6) e eixo maior de comprimento 4 paralelo
ao eixo x e eixo menor de comprimento 3.
5. Determine uma hipe´rbole com focos em (−1, 2) e (−1,−4) e que contenha o ponto (−1, 0).
6. Determine o ponto (a, b) que o centro de cada uma das coˆnicas, fac¸a a mudanc¸a de coorde-
nadas
{
x′ = x− a
y′ = y − b e obtenha uma coˆnica centrada em (0, 0) e identifique cada uma.
(a) x2 − 6x+ 4y + 10 = 0
(b) x2 − 6x+ 4y2 − 24y + 10 = 0
(c) x2 − 6x− 4y2 − 24y + 10 = 0
(d) x2 − 6x+ y2 − 24y + 10 = 0
7. Fac¸a a mudanc¸a de coordenadas
{
x′ = 3
5
x+ 4
5
y
y′ = −4
5
x+ 3
5
em cada uma das equac¸o˜es das seguintes
coˆnicas e determine a equac¸a˜o nas novas coordenadas (x′, y′)
(a) x2 + y2 = 1
(b) 2x2 + y2 = 1
(c) 2x2 − y2 = 1
(d) 2x2 = y
(e) (x− 5)2 + (y − 2)2 = 1
(f) 2(x− 5)2 + (y − 2)2 = 1
(g) 2(x− 5)2 − (y − 2)2 = 1
(h) 2(x− 5)2 = y − 2
8. Escreva cada uma das seguintes equac¸o˜es da forma (x, y)A(x, y)t +B(x, y)t = C, onde A e´
uma matriz 2× 2 sime´trica, B e um vetor em R2 e C e´ uma constante.
(a) 3x2 + 6xy + y2 + 6x− 7y + 9 = 0
(b) x2 + 8xy + 7y = 1
(c) 14x2 + 2x+ 6y2 + 8xy + y − 3 = 0
(d) x+ 2y + 5xy = 1
9. Fac¸a UMA mudanc¸a de varia´veis adequada de tal forma que os eixos de simetria da coˆnica
fiquem paralelos ao eixos coordenados e fac¸a os esboc¸os
(a) 9x2 − 4xy + 6y2 = 30
(b) 21x2 + 6xy + 13y2 = 132
(c) 5x2 + 12xy = 36
10. Identifique a coˆnica, fac¸a mudanc¸as de varia´veis de tal forma que os eixos de simetria da da
coˆnica fiquem paralelos ao eixos coordenados e fique centrada na origem e fac¸a o esboc¸o
(a) 9x2 − 4xy + 6y2 − 12x+ 4y = 30
(b) 21x2 + 6xy + 13y2 + 20x = 132
(c) 5x2 + 12xy − 12√13x = 36
(d) x2 − y2 + 2√3xy + 6x = 0
(e) 8x2 + 8y2 − 16xy + 33√2x− 31√2y + 70 = 0
11. Determine justificando sua resposta se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas.
(a) Toda matriz sime´trica e´ diagonaliza´vel ortonormalmente
(b) Quando sobre uma curva fazemos a mudanc¸a de coordenadas
{
x′ = x cos θ + y sen θ
y′ = −x sen θ + y cos θ ,
obtemos a mesma curva mas vista deste um sistema coordenado que forma aˆngulo θ
com respeito ao original. Em outras palavras, no novo sistema coordenado a curva e´
vista como se estive´ssemos rotacionando a curva um aˆngulo θ
(c) Se Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 e´ tal que B2 − 4AC > 0, enta˜o a equac¸a˜o
sempre representa uma hipe´rbole.
(d) Se Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 e´ tal que B2 − 4AC < 0, enta˜o a equac¸a˜o
sempre representa uma elipse.