Gabarito Geometria Analítica - Módulo IV

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Gabarito das Autoatividades
GEOMETRIA ANALÍTICA
(MATEMÁTICA)
2010/1
Módulo IV
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Represente no Plano Cartesiano Ortogonal os seguintes pontos:
a) A (3,0)
b) P(5,0)
c) M(-2,0)
d) B(2,3)
e) C(-1,3)
R.:
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2 Dê as coordenadas dos pontos assinalados no plano cartesiano abaixo:
R.: A (3, 4); B(-3, 0); C(0, 2); D(4, 0); E(0, -4); F(-2, -3).
3 Em que quadrante se encontra cada um dos seguintes pontos:
a) (2,-5)
b) (-1,3)
c) (4,4)
d) (-5,-1)
e) (0,-3)
f) (2,0)
g) (-1,1)
R.: 
a) IV quadrante; 
b) II quadrante;
c) I quadrante;
d) III quadrante;
e) Sobre o eixo 0y;
f) Sobre o eixo 0x; 
g) II quadrante.
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4 Determine o valor de k, sabendo que o ponto A (2k-1, - k+2) pertence à 
bissetriz dos quadrantes ímpares.
R.: k = 1
5 O ponto P(3k+6, -k+2) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, per-
gunta-se:
a) Qual a ordenada do ponto P?
b) Em que quadrante se encontra o ponto P?
R.: k = - 4, o ponto é P(-6 6)
a) A ordenada do ponto P é 6.
b) O ponto P se encontra no segundo quadrante.
TÓPICO 2
1 Encontre a distância entre os pontos A(-3, 1) e B(4, 3).
R.: d(A, B) ≅7,28
2 A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. Encontre o valor de y.
R.: Pode ser (-2, 13) ou (-2, 1), ambos estão a 10 unidades de distância do 
ponto B.
3 Encontre o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos A (2,-1) 
e B(6, 3).
R.: Assim, o ponto C(0, 5)
4 Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, encontre seu 
ponto médio.
R.: M(4, 8)
5 Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2,4) 
o seu ponto médio, calcule as coordenadas do ponto B.
R.: B(1, 6)
6 Calcule a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).
R.: 27 unidades quadradas
7 Encontre o valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam 
colineares.
R.: x = 10
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8 Encontre os três pontos de simetria do ponto A (-1,6).
R.: (-1, -6); (1, 6); (1, -6)
9 Num sistema de coordenadas cartesianas, com suas unidades em cen-
tímetros, localizamos três pontos: A(-2, 3), B(3, -3) e C (6, 3). Una os três 
pontos, formando um triângulo e calcule sua área em cm2.
R.: O triângulo tem 24 cm² de área.
TÓPICO 3
1 Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
a) A (-1, 3) e B(-4, -3).
b) C(2, -5) e D(2, 5).
c) E (9, -4) e F(1, -4).
d) G(-5, -3) e H(-4, 3).
R.:
a) 2
b) Não existe.
c) Zero
d) 6
2 Encontre o valor de a para que a declividade (m) da reta que passa pelos 
pontos A(a, 5) e B(3, 8) seja 3.
R.: a = 2
3 Dado α = 120o, obter o coeficiente angular da reta r.
R.: 3− ou – 1,7
TÓPICO 4
1 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(4, 10) e tem coeficiente 
angular 3.
R.: 1. 3x – y – 2 = 0
2 Sabendo que uma reta tem uma inclinação de 45o e passa pelo ponto P(5, 
-3), determine sua equação.
R.: x – y – 8 = 0
3 Dados os pontos A (2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa 
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por estes dois pontos.
R.: Primeiro, encontramos o valor de m = 1/3, depois, calculamos a equação 
da reta: x – 3y + 7 = 0
4 Encontre a equação geral da reta com coeficiente angular m = 
e passa pelo ponto P (2, -5).
R.: 4x + 5y + 17 = 0
5 Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A (-3, 7) e tem 
coeficiente angular igual a 2.
R.: y = 2x + 13
6 Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 1) e B 
(4, 6).
R.: y = 
2
5
x – 4
7 Dada a equação da reta: 2x – 3y + 5 = 0, escreva-a na forma reduzida.
R.: y = 
3
5
3
2
+x
8 Dada a equação da reta 2x + 3y -6 = 0, determine seu coeficiente angular 
e linear.
R.: m = 
3
2− ; n = 2
9 Considere a equação 3x + 4y – 12 = 0 de uma reta r. Escreva esta equação 
na sua forma segmentária.
R.: 1
34
=+
yx
10 Encontre a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A (3, 2) 
e B (-1, - 6) e faça seu gráfico.
R.: 1
42
=−
yx , cujo gráfico é:
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TÓPICO 5
1 Determine a posição da reta r, de equação: 6x + 7y + 3 = 0, em relação à 
reta s, de equação: 12x + 14y – 21 = 0.
R.: As retas r e s são paralelas.
2 Qual a posição da reta r, de equação: 2x – y + 5 = 0, em relação à reta s, 
de equação 5x + 2y – 10 = 0.
R.: As retas r e s são concorrentes, pois possuem coeficientes angulares 
diferentes.
3 Considere as equações r e s de equações: x + 5y – 35 = 0 e 3x + ky –27 
= 0, respectivamente. Encontre o valor de k para que as retas r e s sejam 
concorrentes.
R.: k ≠ 15
4 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A (11, 2) e é paralela à 
equação 2x – 3y + t = 0.
R.: 2x – 3y –16 = 0
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5 Dados dois pontos A (1, 3) e B (-3, 7), calcule a equação da reta que passa 
pelo ponto médio do segmento AB, e pela intersecção das retas r e s de 
equações: 2x + y – 10 = 0 e x – y – 2 = 0, respectivamente.
R.: 3x + 5y – 22 = 0
6 Verifique se as retas 7x – 4y + 5 = 0 e 4x + 7y – 9 = 0 são perpendicu-
lares.
R.: Sim, as retas são perpendiculares.
7 Calcule o valor de k para que as retas 3x – 3y + 7 = 0 e kx + 12y – 15= 0 
sejam perpendiculares.
R.: k = 12.
8 Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (-1, -6) e é perpen-
dicular à reta r de equação: x – 3y – 8 = 0.
R.: 3x + y + 9 = 0.
TÓPICO 6
1 Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
R.: dpr = 4
2 Determine a distância do ponto A (2, 3) à reta r de equação 3x – y – 17= 0.
R.: dpr = 
3 Qual o valor positivo de k para que a distância do ponto P (0, 1) à reta de 
equação 12x + 16y + k = 0 seja 4,5?
R.: k = 74
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.
R.: A equação reduzida de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é 
dada por
2 Determine a equação reduzida da circunferência de centro em (3, 5) e 
raio igual a 4.
3 Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio r = 4.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada por
Esse exercício, em particular, pode ser resolvido de duas formas diferentes: 
ou aplicando diretamente a fórmula acima, ou utilizando a equação reduzida 
encontrada no exercício 2 e desenvolvê-la. Faremos os dois processos.
(i) Substituição direta dos dados na fórmula:
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(ii) Através da equação reduzida:
Vimos no exercício 2 que a equação reduzida da circunferência de centro 
(3,5) e raio 4 é dada por Vamos desenvolvê-la 
para encontrar a equação geral. 
4 Determine o centro e o raio da circunferência x² + y² – 10x + 4y – 20 = 0.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por Assim, para encontrar as coorde-
nadas do centro C e do raio r da circunferência cuja equação é
 basta compará-la com a equação acima.
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Portanto o centro da circunferência descrita pela equação acima é C(5, 
-2) e seu raio é 7.
5 Determine o valor de k para que a equação X2 + y2 + 4x – 2y + k = 0 repre-
sente uma circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por Assim, para encontrar o valor de k 
na equaçãode tal forma que ela represente uma 
circunferência, vamos compará-la com a equação acima.
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Agora, para que os dados acima representem as coordenadas 
de uma circunferência, o raio precisa ser maior do que zero. Então
 Portanto, para que a equação represente 
uma circunferência, k pode assumir qualquer valor real menor do que 5.
6 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y + 25 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por Assim, para que a equação
 represente uma circunferência, precisamos 
compará-la com a equação acima e encontrar as coordenadas do seu centro 
C e o seu raio r que, obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
Portanto a equação não é de uma circunferência, pois r = 0.
7 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y - 49 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por Assim, para que a equação 
 represente uma circunferência, precisamos 
compará-la com a equação acima e encontrar as coordenadas do seu centro 
C e o seu raio r que, obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
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Portanto a equação descreve uma circunferência de centro C(3,4) e raio.
TÓPICO 2
1 Determine as posições dos pontos P (1, 1); Q (-2, 3) e R (-1, 1) em rela-
ção à circunferência cuja equação é X2 + y2 + 5x + 7y – 14 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas dos pontos P, Q e R na equação da 
circunferência e observar o resultado.
O ponto P pertence à circunferência, porque satisfaz a equação – a 
distância das coordenadas de P ao centro da circunferência é igual ao raio.
O ponto Q é exterior, porque a distância das coordenadas de Q ao 
centro da circunferência é maior do que o raio.
O ponto R é interior, porque a distância das coordenadas de Q ao 
centro da circunferência é menor do que o raio.
2 Qual é a posição do ponto P (3,2) em relação à circunferência (x – 1)2 
+(y-1)2 = 4?
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunfe-
rência e observar o resultado.
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O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao 
centro da circunferência é 5, ou seja, maior do que o raio r=4.
3 Encontre a posição do ponto A (1, em relação à circunferência de 
equação: x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto A na equação da circunfe-
rência e observar o resultado.
O ponto A é interior, porque a distância das coordenadas de A ao 
centro da circunferência é menor do que o raio.
4 Determine p de modo que o ponto A (7, 9) seja exterior à circunferência 
de equação x² + y² – 2x – 2y – p = 0.
R.: Vamos encontrar o valor de p para que o ponto A seja exterior a circun-
ferência, ou seja, a distância entre o seu centro C e o ponto A tem que ser 
maior do que o raio. Para isso, temos que ter a seguinte situação: 
Portanto p pode assumir qualquer valor real menor do que 98.
 
5 Determine a posição do ponto P (-1, - 4) em relação à circunferência x² + 
y² – 6x + 4y + 3 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunfe-
rência e observar o resultado.
O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao 
centro da circunferência é maior do que o raio.
TÓPICO 3
1 Determine a posição da reta y = x + 5 em relação à circunferência de 
equação X2 + y2 – 6y +5 = 0.
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R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circun-
ferência λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações 
e observar as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a 
intercepta em 2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tan-
gente à λ, pois a intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r 
é exterior à λ, pois não há ponto em comum.
Substituindo y em λ,
O sistema possui duas soluções distintas e, portanto, a 
circunferência e a reta são secantes, já que possuem dois 
pontos em comum.
2 Qual é a posição da reta 4x + 3y = 0 em relação à circunferência x² + y² 
+ 5x – 7y – 1 = 0 ?
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circun-
ferência λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações 
e observar as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a 
intercepta em 2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tan-
gente à λ, pois a intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r 
é exterior à λ, pois não há ponto em comum.
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Substituindo y em λ,
Multiplicando os dois lados da igualdade por 9.
Vamos calcular :∆
Mesmo sem resolver completamente o sistema, como 0>∆ , segue que 
o sistema apresenta duas soluções distintas. Portanto, a circunferência e a 
reta possuem dois pontos em comum, implicando em serem secantes.
3 Qual é a posição da reta 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência 
x² + y² – 2x = 0?
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferên-
cia λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
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Substituindo y em λ,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 144,
Vamos calcular :∆
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Mesmo sem resolver completamente o sistema, como 0=∆ , segue 
que o sistema apresenta duas soluções iguais. Portanto, a circunferência e 
a reta possuem apenas um ponto em comum, implicando serem tangentes.
4 Encontre as coordenadas dos pontos onde a circunferência x² + y² + 2x + 
4y – 8 = 0 intercepta a reta cuja equação é 3x + 2y + 7 = 0.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas:
Substituindo y em λ,
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Multiplicando ambos os lados da igualdade por 4,
Vamos calcular :∆
Assim,
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Substituindo agora os valores encontrados para x em y,
Portanto os pontos em que a reta r intercepta a circunferência λ são 
(1, -5) e (-3, 1).
5 Determine o comprimento da corda determinada pela reta x – y = 0 sobre 
a circunferência (x + 3)2 +(y-3)2 =36. 
R.: Para determinar o comprimento da corda de uma reta r sobre uma circun-
ferência λ, precisamos primeiramente encontrar os pontos em que r intercepta 
λ. Feito isso, calculamos a distância entre esses pontos.
Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta r, 
precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas:
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Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x,
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A(-3,-3) e B(3,3). Vamos 
agora determinar a distância entre eles.
Portanto, o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a cir-
cunferência λ é de 26 .
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6 Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da reta x – 2y = 0 
coma circunferência x² + y² = 5.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela 
reta r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas:
Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x,
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (-2, -1) e B(2,1). 
7 Dada a reta x + y – 5 = 0 e a circunferência x² + y² = 25, obtenha os pontos 
de intersecção entre reta e circunferência e calcule o comprimento da corda 
que a reta determina sobre a circunferência.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela 
reta r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
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Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x, 
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Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (5,0) e B (0,5). Vamos 
agora determinar o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ. Para isso, basta calcularmos a distância entre os pontos 
A e B.
Portanto o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ é de 25 .
TÓPICO 4
1 Determine a posição relativa da circunferência x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0 em 
relação à circunferência x² + y² + 6x + 2y + 1 = 0.
R.: Para determinar a posição relativa entre de uma circunferência 1λ em 
relação a uma circunferência 2λ precisamos calcular a distância entre os 
seus respectivos centros ( )111 ,baC e ( )222 ,baC , e compará-la com a soma 
dos raios 1r e 2r . 
⇒+< 2121 ),( rrCCd 1λ secante em relação a 2λ ;
⇒+= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente externamente a 2λ ;
⇒−= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente internamente a 2λ ;
⇒+> 2121 ),( rrCCd 1λ e 2λ não possuem pontos em comum.
Vamos então encontrar os centros ( )111 ,baC e ( )222 ,baC e os raios 
1r e 2r de 1λ e 2λ respectivamente. Para isso, precisamos comparar as 
equações de ambas com a equação geral da circunferência 
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Lembre que o raio é sempre 
positivo, pois é uma distância!
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Calculemos agora a distância entre os centros
Note que
Portanto, 1λ secante em relação à 2λ .
2 Determine as coordenadas dos pontos comuns, se existirem, entre as 
circunferências x² + y² – 16x + 48 = 0 e x2 + y2 – 4x =0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a 1λ e 2λ , basta 
resolver o sistema formado pelas suas equações.
Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e, depois, somá-la à se-
gunda equação:
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Portanto as duas equações só possuem um ponto em comum, de 
coordenadas (x,y)=(4, 0).
3 Qual é a posição relativa das circunferências x² + y² = 49 e x² + y² –6x – 8y 
+ 21 = 0?
R.: Para determinar a posição relativa entre de uma circunferência 1λ em 
relação a uma circunferência 2λ precisamos calcular a distância entre os 
seus respectivos centros ( )111 ,baC e ( )222 ,baC , e compará-la com a soma 
dos raios 1r e 2r . 
⇒+< 2121 ),( rrCCd 1λ secante em relação a 2λ ;
⇒+= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente externamente a 2λ ;
⇒−= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente internamente a 2λ ;
⇒+> 2121 ),( rrCCd 1λ e 2λ não possuem pontos em comum.
Vamos então encontrar os centros ( )111 ,baC e ( )222 ,baC e os raios 
1r e 2r de 1λ e 2λ respectivamente. Para isso, precisamos comparar as 
equações de ambas com a equação geral da circunferência
Substituindo x na segunda equação,
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Lembre que o raio é sempre 
positivo, pois é uma distância!
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Note que
 2121 r),( 927 5 rCCd +<⇒=+< . 
Por outro lado, 2121 r),( 27 5 rCCd −=⇒−= . 
Portanto, as circunferências são internamente tangentes.
4 Encontre os pontos de intersecção das circunferências x² + y² – 2x – 3
= 0 e x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a 1λ e 2λ , basta 
resolver o sistema formado pelas suas equações.
Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e, depois, somá-la à 
segunda equação:
Calculemos agora a distância entre os centros ( )0,01C e ( )4,32C . 
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Substituindo x na primeira equação,
Visto que 1−= yx , segue
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Determine a equação da elipse de focos F1 (3, 0) e F2 (-3, 0) e vértices, que 
são as extremidades do eixo maior A1 (5,0) e A2 (-5,0). 
R.: A equação de uma elipse de centro ( )00 , yxC , eixo maior a e eixo 
menor 2b é dada por Quando não temos os valores 
de a e, podemos determiná-los. Tendo os dois focos 1F e 2F , os vértices 
(extremidades dos eixos maiores) 1A e 2A , e as extemidades dos eixos 
menores 1B e 2B ,
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Vamos determinar a equação da elipse.
Assim, a equação da elipse é dada por:
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2 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses 
de equações:
a) 
b)4x2 +3y2=12
R.: 
a) Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma 
geral:
Pelas contas feitas acima, temos que o eixo maior 21 AA da elipse mede 
10 unidades de medida, enquanto que o eixo menor 21BB da elipse mede 
8 unidades de medida.
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos focos 1F e 2F .
O fato de o centro da elipse ser a origem e nos focos, nesta elipse, 
estarem no eixo OX, implicam as abscissas de 1F e 2F serem zero. Além 
disso, como a distância do centro da elipse até 1F é igual à distância do 
centro até 2F , basta determinarmos uma das ordenadas: se 1F (x,0), auto-
maticamente, 1F (-x,0). Logo
Por outro lado, sabemos que cFFd 2),( 21 = . Desta forma, encontrando 
o valor de c, encontraremos as abscissas de ambos os focos.
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Portanto as coordenadas dos focos são F1(- 3, 0) e F2(3, 0).
b) Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma ge-
ral. Para isso, temos que reescrever a equação dada de uma maneira mais 
conveniente:
Note que o número que aparece dividindo 2x é menor do que o nú-
mero que divide 2y . Isso significa que o eixo maior encontra-se no eixo das 
ordenadas e, portanto, os focos estão no eixo OY:
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Pelas contas feitas acima, o eixo maior da elipse é 21 AA e mede 4 uni-
dades de medida, enquanto o eixo menor é 21BB e mede 32 unidades 
de medida.
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos focos 1F e 2F .
O fato de o centro da elipse ser a origem e de, nesta elipse, os focos fica-
rem no eixo VERTICAL, implicam as ordenadas de 1F e 2F serem zero. 
Além disso, como a distância do centro da elipse até 1F é igual à distância 
do centro até 2F , basta determinarmos uma das abscissas: se 1F ( 0,y), 
automaticamente, 1F (0,-y). Logo
Por outro lado, sabemos que cFFd 2),( 21 = . Desta forma, encon-
trando o valor de c, encontraremos as ordenadas de ambos os focos.
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Portanto as coordenadas dos focos são F1( 0,-1) e F2(0,1).
3 Calcule a excentricidade das elipses:
R.: Para calcular a excentricidade de uma elipse, precisamos determinar os 
valores c e a.
Neste caso,
Agora podemos determinar a excentricidade desta elipse:
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Neste caso,
Agora podemos determinar a excentricidade desta elipse:
4 Em uma elipse, o centro é (-2, 4), umdos focos é (-2, 7) e uma das extremi-
dades do eixo menor é (-3, 4). Determine a equação dessa elipse.
R.: A equação de uma elipse de centro ( )00 , yxC , eixo maior a2 e eixo 
menor b2 é dada por
dependendo da posição da elipse.
O exercício nos fornece o centro da elipse ( )( )4,2−C , um de seus focos 
( ))7,2(−F e a extremidade do eixo menor ( ))4,3(−B . Com esses dados, 
podemos esboçar a elipse:
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Neste caso, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo OY. Logo, 
utilizaremos a equação
Dado que o centro é ( )4,2−C , temos 
Quando não temos os valores de a e b , podemos determiná-los. 
Tendo uma das extremidades do eixo menor B , podemos encontrar a 
distância de B ao centro C , que é exatamente o valor de b :
Já conhecemos o centro da elipse e encontramos o valor de b . 
Para exibirmos a equação, falta-nos encontrar o valor de a: a distância 
da extremidade do eixo maior até o centro. Não foi dado pelo problema a 
extremidade do eixo maior A . Por outro lado, tendo um dos focos F, podemos 
encontrar a distância de F ao centro C , que é exatamente o valor de c :
De posse desse valor, usamos o Teorema de Pitágoras para encon-
trar a :
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Assim, a equação da elipse é dada por:
TÓPICO 2
1 Calcule a distância focal de uma hipérbole cujos eixos medem 30 cm e 
16 cm.
R.: O exercício nos fornece as medidas dos eixos real a2 e imaginário b2 
da hipérbole (30 cm e 16 cm), sem especificar quem é cada um. Para esse 
exercício, essa informação não será importante, uma vez que, para calcular 
a distância focal c2 , utilizaremos o teorema de Pitágoras:
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Assim c = 17 cm e, portanto, a distância focal é igual a 34 cm.
2 A distância focal de uma hipérbole mede 58 mm e seu eixo imaginário mede 
42 mm. Calcule a medida do semieixo real.
R.: O exercício nos fornece as medidas do eixo imaginário b2 da hipérbole (42 
mm) e da distância focal c2 (58 mm). Vamos calcular a medida do semieixo 
real a através do teorema de Pitágoras:
3 Calcule a excentricidade de uma hipérbole cujos eixos, real e imaginário, 
medem 4 cm e 6 cm, respectivamente.
R.: Vamos calcular a excentricidade da hipérbole de eixos real 4 cm e ima-
ginário 6 cm. Para isso, precisamos determinar a distância focal:
Como a excentricidade é dada pela fórmula , segue que 
4 A excentricidade de uma hipérbole é igual a 3/2 e a medida de seu eixo 
imaginário é . Calcule a medida do eixo real dessa hipérbole.
R.: Se a excentricidade da hipérbole é igual a 
2
3 , segue que
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Queremos determinar o valor do eixo real desta hipérbole a2 . O problema 
não nos fornece o valor da distância focal c2 , mas sim o eixo imaginário b2 , 
que é igual a 56 . Assim,
Observe que temos duas equações com duas incógnitas. Vamos então 
resolver o sistema formado por elas:
Substituindo o valor de c na segunda equação,
Note que nem precisamos encontrar o valor da variável c , uma vez que 
estamos procurando exatamente o valor de a . Portanto, o semieixo real da 
hipérbole mede 6 unidades de medida.
5 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das hipérboles 
de equações:
R.: Vamos encontrar as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das 
hipérboles a seguir, mas, antes, faremos uma pequena recapitulação sobre 
o assunto.
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Uma hipérbole com eixo real horizontal possui equação geral 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
, onde a é o semieixo real e b é o semieixo imaginário. Podemos 
determinar a distância focal 2c através da fórmula .222 bac += O fato de 
2c ser a distância focal significa que cFFd 2),( 21 = . O ponto médio desta 
distância é exatamente o centro da hipérbole. Assim, se o centro for exata-
mente a origem (C(0,0)), segue que cFCdCFd == ),(),( 21 . Mais:
Ainda, se a hipérbole tem eixo real horizontal, o valor da ordenada de 
F é o mesmo da ordenada de C, neste caso,
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Segue que
Esta hipérbole tem eixo real horizontal. Logo o eixo real mede 
42.22 ==a e o eixo imaginário mede 322 =b .
Vamos determinar as coordenadas dos focos )0,(1 cF − )0,(2 cF
Logo as coordenadas dos focos são F1(- 7 , 0) e F2( 7 , 0).
Note que esta hipérbole possui o eixo real vertical. Nesse caso, e 
sabendo que esta hipérbole Tb está centrada na origem do plano cartesiano, 
os focos possuem ordenada nula. Repetindo o procedimento feito no início 
do exercício (tente repetir os passos!), podemos concluir que 
Segue que
Os eixos real e imaginário são dados automaticamente pela equação: 
Eixo real: 222 =a
Eixo imaginário: 522 =b
Coordenadas dos focos: Para determiná-las, precisamos encontrar o 
valor de c
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Portanto as coordenadas dos focos são F1(0,- 7 ) e F2(0, 7 ).
Vamos reescrever a equação acima de uma maneira mais conveniente:
Agora sim! Esta hipérbole também possui o eixo real vertical. Logo
Eixo real: 522 =a
Eixo imaginário: 42.22 ==b
Coordenadas dos focos:
Portanto, as coordenadas dos focos são F1(0, -3) e F2(0, 3).
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TÓPICO 3
1 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0, -2) e cuja dire-
triz é a reta y = 2.
R.: Parábola de foco F(0,-2) e diretriz y=2:
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2 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0,5) e cuja dire-
triz é a reta y = 5.
R.: Parábola de foco F(0,-5) e diretriz y=5
3 Obtenha a equação da parábola de foco F(-3, 0) e vértice V(0, 0).
R.: Parábola de foco F(-3,0) e vértice V(0,0):
Como a parábola tem o vértice na origem, segue que a diretriz da parábola 
é a reta x=3 (a distância da diretriz ao vértice é a mesma distância do foco 
ao vértice).
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4 Encontre as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de 
equação x2 – 8y = 0.
R.: Sabemos que, definindo o foco da parábola de vértice na origem como 
 a sua diretriz será e sua equação será y2 = 2px . Por outro 
lado, se o foco da parábola for a sua diretriz será e sua 
equação será x2 = 2py .
Equação da parábola: 082 =− yx
Reescrevendo-a de uma maneira mais conveniente, temos 
Portanto as coordenadas do foco são (0, 2) e a equação da diretriz é 
y = -2.
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5 Determine as coordenadas do foco e a equação da diretriz de cada uma 
das seguintes parábolas de equações:
a) x2 = 10y
b) y2 = -7x
c) y2 – 6x = 0
R.: 
a) Equação da parábola: 
Portanto as coordenadas do foco são 





2
5,0F e a equação da diretriz é 
y = - 
2
5
.
b) Equação da parábola: xy 72 −=
Portanto, as coordenadas do foco são 




− 0,
4
7F e a equação da 
diretriz é x = 
4
7
.
c) Equação da parábola: xyxy 606 22 =⇒=−
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Portanto, as coordenadas do foco são 




 0,
2
3F e a equação da diretriz 
é x = -
2
3
.
TÓPICO 4
1 Escolha um sistema de eixos coordenados adequado e resolva, usando a 
Geometria Analítica, o seguinte problema de Geometria Plana: Obtenha o raio 
da circunferência inscrita num triângulo retângulo cujos catetos 3 cm e 4 cm. 
(Dica: coloque o vértice do ângulo reto do triângulo retângulo na origem.) 
R.: Abaixo, segue uma forma de resolução. Nada impede que você utilize 
outra, desde que o valor do raio da circunferência seja o mesmo que o 
encontrado abaixo!
Vamos chamaros lados do triângulo retângulo de a, b e c, onde a e b 
são os catetos e c é a hipotenusa. O problema nos dá os valores de a e b. 
Vamos determinar o valor de c através do Teorema de Pitágoras.
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Assim, o perímetro do triângulo acima é dado por P=a+b+c=3+4+5=12
Chamamos de semiperímetro a p = P/2.
O raio da circunferência inscrita pode ser calculado pela fórmula