ECT1303-2013.1-Aula5-Resolucao_Equacoes - Introdução e Método da Bisseção

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UFRN 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
Raízes de Equações Transcendentais 
Parte I: Resolução gráfica e método 
da bisseção 
ECT1303 – Computação Numérica 
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula; 
• Nunca atender o celular na sala de aula. 
Motivação 
• Problema: 
 Os elementos físicos que representam os bits nas 
calculadoras são os componentes mais caros em um 
projeto de uma calculadora. Desta forma, um engenheiro 
é contratado para desenvolver uma calculadora no 
sistema flutuante F(2,p,-14,15) que utilize o menor 
número de bits possível para que o erro relativo máximo 
seja menor do que 10 -5. 
• Pergunta: 
1. Qual o valor de “p” (precisão) para resolver este 
problema? 
 
 
 
 
 
 
Motivação 
• Como o maior erro relativo? 
ɛ = β1-p 
 
p  15 210
Que pode ser escrito da forma: 
0102 51  p
Pode-se igualar a zero e, em caso de fração, 
somar 1 ao resultado e truncar. 
Motivação 
• Resumindo ... 
• Dados β e ɛ, encontrar p significa encontrar a raiz da função 
• Por que não apresentar diretamente a equação? 
• Computador como ferramenta de apoio à resolução! 
p 1
   ppf 1)(
Ou seja, encontrar os valores de p para que f(x) seja igual a zero!!! 
• Através de análise crítica sobre o problema, inferir: 
– Intervalos de confiança onde espera-se que a solução (soluções) seja 
encontrada; 
– Grau de precisão para a solução, no caso em que uma aproximação 
deve ser encontrada; 
– Possíveis problemas que venha a ter usando determinado método 
numérico. 
Motivação 
Etapas importantes na resolução de 
problemas usando métodos numéricos 
 
 
0102)( 51  ppf
Análise Gráfica 
• Encontrar o ponto em que a função cruza o eixo X 
 
 
 
 
Podemos usar um papel milimetrado para plotar o gráfico 
da função em vários pontos! 
p f(p) 
15 5.10 *10-5 
16 2.05 *10-5 
17 0.53 *10-5 
18 -0.24 *10-5 
19 -0.62 *10-5 
0102)( 51  ppf
15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20
-1
0
1
2
3
4
5
6
x 10
-5
Análise Gráfica 
• E se quisermos encontrar uma solução mais precisa: 
 
 
 
 
p f(p) 
17.1 0.48 *10-5 
17.2 0.33 *10-5 
17.3 0.24 *10-5 
17.4 0.16 *10-5 
17.5 0.08*10-5 
 
17.6 0.67 *10-7 
 
17.7 -0.6 *10-6 
Raiz próxima de p = 17,6 
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x 10
-6
Análise Gráfica 
• Métodos gráficos são limitados! 
– Precisão da solução é pequena, limitada à análise visual 
– Difícil sistematização usando o computador 
• São importantes para visualizarmos intervalos de 
localização das raízes. 
 
 
 
MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Teorema de Bolzano 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. Se 
f(a)f(b) < 0, então f(x) tem pelo menos uma raiz em (a,b) 
 
 
a b 
f(b) 
f(a) 
0 
f(x) 
x 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Descrição do Método: 
 
 
1. Encontrar um intervalo [a,b] que contenha a raiz 
2. Seccionar o intervalo no seu ponto médio 
 
 
3. Se x for uma solução aceitável para o valor da 
raiz, pare. 
4. Senão, use o Teorema para verificar se a raiz 
está em [a,x] ou em [x,b]. Redefina o intervalo 
[a,b] e volte ao passo 1. 
Método da Bissecção 
• Critério de parada de métodos iterativos: Erro Relativo 
– O algoritmo deve parar quando estimações sucessivas estão 
“próximas o suficiente entre si”. 
 
Seja xk+1 a estimativa do valor da raiz na iteração (K+1) e xk a 
estimativa na iteração anterior (K) 
O algoritmo deve parar uma vez que xk+1 coincida em pelo 
menos p algarismos com xk! 
p = Precisão desejada 
Método da Bissecção 
Exemplo: 
 - Encontre a raiz da equação abaixo com três algarismos 
significativos de precisão. 
Raiz em (0,12;0,13) 
J fA(J) 
0,12 -0,006 
 
0,13 0,019 
 
Método da Bissecção 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método da Bissecção 
Resolução 
 
 
 
A solução desejada é obtida arredondando-se o resultado para 
três algarismos significativos: 
JA = 0,122 = 12,2% 
Método da Bissecção 
• Observações importantes: 
– Esta equação possui duas 
raízes! 
Método da Bissecção 
• Observações importantes: 
– O método da Bissecção é um método iterativo que fornece uma 
resposta aproximada com precisão desejada. 
– Método da Bissecção pertence a classe dos métodos 
intervalares. 
– Com quantos algarismos significativos devo calcular J1, J2, J3, ... 
? 
• Depende da precisão exigida; aconselha-se usar 2 ou 3 algarismos a mais 
do que a precisão 
 
Método da Bissecção - Algoritmo 
Método da Bissecção - Algoritmo 
Exercício: 
 - Use o método da Bissecção para encontrar a raiz quadrada 
de 2 com 3 algarismos significativos de precisão. 
Estudo Extra-Classe 
Livro Neide Franco: 
• Leitura: Capítulo 3, seções 3.1 e 3.2 
• Exercícios: 3.1 e 3.2 
• Exercícios complementares: 3.28 ao 3.30 
 
Livro Chapra: 
• Leitura: Capítulo 5, seções 5.1 e 5.2 
• Exercícios: 5.1 a 5.17 que envolvam método da bissecção