Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciências e Tecnologia Raízes de Equações Transcendentais Parte I: Resolução gráfica e método da bisseção ECT1303 – Computação Numérica • Manter o telefone celular sempre desligado/silencioso quando estiver em sala de aula; • Nunca atender o celular na sala de aula. Motivação • Problema: Os elementos físicos que representam os bits nas calculadoras são os componentes mais caros em um projeto de uma calculadora. Desta forma, um engenheiro é contratado para desenvolver uma calculadora no sistema flutuante F(2,p,-14,15) que utilize o menor número de bits possível para que o erro relativo máximo seja menor do que 10 -5. • Pergunta: 1. Qual o valor de “p” (precisão) para resolver este problema? Motivação • Como o maior erro relativo? ɛ = β1-p p 15 210 Que pode ser escrito da forma: 0102 51 p Pode-se igualar a zero e, em caso de fração, somar 1 ao resultado e truncar. Motivação • Resumindo ... • Dados β e ɛ, encontrar p significa encontrar a raiz da função • Por que não apresentar diretamente a equação? • Computador como ferramenta de apoio à resolução! p 1 ppf 1)( Ou seja, encontrar os valores de p para que f(x) seja igual a zero!!! • Através de análise crítica sobre o problema, inferir: – Intervalos de confiança onde espera-se que a solução (soluções) seja encontrada; – Grau de precisão para a solução, no caso em que uma aproximação deve ser encontrada; – Possíveis problemas que venha a ter usando determinado método numérico. Motivação Etapas importantes na resolução de problemas usando métodos numéricos 0102)( 51 ppf Análise Gráfica • Encontrar o ponto em que a função cruza o eixo X Podemos usar um papel milimetrado para plotar o gráfico da função em vários pontos! p f(p) 15 5.10 *10-5 16 2.05 *10-5 17 0.53 *10-5 18 -0.24 *10-5 19 -0.62 *10-5 0102)( 51 ppf 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 10 -5 Análise Gráfica • E se quisermos encontrar uma solução mais precisa: p f(p) 17.1 0.48 *10-5 17.2 0.33 *10-5 17.3 0.24 *10-5 17.4 0.16 *10-5 17.5 0.08*10-5 17.6 0.67 *10-7 17.7 -0.6 *10-6 Raiz próxima de p = 17,6 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 10 -6 Análise Gráfica • Métodos gráficos são limitados! – Precisão da solução é pequena, limitada à análise visual – Difícil sistematização usando o computador • São importantes para visualizarmos intervalos de localização das raízes. MÉTODO DA BISSECÇÃO Método da Bissecção Método da Bissecção Teorema de Bolzano Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. Se f(a)f(b) < 0, então f(x) tem pelo menos uma raiz em (a,b) a b f(b) f(a) 0 f(x) x Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Bissecção Descrição do Método: 1. Encontrar um intervalo [a,b] que contenha a raiz 2. Seccionar o intervalo no seu ponto médio 3. Se x for uma solução aceitável para o valor da raiz, pare. 4. Senão, use o Teorema para verificar se a raiz está em [a,x] ou em [x,b]. Redefina o intervalo [a,b] e volte ao passo 1. Método da Bissecção • Critério de parada de métodos iterativos: Erro Relativo – O algoritmo deve parar quando estimações sucessivas estão “próximas o suficiente entre si”. Seja xk+1 a estimativa do valor da raiz na iteração (K+1) e xk a estimativa na iteração anterior (K) O algoritmo deve parar uma vez que xk+1 coincida em pelo menos p algarismos com xk! p = Precisão desejada Método da Bissecção Exemplo: - Encontre a raiz da equação abaixo com três algarismos significativos de precisão. Raiz em (0,12;0,13) J fA(J) 0,12 -0,006 0,13 0,019 Método da Bissecção Resolução Método da Bissecção Resolução A solução desejada é obtida arredondando-se o resultado para três algarismos significativos: JA = 0,122 = 12,2% Método da Bissecção • Observações importantes: – Esta equação possui duas raízes! Método da Bissecção • Observações importantes: – O método da Bissecção é um método iterativo que fornece uma resposta aproximada com precisão desejada. – Método da Bissecção pertence a classe dos métodos intervalares. – Com quantos algarismos significativos devo calcular J1, J2, J3, ... ? • Depende da precisão exigida; aconselha-se usar 2 ou 3 algarismos a mais do que a precisão Método da Bissecção - Algoritmo Método da Bissecção - Algoritmo Exercício: - Use o método da Bissecção para encontrar a raiz quadrada de 2 com 3 algarismos significativos de precisão. Estudo Extra-Classe Livro Neide Franco: • Leitura: Capítulo 3, seções 3.1 e 3.2 • Exercícios: 3.1 e 3.2 • Exercícios complementares: 3.28 ao 3.30 Livro Chapra: • Leitura: Capítulo 5, seções 5.1 e 5.2 • Exercícios: 5.1 a 5.17 que envolvam método da bissecção
Compartilhar