A3 - Cálculo Computacional - Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Nome: Bruna Navarro dos Santos RA: 1494345 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 
 V. Experimento 
 
 
 
 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
Considerando h(x) = x³ e g(x) = 2x² + 20x – 30 temos que f(x) = g(x) – h(x). 
Pelo método gráfico, vamos analisar as raízes e gráficos de h(x) e g(x). 
Analisando a função g(x) = x³ temos g(x) = 0 se e somente se x³ = 0, portanto se, isto implica que a única raiz é o 
zero. Além disso o seu gráfico é dado por: 
 
 
 
Analisando o gráfico da função h(x) = 2x²+20x-30: 
Observamos que h(x) é uma equação de 2º grau, que pode ser simplificada para h(x) = x²+10x-15, e tem a 
concavidade voltada para cima e corta o eixo das ordenadas em y = -15. 
 
 
 
 
 
 
 
Obtemos as raízes da equação: 
h(x) = x² + 10x - 15 
 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−10 ± √102 − 4(1)(−15)
2.1
 
𝑥 =
−10 ± √160
2
 
X1 = -5 -2√10 ou x1 ≈ - 11,32456 
X2 = -5 + 2√10 ou x2 ≈ 1,32456 
 
 
Portanto temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentando ambos os gráficos em um mesmo plano cartesiano, observamos que as raízes da função estão 
determinadas no intervalo (-5, 5), conforme ilustração abaixo: 
 
 
 
Substituindo nas funções os valores do intervalo determinado, temos: 
 
Analisando apenas os pontos da tabela, vemos que nos intervalos [-5, -4] e [4, 5] a função h (x) assume valores 
maiores dos que a função g(x), ou seja, para x nesses pontos, ocorre uma interseção entre as curvas traçadas. De 
mesmo modo, no intervalo (1, 2) a função g(x) assume valores maiores que h(x), nos levando a mesma conclusão 
de interseção. Consequentemente, as raízes exatas pertencem aos intervalos [-4, -5],[1, 2] e [4, 5]. 
 
 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20 + 30 𝑔(𝑥) = 𝑥³ ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 20𝑥 + 30 
 
Analisando as funções g(x) e h(x) no software Geogebra, determinamos os pontos A,B e C como interseções entre 
as duas funções, os quais correspondem aos intervalos obtidos pela análise gráfica do item 1. 
 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,038086 0,031250 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
√10 = 3,16227766 
Utilizando a calculadora, encontramos para √10 o mesmo valor para 𝑥29 pelo método da bisseção, com exceção 
de algumas casas decimais devido a arredondamentos. 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
Utilizando o método gráfico para determinar os possíveis intervalos d3e interseção das funções. Dada a 
função f(x) = 2x – sen(x) + 4, substituímos por f(x) = g(x) – h(x), tais que g(x) = 2x +4 e h(x) = sen(x). 
Em uma representação gráfica, a função g(x) = 2x + 4 nos apresenta uma reta crescente, que corta o eixo das 
abscissas em (x) = -2, e para função h(x) = sen(x) temos uma curva senoidal e se tratando de uma função 
periódica ela apresenta imagem que varia no intervalo (y) = [-1, 1]. Isso significa que os valores que o sen 
pode assumir para qualquer valor de x variam apenas de -1 e 1. 
De posse dessas informações podemos concluir que os possíveis intervalos de interseção para as funções g(x) 
e h(x) são (-3, -2) e (-2, -1). 
Dispondo estes intervalos em uma planilha e calculando as funções nos pontos, chegamos ao seguinte 
resultado: 
x -3 -2 -1 
g(x) -2 0 2 
h(x) -0,141 -0,909 -0,841 
 
Analisando os dados obtidos, podemos determinar que os valores destacados nos fornecem como único 
intervalo de interseção sendo (-3, -2). 
 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 1 -2,378299446 -0,065294151 
10−4 3 -2,354242759 -1,94422E-09 
10−9 4 -2,354242758 0,0000000000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 
 
 
Utilizando o software GeoGebra, encontramos para f(x) = 2x – sen(x) + 4, o mesmo valor calculado para x4 pelo 
método de newton, com exceção de algumas casas decimais devido ao arredondamento. 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
 
Aplicamos o método gráfico para isolar as raízes. Nesse caso, colocamos g(x) = x³ e g(x) =cos(x) construímos os 
gráficos em um mesmo sistema de eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo esboço dos gráficos, podemos perceber que existe uma única interseção entre as funções, além disso, 
essa interseção ocorre para x = > 0, no intervalo (0, 1). De acordo com a informação estabelecida no enunciado do 
problema, podemos reduzir ainda mais este intervalo sabendo que x0 = 0,5. 
Com o intervalo de terminado em mãos, devemos proceder e verificar se todas as hipóteses para a aplicação 
do método da Iteração Linear são satisfeitas. De fato, a função f(x) é contínua no intervalo [0,5,1] e possui um 
único zero nesse intervalo. 
Agora, devemos proceder e encontrar uma função de interação f(x) = x³ - cos(x): 
 
 Temos duas opções para isolar a variável x. 
 Escolhendo o x³: 
𝑥 = √𝑐𝑜𝑠
3 (𝑥) 
 
 Na segunda opção, isolamos a variavel x atraves da parcela cos (x): 
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑥3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientementeescolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,866753875 0,865039927 0,0050688 
𝑥15 0,865474059 0,865474024 0,00000010095 
𝑥18 0,865474032 0,865474033 0,00000000393 
𝑥32 0,865474033 0,865474033 0 
 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
 
 
Utilizando o software GeoGebra, encontramos para f(x) = x³ - cos(x) o mesmo valor calculado para 𝑥32 pelo método 
da iteração Linear, com exceção de algumas casas decimais devido ao arredondamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987