UnidadeII_Capítulo1_Prof.ValdemirPraxedes

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Unidade II - Análise de Circuitos 
de Corrente Alternada:
Excitação Senoidal, Fasores e 
Impedância Complexa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciência e Tecnologia
Impedância Complexa
Prof. Valdemir Praxedes Silva Neto
Disciplina: Eletricidade Aplicada
Natal, 2013.2
Propriedades da Senóide
� Onda Senoidal:
( ) ( )tsenVtv m ϖ=
�Amplitude: Vm
� Frequência Angular: ω [rad/s]
2
� Onda Senoidal é um função periódica:
( ) ( )Ttvtv +=
� Período da Senóide: T = 2π/ω [s]
� Frequência: f = 1/T = ω/2π [Hz] 
� Expressão Geral: ( ) ( )φϖ += tsenVtv m
Ângulo de fase
Propriedades da Senóide
� Senóide Defasada:
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� Observações Importantes:
( )
( )ttsen
tsent
ω
pi
ω
ϖpiω
cos
2
2
cos
=





+
=





−
Representação por Números Complexos
� Números Complexo na Forma Cartesiana:
4
� Números Complexo na Forma Polar:
Representação por Números Complexos
� Exemplo: Encontrar a representação polar dos números complexos:
a) Z1 = 4 + j2
º9,3655
º9,36
4
3534
º9,36
1
22
1
∠==
=





==+=
jeZ
arctgZ α
5
b) A= - 5 – j2
( ) ( )
º4,2471313
º4,247
5
12
º180
13125
º4,247
22
∠==
=





−
−
+=
=−+−=
jeA
arctg
A
α
Representação por Números Complexos
� Relações Importante:
º9011 ∠=−=j
º180112 ∠=−=j
� Relação de Euller:
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Excitações Complexas em Circuitos
� Consideraremos a entrada de um circuito sendo uma fonte de tensão
senoidal e saída a corrente através de um elemento.
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� Para determinarmos a corrente i, utilizaremos do circuito com excitação
complexa,
{ }1Re ii =
Excitações Complexas em Circuitos
�A equação representativa do circuito, pode ser resolvida para a resposta forçada
(solução particular), visto que:
tjj
m eeVv
ϖθ
=1
� Sabendo que a resposta forçada apresenta a mesma natureza da excitação
(entrada):
tjAei ϖ=1
8
Aei =1
� Comparando-se com Re[i1], temos:( )φ+= wtIi m cos
( ) { }
φ
φ
φ
j
m
jwtjjwt
m
jwt
m
eIA
AeeeI
AewtI
=
=
=+ Recos
tjj
m eeIi
ϖφ
=1 )cos(1 φ+= wtIi m
Re { }
Fasores
� Permitem compactar os resultados apresentados anteriormente de forma mais
compacta
( ) ( )θϖ += tVtv m cos θθ ∠== mjm VeVV
.
�A representação fasorial é feita para a representação temporal na forma de
cosseno.
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cosseno.
� Exemplo: Representar na forma fasorial a senóide: ( ) ( )º302 += wtsentv
( ) ( )
)º60cos(2)(
)º90º30cos(2º302
−=
−+=+=
wttv
wtwtsentv
�Assim, a representação fasorial é:
º6022 º60
.
−∠== − jeV
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Resistores:
RivR =
( )
( ) φ
θ
φ
θ
j
mm
j
mRmR
eIIwtIi
eVVwtVv
=→+=
=→+=
cos
cos
10
φθ j
m
j
m eIReV .=
�Aplicando-se a Lei de Ohm:
mm IRV .=
φθ =
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Resistores:
11
�As ondas de tensão e corrente senoidais em um resistores
apresentam o mesmo ângulo de fase, ou seja, estão em fase.
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Indutores:
12
( )
dt
tdiLv =
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Considerando tensões e correntes complexas:
( ) ( )φθ ++
==
wtj
m
wtj
m eIieVv 11
[ ]d
� Substituindo as expressões na equação anterior, tem-se:
13
( ) ( )[ ] ( )φφθ +++ == wtjmwtjmwtjm ejwLIeIdt
dLeV
φθ j
m
j
m ejwLIeV =
...
IZV L=
� Impedância do Indutor:
jwLZ L =
.
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Se a corrente no indutor é dada por:
( ) ( )º90+=== φφ jmjm ewLIeIjwLjwLIV
� Temos que:
)cos()( φ+= wtIti m
� Logo:
14
)º90cos( ++= φwtwLIv m
� Portanto, a expressão no domínio do tempo é dado por:
� Logo:
θj
meVV =
mm wLIV =
º90+=φθ
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Indutores:
15
�A corrente em um indutor, está atrasa de 90º em relação a tensão
em seus terminais.
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Capacitores:
16
dt
tdvCti )()( =
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Considerando tensões e correntes complexas:
( ) ( )φθ ++
==
wtj
m
wtj
m eIieVv 11
[ ]d
� Substituindo as expressões na equação anterior, tem-se:
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( ) ( )[ ] ( )θθφ +++ == wtjwtjmwtjm jwCeeVdt
dCeI
θφ j
m
j
m ejwCVeI =
...
IZV C=
� Impedância do Capacitor:
wC
jjwCZ C
11.
−==
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Se a tensão no capacitor é dada por:
( ) ( )º90+=== θθ jmjm ewCVeVjwCjwCVI
� Temos que:
)cos()( θ+= wtVtv m
� Logo:
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)º90cos( ++= θwtwCWi m
� Portanto, a expressão no domínio do tempo é dado por:
� Logo:
φj
meII =
mm wCVI =
º90+=θφ
Relação entre Tensão e Corrente para 
Elementos de Circuito
� Capacitores:
19
�A corrente em um capacitor está adiantada de 90º em relação a
tensão.
Impedância e Admitância
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� Impedância do Circuito:
I
VZ =
zjeZZ θ= m
m
I
VZ =
φθθ −=z
Impedância e Admitância
� A impedância segue as mesmas regras dos resistores no 
circuito.
� A impedância é um número complexo, mas não um fasor.
� Impedância na forma retangular: Z = R +jX
� Re {Z} � componente resistiva (resistor)� Re {Z} � componente resistiva (resistor)
� Im {Z} � componente reativa (reatância)
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Impedância e Admitância
� Exemplo:
22
Impedância e Admitância
� Impedância de resistores, indutores e capacitores:
� No caso do resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo a 
reatância zero.
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reatância zero.
� No caso de indutores e capacitores, a impedância é puramente 
reativa, ou seja, a parte resistiva é nula. 
Impedância e Admitância
� A reatância indutiva é positiva, enquanto que a reatância 
capacitiva é negativa.
� Para o caso geral: Z = R + jX, temos:
� O inverso da impedância é denominado de admitância.
� G é a condutância e B é a susceptância.
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Impedância e Admitância
� Relação entre os componentes de Z e Y:
1
1
jXR
jXR
xjXRjBG
Z
Y
−
−
+
=+
=
@2
X
XR
RG
−
+
=
25
22 XR
jXRjBG
jXRjXR
+
−
=+
−+
22 XR
XB
+
−
=
Z e Y são recíprocos porém:
R
G 1≠
X
B 1≠
Impedância e Admitância
�Associação de impedâncias em paralelo:
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�Associação de admitâncias em paralelo:
Impedância e Admitância
�Associação de impedâncias em série:
27
�Associação de admitâncias em série:
Exercícios de Resolvidos:
1) Considerando as senóides seguintes, determine quanto uma antecede ou
atrasa da outra, sabendo que oscilam na mesma frequência.
( ) ( )º182º30cos4 21 +−=+= wtsenvwtv
( )
( ) ( )
º30cos41 += wtv
Solução:
28
( ) ( )
( ) ( )
)º108cos(2
º90º180º18cos2º180º182
º180º182º182
2
2
22
1
+=
−++=++=
++=→+−=
wtv
wtwtsenv
wtsenvwtsenv
���� Portanto: v1 antecede v2 em: 30º - 108º = -78º
Exercícios de Resolvidos:
2) Calcule o período das seguintes senóides:
a) 4 cos(5t+33º)
b) cos(2t + π/4) + 3sen( 2t+ π/6)
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Exercícios de Resolvidos:
Conclusão:
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Exercícios de Resolvidos:
3) Uma fonte de tensão senoidal v = 100cos(500t+30º), é ligada a uma
associação em série de um resistor de 100Ω, um indutor de 0,3 H e um
capacitor de 40µF. Nestas, condições pede-se:
a) a impedância equivalente do circuito.
b) a tensão fasorial sobre cada elemento.
Solução:
a) ZZRZ ++=
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a)
CLeq ZZRZ ++=
1503,0500 jxjxjwLZL ===
50
1040500
111
6 jxxjwCjjwCZC −=−=−== −
Ω+=−+=++=10010050150100 jjjZZRZ CLeq
][º454,141 Ω∠=eqZ
Exercícios de Resolvidos:
Solução:
b)
][º454,141
][º30100
Ω∠=
∠=
eqZ
VV
][º15707,0
º454,141
º30100 A
Z
VI −∠=
∠
∠
==
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Como os elementos estão em série, a corrente é a mesma para todos. Portanto
][º1054,35º15707,0º.9050.
][º751,106º15707,0º.90150.
][º157,70º15707,0.100.
VIZV
VIZV
VIRV
cc
LL
R
−∠=−∠−∠==
∠=−∠∠==
−∠=−∠==
Exercícios de Resolvidos:
4) Num circuito RLC série, R=10ΩΩΩΩ, L=5mH e C=12,5µµµµF. Representar
graficamente o módulo e o ângulo da impedância em função de ωωωω, com ωωωω
variando de 3200 rad/s a 4800 rad/s.
CLeq ZZRZ ++=
wxjjwLZL 3103 −== wjwCjjwCZC
8000011
−=−==
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Exercícios de Resolvidos:
5) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H é alimentado por uma
tensão cujo valor eficaz é 110v e cuja freqüência é 60Hz. Calcule o valor eficaz
da corrente alternada que circula nesse circuito.
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Exercícios Propostos:
1) Considere a função v(t) = 10 sem (100πt + 30º) e determine:
a) Expresse v(t) em termo da função cosseno.
b) A partir da expressão anterior, encontre:
b.1) a frequência em Hz;
b.2) o ângulo de fase;
b.3) o período;
b.4) o valor rms;
c) Encontro o primeiro valor de tempo, após t=0, onde v(t) atinge o seu valor
de pico.
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de pico.
d) Esboce a forma de onda de v(t).
2) Dado Z = 3 + j4, achar a admitância equivalente Y.
3) Um certo elemento de circuito pode ser uma resistência, uma indutância ou
uma capacitância. Determine, justificando, o tipo e o valor em (ohms, henry
ou farads) do elemento se a tensão e a corrente no elemento são dadas
por:
a) v(t) = 100 sen (200t+30º) V e i(t) = cos (200t + 30º) A
b) v(t) = 500 cos(100t + 50º) V e i(t)= 2cos(100t+50º) A
c) v(t) = 100cos(400t + 30º) V e i(t) = sem(400t + 30º) A
Exercícios Propostos:
4) Faça os gráficos das magnitudes das impedâncias de uma indutância de
10mH, uma capacitância de 10µF e uma resistência de 50Ω em função da
frequência no intervalo de zero a 100Hz, quando:
a) estiverem ligados em série.
b) estiverem ligados em paralelo.
c) dos três elementos isolados.
5) Achar a impedância equivalente do circuito abaixo e a corrente total
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5) Achar a impedância equivalente do circuito abaixo e a corrente total
fornecida pela fonte.