Calculo 3 P1 15.2

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MAT1163-P1.2015.2
(1) (a) (3.5) Considere a func¸a˜o vetorial
f : D ⊂ R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (2xysen(pix), log(2y2x))
onde D = {(x, y) |x > 0, y > 0}
(i) (0.5) Calcule a matriz Jacobiana de f para todo ponto de D.
(ii) (1.5) Calcule a aproximac¸a˜o afim de f no ponto ( 12 , 1)
(b) (1.5) Se f(t), t ∈ R, e´ uma func¸a˜o de classe C1 e definimos a func¸a˜o
h : R2 −→ R
(x, y) 7−→ (x− y)f(x− y)
Determine se e´ verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto
(x, y) do plano vale a seguinte relac¸a˜o entre as derivadas parciais de h:
∂h
∂x
(x, y) +
∂h
∂y
(x, y) = 0
(2) (3.5) Seja D a regia˜o do primeiro quadrante definida pelo sistema de ine-
quac¸o˜es abaixo:
y >
1
x
y < 2x
x < 1
(a) (0.5) Esboce a regia˜o D.
(b) (1) Utilizando as varia´veis u = y/x , v = xy , calcule a correspondente
mudanc¸a de variaveis T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) e esboce a regia˜o R
correspondente no plano de coordenadas u, v, de modo que T (R) = D
(c) (1) Calcule o Jacobiano de T.
(d) (1) Calcule a integral
∫∫
D
y
xdxdy
(2) (3) Seja E a regia˜o do espac¸o limitada pelo cilindro x2 + z2 = 4, o plano
y = 0 e a superf´ıcie de equac¸a˜o y = x2 + z2 + 1
(a) (1.5) Fac¸a um esboc¸o de E.
(b) (1.5) Calcule o volume de E.
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