UNIDADE 3 - Aula 1 - Medidas de Associação para Variáveis Categorizadas

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UNIDADE 3 – ASSOCIAÇÃO E CORRELAÇÃO 
1. Medidas de Associação para Variáveis Categorizadas: 
Chi-quadrado e coeficiente de contingência. 
3.1 ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 As técnicas de análise de dados são diferentes 
para cada tipo de variável envolvida: 
 2 variáveis qualitativas: os dados são resumidos em 
tabelas de contingência ou de dupla entrada 
(estatística qui-quadrado); 
 
 2 variáveis quantitativas: os dados são resumidos em 
gráficos de dispersão (coeficiente de correlação linear 
de Pearson). 
3.1 ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 O objetivo é encontrar associação ou relação entre 
as variáveis. 
 
 Essas relações podem ser identificadas através de 
gráficos ou medidas numéricas. 
 
 Associação: 
 mudança de opinião sobre o comportamento de uma 
variável na presença ou não de informação sobre a 
segunda variável. 
ASSOCIAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUALITATIVAS 
3.2 TABELA DE CONTINGÊNCIA 
 Representação de 2 variáveis categóricas ou 
qualitativas. 
 
 Exemplo: Suponha que queiramos analisar o 
comportamento conjunto das variáveis Y: 
carreira e X: sexo, usando uma amostra de 200 
alunos de Economia e Administração. 
 
 
Curso Sexo 
Masculino Feminino Total 
Economia 85 35 120 
Administração 55 25 80 
Total 140 60 200 
3.2 TABELA DE CONTINGÊNCIA 
 Existe relação (associação, dependência) entre 
Sexo e Curso? 
 
 Tabela. Distribuição conjunta das frequências relativas ao total geral, 
segundo curso e sexo, dos alunos de determinada universidade. 
 
 
 
Curso Sexo 
Masculino Feminino Total 
Economia 42,5% 17,5% 60,0% 
Administração 27,5% 12,5% 40,0% 
Total 70,0% 30,0% 100,0% 
Distribuição Marginal por 
Sexo 
Distribuição 
Marginal 
 por Curso 
3.2 TABELA DE CONTINGÊNCIA 
 Olhando a tabela das proporções pelo total, ainda não 
conseguimos enxergar relações, pois o total de homens e mulheres 
é bem diferente. 
 
 Para retirar o efeito dos totais marginais, calcula-se as proporções 
por linha ou por coluna. 
 
 Tabela. Distribuição conjunta das frequências relativas ao total da coluna 
(sexo), segundo curso e sexo, dos alunos de determinada universidade. 
 
 
Curso Sexo 
Masculino Feminino Total 
Economia 61% 58% 60% 
Administração 39% 42% 40% 
Total 100% 100% 100% 
3.2 TABELA DE CONTINGÊNCIA 
 Tabela. Distribuição conjunta das frequências relativas ao total da linha 
(curso), segundo curso e sexo, dos alunos de determinada universidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 Conclusões: Dentro de cada curso, temos aproximadamente a 
mesma proporção de estudantes do sexo masculino e feminino. 
 
 Observe que o perfil de cada linha é parecido com o perfil 
marginal de sexo, indicando que a relação entre as variáveis é 
pequena. 
 
 
Curso Sexo 
Masculino Feminino Total 
Economia 71% 29% 100% 
Administração 69% 31% 100% 
Total 70% 30% 100% 
3.3 TABELA DE CONTINGÊNCIA - EXEMPLO 
 Conduziu-se uma pesquisa para avaliar se a 
percepção que os consumidores tinham de um 
produto dependia do gênero. 
 
 
 
 
Consumidor Gênero Avaliação 
1 Masculino Positiva 
2 Feminino Positiva 
3 Feminino Indiferente 
4 Feminino Positiva 
5 Masculino Negativa 
... 
285 Masculino Indiferente 
3.4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÛENCIAS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 54 36 22 112 
Feminino 115 41 17 173 
TOTAL 169 77 39 285 
Tabela. Distribuição conjunta das frequências absolutas, segundo avaliação e 
sexo. 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 48,2% 32,1% 19,6% 100% 
Feminino 66,5% 23,7% 9,8% 100% 
TOTAL 59,3% 27,0% 13,7% 100% 
Tabela. Distribuição conjunta das frequências relativas ao total da linha, 
segundo avaliação e sexo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A associação entre sexo e avaliação é forte? Fraca? 
 
 
 
 
3.5 MEDIDA DE ASSOCIAÇÃO 
 
 
 
 
 Uma forma de medir a força da associação entre 
duas variáveis qualitativas baseia-se na 
comparação da tabela de valores observados com 
a tabela de valores esperados. 
 
 A partir desses valores, podemos testar se há 
uma associação, ou não. 
 
 Mas, como calcular esses valores esperados? 
 
 
 
 
 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 
 Intuição: 
 Queremos que os valores de cada casa forneçam 
valores que tenham a mesma proporção dos valores 
marginais da coluna (ou da linha). 
 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 
 Intuição: 
 Então, qual deve ser o valor X abaixo que quando 
dividido por 112 (total da linha Masculino) dá 0,593 
(frequência relativa da coluna Positiva)? 
 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino X 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑋
112
= 0,593 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino X 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑋
112
= 0,593 𝑋 = 112 ∗ 0,593 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino X 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑋
112
= 0,593 𝑋 = 112 ∗ 0,593 𝑋 = 66,416 
 
 
 
 Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino X 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑋
112
= 0,593 𝑋 = 112 ∗ 0,593 𝑋 = 66,416 
 Logo, o valor esperado para a casa Masculino e 
Positiva é 66,416. 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino X 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 
 Para a casa Masculino e Indiferente, queremos 
saber o valor de Y que quando dividido por 112 
(total da linha Masculino) dá 0,270 (frequência 
relativa da coluna Indiferente). 
 
 Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
Y 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑌
112
= 0,270 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
Y 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
?(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑌
112
= 0,270 𝑌 = 112 ∗ 0,270 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
Y 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑌
112
= 0,270 𝑌 = 112 ∗ 0,270 𝑌 = 30,24 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
Y 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑌
112
= 0,270 𝑌 = 112 ∗ 0,270 𝑌 = 30,24 
 Logo, o valor esperado para a casa Masculino e 
Indiferente é 30,24. 
 
 Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
Y 
(0,270) 
? 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 
 Para a casa Masculino e Negativa, queremos 
saber o valor de Z que quando dividido por 112 
(total da linha Masculino) dá 0,137 (frequência 
relativa da coluna Negativa). 
 
 Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
30,24 
(0,270) 
Z 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑍
112
= 0,137 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
30,24 
(0,270) 
Z 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑍
112
= 0,137 𝑍 = 112 ∗ 0,137 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
30,24 
(0,270) 
Z 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑍
112
= 0,137 𝑍 = 112 ∗ 0,137 𝑍 = 15,344 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
30,24 
(0,270) 
Z 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 

𝑍
112
= 0,137 𝑍 = 112 ∗ 0,137 𝑍 = 15,344 
 Assim, o valor esperado para a casa Masculino e 
Negativa é 15,344. 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
30,24 
(0,270) 
15,344 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 
 Note que quando somamos todos os valores 
esperados da linha Masculino, temos que 
obtemos o valor indicado na coluna Total: 
 66,416 + 30,24 + 15,344 = 122 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
30,24 
(0,270) 
15,344 
(0,137) 
112 
Feminino ? 
(0,593) 
? 
(0,270) 
? 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 
 Quando calculamos os valores esperados de todas 
as casas, obtemos a tabela abaixo: 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,416 
(0,593) 
30,24 
(0,270) 
15,344 
(0,137) 
112 
Feminino 102,586 
(0,593) 
46,740 
(0,270) 
23,674 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,00) 
3.6 CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 54 36 22 112 
Feminino 115 41 17 173 
TOTAL 169 77 39 285 
Tabela OBSERVADA: 
Tabela ESPERADA: 
Sexo Positiva Indiferente Negativa Total 
Masculino 66,414 
(0,593) 
30,260 
(0,270) 
15,326 
(0,137) 
112 
Feminino 102,586 
(0,593) 
46,740 
(0,270) 
23,674 
(0,137) 
173 
TOTAL 169 
(0,593) 
77 
(0,270) 
39 
(0,137) 
285 
(1,000) 
3.7 CHI-QUADRADO (OU QUI-QUADRADO): 
 
 
 
 
𝜒2 
 O testa a significância da associação entre 
duas variáveis categorizadas (qualitativas). 
 
 O princípio básico é comparar proporções, i.e, as 
possíveis diferenças entre as frequências 
observadas e as esperadas em cada categoria. 
 
 É um teste não paramétrico (não depende de 
parâmetros populacionais, tais como a média ou o 
desvio-padrão). 
𝜒2 
3.7 CHI-QUADRADO (OU QUI-QUADRADO): 
 
 
 
 
𝜒2 
 O teste é utilizado para: 
 
 Verificar se a frequência com que um determinado 
acontecimento observado é estatisticamente diferente 
da frequência com que ele é esperado. 
 
 Comparar a distribuição de diversos acontecimentos 
em diferentes amostras, com o objetivo de avaliar se 
as proporções observadas mostram, ou não, 
diferenças significativas ou se as amostras diferem 
significativamente quanto às proporções desses 
acontecimentos. 
3.7 CHI-QUADRADO (OU QUI-QUADRADO): 
 
 
 
 
𝜒2 
 Condições necessárias: 
 
 Os grupos são independentes; 
 
 As observações devem ser frequências ou contagens; 
 
 Cada observação pertence a uma, e somente uma, 
categoria; e 
 
 A amostra deve ser relativamente grande: 
 Pelo menos 5 observações em cada casa; 
 No caso de poucos grupos (tabelas 2x2), o número mínimo 
de observações em cada casa deve ser 10. 
3.7 CHI-QUADRADO (OU QUI-QUADRADO): 
 
 
 
 
𝜒2 
 
𝜒2 = 
(𝑜𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗)
2
𝑒𝑖𝑗
𝑐
𝑗=1
𝑙
𝑖=1
 
 
 
 
 
 
 Onde: 
 l é o número de linhas; 
 c é o número de colunas; 
 oij é a frequência observada da linha i e coluna j; 
 eij é a frequência esperada da linha i e coluna j. 
 
 
 
3.7 CHI-QUADRADO (OU QUI-QUADRADO): 
 
 
 
 
𝜒2 
 
𝜒2 = 
(𝑜𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗)
2
𝑒𝑖𝑗
𝑐
𝑗=1
𝑙
𝑖=1
 
 
 
 
 
 Note que é não-negativa, sem limite superior. 
 
 Quando as diferenças (oij - eij) são grandes, o valor de é grande e maior 
será a associação entre as variáveis. 
 
 Do mesmo modo, quando as frequências observadas são próximas da 
frequências esperadas (ou seja, as diferenças oij – eij são pequenas), o valor 
de é pequeno e a associação é fraca. 
 
 Porém, apenas um valor alto de não é suficiente para dizermos se é a 
associação é estatisticamente significante. Mas, os testes serão vistos 
apenas na Unidade 5. 
𝜒2 
𝜒2 
𝜒2 
3.7 VALORES OBSERVADOS / ESPERADOS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 54 36 22 
Feminino 115 41 17 
Tabela OBSERVADA: 
Tabela ESPERADA: 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 66,414 30,260 15,326 
Feminino 102,586 46,740 23,674 
3.7 VALORESOBSERVADOS / ESPERADOS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 54 36 22 
Feminino 115 41 17 
Tabela OBSERVADA: 
Tabela ESPERADA: 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 66,414 30,260 15,326 
Feminino 102,586 46,740 23,674 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino (54-66,414)2 (36-30,260)2 (22-15,326)2 
Feminino (115-102,586)2 (41-46,740)2 (17-23,674)2 
Tabela da diferença ao quadrado entre observados e esperados: 
3.7 VALORES OBSERVADOS / ESPERADOS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 54 36 22 
Feminino 115 41 17 
Tabela OBSERVADA: 
Tabela ESPERADA: 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 66,414 30,260 15,326 
Feminino 102,586 46,740 23,674 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 154,1074 32,9476 44,54228 
Feminino 154,1074 32,9476 44,54228 
Tabela da diferença ao quadrado entre observados e esperados: 
3.7 VALORES OBSERVADOS / ESPERADOS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 54 36 22 
Feminino 115 41 17 
Tabela OBSERVADA: 
Tabela ESPERADA: 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 66,414 30,260 15,326 
Feminino 102,586 46,740 23,674 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 154,1074/66,414 32,9476/30,260 44,54228/15,326 
Feminino 154,1074/102,586 32,9476/46,740 44,54228/23,674 
Tabela da diferença ao quadrado, dividida pelo valor esperado: 
3.7 VALORES OBSERVADOS / ESPERADOS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 54 36 22 
Feminino 115 41 17 
Tabela OBSERVADA: 
Tabela ESPERADA: 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 66,414 30,260 15,326 
Feminino 102,586 46,740 23,674 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 2,320405 1,088817 2,906321 
Feminino 1,502226 0,704912 1,881485 
Tabela da diferença ao quadrado, dividida pelo valor esperado: 
3.7 VALORES OBSERVADOS / ESPERADOS 
 
 
 
 
Sexo Positiva Indiferente Negativa 
Masculino 2,320405 1,088817 2,906321 
Feminino 1,502226 0,704912 1,881485 
Tabela da diferença ao quadrado, dividida pelo valor esperado: 
 Agora que temos os valores finais, basta somá-los para encontrarmos o 
 
 
 
 
 
 
 Assim, 
 
 Mas, o que significa esse valor? É alto o suficiente para dizermos que as 
variáveis são associadas? Ou é um valor pequeno que indica que não há 
associação? 
 
 Só vamos conseguir saber isso na unidade 5. Por enquanto, vamos usar 
uma medida auxiliar, que irá nos dar uma ideia da associação. Essa 
medida é o coeficiente de contingência ajustado. 
𝜒2 
𝜒2 = 10,40416689 ≅ 10,404 
3.9 COEFICIENTE DE CONTINGÊNCIA 
 Este coeficiente, calculado a partir do chi-quadrado, é 
usado para medir o grau de associação de duas variáveis 
qualitativas de forma mais simplificada. 
 
 
 
 
 Onde: 
 t é o menor valor de linhas ou colunas. 
 
 Essa medida é mais fácil de analisar, pois 0≤C* ≤1. 
 Quando C*=0, diz-se que as variáveis são independentes. 
 
 Quando C*=1, diz-se que as variáveis são perfeitamente 
associadas. 
 
 
𝐶∗ =
𝑡 × 𝜒2
(𝜒2 + 𝑛 ) × (𝑡 − 1)
 
3.10 COEFICIENTE DE CONTINGÊNCIA - EXEMPLO 
 Para o nosso exemplo, lembre-se que temos: 
 = 10,404; 
 2 linhas e 3 colunas, logo o mínimo entre essas duas é t=2; 
 n = 285 
 
 Então, usando a fórmula: 𝐶∗ =
𝑡 × 𝜒2
(𝜒2 + 𝑛 ) × (𝑡 − 1)
 
𝜒2 
𝐶∗ =
2×10,404
(10,404+285)×(2−1)
 = 
20,808
(295,404)×(1)
=
20,808
(295,404)×(1)
= 0,07044 
 = 0,2654