UNIDADE 4 - Aula 6 - Distribuição de Probabilidade Contínua A Distribuição Normal

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UNIDADE 4 – NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
1. Distribuição de Probabilidade Contínua: 
A Distribuição Normal 
4.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 As distribuições “normais” foram descobertas quando cientistas 
(principalmente, Karl F. Gauss – por isso, as vezes é chamada 
de distribuição “gaussiana”) observaram que mensurações 
repetidas de uma mesma quantidade tendiam a variar; 
 
 Quando se coletava grande número dessas mensurações, 
dispondo-as numa distribuição de frequência, elas se 
apresentavam repetidamente como uma forma análoga à da 
figura abaixo: 
4.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 Como essa forma vinha associada aos erros de mensuração, 
essa distribuição começou a ser chamada de “distribuição 
normal dos erros”, ou, simplesmente, “distribuição normal”. 
 
 Depois, constatou-se que essa distribuição podia ser 
aproximada por uma distribuição matemática como a da figura 
abaixo: 
4.2 CARACTERÍSTICAS DA NORMAL 
 É uma distribuição unimodal e simétrica em relação à 
média. 
 
 É completamente especificada por dois parâmetros: a 
média μ e a variância σ2 . 
 Assim, X~N(μ; σ2): “a variável aleatória X possui 
distribuição normal com média μ e variância σ2 ”. 
 
 A área total sob qualquer curva normal representa 
100% da probabilidade associada à variável. 
 
 Como é simétrica, a probabilidade de observar um 
valor abaixo da média é 50%. Essa também é a 
probabilidade de observar um valor acima da média. 
4.2 CARACTERÍSTICAS DA NORMAL 
 Como a escala de numeração é contínua (vai de -
∞ a + ∞), a probabilidade de predizer um valor 
exato é zero. 
 
 Assim, quando avaliamos a probabilidade, 
estamos avaliando a área embaixo da curva. 
 
 Ou seja, a probabilidade de uma variável 
aleatória distribuída normalmente tomar um 
valor entre dois pontos quaisquer é igual a área 
sob a curva normal compreendida entre aqueles 
dois pontos. 
4.2 CARACTERÍSTICAS DA NORMAL 
A B 
Probabilidade de 
X%, entre A e B 
X% 
4.2 CARACTERÍSTICAS DA NORMAL 
 Uma conseqüência importante do fato de uma 
curva normal poder ser completamente 
especificada por sua média e variância é que a 
área sob a curva entre um ponto qualquer e a 
média é função somente do número de desvios 
padrões que aquele ponto dista da média. 
 
 Esta é a chave que nos permite calcular 
probabilidades para a curva normal e um 
dos resultados mais importantes para a 
Estatística. 
4.2 CARACTERÍSTICAS DA NORMAL 
 Se uma variável tem distribuição normal, cerca 
de 68% dos seus valores cairão no intervalo de 
um desvio padrão a partir da média. 
 
 Cerca de 95% no intervalo de dois desvios 
padrões a contar da média. 
 
 E cerca de 99% dentro de três desvios padrões a 
contar da média. 
 
 Então, podemos lembrar da regra: 68-95-99. 
4.2 CARACTERÍSTICAS DA NORMAL 
4.3 A NORMAL PADRÃO 
 Se observarmos os dados, podemos ter infinitas 
combinações de média e desvio padrão. 
 
 Desse modo, teremos, também, infinitas 
distribuições normais. 
 
 Existem maneiras de se calcular as 
probabilidades entre dois pontos para essas 
distribuições, mas é mais fácil padronizar a 
normal e observar os valores tabelados. 
4.3 A NORMAL PADRÃO 
 Os valores de 1, 2 ou 3 desvios para a regrinha 68-95-
99 vêm dessa normal padronizada. 
 
 Algebricamente, a padronização é dada por: 
 
 
 
 
 Onde: 
 z: é o nº de desvios padrões a contar da média; 
 x: é um valor arbitrário (um dos pontos A e B, que vimos; 
 μ: é a média da distribuição normal; 
 σ: é o desvio padrão 
σ
µ−
=
xz
4.3 A NORMAL PADRÃO 
 Essa nova escala é conhecida como escala z. 
 
 Os novos valores nos indicam que X, agora é uma 
variável aleatória com distribuição normal e média 0 
(zero) e variância (1): 
X~N(0;1) 
 
 z admite valores negativos. Isso acontece quando um 
valor de x é inferior à media. 
 
 É também necessário sabermos trabalhar em sentido 
inverso, passando os valores de z para valores 
efetivos: 
valor efetivo = μ + z*σ 
4.4 A TABELA DA NORMAL PADRÃO 
 As áreas sob a curva de qualquer distribuição 
normal podem ser achadas utilizando-se uma 
tabela normal padronizada, após fazer a 
conversão da escala original para a escala z. 
 
 A média passa a ser o ponto de referência 
(origem) e o desvio padrão é a unidade de medida. 
 
 É construída para ser lida em unidades de z. 
 
 A tabela dá a área sob a curva (isto é, a 
probabilidade de um valor cair naquele intervalo) 
entre a média e valores escolhidos de z. 
4.4 A TABELA DA NORMAL PADRÃO 
z 
A poção sombreada 
corresponde à área 
sob a curva que pode 
ser lida diretamente 
na tabela. 
4.4 A TABELA DA NORMAL PADRÃO 
 A tabela vem dada em termos de valores de z com 
duas casas decimais, tais como 2,78, 1,04, 2,45, 
etc. 
 
 Uma peculiaridade é que os valores de z vêm 
decompostos em duas partes: 
 O valor da parte inteira e da primeira decimal 
integram as colunas; 
 A segunda decimal aparece na linha horizontal do 
topo. 
• Suponha que 
queiramos 
determinar a 
área entre a 
média e z = 
1,25. 
 
•Primeiro, 
avaliamos o 
valor de 1,2 
nas colunas. 
 
•Depois 
procuramos os 
valores na 
linha do topo. 
 
 
 
4.4 A TABELA DA NORMAL PADRÃO 
 Como a metade da esquerda é essencialmente a 
mesma da direita, se cada um dos valores de z na 
tabela acima tivesse antes de si um sinal de “menos”, 
as áreas sob a curva ainda seriam as mesmas. 
 
 A tabela normal pode também ser usada para 
determinar a área sob a curva além de um dado valor 
de z. 
 
 A chave aqui é que a área de uma das metades é 50%, 
logo, a área além de z é 50% - valor tabelado. 
 
 Por exemplo, a área além de z= + 1 será 0,5 – 0,3413 = 
0,1587. 
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Seja Y~N(6,9), qual a P(5 < Y < 8)? 
 Isto é, seja Y uma variável aleatória com distribuição 
normal de média 6 e variância 9, qual a probabilidade 
de Y estar entre 5 e 8? 
 
 
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Seja Y~N(6,9), qual a P(5 < Y < 8)? 
 Isto é, seja Y uma variável aleatória com distribuição 
normal de média 6 e variância 9, qual a probabilidade 
de Y estar entre 5 e 8? 
 
 O primeiro passo é criar a variável z: 
 
 
 
 
 
 





−=
−
=
−
=
−
=
3333,0
3
65
6667,0
3
68
σ
µYz
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Queremos saber, então, a probabilidade de z 
estar entre -0,3333 e 0,6667: 
 P(-0,33 < Z < 0,67)=? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Queremos saber, então, a probabilidade de z 
estar entre -0,3333 e 0,6667: 
 P(-0,33 < Z < 0,67)=? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Queremos saber, então, a probabilidade de z 
estar entre -0,3333 e 0,6667: 
 P(-0,33 < Z < 0,67)=? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Queremos saber, então, a probabilidade de z estar 
entre -0,3333 e 0,6667: 
 P(-0,33 < Z < 0,67)=0,12930+0,24857=0,37787=37,8% 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Seja X a variável aleatória “número de 
hambúrgueres” vendidos numa lanchonete. Suponha 
que essa variável tenha distribuição normal com 
média 200 e variância 1.600. 
 
 Queremos saber a probabilidade de vender mais de 
230 hambúrgueres. 
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 Temos: X~N(200;1.600) e queremos saber P(X>230). 
 
 Precisamos, primeiro, transformar P(X>230) para a 
escala z: 
 
 
 
 Então, P(Z>0,75)=? 
 
75,0
40
200230
=
−
=
−
=
σ
µXz
4.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 P(Z>0,75) = 1 – P(Z<0,75) = 1–(0,5+0,27337)= 0,226634.5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS 
 P(Z>0,75) = 0,5 – P(Z<0,75) = 0,5-0,27337= 0,22663 
 
 P(X>230) = 22,7% 
 
 
	Unidade 4 – Noções de Probabilidade
	4.1 A Distribuição Normal
	4.1 A Distribuição Normal
	4.2 Características da Normal
	4.2 Características da Normal
	4.2 Características da Normal
	4.2 Características da Normal
	4.2 Características da Normal
	4.2 Características da Normal
	4.3 A Normal Padrão
	4.3 A Normal Padrão
	4.3 A Normal Padrão
	4.4 A Tabela da Normal Padrão
	4.4 A Tabela da Normal Padrão
	4.4 A Tabela da Normal Padrão
	Slide Number 16
	Slide Number 17
	4.4 A Tabela da Normal Padrão
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos
	4.5 A Distribuição Normal - Exemplos