Atividade Dircursiva - Controle Estatístico da Qualidade

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Atividade Discursiva
 Controle Estatístico da Qualidade
Aluno: David Idalgo
CPF: 290.795.478-40
Matéria: Controle Estatístico da Qualidade
Graduação: Engenharia de Produção 		6º semestre
Os planos de amostragem por aceitação por variáveis estatísticas necessitam que se encontre o valor da variável normal padronizada, seja para o limite inferior ou para o limite superior. No método K, o valor da variável normal padronizada para o limite inferior de especificação é comparado ao valor k, para tomar a decisão de aceitar ou rejeitar o lote. No método M, deve encontrar tanto o valor da variável normal padronizada para o limite inferior quanto para o limite superior de especificação, para tomar a decisão de aceitar ou rejeitar um lote.
Em ambos os casos, você precisa calcular o valor da variável e utilizar a tabela da distribuição normal padrão ou a tabela t-Student. A tabela normal é utilizada quando o desvio padrão é conhecido, enquanto a tabela t-Student deve ser usada quando o desvio padrão é desconhecido.
Cite quais são as informações que você precisa para encontrar o valor tabelado tanto na tabela de variável normal padrão quanto na tabela t-Student.
R: 
Distribuição Normal e t de Student
1. Distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como distribuição de Gauss ou Gaussiana. Sob condições de normalidade é possível aplicar diferentes teste estatísticos e calcular medidas de posição e dispersão de variáveis aleatórias contínuas.
Sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por:
a qual possui dois parâmetros: uma medida de posição, a média (μ), e uma medida de dispersão dos dados da variável aleatória (X) em torna da média, dada pela variância (σ²).
            
Graficamente, a distribuição normal é representada por:
De acordo com a figura anterior, espera-se uma maior probabilidade de ocorrência de valores de uma variável X qualquer próximo da média e menores nos extremos da distribuição. Em termos de esperança matemática, tem-se: E(x) = μ. Além disso, observa-se que em torno da média ± 1 desvio (σ) tem-se 68,28% da área sob a curva (probabilidade de ocorrência); 95,44% para ± 2 desvios (2σ), chegando a 99,74% para ± 3 desvios (3σ).
Exemplo:
Seja uma variável X ~ N(μ, σ²), cuja seguinte amostra de tamanho n=6 foi obtida de uma população qualquer e os valores são: 5, 7, 9, 14, 18 e 21. Assim, as estimativas de média e variância são, respectivamente:
A variabilidade em torno da média, na unidade original, é estimada pelo desvio padrão (S), tal que, para os dados deste exemplo, é obtido por:
A variabilidade em torno da média também pode ser expressa em termos percentuais pelo coeficiente de variação, calculado por:
Como  é um estimador de μ. Se, de um total de “N” observações, for retirada uma amostra de tamanho “n” e calculada a estimativa de , o quanto esta estimativa pode ser diferente de μ?
Esta estimativa pode ser obtida calculando-se o erro padrão da média para uma população infinita ou finita, respectivamente, por:
Se todos os “N” valores de uma população finita forem medidos, então:
porque tem-se que:
Se todos os “N” valores forem iguais, então:
e não temos uma distribuição dos valores de X e sim um ponto porque todos os valores são iguais.
1.1.  Distribuição Normal Padronizada
 
A f.d.p da distribuição normal é dada, como visto anteriormente, por:
 
Assim, para cada valor de μ e/ou σ², tem-se uma curva de distribuição de probabilidades. Desta forma, desejando-se calcular áreas específicas sob as curvas (probabilidades), torna-se necessário utilizar a distribuição normal padronizada ou reduzida, que possui  μ=0 e σ=1.
Para obter tal distribuição padronizada, quando uma variável X possui distribuição normal com média (μ) diferente de 0 (zero) e/ou desvio padrão (σ) diferente de 1 (um), é necessário transformar a distribuição de X para uma variável Z, por meio da seguinte expressão:
Desta forma, obtemos uma distribuição de Z, com μ=0 e σ=1, representada graficamente por:
 
 
Exemplo:
Por exemplo, se se deseja obter a probabilidade de z ≥ 2,75, deve-se calcular a probilidade considerando á área total sob a curva, que é igual a 1, menos a probabilidade até o valor padronizado de 2,75. Como se trata de uma distribuição de uma variável aleatória contínua, as probabilidades, neste exemplo, são dadas pela resolução da seguinte integral:
Assim, a probabilidade  de z ≥ 2,75 é igual a 0,003 ou 0,3%.
 Existem tabelas que fornecem as probabilidades acumuladas sob a curva, pela solução das respectivas integrais. No caso deste exemplo, analisando-se a tabela abaixo, observa-se que a probabilidade acumulada da média (zero) até o valor de 2,75 é igual a 0,4970. Como a distribuição de probabilidades é simétrica, a probabilidade acumulada até a média (zero) é igual a 0,50. Então a probabilidade acumulada até o valor de de 2,75 é: 0,50 + 0,4970 = 0,9970. Como se deseja a probabilidade de z ≥ 2,75, esta será: 1 - 0,9970 = 0,003 ou 0,3%.
2. Distribuição "t" de Student
Esta distribuição apresenta a seguinte f.d.p.
Graficamente, ela se parece muito com a distribuição normal, sendo simétrica e em forma de sino (figura abaixo), com caudas mais largas (maior variabilidade), tipicas de amostras de menores tamanhos. Para tamanhos de amostras maiores, mais próxima será a distribuição “t”de Student da distribuição normal.
No inventário florestal, onde deseja-se construir o intervalo de confiança para a média populacional (desconhecida) de uma variável aleatória X que possui distribuição normal, com base em uma amostra de tamanho “n”, utiliza-se a distribuição  “t” de Student para associar um nível de probabilidade a média amostral. Assim, multiplicando-se o erro padrão da média por um valor de “t”, para um determinado grau de liberdade e nível de significância, tem-se o erro de amostragem.
Desta forma, o intervalo de confiança para a média populacional, é dado por:
Considerando novamente os dados de uma amostra de uma variável aleatória, em uma população infinita, tal que X ~ N(μ, σ²):  2, 5, 7, 9, 14, as estimativas da média, da variância e do erro padrão da média, serão:
O intervalo de confiança para a média, considerando o valor da estatística “t” para um nível de significância de 5% e 4 graus de liberdade igual a 2,78 (ver tabela abaixo), será:
Referencias:	
Fonte: http://www.mensuracaoflorestal.com.br/distribuicao-normal-e-quottquot-de-student