3.3_DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES_

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Luana de Melo Pereira 
 
Disciplina: Estatística Básica 
Universidade Federal de Pelotas 
Centro das Engenharias - Ceng 
3.3. DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADES 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 Introdução 
 
 Distribuições de probabilidade para variáveis discretas 
 
 Distribuições de probabilidade para variáveis contínuas 
2 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
3 
1. Distribuição de Bernoulli 
2. Distribuição Binomial 
3. Distribuição Hipergeométrica 
4. Distribuição de Poisson 
5. Distribuição Multinomial 
6. Distribuição Geométrica 
7. Distribuição Binomial Negativa 
8. Distribuição Hipergeométrica Negativa 
9. Distribuição Uniforme 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
4 
1. Distribuição Uniforme 
2. Distribuição Normal 
 Distribuição Normal Padrão 
3. Distribuição Gama 
4. Distribuição Exponencial 
5. Distribuição Beta 
6. Distribuição Lognormal 
7. Distribuição Seminormal 
8. Distribuição Weibull 
9. Distribuição Gumbel 
INTRODUÇÃO 
5 
Por que uma variável é denominada aleatória? 
Porque os seus valores ocorrem de forma aleatória ou probabilística. 
Exemplo: plantas de uma determinada cultivar de trigo são cultivadas 
numa pequena área de campo sob condições idênticas. Se coletarmos dez 
plantas dessas e medirmos suas alturas, todas as plantas terão a mesma 
altura? 
Esta aleatoriedade gera variabilidade. 
 
 
 
A estatística busca a regularidade presente na variabilidade e essa 
regularidade permite que as variáveis aleatórias sejam representadas por 
modelos matemáticos que são denominados, agora, distribuições de 
probabilidade. 
Com base nessas distribuições, a Estatística cria técnicas que possibilitam 
tomar decisões apesar da variabilidade, na presença da incerteza. 
Na pesquisa científica o pesquisador precisa tomar decisões e 
obter conclusões na presença de variabilidade. 
INTRODUÇÃO 
6 
O que é uma distribuição de probabilidade? 
Uma distribuição de probabilidade é essencialmente um 
modelo de descrição probabilística de uma população. 
  População é o conjunto de todos os valores de uma 
variável aleatória. 
X=x 0 1 2  
P(X=x) 0,1 0,6 0,3 1 
 
população 
Distribuição de 
probabilidade 
INTRODUÇÃO 
7 
  Os modelos têm aplicações gerais e são individualizados através 
dos parâmetros 
 
 Parâmetros: são caracterizações numéricas que permitem a 
individualização de um modelo em determinado contexto. 
 
  No estudo de uma variável aleatória é importante saber: 
 
 1. O tipo de distribuição determinado pela função de probabilidade da 
variável; 
 
 2. Os parâmetros da distribuição; 
 
 3. As medidas descritivas da distribuição. 
8 
1. Distribuição de Bernoulli 
Distribuições de Probabilidade de Variáveis 
Discretas 
 Deduzida no final do século XVII pelo 
matemático suíço Jacob Bernoulli. 
Jacob Bernoulli 
(1654 – 1705) 
 Definição: Modelo que descreve 
probabilisticamente os resultados 
de um experimento de Bernoulli. 
é definido como o experimento 
aleatório que possui apenas 
dois resultados possíveis. 
9 
Experimento: Um corpo de prova é testado quanto a sua 
resistência. 
 Devemos considerar um dos resultados como sucesso: 
 sucesso = resistente 
 fracasso = não resistente 
X = 
, se for resistente 
, se não for resistente 0 
1 
SX = {0,1} 
S = {resistente, não resistente} 
 Definimos a variável aleatória X como número de sucessos em 
uma repetição do experimento. 
 X = número de sucessos 
10 
O evento {não resistente} é complemento do evento 
{resistente}, então sua probabilidade será 1– 0,87. 
X = x 0 1  
P(X = x) 0,13 0,87 1 
 
 Se for conhecido a eficiência do lote de corpos de prova, 
por exemplo, 87%, podemos concluir que a probabilidade 
de o corpo de prova ser resistente é 0,87. 
probabilidade de 
sucesso (π) 
probabilidade de 
fracasso (1-π) ou q 
11 
Função de probabilidade 
 
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição de Bernoulli, 
sua função de probabilidade será: 
X = x 0 1  
P(X = x) 1 
 
 1- 
Representação 
tabular 
x1x )(1.x)P(X  
, para SX = {0, 1} 
parâmetro 
Representação 
analítica 
 A distribuição de Bernoulli tem apenas um parâmetro: 
 = probabilidade de sucesso ; X ~ Ber () 
X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro  
12 
Medidas descritivas 
 Média ou valor esperado 
E(X) =  = 

 XSx
p(x)x
Para SX = {0, 1} X = x 0 1  
P(X = x) 1-  1 
 
  1)(10
Teorema: E(X) =  =  
E(X) =  = 

 XSx
p(x)x
13 
 Variância 
X = x 0 1  
P(X = x) q  1 
 
Para SX = {0, 1} 
Teorema: V(X) = 2 =  (1-  ) 



xSx
xpxXV )()()( 22 
14 
Descreve probabilisticamente resultados de experimentos 
que possuem apenas dois resultados possíveis. 
RESUMO - Distribuição de Bernoulli 
Função de probabilidade 
x1x )(1x)P(X  
, para SX = {0, 1} 
 = probabilidade de sucesso Parâmetro: 
V(X) = 2 =  (1-) 
E(X) =  =  Medidas descritivas: 
15 
2. Distribuição Binomial 
 Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados 
de uma sequência de experimentos de Bernoulli independentes 
entre si, ou seja, onde a probabilidade de sucesso é constante em 
todas as repetições do experimento. 
 Distribuição binomial é um processo finito de Bernoulli 
n experimentos de Bernoulli 
independentes, com probabilidade de 
sucesso  constante para todos eles. 
16 
Experimento: a população de uma cidade foi vacinada contra uma 
determinada doença e 60% delas ficaram imunes. Se uma pessoa 
dessa cidade é escolhida ao acaso e sua situação em relação a 
imunização é registrada, temos um experimento de Bernoulli. 
 
S = {imune, não imune} 
p(não imune) = 
p(imune) = 0,6 
1 - 0,6 = 0,4 
Se três pessoas são escolhidos, uma a uma, e o resultado é 
registrado, temos uma sequência de três experimentos de Bernoulli 
independentes, pois, a cada escolha, a probabilidade de sucesso 
permanecerá inalterada. 
Exemplo 
17 
A variável X é definida como o número de sucessos em n 
experimentos de Bernoulli independentes, com 
probabilidade de sucesso igual a . 
SX = {0, 1, 2, 3} 
Sucesso = imune 
n=3 e =0,6 
Qual é a função de probabilidade P(X=x) associada a 
variável X? 
xnxx
n )(1Cx)P(X
 , para SX = {0, 1, ..., n} 
18 
P(X=0)= 
SX = {0,1,2,3} 
P(X=1) = 
P(X=2) = 
P(X=3) = 
P(X=x) = ? X: nº pessoas imunes 
= 1  0,60  0,43 = 0,064 
= 3  0,61  0,42 = 0,288 
= 3  0,62  0,41 = 0,432 
= 1  0,63  0,40 = 0,216 
x)!(nx!
n!
Cxn


Combinação 
0
3C
1
3C
2
3C
3
3C
19 
x3xx
3 0,6)(10,6Cx)P(X

X = x 0 1 2 3  
P(X = x) 0,064 0,288 0,432 0,216 1 
 
Representação tabular 
Representação analítica 
, para SX = {0, 1, 2, 3} 
Número 
de casos 
Probabilidade 
de um caso 
20 
Parâmetros 
A distribuição binomial tem dois parâmetros: 
 n = número de repetições do experimento de Bernoulli 
  = probabilidade de sucesso 
X ~ Bin (n,) 
X tem distribuição binomial com parâmetros n e  
xnxx
n )(1Cx)P(X
 
parâmetros 
21 
Medidas descritivas 
E(X) =  = 

 XSx
p(x)x
 Média ou valor esperado 
Teorema: E(X) =  = n 
 Variância 
Teorema: V(X) = 2 = n  (1-) 



xSx
xpxXV )()()( 22 
22 
Descrição probabilística de uma sequência de experimentos 
de Bernoulli independentes.Importante no contexto de 
amostragem com reposição. 
RESUMO - Distribuição binomial 
Função de probabilidade 
xnxx
n )(1Cx)P(X
 , para SX = {0, 1, ..., n} 
n = número de repetições no experimento Parâmetros: 
V(X) = 2 = n  (1-) E(X) =  = n  
Medidas descritivas 
 = probabilidade de sucesso 
23 
Exercício proposto: 
Num determinado processo de fabricação 10% das peças são 
consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em 
caixas com 5 unidades cada uma. 
(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 1 peça defeituosa 
numa caixa? 
(b) Qual a probabilidade de haver pelo menos duas peças 
defeituosas numa caixa? 
(c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa em que 
houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa 
num total de 1000 caixas? 
(32,81%) 
(8,14%) 
(R$ 4.100) 
24 
(a) P(X = 1) = = 0,3281 = 32,81% 
(b) P(Duas ou mais defeituosas) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) 
Ao invés de calcular desta forma é mais conveniente utilizar o 
complementar. 
Assim: P(X  2) = 1 - P(X  1) 
 = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - (0,5905 + 0,3281] = 8,14% 
(c) A probabilidade de uma caixa pagar multa é: 
 P(PM) = P(X  1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,5905 = 40,95% 
Neste caso tem-se uma nova Binomial, sendo Y=n° de caixas que 
pagam multa com n = 1000 e  = 0,41. O número esperado de caixas 
que vão pagar multa, isto é, com uma ou mais peças defeituosas será: 
 E(Y) =  = n = 1000 . 0,41 = 410 caixas 
Como cada uma paga R$ 10,00 de multa, o valor total da multa será: 
 R$ 10,00 . 410 = R$ 4 100,00 
411
5 (0,90).(0,10)C
25 
3. Distribuição Hipergeométrica 
 A Distribuição hipergeométrica se difere da Distribuição binomial 
porque a probabilidade de sucesso muda de um experimento para o 
outro, pois trata-se de experimentos dependentes, ou seja, sem 
reposição. 
Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de 
uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. 
Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas sem 
reposição, onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada. 
26 
(sucesso) 
n elementos 
(sem reposição) 
(fracasso) 
X= número de 
sucessos em n 
retiradas 
N 
N1 N2 
=N1+N2 
Sub-populações 
População 
 Do ponto de vista probabilístico não faz diferença considerar retiradas 
individuais sem reposição ou retirada conjunta de grupos. 
 = N1 
 N 
probabilidade de 
sucesso 
 1- = N2 
 N 
probabilidade de 
fracasso 
27 
Exemplo: Uma bandeja contém 10 xícaras de cafezinho, sete 
com açúcar e três com adoçante. Três pessoas se aproximam da 
bandeja e se servem. Se a variável aleatória X é definida como o 
número de xícaras de café com açúcar, construa a distribuição de 
probabilidade de X. 
Açúcar 
3 xícaras 
Adoçante 
X = número de xícaras de café com açúcar 
N =10 
N1=7 N2 =3 
Xícaras 
(n=3) 
SX = {0, 1, 2, 3} 
28 
S = {A1A2A3, A1A2a1,A1A2a2, ..., a5a6a7} 
# S = 
X = número de xícaras de café com açúcar SX = {0, 1, 2, 3} 
0,0083
120
1
120
11
C
CC
3
10
3
3
0
7



0,175
120
21
120
37
C
CC
3
10
2
3
1
7



0,525
120
63
120
321
C
CC
3
10
1
3
2
7



0,2917
120
35
120
135
C
CC
3
10
0
3
3
7



P(X =0) = 
P(X =1) = 
P(X =2) = 
P(X =3) = 
3
10C
= 120 
a = açúcar 
A = adoçante 
29 
X = x 0 1 2 3  
P(X = x) 0,0083 0,175 0,525 0,2917 1 
 
3
10
x-3
3
x
7
C
CC
x)P(X 
Representação tabular 
Representação analítica 
, para SX = {0, 1, 2, 3} 
, para SX = {0, 1, ..., n} 
n
N
x-n
N
x
N
C
CC
x)P(X 2 1 
Número de maneiras para 
retirada de x elementos 
dentre os N1 que compõem 
o grupo de sucesso 
Número de maneiras 
para retirada dos 
demais elementos 
Número de amostras 
(sem reposição) que 
podem ser formadas 
Função de probabilidade 
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição hipergeométrica, 
sua função de probabilidade será: 
31 
Parâmetros 
A distribuição hipergeométrica tem três parâmetros: 
 n = número de repetições do experimento 
 N = tamanho da população 
 N1 = tamanho da sub-população de interesse 
X ~ Hip (n,N,N1) 
X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros n, N e N1 
n
N
x-n
N
x
N
C
CC
x)P(X 21
parâmetros 
32 
Medidas descritivas 
E(X) =  = 

 XSx
p(x)x
 Média ou valor esperado 
Teorema: 
 Variância 
Teorema: 



xSx
xpxXV )()()( 22 
N
N
n μE(X) 1 







1-N
n-N
N
N
N
N
nσV(X) 2 1 2
No exemplo: X ~ Hip (n=3, N=10, N1=7) 
0,70,49V(X)σ 
Significado: Se o experimento for repetido um grande número de 
vezes, a variação média do número de sucessos em relação ao valor 
esperado será 0,7. 
Significado: Se o experimento (escolher três xícaras) for repetido 
um grande número de vezes, o número médio de sucessos (xícaras 
de café com açúcar) obtidos será 2,1. 
N
N
 nE(X) 1  2,1
10
7
 3 







1-N
n-N
N
N
N
N
nV(X) 2 1 0,49
1-10
3-10
10
3
10
7
3 






xícaras com açúcar 
xícaras com açúcar 
34 
Descrição probabilística de uma sequência de experimentos 
de Bernoulli dependentes. Importante no contexto de 
amostragem sem reposição. 
RESUMO - Distribuição hipergeométrica 
Função de probabilidade 
n = número de repetições no experimento Parâmetros: 
Medidas descritivas 
N = tamanho da população 
N1 = tamanho da sub-população de interesse 
n
N
x-n
N
x
N
C
CC
x)P(X 2 1 
N
N
 nμE(X) 1  






1-N
n-N
N
N
N
N
nσV(X) 2 1 2
, para SX = {0, 1, ..., n} 
Exercício proposto: 
 
Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão 
queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual 
a probabilidade de que: 
 
(a) Exatamente duas estejam queimadas? 
(b) Pelo menos uma esteja boa? 
(c) Pelo menos duas estejam queimadas? 
(d) O número esperado de lâmpadas queimadas? 
(e) A variância do número de lâmpadas queimadas? 
Tem-se N = 12, N1 = 5 e n = 6, então: 
(a) P(X = 2) = = 37,88% 
(b) Se são retiradas 6 lâmpadas e somente 5 estão queimadas, 
então necessariamente uma será boa, portanto: 
P(pelo menos uma boa) = 100%. 
(c) P(X  2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] 
 = 1 - - = 87,88%. 
(d) E(X) = n.N1 / N = 6.5 / 12 = 30/12 = 5/2 = 2,50. 
(e) V(X) = = = 210/1584 = 0,1326 
6
12
4
7
2
5
C
CC
6
12
6
7
0
5
C
CC
6
12
5
7
1
5
C
CC
1)(N
n)(N
N
N
N
N
n 21


12.12.11
6.5.7.6
4. Distribuição de Poisson 
Siméon D. Poisson 
(1781 – 1840) 
Modelo de descrição de acontecimentos de 
ocorrência rara. 
Definição: descreve probabilisticamente a 
sequência de um grande número de 
fenômenos independentes entre si, cada um 
com probabilidade de sucesso muito pequena. 
 Ocorre naturalmente quando se deseja 
contar o número de um tipo particular de 
eventos que ocorrem por unidade de tempo, 
de superfície ou de volume. 
 Pode ser considerada como uma binomial onde o número de 
experimentos (n) é grande ep é pequeno (sucesso raro). É um 
processo infinito de Bernoulli. 
 número de peças defeituosas observadas em uma linha de 
produção num determinado período de tempo; 
 número de acidentes de trabalho ocorridos numa grande 
empresa num determinado período de tempo; 
 número de ciclones ocorridos em certa região num determinado 
período de tempo; 
 número de formigueiros por unidade de área em uma região; 
 número de bactérias por unidade de área em uma lâmina com 
extratos de uma planta; 
Exemplos: 
Função de probabilidade 
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição de 
Poisson, sua função de probabilidade será: 
, para SX = {0, 1, 2, ...} 
x!
λ
ex)P(X
x
λ
onde: 
 X: número de sucessos 
 e = 2,718 (base dos logaritmos neperianos) 
 : número médio de sucessos (sempre maior que zero) 
 espaço 
amostral infinito 
x!
ex)P(X
xλλ
Parâmetros 
A distribuição de Poisson tem apenas um parâmetro: 
  = número médio de sucessos 
X ~ Poi () 
X tem distribuição de Poisson com parâmetro  
parâmetro 
41 
Medidas descritivas 
E(X) =  = 

 XSx
p(x)x
 Média ou valor esperado 
Teorema: 
 Variância 
Teorema: 



xSx
xpxXV )()()( 22 
E(X) =  =  
V(X) = 2 =  
42 
Descrição probabilística da sequência de um grande número 
de fenômenos independentes, todos com probabilidade de 
sucesso constante e muito pequena. 
RESUMO – Distribuição Poisson 
Função de probabilidade 
 = número médio de sucessos Parâmetros: 
Medidas descritivas 
, para SX = {0, 1, ...} 
x!
λ
ex)P(X
x
λ
E(X) =  =  V(X) = 2 =  
Exercício proposto: 
 Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, 
ocorrem defeitos a uma taxa de 1 a cada 2000 metros. 
Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 metros de 
fita magnética: 
(a) Não tenha defeitos? 
(b) Tenha no máximo dois defeitos? 
(c) Tenha pelo menos dois defeitos? 
Solução: Neste caso, tem-se: 
 = 1 (taxa de defeitos a cada 2000 metros) 
X = nº de defeitos a cada 2000 metros 
Então: 
P(X = x) = , para x = 0, 1, 2, 3, ... 
(a) P(X = 0) = = e-1 = 36,79% 
(b) P(X  2) = + + = = 91,97% 
(c) P(X2) = 1-P(X1) = 1- [ + ]=1- 2e-1 = 26,42% 
 e
x
x
!
1 0
1
0
e
!
1 11
1
e
!
1 0
1
0
e
!
1 2
1
2
e
!
1
5
2
e
1 11
1
e
!
1 0
1
0
e
!
Exercício proposto: 
Um dado é formado por chapas de plástico de 10x10 cm. Em 
média aparecem 50 defeitos por metro quadrado de plástico, 
segundo uma distribuição de Poisson. 
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar 
exatamente 2 defeitos? 
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois 
defeitos? 
(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam 
perfeitas? 
(7,58%) 
(80,08%) 
(24,36%) 
Em média aparecem 50 defeitos/m2 = (50/10000) defeitos/cm2 
Como cada face tem 10cm x 10 cm = 100 cm2, tem-se então: 
 
 
 = (50/10000) defeitos/cm2 x 100 cm2 = 0,5 defeitos por face. 
A probabilidade de uma face apresentar dois defeitos será: 
 P(X = 2) = = 7,58% 
0 5 20 5
2
, ( , )
!
e
1m2=10000cm2 
50-------------- 10000 
X----------------100 
X=50.100/10000 
X=0,5 
a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos? 
 
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos? 
No dado inteiro, a área total será a = 6x100 cm2 = 600 cm2 e o número 
médio de defeitos será então: 
 = (50/10000) defeitos /cm2 x 600 cm2 = 3 defeitos 
A probabilidade de o dado apresentar no mínimo 2 defeitos será: 
P(X  2) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... = 1 - P(X  1) 
 = 1 - [P(X = 0) + P(X =1)] = 
 = 1 - [ + ] = 
 = 1 - [0,0498 + 0,1494] = 80,08% 
 3 0 3 
0 
e 
! 
 3 1 3 
1 
e 
! 
 (c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam perfeitas? 
A probabilidade de uma face ser perfeita é a probabilidade de ela não 
apresentar defeitos, isto é: 
 P (X = 0) = = 60,65% 
Tem-se então uma binomial Y com n = 6 (número de faces do dado) e 
π= 60,65%(probabilidade de uma face ser perfeita) 
Então a probabilidade de pelo menos 5 perfeitas, será: 
 P(Y  5) = P(Y = 5) + P(Y = 6) 
 = + = 24,36% 
0 5 00 5
0
, ( , )
!
e
(0,3935)(0,6065)
15
..
6
5






6
6
0 6065 0 3935
6 0




.( , ) .( , )
49 
Distribuições de probabilidade de 
variáveis contínuas 
 É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma 
variável contínua 
  pesquisa bibliográfica 
  observação do campo de variação da variável 
 Existem vários tipos de distribuições contínuas, contudo a 
mais importante é a Distribuição normal. 
50 
É importante tanto no aspecto teórico como nas aplicações. Essa 
importância se deve a um conjunto de aspectos: 
  Propriedades matemáticas; 
  É útil para descrever uma grande quantidade de fenômenos naturais 
físicos, ambientais, etc.; 
  Distribuições de um grande número de variáveis aleatórias convergem 
para a distribuição normal; 
  Muitas variáveis não normais podem ser tratadas como normais após 
transformações simples; 
  Uma grande quantidade de métodos e procedimentos de inferência 
estatística são derivados tendo-a como pressuposição básica. 
 Distribuição Normal 
O conjunto de métodos desenvolvidos para tratar variáveis que têm distribuição 
normal forma a chamada Estatística Clássica ou Estatística Paramétrica. 
51 
 Definição: É uma distribuição teórica de frequências, onde 
a maioria das observações se situa em torno da média 
(centro) e diminui gradual e simetricamente no sentido dos 
extremos. 
 A distribuição normal é representada graficamente pela 
curva normal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e 
é simétrica em relação ao centro, onde se localiza a 
média . 
52 
Função densidade de probabilidade 
2
2
σ2
μ)(x
e
2πσ
1
f(x)


 , para SX = (-,+) 
 Parâmetros 
 
A distribuição normal tem dois parâmetros: 
 
  = média (determina o centro da distribuição) 
 2 = variância (determina a dispersão da distribuição) 
 
 X ~ N (, 2) 
parâmetros 
X tem distribuição normal com parâmetros  e 2 
De modo geral, se X é uma variável contínua que tem distribuição de 
normal, sua função densidade de probabilidade será: 
53 
Populações normais com 
médias diferentes e mesma 
variância 
Populações normais com 
variâncias diferentes e mesma 
média 
54 
Existe um número infinito de curvas normais 
55 
Propriedades da distribuição normal 
máximo 
1. O máximo da função densidade de probabilidade se dá 
 no ponto x= . 
 
56 
Md==Mo 
2. A distribuição é simétrica em relação ao centro onde 
 coincidem a média, a moda e a mediana. 
57 
3. Os pontos de inflexão são exatamente - e +. 
 -   +   
Ponto de inflexão: ponto onde a concavidade à direita tem sinal diferente 
ao da concavidade à esquerda 
58 
4. Verifica-se na distribuição normal que: 
P(- < X < +) = 0,6825 
P(-2 < X < +2) = 0,9544 
P(-3 < X < +3) = 0,9974 
59 
 Para cada valor de  e de , 
existe uma distribuição normal 
diferente O cálculo de áreas sob a curva 
normal, deverá ser feito sempre em 
função dos valores particulares de  e  
 Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi 
 determinada uma distribuição normal padrão ou reduzida 
 
 As áreas sob a curva normal padrão foram calculadas e 
 apresentadas numa tabela 
Cálculo de áreas 
60 
A curva normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas foram 
calculadas e apresentadas numa tabela. 
Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas 
correspondentes aos intervalos de 0 a z. 
4. Distribuição Normal Padrão 
Definição: é a distribuição normal de uma variável Z que tem média igual a zero 
(=0) e desvio padrão igual a um (=1). 
61 
Tabela - Área sob a curva normal padrão de 0 a z, P(0  Z  z). 
?0,62)ZP(0 
0,23240,62)ZP(0 
z)ZP(0 
62 
 Os valores negativos não são apresentados na tabela porque a curva 
é simétrica; assim, as áreas correspondentes a esses valores são 
exatamente iguais às dos seus simétricos positivos, por exemplo 
P(-1<Z<0)=P(0<Z<1). 
 Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Z vão de 0 a 
3,9 . Este limite é estabelecido com base na quarta propriedade da 
distribuição normal. 
63 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 -2,17 2,17 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 
= 
0,4850 0,4850 
?0)ZP(-2,17 
= + 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 2 -1 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 1 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 2 
0,4772 0,3413 
?2)ZP(-1 
0,4772+0,3413 
= 0,8185 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 1,5 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- + 0 1,5 
= 
0,5 
_ 
0,4332 
?1,5)P(Z 
0,5-0,4332 
= 0,0668 
64 
Exercício proposto: 
Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal 
padrão. Determine as seguintes probabilidades: 
 
 a) P(0 < Z < 1,73) 
 
 b) P(Z > 0,81) 
 
 c) P(-1,25  Z  -0,63) 
R. 0,4582 
R. 0,2090 
R. 0,1587 
65 
 Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizar a variável 
X, ou seja, transformar X em Z. 
 Após a transformação, procuramos na tabela a área compreendida 
entre 0 e z, que corresponderá a área entre  e x. 
X ~ N (, 2) 
transformar 
σ
μX
Z


 
Z ~ N (0, 1) 
 Através da distribuição normal padrão é possível estudar qualquer 
variável X que tenha distribuição normal, com quaisquer valores para  e 
. 
66 
X ~ N (, 2) 
Z ~ N (0, 1) 
P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2) 
A transformação muda as variáveis, mas não altera a área 
sob a curva. 
67 
Sabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas, 
com média  = 3,9 e desvio padrão  = 0,28, determine: 
a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27; 
b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27. 
c) Sabendo que 5% dos alunos com as maiores notas serão selecionados 
para concorrerem a bolsas remuneradas, qual é o valor da nota mínima 
que um aluno deverá tirar para poder concorrer? 
Exemplo 
68 
Resolução: 
a) Para encontrar essa área, vamos utilizar a tabela da distribuição 
normal padrão. Inicialmente, fazemos a transformação da variável 
X para a variável Z. 
1,32
0,28
3,94,27
z 


69 
P(Z > 1,32) 
= P(Z > 0) – P(0<Z<1,32) 
= 0,5 – 0,4066 = 0,0934 
P(X > 4,27) = 0,0934 
70 
b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27. 
 
No item (a), vimos que este percentual é de 9,34%. Sendo 
assim, através de uma regra de três simples, podemos 
determinar quantos estudantes correspondem a 9,34% de uma 
população de 450 estudantes. 
 
450 -----------100% 
  ----------- 9,34% 
X= 42,03 
Concluímos, então, que, dos 450 estudantes, 42 têm nota 
superior a 4,27. 
71 
c) Pela tabela a área 0,4500 corresponde a Z=1,645 
nota mínima para concorrer a 
bolsa remunerada 
72 
Próxima aula 
Inferência Estatística 
- 4.1. Distribuições Amostrais 
Conceitos fundamentais