Capítulo 1 Corrente Contínua e Alternada 2

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CAPÍTULO 1 
PROFESSOR: Methodio Varejão de Godoy 
CORRENTE CONTÍNUA E ALTERNADA 
1. CORRENTE ELÉTRICA 
Toda a matéria é composta de átomos que por sua vez são compostos por 
uma combinação de eletrons. Os átomos tem núcleos com os eletrons girando 
em torno dele. O núcleo é composto de protons e neutrons (não mostrados na 
fig). Muitos dos átomos tem números iguais de eletrons e protons. Eletrons tem 
uma carga negativa e os protons tem uma carga positiva. Neturons são 
neutros. A carga negativa dos eletrons é equilibrada pela carga positiva dos 
protons. Os eletrons estão limitados em sua orbitas pela atração dos protons. 
 
Figura 1 - Átomo 
 
Os eletrons em órbitas mais externas podem se tornar livres de sua órbita 
devido a uma aplicação de uma força externa tais como um campo magnético, 
atrito ou uma reação química. Esses eletrons são denominados eletrons livres. 
Um eletron livre deixa um espaço que pode ser preenchido por outro atomo 
forçado a sair da órbita de outro átomo. Com o movimento dos eletrons livres 
de um átomo para o vizinho um fluxo de eletrons é produzido. Isto é a base da 
eletricidade. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
2
 
Figura 2 – Movimento de Eletrons 
 
Uma corrente elétrica é produzida quando eletrons livres movem-se de um 
átomo para outro. Os materiais que permitem muitos eletrons moverem-se 
livremente são denominados condutores. Cobre, prata, alumínio, zinco e ferro 
são considerados bons condutores. Cobre e Alumínio são os materiais 
condutores mais utilizados. 
 
 
Figura 3 – Corrente elétrica num material condutor 
 
Os materiais que permitem que apenas alguns eletrons movimentem-se 
livremente são os isolantes. Materiais como borracha, plástico, vidro, mica e 
porcelana são bons isolantes. 
 
Figura 4 – Corrente elétrica num material isolante 
 
Um cabo elétrico é um bom exemplo de como condutores e isoladores podem 
ser empregados. Os eletrons fluem ao longo do condutor de cobre para 
fornecer energia para uma televisão, motor ou uma lâmpada. Um material 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
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isolante recobrindo o condutor é provido para que os eletrons se mantenha 
dentro do condutor. 
 
Figura 5 – Materiais em um cabo 
 
Materiais semi-condutores, tais como silício, germânio, selênio são usados 
para produzir dispositivos que podem ter características de ambos condutores 
e isoladores. Muitos dispositivos semicondutores atuam como condutores 
quando uma força externa é aplicada em uma direção e como isoladores se a 
força externa é aplicada na direção contrária. Esse é o princípio básico dos 
transistores, diodos e demais dispositivos de estado sólido. 
 
Figura 6 – Simbologia de dispositivos de estado sólido 
 
Como foi descrito anteriormente, a eletricidade é o fluxo de eletrons em um 
condutor de um átomo para o átomo vizinho numa mesma direção. O fluxo de 
eletrons é referido como uma corrente e é denotada pela letra i. Os eletrons 
movem-se através de condutores em diferentes taxas e a corrente elétrica tem 
diferentes valores. 
 
Figura 7 – Fluxo de eletrons 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
4
A corrente é determinada pelo número de eletrons que passam através de uma 
seção transversal do condutor numa dada unidade de tempo. A corrente é 
medida em Amperes ou A. Uma corrente de 1 A significa que em um segundo 
cerca de 6,24 x 1018 eletrons movem-se através da seção transversal do 
condutor. 
 
A força que aplicada a um condutor faz com que a corrente circule é a tensão. 
Os eletrons são atraídos pelas cargas positivas de uma fonte que tem uma 
deficiência de eletrons. A força requerida para fazer a corrente circular é a 
denominada diferença de potencial ou força eletromotriz (fem) ou simplesmente 
tensão. Tensão é designado pela letra e ou v. A unidade de medida é o volt 
designado pela letra V. Uma tensão pode ser gerada de várias maneiras. Uma 
bateria usa um processo eletroquímico para produzir uma diferença de 
potencial entre seus dois terminais. 
 
Um gerador de automóvel ou um gerador de uma usina utiliza a indução 
eletromagnético para produzir diferença de potencial. Todas as fontes 
apresentam sempre como a bateria um terminal com excesso de eletrons e 
outro com falta de eletrons. Esse fato resulta sempre numa diferença de 
potencial entre dois terminais. 
 
Figura 8 - Bateria 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
5
A representação simbólica de uma bateria é apresentada na fig, onde a linha 
reta maior indica o terminal positivo e a linha reta menor o terminal negativo. 
 
Figura 9 – Símbolo de uma bateria 
 
Todo material apresenta uma certa oposição a passagem da corrente elétrica, 
isto é ao estabelecimento do fluxo de letrons no material, denominada 
resistência. A resistência de um dado material é designada pelo símbolo R e 
sua unidade de medida é o ohm, cujo símbolo é Ω. 
 
A resistência depende da própria natureza do material do condutor, isto é da 
facilidade que existe de se retirar eletrons de sua órbitas. Essa natureza do 
material é caracterizada pela sua resistividade ρ medida em ohm/m. 
 
A resistividade de um dado material é afetada pela têmpera e pela pureza do 
material. Quanto maior a têmpera do material, maior é a resistividade e quanto 
mais puro for o material condutor menor será a sua resistividade. A Tabela 1 
apresenta a resistvidade de alguns materiais metálicos. 
Tabela 1 – Resistividade e condutividade de materiais condutores 
Metal Condutividade σ (x 106 υ/m) Resistividade ρ (x 10-6 Ωm) 
Prata 62,9 0,0159 
Cobre 58 0,01724 
Ouro 41 0,0244 
Alumínio 35,5 0,0282 
Níquel 12,8 0,078 
Platina 10 0,10 
Ferro 10 0,10 
Bronze 5,5 0,18 
Aço Silício 1,6 0,62 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
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A resistência de um dado material depende também de suas dimensões, isto é 
a resistência é diretamente proporcional ao comprimento do condutor e 
inversamente à área de sua seção transversal. Portanto, a resistência de um 
dado material pode ser expressa matematicamente por: 
S
lR ρ=
 
onde: 
ρ – resistividade do material 
l - comprimento do material; 
S - área da seção transversal do condutor. 
 
 
Figura 10 – Resistência de um condutor 
 
 
A resistência de um dado material varia também com a temperatura, isto é 
quanto maior a temperatura maior a resistência do material. Essa variação é 
expressa matematicamente pela seguinte equação: 
)](1[ 12..12 TTRR tTT −α+=
 
onde: RT1 – resistência elétrica do condutor na temperatura T1 
RT2 – resistência elétrica do condutor na temperatura T2 
αt – coeficiente do aumento da resistência com a temperatura 
T2 – temperatura do condutor onde se deseja obter a resistência 
T1 – temperatura do condutor onde se conhece o valor da 
resistência. 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
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O coeficiente de aumento da resistência com a temperatura tem um valor 
relacionado ao material, por exemplo para o cobre duro tomando a temperatura 
de 20o C como referência ele vale 0,00385 (1/0C), para os cabos de alumínio 
pode-se adotar o valor de 0,00403 (1/0C). Os símbolos empregados para 
representar uma resistência estão mostrados na Figura 11. 
 
Figura 11 – Representação de uma resistência 
 
Um simples circuito elétrico mostrado na Figura 12, consiste de uma fonte de 
tensão e uma carga e um condutor para que o fluxo de eletrons ocorra da fonte 
entre a fonte e a carga. A bateria faz o papel da fonte de tensão, o fio é usado 
como condutor e lâmpada é a resistência do circuito. Um componente adicional 
foi adicionado ao circuito a chave. Se a chave está na posiçãoaberta o circuito 
está aberto e a luz não acende, fechando a chave, completa-se o circuito e os 
eletrons fluem da fonte acendendo a lâmpada. 
 
Figura 12 – Circuito resistivo com bateria 
 
A Figura 13 apresenta a representa de um circuito elétrico formado por uma 
bateria, um resistor, um voltímetro, e um amperímetro. O amperímetro é 
conectado em série com o circuito, irá mostrar a intensidade da corrente que 
circula no circuito. O voltímetro conectado em paralelo com a fonte de tensão 
irá mostrar o valor da tensão suprida pela bateria. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
8
 
Figura 13 – Circuito resistivo com equipamentos de medição 
2. LEI DE OHM 
A relação entre tensão, corrente e resistência foi estudada no século 19 pelo 
matemático alemão George Simon Ohm. Ohm formulou a seguinte lei: “A 
corrente i num elemneto varia diretamente com a tensão e nesse elemento e 
inversamente com a resistência R”. Exprimindo matematicamente esta 
formulação, obtemos: 
R
ei =
 
Uma maneira fácil de se relembrar da Lei de Ohm é empregando o “triângulo 
de Ohm”(Figura 14), e este triângulo pode ser utilizado para obter a equação 
de forma rápida e correta para cada caso. Para usar este triângulo, deve ser 
coberto a grandeza que se quer calcular, e os membros restantes deixam a 
formúla correta, como pode ser visto na Figura 15. 
 
Figura 14 – Triângulo de Ohm 
 
 
Figura 15 – Aplicação do triângulo de Ohm 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
9
3. POTÊNCIA INSTÂNTANEA 
A potência fornecida a um dado elemento do circuito p, sendo ele uma fonte ou 
uma resistência é dada pelo produto da tensão no elemento v pela corrente i 
que circula por ele, isto é: 
i.vp =
 
A unidade da potência é o watts ou de forma abreviada W. No caso do 
elemento do circuito para o cálculo da potência ser uma resistência, a relação 
entre tensão e corrente definida pela Lei de Ohm, faz com que a equação 
assuma a seguinte forma: 
2i.Rp =
 
A energia consumida ou o trabalho elétrico e efetuado, é dado pela integral da 
potência suprida a um dado elemento num dado intervalo de tempo, assim: 
∫∫
∆+∆+
==
tt
t
tt
t
dt.i.vdt.pe
 
Como v e i são fornecidas por uma bateria que fornece tensão e corrente 
contínua, a energia suprida a um elemento pode ser obtida realizando o 
produto da potência p pelo intervalo de tempo Δt, durante o qual a bateria 
estará ligada. A fórmula que permite calcular este valor é: 
t.pe ∆=
 
4. DIREÇÕES ASSOCIADAS DE TENSÃO E CORRENTE 
Quando se diz que a corrente num dado elemento A é 10 A ou que a tensão 
nesse elemento é 5V, e se examina um circuito como o da Figura 1, nada se 
pode concluir sobre o sentido real da corrente se é da direita para a esquerda 
ou vice-versa. Para a completa determinação da corrente e da tensão num 
elemento é essencial se arbitrar uma referência para essas grandezas. Assim 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
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ao se arbitrar um sentido para a corrente, ao sabermos que a corrente é – 4 A 
significa que a corrente é de 4 A em sentido contrário ao arbitrado. 
 
Figura 16 – Direção da corrente no elemento 
 
Nesse texto utilizaremos as direções associadas de tensão e corrente ao 
arbitrarmos o sentido da corrente ou da tensão. Utilizando as as direções 
associadas de tensão e corrente, ao se arbitrar um sentido para a corrente 
estamos também arbitrando um sentido para a tensão, como pode ser visto na 
Figura 17. 
 
Figura 17 – Direções associadas de tensão e corrente 
 
Da mesma forma, ao se arbitrar um sentido para a tensão estamos também 
arbitrando um sentido para a corrente (Figura 18). Empregando as direções 
associadas de tensão e corrente nos cálculos envolvendo os elementos de um 
dado circuito elétrico, quando obtemos uma potência instantânea positiva, 
estaremos obrigatoriamente diante de um elemento que consome energia, isto 
é, diante de um elemento passivo como uma resistência. Por outro lado, 
quando obtemos uma potência instantânea negativa, estamos diante de um 
elemento ativo, isto é, se trata de um elemento que fornece energia ao circuito, 
uma fonte. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
11
 
Figura 18 – Direções associadas de tensão e corrente 
5. LEIS DE KIRCHHOFF 
Para a solução de circuitos, isto é para a obtenção das correntes, tensões e 
potências em cada elemento de um dado circuito, o físico alemão Kirchhoff 
formulou duas leis: a Lei das Tensões de Kirchoff e a Lei das Correntes de 
Kirchhoff. Um percurso fechado dentro de um circuito é denominado malha 
desde que este percurso fechado não contenha nenhum elemento no seu 
interior. A cada elemento de um dado circuito está associado um ramo e 
define-se nó como o ponto de encontro de dois os mais ramos. 
 
A Lei das das Tensões de Kirchoff tem o seguinte enunciado: “A soma das 
tensões ao longo dos elementos de uma malha é sempre igual a zero”. 
 
 
Figura 19 – Circuito para aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff 
 
 
Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff para o circuito elétrico da Figura 19 
no sentido horário, podemos escrever a seguinte equação: 
0vvvve 4321 =−+−+−
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
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Figura 20 - Circuito para aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff 
 
A Lei das das Correntes de Kirchhoff tem o seguinte enunciado: “A soma das 
correntes que chega e sai de um dado nó é sempre igual a zero”. Aplicando 
a Lei das Correntes de Kirchhoff para o nó 1 do circuito elétrico da Figura 20 no 
sentido horário, podemos escrever a seguinte equação: 
0iii 421 =−+
 
6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE 
Um circuito elétrico constituído por n resistências em série é formado quando 
elas são conectadas uma após a outra formando um único percurso para a 
corrente fluir. As resistências podem ser resistores ou outros dispositivos que 
tenham resistência. 
 
Figura 21 – Resistências em série 
 
Para um conjunto de n resistências mostradas na Figura 21, podemos escrever 
a seguinte equação aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff: 
i).RR...RR(e
i.Ri.R...i.Ri.Re
N1N21
N1N21
++++=
++++=
−
−
 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
13
Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em série 
produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada resistência 
equivalente dada por: 
∑
=
=++++=
n
1i
iN321EQ RR....RRRR
 
7. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO 
Uma associação de n resistências em paralelo é obtida quando as n 
resistências são conectadas lado a lado, isto é quando as n resistências 
dividem a corrente total. Numa ligação em paralelo, todos os terminais de 
mesma polaridade são interligados, como pode ser visto na Figura 22. 
 
Figura 22 – Associação de n resistências em paralelo 
 
Para um conjunto de n resistências em paralelo mostradas na Figura 22, 
podemos escrever a seguinte equação aplicando a Lei das Correntes de 
Kirchhoff: 
 
∑
=
=





+++=+++=
+++=
n
1i iN21N21
T
N21T
R
1
R
1
...
R
1
R
1
.e
R
e
...
R
e
R
ei
i...iii
 
Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em 
paralelo produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada 
resistência equivalente dada por: 
∑
=
=





+++=
n
1i iN21EQ R
1
R
1
...
R
1
R
1
R
1
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
14
QUESTÕES 
1. Explique o que significa adotar direções associadas de tensão e corrente. 
2. Para o circuito da Figura 23 obtenha a corrente no amperímetroe a tensão 
no voltímetro. Dados R1= 2 ohms, R2 = 3 ohms, R3 = 5 ohms, R4 =1 ohm e 
E = 10 V. 
DC
A
R1
R2 R3
R4
E
V
 
Figura 23 – Circuito resistivo 
3. Para o circuito da figura obtenha as potências instântaneas em cada 
elemento. Explique o que significa o sinal negativo da potência na fonte. 
4. Obtenha a indicação do amperímetro A e do voltímetro V no circuito da 
Figura 24. Assumir : R1 = 2 Ω , R2 = 3 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 1 Ω, R5 = 5 Ω e E = 
10 V. 
DC
R1 R2
R3
R4
R5E
V
A
 
Figura 24 – Circuito resistivo 
 
5. Os materiais isolantes mais comuns sólidos, líquidos e gasosos são 
apresentados na Figura 25. Apresente onde encontramos esses materiais 
nos sistemas elétricos. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
15
 
Figura 25 – Materiais isolantes mais empregados 
6. Compare as características do cobre e do alumínio mostradas na Figura 26 
e apresente comentários. 
 
Figura 26 – Características do cobre e do alumínio 
7. Visite o SITE indicado na Figura 27 e explique como é o processo de 
fabricação do alumínio? 
 
Figura 27 – Site sobre alumínio 
8. Visite o site indicado na Figura 27 e explique como é o processo de 
fabricação do cobre? 
 
Figura 28 – Site sobre o cobre 
9. Enuncie as Leis de Kirchhoff para solução dos circuitos elétricos. 
10. O que faz um material ser denominado material condutor? 
8. CORRENTE ALTERNADA 
O suprimento de corrente para dispositivos elétricos pode ser feito por fonte de 
corrente contínua ou por uma fonte de corrente alternada. Em corrente 
contínua, os eletrons fluem continuamente em uma direção da fonte de 
potência para a carga através de um condutor. A queda de tensão na corrente 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
16
contínua é constante. As principais fontes de corrente contínua incluem as 
baterias, pilhas e geradores de corrente contínua (Figura 29). 
 
Figura 29 – Fonte de corrente contínua 
 
Na grande maioria dos sistemas elétricos a corrente que flui nos condutores é 
alternada e não contínua. As principais razões deste fato são a facilidade que 
tem a tensão alternada de ser elevada ou reduzida de acordo com a 
conveniencia dos consumidores e o reduzido custo aliado a baixa necessidade 
de manutenção dos motores elétricos de corrente alternada em relação aos de 
corrente contínua. Portanto a corrente que circula por um equipamento de 
utilização de energia conectada numa tomada é alternada (Figura 30). 
 
Figura 30 – Corrente alternada 
 
Tensões e correntes alternadas variam continuamente. Graficamente uma 
corrente ou tensão alternada são expressas por ondas senoidais ou senóides. 
 
Figura 31 – Onda senoidal de corrente 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
17
Matematicamente um gráfico como o mostrado na Figura 31, pode ser descrito 
pela equação: 
( )θω +t sen im =(t) i
 
 
A equação anteriormente apresentada é denominada de equação da função 
alternada senoidal ou senóide. O temo Im é o valor de pico ou valor máximo da 
senóide, ω é a freqüência angular dessa senóide e θ é a fase da senóide. 
 
Examinando a Figura 31, é fácil visualizar que o valor de pico, Im, é o maior 
valor que a corrente atinge ao longo do tempo, tanto no lado positivo como 
negativo da corrente elétrica. Analisando ainda a Figura 31, podemos, concluir 
que a corrente é formada por uma série de trechos que se repetem ao longo do 
tempo. Um trecho destes está destacado na figura 1 entre as retas a e b. Cada 
trecho deste é denominado de ciclo. Em cada ciclo temos dois semi-ciclos, um 
positivo e outro negativo. A duração de cada ciclo é denominada de período, e 
é representado pela letra T. A freqüência elétrica, representada pela letra f, é 
definida como o número de ciclos de uma senóide por segundo. Assim temos 
que: 
 T
1
 = f
 
 
A unidade de medida da freqüência elétrica é o ciclos por segundo, que por 
homenagem ao cientista Heinrich Hertz, foi denominado de Hertz, e abreviado 
por Hz. Portanto, uma freqüência elétrica de 5 ciclos por segundo, corresponde 
a uma freqüência de 5 Hz. A Figura 32, mostra uma senóide de freqüência 
elétrica de 4 Hz, e de período 0,25 seg. 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
18
 
Figura 32 – Senóide de frquencia de 4 Hz 
 
A freqüência elétrica pode também ser expressa em radianos por segundo, 
bastando apenas, relembrar que 1 ciclo corresponde a 2 pi radianos (360°), e 
assim: 
[rad/seg] f 2.πw =
 
O sistema elétrico do Brasil, opera numa freqüência constante, que é 60 Hz, ou 
377 radianos por segundos, também bastante empregada nos Estados Unidos. 
Outros países da América do sul, optaram pelo uso da freqüência de 50 Hz, 
muito comum no continente europeu. 
 
Consideremos as duas senóides apresentadas na Figura 33. Ambas tem a 
mesma amplitude ou valor de pico, e a mesma freqüência, porém não são 
iguais. Cada uma delas tem uma fase distinta. Quando duas senóides tem 
valores de pico ocorrendo em instantes diferentes, como mostrado na Figura 
33, dizemos que elas estão defasadas, ou fora de fase. 
 
Figura 33 – Senóides defasadas 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
19
 
Esta defasagem é expressa em tempo ou em frações do ciclo, ou em radianos, 
ou ainda em graus. Relacionando sempre 1 ciclo a 2 pi radianos e a 360°. 
Desta forma podemos afirmar que a defasagem entre as correntes i1 e i2 é de ¼ 
de ciclo ou de pi/2 radianos ou ainda de 90°. 
 
Quando os pontos de máximo e mínimo de uma senóide ocorrem antes dos 
correspondentes pontos de outra senóide, dizemos que a primeira senóide está 
adiantada em relação a segunda. Assim na Figura 33, a corrente i1 está 
adiantada em relação a corrente i2. Quando não há defasagem entre duas 
senóides se diz que elas estão em fase. Quando duas senóides estão 
defasadas de meio ciclo, isto é, quando ocorre o pico positivo de uma a outra 
está no seu pico negativo se diz que estas senóides estão em oposição de 
fase. 
9. VALOR EFICAZ 
Sendo as tensões e correntes nos sistemas elétricos senoidais, elas estão 
variando continuamente no tempo, fazendo portanto necessário definir um valor 
que possa quantificar a intensidade destas grandezas. Este valor que foi 
denominado valor eficaz, corresponde ao valor CA que produza a mesma 
energia (isto é, dissipe uma mesma quantidade de calor num circuito resistivo) 
que um valor contínuo CC. Portanto, uma corrente alternada com valor eficaz 
igual a 1 Ampére produz o mesmo calor num resistor de 10 ohms que uma 
corrente contínua de 1 Ampére. O valor eficaz é também conhecido como rms 
(root-mean-square), pois matematicamente ele é definido como sendo a raiz 
quadrada do valor médio dos quadrados de todos os valores instantâneos da 
corrente ou tensão durante meio ciclo. Para uma dada senóide o valor eficaz 
de uma senóide é o valor de pico dividido por raiz de dois, isto é: 
pico
pico
rms I 0,707 = 
2
I
 = I
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
20
É importante salientar que as escalas dos instrumentos de medida 
(amperímetro, voltímetro...) são calibrados para indicarem o valor eficaz de 
uma corrente ou tensão senoidal. Convém ainda destacar que o valor eficaz 
não é igual ao valor médio de meio ciclo. Durante meio ciclo, a tensão ou 
corrente varia de zero até o valor de pico e retorna zero novamente; portanto, o 
valor médio deve estar situado entre zero e o valor de pico. Para uma dada 
senóide, temos: 
pico édiom I 0,637 =I
 
A Figura 34, apresenta uma senóide onde são indicados o valor de pico ou 
valor máximo, o valor eficaz e o valor médio.Figura 34 – Valores de pico, eficaz e médio de uma senóide 
10. MÉTODO FASORIAL 
Na solução de circuitos elétricos e na própria operação dos sistemas elétricos 
muitas vezes é necessário operar algebricamente com correntes ou tensões 
para obter o valor de uma dada grandeza num dado ponto deste sistema 
elétrico. Como vimos anteriormente as correntes e tensões num sistema 
elétrico são senóides e operações algébricas, usando as expressões gerais 
seria uma tarefa cansativa. 
 
Para se resolver problemas como este de forma simples e prática, foi 
desenvolvido o Método Fasorial. Neste método, cada senóide é representada 
por um número complexo denominado de fasor. Portanto, operar com 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
21
senóides se torna operar com números complexos. No método fasorial, uma 
senóide expressa pela seguinte equação: 
( ) t + sen Vm= v θω
 
é representada por um fasor, que é um número complexo cujo módulo é o valor 
eficaz da senóide, e a fase é a própria fase da senóide. O fasor é denotado por 
uma letra maiúscula, neste caso V, e é dado por: 
 j j e Vef= e 
2
Vm
 =V θθ
 
 
Utilizando a igualdade de Euler : 
θ+θ=θ senjcose j
 
podemos converter este fasor expresso na forma polar para a forma retangular: 
( )θ+θ=θ senjcos.Ve V=V EF jEF
 
 
É muito comum nos cálculos em sistemas elétricos envolvendo fasores se 
substituir o e da igualdade de Euler por ∠ ,seguindo este mesmo procedimento 
o fasor V pode ser escrito pela seguinte equação: 
θ∠θ∠ Vef= 
2
Vm
 =V 
 
ou : 
θ∠ V0,707 =V m
 
Para o fasor expresso na forma retangular, o termo Vef cos θ, é a parte real do 
fasor V, e o termo Vef sen θ, é a parte imaginária do fasor V. Assim: 
i r Vj + V=V 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
22
onde: 
θ=
θ
sen.VVi
 .cos V=V
EF
EF r
 
Para exprimir na forma polar um fasor expresso na forma retangular, utiliza-se 
a seguinte equação: 
θ V+ V = Vj +V 22 iri r ∠
 
onde a fase θ é obtida calculando: 
 
r
i
V
V
arctg θ 





=
 
 
As equações anteriores apresentadas para um fasor tensão V, são válidas 
também para qualquer fasor corrente I, bastando apenas substituir o fasor V 
pelo fasor I. 
 
Empregando o método fasorial, significa que realizar operações com tensões e 
correntes, corresponde a realizar operações com números complexos ou 
fasores. A adição de dois fasores é efetuada colocando ambos os fasores na 
forma retangular. O fasor soma, tem sua parte real dada pela soma da parte 
real dos dois fasores a serem adicionados, e sua parte imaginária calculada 
também somando as partes imaginária dos dois fasores. Isto é, se I1 = Ir1 + Ii1 e 
I2 = Ir2 + j Ii2, então: 
)II(j)II(III 2i1i2r1r21T +++=+= 
 
Procedendo de forma similar, podemos obter o fasor subtração entre dois 
fasores, colocamos ambos os fasores na forma retangular, a parte real do fasor 
subtração é obtida subtraindo a parte real de um dos fasores da parte real do 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
23
outro. E a parte imaginária do fasor subtração, é obtida subtraindo a parte 
imaginária de um dos fasores da parte imaginária do outro. Assim se I1 = Ir1 + j Ij1 
e I2 = Ir2 + j Ij2, temos: 
)II(j)II(III 2i1i2r1r21T −+−=−= 
A multiplicação de dois fasores é determinada com a colocação dos dois 
fasores colocados na forma polar. E o módulo do fasor multiplicação é obtido 
multiplicando-se o módulo de cada um dos fasores a serem multiplicados. A 
fase do fasor multiplicação é obtida somando a fase dos fasores a serem 
multiplicados. Assim se I1=I1∠θ1 e I2=I2∠θ2 , o fasor IT = I1 x I2, pode ser 
calculado pelas seguintes equações: 
( )212121T I.IxIII θ+θ∠== 
A divisão de dois fasores é obtida de forma similar a multiplicação. Os dois 
fasores a serem divididos são colocados na forma polar. O módulo do fasor 
divisão é calculado, dividindo os módulos dos fasores, e a fase do fasor divisão 
é calculada subtraindo as fases dos fasores a serem divididos. Assim se 
I1=I1∠θ1 e I2=I2∠θ2 , o fasor IT = I1 / I2, pode ser calculado pelas seguintes 
equações: 
( )21
2
1
2
1
T I
I
I
II θ−θ∠==
 
É importante ressaltar ainda que um fasor não pode ser maior ou menor que 
outro, isto é, existe apenas comparações entre módulo, fase, parte real ou 
parte imaginária de fasores. Em outras palavras, podemos afirmar que o 
módulo de um fasor é maior que outro, ou ainda, que a parte real de um fasor é 
menor que a parte real de outro, porém nunca poderemos afirmar que um fasor 
é maior que outro. 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
24
A representação das tensões e correntes senoidais por fasores, isto é, por 
números complexos, ainda permite mais uma facilidade, que é a representação 
gráfica. Cada fasor pode ser representado graficamente, num plano, por um 
segmento de reta orientado. Neste plano denominado de plano complexo, 
temos dois eixos perpendiculares (Figura 35). O eixo horizontal é o eixo real, 
onde representamos graficamente a parte real do fasor, e o eixo vertical é o 
eixo imaginário, onde representamos graficamente a parte imaginária do fasor. 
Cada eixo, é orientado indicando o sentido crescente dos valores a serem 
representados. O eixo vertical corta o eixo horizontal no ponto zero, separando 
os valores positivos dos valores negativos. Da mesma forma o eixo horizontal 
corta o eixo vertical sobre o ponto zero, separando os valores positivos e 
negativos do eixo vertical. 
 
Figura 35 – Representação gráfica dos fasores 
 
A representação gráfica de um fasor é feita sempre considerando a sua origem 
no ponto comum aos dois eixos, e a sua extremidade no ponto do plano 
definido pelas suas partes real e imaginária, ou pelo seu módulo e fase. A 
Figura 36, mostra a representação gráfica de um fasor I, com sua origem 
colocada no ponto comum aos dois eixos, e sua extremidades no ponto, cuja 
parte real é Ir, e cuja parte imaginária e Ii. Obviamente, o fasor I, é dado por: 
i r I j +I = I
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
25
 
EI
XO
 
IM
AG
IN
ÁR
IO
EIXO REAL
IIi
Ir
 
Figura 36 – Diagrama Fasorial do fasor I 
 
Ainda, na Figura 36, temos que o fasor representado, tem comprimento 
definido pelo módulo do número complexo e ângulo com o eixo real definido 
pela fase do número complexo, isto é: 
22
ir I + I= I
 e 




θ
r
i
I
I
 tg arc = 
 
Exemplos: 
Represente graficamente os seguintes fasores: a) V1 = 2 + j3; b) V2 = 3 ∠ 45°; 
c) Io = -2 + j; d) V3 = 2 ∠- 60°; e) I2 = 2 - j 2; f) I1 = j2 e g) I3 = -3. 
Solução: 
Procedendo de forma similar ao exposto anteriormente obtemos: 
 
I0 
V3 I2 
V2 
V1 
I1 
I3 
 
Figura 37 – Diagrama fasorial 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
26
As operações de soma e subtração podem ser visualizadas e efetuadas 
graficamente. A adição de dois vetores pode ser efetuada utilizando o método 
do paralelogramo, ou do triângulo. No método do paralelogramo, nós 
representamos os dois fasores a serem adicionados com a origem no mesmo 
ponto. Em seguida, constrói-se um paralelogramo, usando-se os vetores. A 
diagonal deste paralelogramo que parte da origem comum aos dois fasores é o 
valor resultante ou soma de dois vetores. A aplicação deste método está 
apresentada na Figura 38. 
 
Figura 38 – Soma de fasores graficamente 
 
O método do triângulo também se aplica quando existem mais de dois fasores 
envolvidos. Nesse caso, une-se todos os vetores de modo que a extremidade 
de umcoincida com a origem do outro. A linha que une a origem do primeiro 
com a extremidade do último é a resultante total da soma de todos os vetores. 
(Figura 39). 
 
Figura 39 – Soma vetorial de fasores 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
27
11. IMPEDÂNCIA 
Define-se impedância de um componente de um sistema elétrico, como sendo 
a relação entre o fasor tensão aplicada ao componente, pelo fasor corrente que 
circula por ele. A impedância é denotada por Z, e é expressa matematicamente 
pela seguinte equação: 
I
VZ =
 
Para ilustrar o conceito de impedância vamos determinar a impedância de um 
resistor, onde é aplicado uma tensão vR dada por: 
)wtsen(.VmvR θ−= 
A corrente que circula no resistor é obtida pela Lei de Ohm, portanto: 
)wtsen(.
R
Vm
R
vi RR θ−== 
Representando cada um das senóides das equações anteriores pelos 
respectivos fasores, encontramos: 
RZ
R
2.R
Vm
2
Vm
I
VZ
R
R
=
=
θ−∠
θ−∠
==
 
 
Logo, a impedância de um resistor é igual a sua própria resistência. Numa 
forma geral, a impedância de um componente é um número complexo qualquer 
dado pela seguinte equação: 
 
jXRZ +=
 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
28
O termo R é a parte real de Z denominada de resitência e X é a parte 
imaginária de Z denominada de reatância. 
12. INDUTÂNCIA 
Os circuitos estudados até agora tem sido apenas resistivos. A resistência não 
é a única propriedade que afeta a corrente elétrica, a indutância também. 
Indutância é a propriedade que apresenta um circuito elétrico de se opor a 
variação de corrente elétrica que circula por ele. Qualquer condutor percorrido 
por uma corrente elétrica tem uma indutância. Para tornar mais significativo 
esta indutância é comum se enrolar os condutores em forma de bobina. Um 
componente elétrico produzido com a propriedade de se opor a variação da 
corrente que circula por ele, é denominado indutor. Para se entender 
fisicamente o efeito da indutância num circuito, consideremos um circuito em 
corrente contínua alimentado por uma pilha de 1,5 V como está mostrado na 
Figura 40. 
 
Figura 40 – Circuito resistivo 
 
A chave é fechado em t = 0, e a corrente sobe rapidamente para o valor de 1A 
como está apresentado na Figura 41. 
 
Figura 41 – Corrente no circuito resistivo 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
29
Ao colocarmos um indutor no circuito mostrado na Figura 40, a corrente vai 
atingir de forma lenta o valor de regime permanente de 1A. A Figura 42 mostra 
o novo circuito e a Figura 43, apresenta o gráfico da corrente elétrica com o 
tempo. 
 
Figura 42 – Circuito RL 
 
 
Figura 43 – Corrente num circuito RL 
 
Quanto maior a indutância do circuito mais lentamente a corrente atinge o seu 
valor de regime. A situação inversa ocorre se em ambos os circuitos, após um 
longo intervalo de tempo, no instante de tempo to as chaves são abertas. A 
Figura 44, apresenta o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura 
40, e na Figura 45, o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura 42. 
 
 
Figura 44 – Fonte num circuito CC 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
30
 
Figura 45 – Resposta do circuito RL 
 
A unidade da indutância de um circuito elétrico é o henry cujo símbolo é H. 
Num circuito alimentado em tensão contínua composto por indutâncias e 
resistências, a corrente varia gradualmente entre zero e o valor de regime, e 
entre o valor de regime e zero. Independente dos valores da indutância e da 
resistência no circuito, essas variações sempre seguem uma trajetória 
semelhante. Inicialmente, a variação é grande, tornando-se cada vez menor, 
até a corrente atingir um valor constante que pode ser zero ou o de regime. 
Durante essas variações, existe uma relação entre os valores da corrente e o 
tempo que leva alcançá-los, e é dada por uma quantidade chamada de 
constante de tempo. A constante e tempo é definida como o tempo necessário 
para que a corrente atinja 63,2% do valor máximo, ou decresça de 63,2% deste 
valor. Em qualquer circuito deste tipo, a constante de tempo depende do valor 
da indutância e da resistência. O valor da constante de tempo é diretamente 
proporcional à indutância e inversamente proporcional à resistência e é 
calculada a partir da equação: 
R
LT =
 
 
Nessa equação, se a indutância for dada em henrys e a resistência, em ohms, 
a constante de tempo será dada em segundos. Na prática, os valores da 
constante de tempo são muito pequenos e, por essa razão, são expressos em 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
31
milisegundos (1/1000 de segundo), ou microsegundos (1/1000.000 de 
segundos), cujos símbolos são, respectivamente, ms e us. Dada a constante 
de tempo de um circuito, podemos avaliar, facilmente o tempo necessário para 
que a corrente cresça de zero até o valor de regime ou decresça do valor de 
regime até zero. Em cinco constante de tempo a corrente atinge a mais que 
99% do seu valor de regime permanente, de modo que com cinco constantes 
de tempo após o fechamento da chave em t = 0 a corrente do circuito elétrico 
da Figura 42 atinge 1A, e após a abertura da chave o circuito elétrico leva cinco 
constantes de tempo para a corrente chegar a zero. 
 
 
Figura 46 – Efeito das constantes de tempo 
 
Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a indutância afeta o 
comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de 
chaves, num circuito em corrente alternada como a corrente está sempre 
variando e a indutância se opõe a esta variação, ela influencia em todo e 
qualquer instante. Consideremos um indutor, ao aplicarmos entre seus 
terminais uma tensão senoidal vL do tipo: 
( )θω +t senv =v m L
 
circula no indutor uma corrente iL dada por: 
( )°θω 90 - +t senI =i m L
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
32
Na figura 8 estão apresentados os gráficos no tempo de vL e iL, na figura 9 está 
o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no indutor está 
atrasada de 90° da tensão aplicada. 
 
Figura 47 – Tensão e corrente numa indutância em corrente alternada 
 
 
Figura 48 – Diagrama fasorial 
 
Os fasores VL e IL mostrados na Figura 48, são expressos por: 
)90(
2
ImI
2
VmV
L
L
−θ∠=
θ∠=
 
A impedância de um indutor é a relação entre os fasores VL e IL, e é expressa 
por: 
jwL
I
VZ
L
L
==
 
Como a impedância é um número imaginário puro, ela é denominada reatância 
indutiva. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
33
13. CAPACITÂNCIA 
Capacitância é a propriedade que permite um circuito elétrico armazenar 
energia através de um campo eletrostático e depois de algum tempo, liberar 
essa energia. Os dispositivos fabricados com esta finalidade são denominados 
de capacitores. Fisicamente, sempre que um isolante separa dois condutores 
submetidos a uma diferença de potencial, temos uma capacitância. Num 
capacitor a energia elétrica é armazenada na forma de um campo elétrico entre 
dois condutores, normalmente denominados de placas. O capacitor também é 
conhecido como condensador. A Figura 49 mostra um capacitor didático. 
 
Figura 49 – Capacitor teórico 
 
Para se entender fisicamente o efeito da capacitância num circuito, 
consideremos um circuito em corrente contínua alimentado por uma pilha de 
1,5 V como está mostrado na Figura 50. A chave S1 é fechada em t = 0 e a 
corrente sobe rapidamente para o valor 1A, como está mostrado na Figura 51. 
Vamos introduzir um capacitor no circuito da Figura 50, acompanhado de uma 
chave S2, na posição aberta com uma outra lâmpada L2, comoestá 
apresentado na Figura 52. 
 
Figura 50 – Circuito puramente resistivo 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
34
 
Figura 51 – Corrente no circuito resistivo 
 
Figura 52 – Circuito com a introdução da capacitância 
 
Em t = 0 a chave S1 do circuito da Figura 52 é fechada (com a chave S2 na 
posição aberta), a corrente alcança o valor de 1A rapidamente e a medida que 
o tempo passa esta vai diminuindo de intensidade. A medida que a corrente vai 
diminuindo o capacitor vai se carregando. Em t = 0 a tensão entre os terminais 
A e B do capacitor é nula e vai aumentando a medida que o capacitor está se 
carregando. A Figura 53 apresenta os gráficos da corrente i (t) e da tensão Vc 
(t) entre os terminais A e B do capacitor. 
 
 
Figura 53 – Tensão entre os terminais do capacitor e corrente no circuito 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
35
É importante salientar que quando a corrente é nula toda tensão da pilha está 
entre os terminais do capacitor isto é 1,5 V. Nesta situação se diz que o 
capacitor está carregado. Quando a chave S1 é fechada, os elétrons vão do 
terminal negativo da pilha que possui um potencial negativo, para a placa do 
capacitor em que está ligado. Portanto, essa placa adquire um excesso de 
elétrons, ou seja, uma carga negativa. Simultaneamente, o outro terminal da 
pilha que possui um potencial positivo, atrai o mesmo de elétrons da outra 
placa do capacitor em que está ligado. Esta placa apresenta uma falta de 
elétrons, isto é, adquire carga positiva. 
 
Durante a carga do capacitor, os elétrons passam pelos fios do circuito e 
através da pilha. Em outra palavras, existe corrente no circuito; observe, 
porém, que apesar disso a corrente não atravessa o capacitor. A corrente entra 
no capacitor por uma das placas, deixa o mesmo pela outra placa, mas o 
isolante impede que exista corrente através do capacitor. À medida que os 
elétrons entram na placa negativa e saem da placa positiva do capacitor, o 
campo elétrico aumenta, fazendo com que uma tensão se estabelece sobre o 
capacitor. Essa tensão inicia no zero, quando o circuito é fechado, e cresce de 
acordo com o aumento do número de elétrons que deixam a placa positiva e 
entram na placa negativa. A tensão do capacitor tem uma polaridade oposta ao 
da corrente fornecida pela pilha. Consequentemente, a tensão do capacitor se 
opõe à tensão da pilha. 
 
À medida que a tensão do capacitor aumenta, a tensão efetiva do circuito, que 
é a diferença entre as tensões da pilha e do capacitor, diminui. Esse fator 
provoca o decréscimo da corrente do circuito. Quando a tensão do capacitor se 
igualar à tensão da pilha, a tensão efetiva no circuito é zero, e portanto, a 
corrente para de circular. Neste ponto, o capacitor está totalmente carregado e 
nenhuma corrente flui pelo circuito. Quanto maior a capaciância mais 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
36
lentamente a corrente vai decrescendo até zero e a tensão vai subindo até 1,5 
V no circuito da Figura 52, isto é, quando maior a capacitância mais lentamente 
a tensão e a corrente atingem seu valor de regime. 
 
Figura 54 – Resposta de carga e descarga do capacitor 
 
Consideremos agora no circuito da Figura 52 que num instante de tempo to, 
bastante distante do instante inicial a chave S1 é aberta e ao mesmo a chave 
S2 é fechada. Assim em t = to a corrente i (t) é nula e a tensão no capacitor é 
1,5 V, após as manobras das chaves S1 e S2, a corrente no capacitor se inverte 
e vale inicialmente em t = to, 1A. A tensão no capacitor que em t = to vale 1,5 V 
decai no tempo até zero junto com a corrente i (t) invertida. A Figura 54, mostra 
os gráficos da tensão e da corrente i (t) no capacitor. Salientando que após to, i 
(t) tem o sentido contrário do período inicial. Após o instante to se diz que o 
capacitor está descarregando e a tensão atingir o valor zero se diz que o 
capacitor está descarregado. 
 
A unidade da capacitância de um circuito é o farad ou F, em homenagem ao 
cientista Michael Faraday. Na prática, o farad representa uma capacidade 
extremamente grande. Por isso, utilizamos os submúltiplos dessa unidade em 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
37
quase todos os casos. Os submúltiplos do farad são o microfarad (µF) e o 
micromicrofarad (µµF), conhecido como picofarad (pF). Assim: 1 µF = 10 -6 F e 
1 pF = 10 -12 F. 
 
Quando um capacitor é ligado a uma fonte de tensão contínua, carrega-se 
rapidamente. Se não houver resistência no circuito de carga, o capacitor ficará 
totalmente carregado quase que instantaneamente. Uma resistência tem a 
propriedade de provocar um atraso no tempo exigido para se carregar o 
capacitor. Como todo circuito apresenta alguma resistência, para carregar um 
capacitor sempre se leva um certo intervalo de tempo definido. O tempo exato 
depende tanto da resistência (R) do circuito, como das capacitância (C) do 
capacitor. A relação entre essas duas grandezas e o tempo de carga é 
expressa pela seguinte equação: 
C.RT =
 
onde T é a constante de tempo capacitiva, que representa o tempo necessário 
para que a tensão do capacitor atinja 63,2% da tensão total. A cada constante 
de tempo, a tensão sobre o capacitor sofre um acréscimo de 63,2% em relação 
ao que falta para atingir a tensão total. Portanto, após a segunda constante de 
tempo (2T), o capacitor terá 86,4% de sua tensão máxima; após 3T atingirá 
94,9% desse valor; após 4T, 98,1% e após 5T, sua tensão será maior que 99% 
do valor máximo. Após cinco constante de tempo, o capacitor será considerado 
plenamente carregado. 
 
 
Figura 55 – Carga do capacitor 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
38
Analogamente, a constante de tempo capacitiva mostra o tempo exigido, 
durante a descarga de um capacitor, para que a tensão atinja várias 
porcentagens do valor máximo. É importante ressalvar que existe uma analogia 
entre as constantes de tempo capacitiva e indutiva; a tensão sobre um 
capacitor cresce e decresce de forma análoga à variação da corrente através 
de um indutor. 
 
Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a capacitância afeta o 
comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de 
chaves, num circuito em corrente alternada, como as tensões e correntes estão 
continuamente variando, ela influencia em qualquer instante de tempo. 
 
Ao aplicarmos num capacitor uma tensão senoidal do tipo: 
( )θω +t sen V=v m c
 
circula no capacitor uma corrente ic, dada por: 
( )°θω 90 + +t senI =i m c
 
Na Figura 56 estão apresentados os gráficos no tempo de vc e ic e na Figura 57 
o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no capacitor está 
adiantado de 90° da tensão aplicada. 
 
Figura 56 – Tensão e corrente alternada num capacitor 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
39
 
Figura 57 – Diagrama fasorial no capacitor 
 
Os fasores Vc e Ic mostrados na Figura 57, são expressos por: 
θ∠=
2
VmVC 
)90(
2
ImI 0C +θ∠= 
A impedância do capacitor, isto é a relação entre os fasores Vc e Ic é dada por: 
CC
C
0
C
C
C
jX
C.w
jZ
jX
C.w
j90
2
Im
2
Vm
I
VZ
=
−
=
=
−
=∠==
 
Como a impedância do capacitor é imaginária pura, isto é, ela é apenas reativa, 
é denominada reatância capacitiva. 
14. REATÂNCIA 
A reatância como vimos anteriormente é a parte imaginária da impedância de 
um componente. A reatância fisicamente, faz com que a corrente não fique em 
fase com a tensão aplicada. 
 
Existem dois tipos de reatância num circuito onde as tensões e correntes 
estejam em regime permanente senoidal, uma que atrasa a corrente em 
Exercíciode Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
40
relação a tensão aplicada que é denominada de reatância indutiva, e outra que 
adianta a corrente em relação a tensão aplicada que é denominada de 
reatância capacitiva. A reatância indutiva está associada a presença 
predominante de uma indutância num dado componente, e é definida pela 
seguinte expressão: 
L.f..2L.wXL pi== 
Num indutor a sua impedância é dada apenas pela reatância indutiva, isto é: 
L.f..2.jL.w.jX.jZ INDIND pi=== 
e a corrente está 90o atrasada em relação a tensão aplicada. 
A reatância capacitiva está associada a presença predominante de uma 
capacitância num dado componente, e é definido pela seguinte equação: 
C.f..2
1
C.w
1XC
pi
==
 
Num capacitor a sua impedância é dada apenas pela reatância capacitiva: 
C.f..2
j
C.w
jX.jZ CAPCAP
pi
−
=
−
=−=
 
e a corrente está 90o adiantada em relação a tensão aplicada. 
 
A Figura 58 revisa as relações no tempo, e o diagrama fasorial para a tensão e 
a corrente num resistor, num indutor e num capacitor. 
 
É importante salientar que a reatância indutiva é positiva, e a reatância 
capacitiva é negativa. A relação entre o fasor corrente que circula num 
componente pelo fasor tensão aplicada é denominada admitância e é 
denotada por Y. Assim: 
V
IY =
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
41
E obviamente, 
Z
1Y =
 
 
Figura 58 – Tensão e corrente nos resitores, capacitores e indutores em 
circuitos em regime permanente senoidal 
 
A parte real da admitância é denominada de condutância, e é denotada por G, 
e a parte imaginária da admitância é denominada de suceptância e é 
denotada por B. Isto é, 
B.jGY +=
 
De forma similar a reatância, a susceptância para um componente que é 
predominantemente indutivo, é denominada de susceptância indutiva, e é 
dada por: 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
42
L.w
jBL −= 
A susceptância indutiva é negativa. A susceptância para um componente que é 
predominantemente capacitivo é denominado de susceptância capacitiva, 
tem valor positivo, e é dada por: 
C.w.jBC = 
15. CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL 
Como foi descrito anteriormente, diz-se que um dado circuito está em regime 
permanente senoidal quando as tensões e correntes que circulam por este 
circuito são ondas senoidais ou senóides. Circuitos em regime permanente 
senoidal são resolvidos usando o método fasorial. Nesse método o circuito 
elétrico no domínio tempo é transformado num circuito no domínio da 
frequencia. 
 
Para esclarecer o emprego do método fasorial, vamos obter a corrente i(t) no 
circuito em regime permanente senoidal 
 
No domínio da frequencia, as fontes de tensão e corrente senoidais (d 
equações do tipo são de intensidade 
16. POTÊNCIA EM CIRCUITO EM CORRENTE ALTERNADA 
Como foi discutido anteriormente, a potência elétrica ou a potência instantânea 
fornecida a um componente de um sistema elétrico é definido pela seguinte 
equação: 
)t(i).t(v)t(p =
 
Em corrente contínua p(t) é um valor constante, ficando assim, bem 
caracterizado, se um dado componente absorve ou fornece potência elétrica de 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
43
um circuito elétrico. Por exemplo, considere o circuito elétrico apresentado na 
Figura 59. 
 
Figura 59 – Circuito resistivo em corrente contínua 
 
No circuito da Figura 59, a corrente elétrica pode ser obtida pela Lei de Ohm: 
 
 A2 = 
2
4
 = 
R
E
 = i
 
A potência elétrica no resistor e na fonte, são dadas pelas seguintes equações: 
 W4 -2)2.(.ivp
 W42.2i.vp
FFFONTE
RRRES
=−==
===
 
Os resultados obtidos anteriormente mostram que o resistor é um componente 
que consome potência fornecida pela fonte de intensidade 2V. Na figura 14, 
nós mostramos o gráfico da potência elétrica no resistor em função do tempo. 
 
Figura 60 – Potência instantânea num circuito em corrente contínua 
 
Em corrente alternada como a tensão e a corrente variam no tempo, a potência 
elétrica num componente também não é constante. Consideremos um 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
44
determinado componente num circuito em corrente alternada, onde a tensão 
aplicada nele é dada por: 
t senV= (t) v . M ω
 
E a corrente que circula pelo componente tem a seguinte expressão: 
) -t ( senI = (t) i . m θω
 
Da definição de potência instantânea obtemos: 
)-t ( sent senI V= (t) .i (t) v = (t) p m m θωω
 
como: 
[ ]B)+(A cos - B)-(A cos 
2
1
 = B A.sensen
 
encontramos, 
[ ])-t +t ( cos - )+t -t( cosI V
2
1
 = (t) v(t).i = (t) p mm θωωθωω
 
[ ]) -t (2 cos - cos .
2
I
.
2
V
 = (t) p mm θωθ
 
[ ])-t (2 cos - cos I V= (t) p EF EF θωθ
 
A Figura 61, apresenta o gráfico da potência elétrica instantânea expressa pela 
equação anterior. 
Potência Instântanea
tempo
 
Figura 61 - Potência instantânea em circuito em corrente alternada 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
45
Analisando a expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um 
componente, e a Figura 61, verifica-se como era esperado que esta potência 
não é constante, tendo trechos onde a potência elétrica é absorvida da rede 
(trechos positivos acima do eixo do tempo), e trechos onde ela fornece a rede 
(trechos negativos abaixo do eixo do tempo). 
 
Com a finalidade de destacar estas duas parcelas, vamos expandir a parte 
alternada da equação da potência instantânea no componente, usando: 
B A.sensen - B A.coscos = B)+(A cos
 
 
na expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um 
componente, fazendo com que esta ssuma o seguinte formato: 
[ ]t2 .sen sen +t 2 .cos cos - cosI V= (t) p EF EF ωθωθθ
 
[ ] t2 sen. .senI V+ t 2 cos-1 cosI V= (t) p EF. EF EF EF ωθωθ
 
 
Na equação anterior é possível destacar duas parcelas: 
 
t) 2 cos - (1 cosI V= (t)p EF EF at ωθ
 
t)2 (sen sen I V= (t)p EF EF reat ωθ
 
 
A parcela pat é denominada de potência ativa instantânea, é sempre positiva, 
ou sempre negativa, dependendo do termo Vef.Ief.cosθ. A parcela preat é 
denominada de potência reativa instantânea, corresponde a uma senóide de 
freqüência dupla, cujo valor máximo é dado por Vef.Ief.senθ. A Figura 62, 
apresenta os gráficos das potências ativas e reativas instantâneas. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
46
 
Figura 62 – Potência ativa e reativa instântanea 
 
Analisando a Figura 62 fica caracterizado que a potência ativa instantânea é a 
parcela da potência instantânea que é fornecida ao componente, e a potência 
reativa instantânea é uma parcela de potência que fica num ciclo sendo 
fornecida ao componente e no ciclo seguinte devolvida a rede pelo 
componente. 
 
A potência ativa instantânea fica definida e caracterizada pelo valor da potência 
média fornecida a um componente. Esta potência média é denominada de 
potência ativa, e é dada pela seguinte equação: 
)IVcos(.I.VP EFEF ∠−∠= 
A potência ativa é aquela que efetivamente realiza trabalho, um valor positivo 
indica que o componente consome potência da rede, e um valor negativo indica 
que o componente fornece potência a rede. A unidade da potência ativa é o 
watt (W). O termo cos θ, é denominado de fator de potência. 
)IVcos(FP ∠−∠=
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
47
onde, ∠V é a fase do fasor tensão e ∠I é a fase do fasor corrente. 
 
A potência reativa instantânea efetivamente não realiza trabalho, ela 
corresponde a uma potência que num dado semi-ciclo fornece potência a rede, 
e no semi-ciclo seguinte eladevolve a rede. Mesmo assim, ela circula pela 
rede, e tem um papel essencial na conversão de energia, pois, sem ela os 
campos magnéticos necessários a produção de torque nas máquinas elétricas 
não existiriam. Esta potência que é cedida aos enrolamentos das máquinas 
elétricas num dado semi-ciclo é devolvido, no seguinte, é caracterizado pelo 
valor máximo da potência reativa instantânea e é denominada de potência 
reativa, expressa pela seguinte equação: 
) I -V ( senI V= Q EF. EF. ∠∠
 
A unidade desta potência reativa é o volt - ampére - reativo (VAR), e tem sua 
intensidade positiva ou negativa definida pelo: 
) I-V ( sen ∠∠
 
Portanto, a potência reativa pode assumir um valor positivo ou negativo 
dependendo do ângulo θ. É importante relembrar que θ é o ângulo resultante 
da diferença entre a fase do fasor tensão V e a fase do fasor corrente I, isto é: 
IV ∠−∠=θ
 
Para uma carga de natureza indutiva, a tensão está adiantada em relação a 
corrente, isto é, θ é positivo, o coseno de θ é positivo e portanto a potência 
reativa “entrando” na carga é positiva. No caso de uma carga de natureza 
capacitiva, a tensão está atrasada em relação a corrente, θ é negativo, cos θ é 
negativo e a potência reativa “entrando” na carga é negativa indicando que ela 
esteja saindo da carga. 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
48
Esta interpretação de que numa carga indutiva a potência reativa é positiva 
indicando que ela esteja “entrando” na carga e o contrário para uma carga 
capacitiva conduz às seguintes afirmações, muito comuns na rotina dos 
engenheiros de operação dos sistemas elétricos, que são : 
• os capacitores são elementos que “fornecem” reativos 
• os reatores são elementos que “absorvem” reativos 
Durante todo este texto, os termos reativo e potência reativa estarão sempre se 
referindo a potência reativa indutiva. 
 
As potências ativa e reativa definidas anteriormente, podem ser obtidas de 
forma simples a partir da definição da potência complexa (S). A potência 
complexa é definida como sendo o número complexo obtido pelo produto do 
fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente, isto é: 
*I.VS =
 
 Como, 
VVV ef ∠=
 
III - ef* ∠=
 
então: 
) IVsen(.IVj. ) IVcos(.IVIV.IVV.IS . efef . efef efef* ∠−∠+∠−∠=∠−∠==
 
que resulta em: 
jQPS +=
 
O módulo da potência complexa (N) é denominado potência aparente e tem 
como unidade o Volt-Ampére (VA). Esta potência está fisicamente 
representando toda a potência transmitida a uma carga. A unidade Volt-
Ampére (VA) é dimensionalmente idêntica às unidades das potências ativa e 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
49
reativa, a denominação distinta novamente está relacionada à identificação do 
tipo de potência que está sendo referida. 
 
Portanto, a potência aparente é dada por: 
efef
22
.IVQPN =+=
 
A potência aparente, por retratar toda a potência transmitida, é utilizada para 
especificar a potência nominal dos equipamentos e componentes de um 
sistema elétrico. Outra grandeza muito importante nos estudos envolvendo 
sistemas elétricos é o fator de potência. 
 
O fator de potência de uma carga é a relação entre a potência ativa fornecida à 
carga e a potência aparente transmitida a carga. Ele retrata a eficiência da 
potência transmitida à carga e, quantitativamente, é expresso por: 
efef
efef
P
I V
cos I VF θ==
N
P
 
logo: 
θ cos
N
PFP ==
 
Assim um fator de potência de 0,8 para uma carga indica que apenas 80 % da 
potência transmitida à carga (potência aparente) é utilizada para realmente 
produzir trabalho. O restante é utilizado para carregar os campos elétricos e 
magnéticos existentes no sistema. As operações que funcionam com baixo 
fator de potência carregam linhas aéreas, cabos e transformadores 
desnecessariamente.Atualmente no Brasil a legislação tarifária em vigor 
penaliza os consumidores que tiverem um fator de potência indutivo abaixo de 
0,92, de 6 às 24 horas, e um fator de potência capacitivo abaixo de 0,92, de 0 
às 6 horas. 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
50
Para melhor caracterizar o que foi dito anteriormente, vamos acrescentar como 
exemplo o caso de uma instalação alimentada a partir de um trafo de 100 kVA. 
Este transformador é utilizado para alimentar uma carga de 80 kW, caso o fator 
de potência da instalação seja 0,8; ele vai operar na sua potência nominal. O 
mesmo transformador poderia operar numa potência menor que a nominal 
(como por exemplo 90 kVA) para alimentar a mesma carga de 80 kW desde 
que o fator de potência fosse maior que 0,8. 
 
Como a grande maioria das cargas existentes tem fator de potência indutivo, 
isto é, consomem reativo, a correção do fator de potência para níveis aceitáveis 
é realizada conectando-se próximo às cargas fontes de reativo como 
capacitores. 
 
A conexão do fator de potência de uma instalação pode ser visualizada a partir 
do triângulo das potências. Ele é obtido decompondo o fasor corrente em duas 
componentes como está mostrado na Figura 63, com módulos Ief cosθ e Ief 
senθ. 
θ
Ief. cosθ
Ief. senθ
Ief
 
Figura 63 - Triângulo das correntes 
 
Multiplicando-se todos os lados do triângulo formado pelo módulo do fasor 
tensão Vef, obtemos o triângulo das potências, como está apresentado na 
Figura 64. Neste triângulo é importante ressaltar que, embora a potência 
reativa Q seja positiva, o sentido é contrário à direção convencionada como 
positiva para o eixo imaginária no plano complexo. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
51
θ
Vef.Ief. cosθ
Vef.Ief. senθ
Vef.Ief
θ
P
Q
N
 
Figura 64 - Triângulo das potências 
 
QUESTÕES 
11. Obtenha a indicação dos amperímetros A1 e A2, além da indicação do 
voltímetro V1 no circuito elétrico da Figura 65. 
A1
2 3+j2
Z
Z
Z
Z
A2
1+j2
3+j4
V1
4+j2400 V
 
Figura 65 
 
12. Apresente o diagrama fasorial para as tensões em cada elemento do 
circuito da Figura 65 e para a corrente que sai da fonte de 400 V . 
 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
52
 
Figura 66 
 
13. Explique porque a corrente que alimenta um liquidificador é atrasada em 
relação a tensão aplicada. O que significa uma corrente atrasada e uma 
corrente adiantada em relação a tensão aplicada? 
14. O que ocorre quando ligamos uma lâmpada 40W/220V em 110V? E quando 
ligamos uma lâmpada de 40W / 110V em 220 V? Explique (Figura 66) 
15. Corrente e tensão são grandezas distintas, a tensão está sempre presente 
numa tomada porém a corrente só circula quando conectamos alguma 
carga. A circulação da corrente é que leva energia ao dispositivo que está 
sendo alimentado. Portanto a tensão é a CAUSA e a corrente o EFEITO. 
Explique porque no circuito da Figura 67 não circula corrente. 
 
 
Figura 67 
16. Obtenha a corrente do cabo que alimenta as três tomadas da Figura 68, 
quando 220 V é medido num multímetro nos terminais da primeira tomada. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
53
 
Figura 68 
 
17. Obtenha o consumo diário de uma impressora HP Deskjet 640C, que 
permaneceu ligada durante 4 horas, sendo que 20 minutos efetivamente 
imprimindo. Nas 20 horas restantes com apenas o adaptador conectado. Os 
dados técnicos estão na Figura 69. 
 
Figura 69 
 
18. Explique como se obtém o triângulo das potências e conceitue fator de 
potência de um componente. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
54
19. Um transformador de potência trifásico alimenta no seu enrolamento 
secundário três consumidores em 380 V que consomem as seguintes 
potências: Consumidor 1 - 70 KVAcom fator de potência de 0,88 atrasado, 
Consumidor 2 – 45 KW e 39 KVAR com fator de potência de natureza 
indutivo e o Consumidor 3 – 30 KW com fator de potência de 0,76 
atrasado. Obtenha a carga total alimentada pelo transformador. 
20. Obtenha a potência aparente de um consumidor que num dado instante 
absorve 200 kW e 72 kVAR. Qual fator de potência deste consumidor neste 
instante, considere que o fator de potência deste consumidor tem natureza 
indutiva? 
21. Os dois pontos de tomada de uso geral (TUG) mostrados na Figura 70 
alimentam uma torradeira de 1000 W/220V e uma batedeira de impedância 
(8+j6) ohms. Considerando que a tensão no momento da utilização é 220 V, 
obtenha a corrente no condutor principal de alimentação das duas cargas. 
 
 
Figura 70 
 
22. Obtenha a corrente que alimenta uma batedeira em 220 V, valor este 
medido na tomada onde ela está conectada. Considere que sua impedância 
é de (5+j8)Ω. 
23. Obtenha a corrente que alimenta o aspirador de pó da Figura 71 quando 
220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele 
consome 1000 W e 145 VAR. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
55
 
Figura 71 
 
24. Apresente a equação geral para associar n impedâncias em série e depois 
n impedâncias em paralelo. 
25. Conceitue:FASOR, DIAGRAMA FASORIAL, REATÂNCIA, CONDUTÂNCIA, 
SUCEPTÂNCIA e ADMITÂNCIA. 
26. Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para 
uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga resistiva pura e 
também para uma carga indutiva pura. 
27. Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para 
uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga capacitiva pura e 
também para uma carga com resistência e indutância (RL). 
28. Procure dentro de sua residência o manual de no mínimo um 
eletrodoméstico que mostre seu tipo, modelo e seus dados técnicos como 
tensão nominal, consumo, potência .... Anexe cópia das páginas que você 
usou como fonte de referência ou cópia dos dados obtidos a partir do site 
do fabricante na internet com o respectivo endereço. 
29. Obtenha a corrente que alimenta o sistema de som da Figura 72 quando 
220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele 
consome 350 VA com fator de potência 0,92 indutivo. 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
56
 
Figura 72 
 
30. Obtenha a corrente que alimenta o micro-computador da Figura 73 quando 
220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele 
consome 330 W com fator de potência 0,89 indutivo. 
 
Figura 73 
 
31. Obtenha a corrente que alimenta a geladeira da Figura 74 quando 220 V é 
medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele consome 
430 VA e 307 W . 
 
Figura 74 
Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada 
 
 
57
32. Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 75 admitindo que a fonte de 
tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2 
ohms e a indutância L é de 4 H. Esboce o diagrama fasorial deste circuito. 
R
L
v(t)
 
Figura 75 
33. Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 76 admitindo que a fonte de 
tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2 
ohms e a capacitância C é de 0,25 F. Esboce o diagrama fasorial deste 
circuito. 
R
C
v(t)
 
Figura 76 
34. Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 76 admitindo que a fonte de 
tensão v(t) é dada por 100.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 
10 ohms, indutância L é de 5 H e a capacitância C é de 0,5 F. Esboce o 
diagrama fasorial deste circuito. 
R
L C
vS(t)
 
Figura 77 
35. Uma rede formada por uma indutância L e uma resistência R conectadas 
em série, tem um voltímetro conectado em paralelo com o resistor R. Ao se 
excitar essa rede com uma fonte de corrente contínua de 10 V, o voltímetro 
apresenta a leitura de 5V. Quando uma fonte de corrente alternada de 60 
Hz é aplicada a mesma rede nas mesmas condições, com valor eficaz de 
10 V a leitura do voltímetro é de 4V. Qual a indutancia desta rede RL?