Apostila de Eletricidade final97

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Trabalho = força x distância 
ENERGIA E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA 
 
 
Trabalho: Realiza-se trabalho quando algo é movido contra uma força resistiva. Por 
exemplo, realizamos trabalho quando um peso é levantado contra a atração da gravidade (figura 1), 
ou quando empurramos um engradado a uma determinada distância (figura 2). 
 
 
Figura 1 - Halterofilista realiza trabalho enquanto ergue o peso. 
 
 
Figura 2 - Realização de trabalho ao deslocar a caixa. 
 
O trabalho realizado é obtido através do produto da força aplicada pela distância através da 
qual a força se move, isto é: 
 
 
A unidade de trabalho no sistema internacional de medidas (SI) é o joule usualmente 
abreviado por J. O joule representa o trabalho realizado quando uma força de um newton age 
através de uma distância de um metro (1 J = 1 N.m). 
 
Energia: Energia é a capacidade de realizar trabalho; o trabalho também pode ser visto 
como uma transferência de energia. A energia mecânica é medida nas mesmas unidades que o 
trabalho. Por exemplo, quando um peso é levantado, o corpo humano ou o dispositivo de içamento 
que o moveu despende energia. O peso, por outro lado, adquire energia potencial, em virtude de 
haver sido elevado acima do chão. Essa energia potencial armazenada no peso levando pode ser 
utilizada, por exemplo, para levantar outro peso através de um sistema de polias ou pode ser 
deixado cair como em um bate-estaca transferindo a sua energia para a estaca no momento do 
impacto. 
 3 
 
 
 
 
Figura 3 - Transferência de energia através de polias. 
 
Figura 4 - Transferência de energia em um bate-estaca. 
 
Um princípio geral aplicável a todos o sistemas físicos é o princípio da conservação de 
energia, o qual estabelece que a energia não é criada nem destruída, apenas muda de forma. A 
energia pode ser transformada em calor, em luz ou em som; ela pode ser energia mecânica de 
posição ou de movimento, pode ser armazenada numa bateria ou em uma mola; mas não pode ser 
criada nem destruída. 
 
 
Potência: Para propósitos práticos, existe muito interesse na velocidade de realização de 
trabalho ou liberação de energia. Esta velocidade é chamada potência. No sistema internacional de 
medidas, a potência é medida em watts (abreviatura W), sendo um watt igual a um joule por 
segundo. Então, a partir da definição de potência, se W é o trabalho realizado ou a energia dissipada 
ou liberada no tempo t, a potência média neste período é: 
 
t
W
P  
 
Devida à íntima relação entre potência e energia, encontramos freqüentemente a energia 
expressa em tais unidades como watt-segundo (W.s) ou quilowatt-horas (kWh)(1kWh=1000 x 
3600) 
 
 
 4 
CARGA ELÉTRICA 
 
A grandeza elétrica mais elementar é a carga elétrica. Um dos primeiros fatos ao 
estudarmos os efeitos das cargas elétricas é que estas cargas são de dois tipos diferentes. Estes tipos 
são arbitrariamente chamados positivo (+) e negativo (-). O elétron, por exemplo, é uma partícula 
carregada negativamente. Um corpo descarregado possui o mesmo número de cargas positivas e 
negativas. Um corpo está carregado positivamente quando existe uma deficiência de elétrons e uma 
carga negativa significa um excesso de elétrons. 
A carga elétrica é representada pela letra Q e medida em Coulombs (abreviado C). 
A carga de um elétron é –1,6 x 10-19 C, ou seja, um Coulomb equivale à carga aproximada de 
6,25 x 1018 elétrons. 
Um dos efeitos mais significativos de uma carga elétrica é que ela pode produzir uma força. 
Especificamente, uma carga repelirá outras cargas de mesmo sinal e atrairá cargas de sinal contrário 
como apresenta a figura 5. Deve-se notar que a força de atração ou de repulsão é sentida de modo 
igual pelos dois corpos ou partículas carregados. 
 
 
Figura 5 - Força entre cargas. 
 
Campo Elétrico 
 
 Existe uma região de influência em torno de uma carga elétrica tal que uma força tornar-se-á 
tanto menor quanto mais afastada estiver a carga. Uma região de influência como está é chamada 
Campo. O campo estabelecido pela presença de cargas elétricas é chamado de Campo Elétrico E

 e 
quando as cargas elétricas estão em repouso esse campo será chamado de Campo Eletrostático. 
 O campo elétrico pode ser representado por linhas de campo radias orientadas e a sua 
unidade é o newton/coulomb [N/C]. Se a carga for positiva, o campo é divergente, isto é, as linhas 
de campo saem da carga e se a carga for negativa, o campo é convergente, isto é, as linhas de 
campo chegam à carga conforme mostra a figura 6. 
 
 
Figura 6 - Linhas de campo. 
 
 5 
Quando duas cargas de sinais contrários estão próximas, as linhas de campos convergem da 
carga positiva para a carga negativa conforme a figura 7. Em cargas próximas de mesmo sinal as 
linhas de campo se repelem, figuras 8 e 9. 
 
 
Figura 7 - Linhas de campo entre cargas de sinais contrários. 
 
Figura 8 - Linhas de campo entre cargas positivas. 
 
 
Figura 9 - Linhas de campo entra cargas negativas. 
 
 
 
Quando duas placas paralelas são eletrizadas com cargas de sinais contrários, surge entre 
elas um campo elétrico uniforme, caracterizado por linhas de campo paralelas. 
 
 
Figura 10 - Linhas de campo entre duas placas paralelas eletrizadas com cargas contrárias. 
 
A expressão matemática do campo elétrico é dada por: 
2d
QK
E

 
onde: K = constante dielétrica = 9x109 N.m2 / C2 (no vácuo e no ar) 
 Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C] 
 d = distância, em metro [m] 
 
Força Elétrica 
 
 Um carga Q colocada em um campo elétrico uniforme, ficará sujeita a uma força F

, cuja 
unidade de medida é newton [N] e cujo módulo é: 
 
F = QE 
 
onde: Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C] 
 E = módulo do campo elétrico, em Newton/Coulomb [N/C] 
 6 
 
A amplitude da força entre duas partículas carregadas é proporcional ao produto das cargas e 
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Isto é, a força F entre duas 
partículas carregadas com cargas Q1 e Q2 é dada por: 
 
2
21.
d
QQ
kF  
 
onde d é a distância entre as cargas e k é uma constante que depende das unidades usadas e do meio 
que envolve as cargas. Esta equação é conhecida como Lei de Coulomb ou Lei do Inverso do 
Quadrado 
 
 
Figura 11 - Força entre cargas de sinais contrários. 
 
Figura 12 - Força entre cargas de sinais opostos. 
 
Potencial Elétrico 
 
Dizer que uma carga elétrica fica sujeita a uma força quando esta numa região submetida a 
um campo elétrico, significa dizer que, em cada ponto dessa região existe um potencial para a 
realização de trabalho. O potencial elétrico (V) é expresso em volts e é dado pela expressão: 
 
d
QK
V

 
 
O potencial elétrico é uma grandeza escalar, podendo ser positivo ou negativo, dependendo 
do sinal da caga elétrica. Pela expressão acima, podemos verificar que o potencial em uma 
superfície onde todos os pontos estão a uma mesma distância da carga geradora, possui sempre o 
mesmo valor. Essas superfícies são denominadas de superfícies equipotenciais. 
 
 
Figura 13 - Superfícies equipotenciais. 
 
 7 
Diferença de Potencial - ddp 
 
 Seja uma região submetida a um campo elétrico E criado por uma carga Q positiva 
conforme mostra a figura 14. Colocando um elétron –q no ponto A, situado a uma distância dA da 
carga Q, ele se movimentará no sentido contrário do campo, devido à força F que surge no elétron, 
indo em direção ao ponto B, situado a uma distância dB da carga Q. 
 
 
Figura 14 - Carga -q colocada no ponto A de uma região submetida a um campo E. 
 
Como dA > dB, o potencial do ponto A é menor que o do ponto B, uma vez que o potencial é 
dado pela expressão 
d
QK
V

 . Assim podemos escrever que VA < VB. 
 
 
Figura 15 - Potencial no ponto A é menor que no ponto B. 
 
Conclui-se, então, que uma carga negativa move-se do potencial menor para o maior. Se 
uma carga positiva +qfosse colocada no ponto B, ela se movimentaria na mesma direção do campo 
elétrico, indo do potencial maior para o menor. 
 
 
Figura 16 - Carga +q colocada no ponto B de uma região submetida a um campo E. 
 
Assim, para que uma carga se movimente, isto é, para que haja condução de eletricidade, é 
necessário que ela esteja submetida a uma diferença de potencial ou ddp. 
 
 
Agora já estamos em condições de relacionar trabalho e transferência de energia com forças 
elétricas. Suponha que movamos uma partícula carregada positivamente em sentido contrário ao de 
um campo elétrico no qual esteja mergulhada, isto é, contra a força exercida sobre elas por outras 
cargas elétricas. Se por exemplo, o campo fosse devido à presença de uma carga negativa próxima, 
afastaríamos a carga positiva dela. Com isto, ao mover-se a carga contra forças que atuam sobre ela, 
seria realizado um trabalho equivalente ao levantar-se um peso no campo gravitacional terrestre. 
Além disso, seria aplicável a lei da conservação da energia; isto é, a partícula estaria agora em uma 
posição potencial mais elevada, do mesmo modo que um peso levantado possui maior energia 
potencial. Já estamos familiarizados com os dispositivos para realização de trabalho útil através de 
pesos que passam a posições de potencial mais baixo no campo gravitacional da terra. Talvez o 
 8 
dispositivo que melhor exemplifique este estudo seja uma roda hidráulica obtendo trabalho a partir 
de uma queda d’água. De um modo mais ou menos análogo, podemos obter trabalho de um fluxo de 
cargas que se movam sob a influência de forças elétrica para uma posição de potencial mais baixo. 
 
 
 
Figura 17 - Roda hidráulica. 
 
 
 
 9 
CORRENTE ELÉTRICA 
 
 Usualmente estamos mais interessados em cargas em movimento do que cargas em repouso, 
devido à transferência de energia que pode estar associada às cargas móveis. Estamos 
particularmente, interessados nos casos em que o movimento de cargas esteja confinado a um 
caminho definido formado de materiais como cobre, alumínio, etc, devido a serem bons condutores 
de eletricidade. Em contraste, podemos utilizar materiais mal condutores de eletricidade, chamados 
de isoladores, para confinar a eletricidade a caminhos específicos formando barreiras que evitam a 
fuga das cargas elétrica. Os caminhos por onde circulam as cargas elétricas são chamados de 
circuitos. 
 Aplicando uma diferença de potencial num condutor metálico, os seus elétrons livres 
movimentam-se de forma ordenada no sentido contrário ao do campo elétrico. O movimento da 
carga elétrica é chamado de corrente elétrica. A intensidade I da corrente elétrica é a medida da 
quantidade de carga elétrica Q (em coulombs) que atravessa a seção transversal de um condutor por 
unidade de tempo t (em segundos). A corrente tem um valor constante dado pela expressão: 
 
t
Q
I 
tempo
coulombsemcarga
 
 
 A unidade de corrente é o ampère (abreviado por A). Existe um ampère de corrente quando 
as cargas fluem na razão de um coulomb por segundo. Devemos especificar tanto a intensidade 
quanto o sentido da corrente. 
 
 Exemplo: Se a carga que passa pela lâmpada do circuito da figura 21 é de 14 coulombs por 
segundo, qual será a corrente: 
 
A
segundo
coulonbs
t
Q
I 14
 1
 14
 
 
 Em uma corrente contínua, o fluxo de cargas é unidirecional para o período de tempo em 
consideração. A figura 18, por exemplo, mostra o gráfico de uma corrente contínua em função do 
tempo; mais especificamente, mostra uma corrente contínua constante, pois sua intensidade é 
constante, de valor I. 
 Em uma corrente alternada as cargas fluem ora num sentido, ora noutro, repetindo este ciclo 
com uma freqüência definida como mostra a figura 19. 
 
 
Figura 18 - Corrente contínua. 
Figura 19 - Corrente alternada. 
 
 10 
 A utilidade prática de uma corrente continua ou alternada é o resultado dos efeitos por ela 
causados. Os principais fenômenos que apresentam uma grande importância prática e econômica 
são: 
 
1. Efeito Térmico (Joule): Quando flui corrente através de um condutor, há produção de 
calor. Este fenômeno será estudado na Lei de Ohm. 
Aplicações: chuveiro elétrico, ferro elétrico. 
 
2. Efeito Magnético (Oersted): Nas vizinhanças de um condutor que carrega uma corrente 
elétrica, forma-se um segundo tipo de campo de força, que fará as forças serem exercidas 
sobre outros elementos condutores de corrente ou sobre peças de ferro. Este campo, 
chamado de Campo Magnético coexiste com o Campo Elétrico causado pelas cargas. Este 
fenômeno é o mesmo que ocorre na vizinhança de um imã permanente. 
Aplicações: telégrafo, relé, disjuntor. 
 
3. Efeito Químico: Quando a corrente elétrica passa por soluções eletrolíticas ela pode separar 
os íons. 
Aplicações: Galvanoplastia (banhos metálicos). 
 
4. Efeito Fisiológico: Efeito produzido pela corrente elétrica ao passar por organismos vivos 
 
Corrente Elétrica Convencional: nos condutores metálicos, a corrente elétrica é formada 
apenas por cargas negativas (elétrons) que se deslocam do potencial menor para o maior. Assim, 
para evitar o uso freqüente de valor negativo para corrente, utiliza-se um sentido convencional 
para ela, isto é, considera-se que a corrente elétrica num condutor metálico seja formada por cargas 
positivas, indo, porém do potencial maior para o menor. 
 Em um circuito, indica-se a corrente convencional por uma seta, no sentido do potencial 
maior para o menor como mostra a figura, em que a corrente sai do pólo positivo da fonte (maior 
potencial) e retorna ao seu pólo negativo (menor potencial). 
 
 
Figura 20 – Sentido da corrente convencional. 
 
Exemplos: 
 
1. Qual a intensidade da corrente elétrica que passa pela seção transversal de um fio condutor, 
sabendo-se que uma carga de 3600 C leva 12 segundos para atravessá-la? 
 
A
s
C
t
Q
I 



300
12
103600 6
 
 
2. Pela seção transversal de um fio condutor passou uma corrente de 2mA durante 45 segundos. 
Quantos elétrons atravessaram essa seção nesse intervalo de tempo? 
 
 11 
CmCsAtIQ
t
Q
I 33 1090904510.2   
carga de 1 elétron é dada por q = -1,610-19C, utilizando somente o módulo de q e uma simples 
regra de 3, temos 
 
1 elétron = 1,610-19 
N elétrons = 9010-3 
 
Fazendo o produto cruzado, temos: 1,610-19N(elétrons) = 9010-31(elétron) 
 
elétronsNN 15
19
3
105,562
106,1
1090






 
 
 
 12 
DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO OU TENSÃO ELÉTRICA 
 
A figura 21 apresenta o diagrama de um circuito elétrico simples. O objetivo desse circuito é 
conduzir energia elétrica da bateria para uma lâmpada distante. Isto é realizado através da conexão 
de fios para levar e trazer a corrente I da bateria até a lâmpada, uma chave e um fusível de proteção 
para o circuito. Assim, quando a chave esta fechada, um caminho completo de condução é 
proporcionado e obtém-se um circuito completo ou circuito fechado. 
 
 
Figura 21 - Diagrama descritivo. 
 
Figura 22 - Diagrama esquemático. 
 
Por outro lado, se um dos fios fosse desligado, ou a chave estiver aberta, teríamos um 
circuito aberto, sendo nula a corrente I, e, portanto, não havendo transferência de energia. Um outro 
caso ocorreria se ligássemos um fio entre os pontos c e d da lâmpada ou entre os pontos a e b da 
bateria. Neste caso, teríamos um curto-circuito. A corrente de saída da fonte seria elevada 
(freqüentemente destrutivamente elevada), mas somente uma porção insignificante passaria pela 
lâmpada e não haveria uma transferência eficiente de energia para a lâmpada. Usualmente é feita 
uma proteção contra esses problemas, inserindo fusíveis ou disjuntores que abrem automaticamente 
quando ocorrem tais falhas. 
No circuito da figura utilizou-se o símbolo padrão para uma bateria, com linhas paralelas 
mais longas indicando o terminal positivo ou aquele pelo qual a corrente sai da bateria ao fornecerenergia ao circuito. A figura 23 mostram outros tipos de simbologias padrões para representar 
fontes de tensão CC. 
 
 
Figura 23 - Simbologias para fontes de tensão CC. 
 
Considerando que o circuito da figura 21 não possua nenhum tipo de problema de curto-
circuito ou circuito aberto. Para que se mantenha a corrente I no circuito é necessário gastar energia 
da mesma forma que para manter o fluxo de água através de um sistema de tubulações. Deve-se 
realizar trabalho para dar às cargas elétricas a energia que elas entregam ao fluir através dos fios e 
das lâmpadas. Este trabalho ou energia deve, é claro, ser obtido da fonte por conversão de energia 
química em energia elétrica na bateria da figura 21, por exemplo, ou conversão de energia mecânica 
em elétrica no caso de um gerador. 
 13 
O trabalho realizado ao movimentar-se uma carga positiva unitária entre dois pontos de um 
circuito é chamado de diferença de potencial ou tensão entre dois pontos. Em outras palavras, 
tensão é o trabalho por unidade de carga. Deve-se especificar dois pontos no circuito, uma vez que 
o trabalho é realizado ao mover-se a carga de um ponto para outro. Se o trabalho realizado ao 
mover-se uma carga de 1 C de um ponto a outro for de 1 J, a diferença de potencial entre esses 
pontos será de 1 Volt (abrevia-se V). O trabalho, ou energia total W associado com o movimento de 
Q coulombs entre dois pontos, é; 
QEW  
 
quando a diferença de potencial entre dois pontos for de E volts. 
 Quando essa diferença de potencial é fornecida por uma fonte de energia elétrica, ela é 
freqüentemente chamada de força eletromotris (abreviada FEM). Como os circuitos contêm fontes e 
consumidores de energia elétrica, devemos considerar cuidadosamente se o trabalho é realizado 
sobre a carga unitária, ou pela carga unitária ao mover-se do primeiro até o segundo ponto. No 
primeiro caso, a energia potencial da carga é aumentada; no outro caso, é diminuída. Se o trabalho 
for realizado sobre a carga positiva e sua energia potencial é aumentada ao ir do ponto a para o 
ponto b de um circuito, existe uma subida de tensão no sentido de a para b. Inversamente, existe 
uma queda de tensão no sentido de b para a, porque a carga perderia energia se fosse de b para a. 
Do ponto de vista de ganho ou de perda de energia, subidas de tensão são grandezas opostas a 
queda de tensão. 
 O circuito da figura 22 ilustra estas declarações. Devido à bateria existe uma subida de 
tensão de a para b e haverá uma queda de tensão de c para d. 
 
 
 Observação: Freqüentemente utilizamos uma nomenclatura do tipo VAB, para indicar um 
valor de tensão entre dois pontos, por isso, é importante saber o seu significado. Na figura 24 a 
tensão VA encontra-se no potencial de maior valor (+) e a tensão VB no potencial de menor 
valor (-). 
 
 
Figura 24 - Diferença de potencial. 
 
A fonte de tensão E se encontra entre os dois potenciais VA e VB, portanto, essa fonte 
representa a diferença entre estes dois potenciais. Matematicamente temos: 
 
 
 
 
Fontes de Alimentação 
 
 O dispositivo que fornece tensão para um circuito é chamado genericamente de fonte de 
tensão ou fonte de alimentação. Exemplos de fontes de tensão são as pilhas e as baterias. Uma 
pilha comum, quando nova, possui tensão de 1,5V. Estas podem ser associadas em série, para 
E = VA - VB = VAB 
 14 
aumentar a tensão, como por exemplo, 3 pilhas de 1,5V cada fornecem 4,5V juntas. Tanto as 
baterias como as pilhas produzem energia elétrica a partir de energia liberada por reações químicas. 
 Com o tempo de uso, as reações químicas dessas baterias ou pilhas liberam cada vez menos 
energia, fazendo com que a tensão disponível seja cada vez menor. Hoje em dia, existem muitos 
tipos de baterias que podem ser recarregados por aparelhos apropriados, inclusive as pilhas comuns, 
o que é um avanço importante, sobretudo no que se refere ao meio ambiente. 
 Outro tipo de fonte de tensão são as fontes de alimentação eletrônicas que utilizam um 
circuito eletrônico para converter a tensão alternada da rede elétrica em tensão contínua. Esses 
dispositivos são conhecidos por eliminadores de bateria, e são amplamente utilizados em 
equipamentos portáteis como aparelhos de som, vídeo games, etc. 
 Outro tipo de fonte de tensão muito utilizado em laboratórios e oficinas de eletrônicas, são 
as fontes de tensão variáveis (ou ajustáveis). Este tipo de fonte tem a vantagem de fornecer tensão 
contínua e constante, cujo valor pode ser ajustado manualmente, conforme a necessidade. Nas 
fontes variáveis mais simples, o único tipo de controle é o ajuste de tensão. Nas mais sofisticadas, 
existem ainda os controles de ajuste fino de tensão e de limite de corrente. 
 
Terra (GND = Ground) ou Potencial de Referência 
 
 Em circuitos elétricos, deve-se sempre estabelecer um ponto cujo potencial elétrico servirá 
de referência para medidas das tensões. Em geral, a referência é o pólo negativo da fonte de 
alimentação, que pode ser considerado um ponto de potencial zero, fazendo com que a tensão 
entre qualquer outro ponto do circuito e essa referência seja o próprio potencial elétrico do ponto 
considerado. 
 Assim, se VB é a referência do circuito da figura 24, a tensão VAB entre os pontos A e B é 
dada por: 
VAB = VA – VB = VA - 0 = VA 
 
 A essa referência, damos o nome de terra, massa ou GND (ground), cujos símbolos mais 
utilizados são mostrado na figura 25. 
 
 
Figura 25 - Simbologia do terra (GND). 
 
Em um circuito podemos substituir a linha do potencial de referência por símbolos de terra, 
simplificando o seu circuito para um dos seguintes diagramas mostrados na figura 27. 
 
 Em muitos equipamentos, o potencial de referência do circuito é ligado à sua carcaça 
(quando esta é metálica) e a um terceiro pino do plug que vai ligado à tomada da rede elétrica. Esse 
terceiro pino para conectar o terra do circuito à malha de aterramento da instalação elétrica, com o 
objetivo de proteger o equipamento e o usuário de uma sobrecarga elétrica. 
 
Exemplo: Dado o circuito da figura 26, represente seus dois diagramas elétricos equivalentes 
utilizando o símbolo de terra. 
 
 15 
 
Figura 26 - Circuito elétrico. 
 
ou 
 
 
Figura 27 – Outras formas de representações de circuitos. 
 
Fonte de Corrente 
 
 A fonte de corrente, ao contrário da fonte de tensão, não é um equipamento vastamente 
utilizado, mas seu estudo é importante para a compreensão futura de determinados dispositivos e 
circuitos eletrônicos. 
O símbolo para a fonte de corrente é um círculo com uma seta dentro, que indica o sentido 
da corrente. Este sentido deve ser o mesmo que o da corrente produzida pela polaridade da fonte de 
tensão correspondente. Lembre-se de que uma fonte produz um fluxo de corrente que sai do 
terminal positivo. A fonte de corrente ideal é aquela que fornece uma corrente I sempre constante, 
independente da carga alimentada, isto é, para qualquer tensão V na saída. A figura 28 mostra a 
simbologia utilizada para indicar uma fonte de corrente e a sua curva característica. 
 
 
Figura 28 - Fonte de corrente e sua curva característica. 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA 
 
 A expressão W = EQ exprime o trabalho realizado ou a energia transferida num circuito ou 
numa parte de um circuito elétrico, pelo produto da tensão pela carga. 
 Se o trabalho é realizado a uma velocidade constante e a carga total Q sofre uma variação de 
potencial de E volts, em t segundos, então a potência, ou o trabalho por unidade de tempo é: 
 
t
QE
t
W
P
.
 watts ou joule/segundo 
 
 Do ponto de vista prático, interessa-nos mais a corrente do que a carga. Utilizando a equação 
I = Q/t, obtém-se uma forma mais útil para a equação P = (EQ)/t , que é 
 
Como 
t
Q
I  ,  IEP . watts 
 
Se E e I são constantes num intervalo de tempo de t segundos, a energia total eliminadaou 
absorvida é 
 
tIEW .. watt-segundo ou joules 
 
 
Até agora já foram introduzidas as grandezas elétricas principais com as quais estaremos 
tratando. Um resumo delas está apresentado na tabela 1, juntamente com suas unidades de medida e 
abreviaturas mais usadas. Para alguns propósitos, estas unidades são inconvenientemente pequenas 
ou grandes. Para expressar unidades maiores ou menores, usa-se uma série de prefixos juntamente 
com o nome da unidade básica, evitando-se assim uma aglomeração de zeros antes ou depois da 
vírgula decimal. Esses prefixos, com suas abreviaturas, são apresentados na tabela-2. 
 
 
Tabela 1 - Resumo das principais grandezas elétricas 
Grandeza 
elétrica 
Símbolo 
Unidades 
(Sistema SI) 
Equação de 
definição 
Análogo 
mecânico 
Análogo 
hidráulico 
Carga Q Coulomb (C) . . . . . Posição Volume 
Corrente I Ampère (A) 
t
Q
I  Velocidade Fluxo 
Tensão E ou V Volt (V) 
Q
W
E  Força 
Altura ou 
pressão 
Potência P Watt (W) IEP . Potência Potência 
Energia ou 
trabalho 
W 
Joule (J) ou 
Watt-segundo (W.s) 
tPW . 
Energia ou 
trabalho 
Energia ou 
trabalho 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Tabela 2 - Prefixos usados com unidades elétricas 
Para grandezas 
maiores que a unidade 
Para grandezas 
menores que a unidade 
Quilo (K) 103 unidades Mili (m) 10-3 unidades 
Mega (M) 106 unidades Micro () 10-6 unidades 
Giba (G) 109 unidades Nano (n) 10-9 unidades 
Tera (T) 1012 unidades Pico (p) 10-12 unidades 
 
 Exemplo: A lâmpada do circuito da figura 21 está sujeita a uma tensão de 115 V. A corrente 
I do circuito é 2,61 A. Qual é a potência consumida pela lâmpada? Quanto se gasta ao manter acesa 
por 10 horas, se a energia elétrica custa 2 centavos por kWh? 
 
P = E.I = (115).(2,61) = 300 W 
 
W = E.I.t = P.t = (300).(10) = 3000 Wh = 3,0 kWh 
 
Custo = (3,0) x (2,0) = 6 centavos 
 
 
 18 
MULTÍMETRO – VOLTÍMETRO, AMPERÍMETRO E OHMÍMETRO 
 
Multímetro: este instrumento é muito utilizado em laboratórios e oficinas de eletrônica, e 
tem por finalidade medir grandezas elétricas como tensão, corrente, resistência e outras funções. 
O multímetro possui dois terminais nos quais são ligadas as pontas de prova ou pontas de 
teste. A ponta de prova vermelha deve ser ligada ao terminal positivo do multímetro (vermelho ou 
marcado com sinal +) e a ponta de prova preta deve ser ligada ao terminal negativo do multímetro 
(preto ou marcado com sinal -). 
Os multímetros possuem alguns controles, sendo que o principal é a chave rotativa ou 
conjunto de teclas para seleção da grandeza a ser medida (tensão, corrente ou resistência) com os 
respectivos valores de fundo de escala. 
 
Fundo de escala é o máximo valor medido, por exemplo, quando giramos a chave seletora 
do multímetro da figura 29 até a posição de 20 DC V, o fundo de escala é de 20 volts. Em 
multímetros analógicos o fundo de escala é a máxima deflexão do ponteiro. 
 
 
Figura 29 - Multímetro digital. 
 
 
Figura 30 - Multímetro analógico. 
 
 
Generalidades: 
 
 Em qualquer valor medido está associado um erro. O valor estimado para esse erro pode 
ou não ser significante dependendo da aplicação; 
 erro depende não somente do equipamento, como também do procedimento de medida; 
 Qualquer aparelho de medida interfere no circuito que está sendo medido. 
 
Os termos voltímetro, amperímetro e ohmímetro correspondem ao multímetro operando, 
respectivamente, nas escalas de tensão, corrente e resistência. 
 19 
 
Voltímetro: É o instrumento utilizado para medir a tensão (diferença de potencial) entre 
dois pontos de um circuito elétrico. Para que o multímetro funcione basta selecionar uma das 
escalas para medida de tensão (CC ou CA). A simbologia utilizada para voltímetro é mostrada na 
figura 31. 
 
 
Figura 31 - Simbologia do voltímetro. 
 
Para medir uma tensão, as ponteiras do voltímetro devem ser ligadas aos dois pontos do 
circuito em que se deseja conhecer a diferença de potencial, isto é, em paralelo, podendo envolver 
um ou mais dispositivos, como mostra a figura 32. 
Se a tensão a ser medida for contínua (CC), o pólo positivo do voltímetro deve ser ligado no 
ponto de maior potencial e o pólo negativo no ponto de menor potencial. Assim, o voltímetro 
indicará um valor positivo de tensão. 
 
 
Figura 32 - Exemplo de uso do voltímetro. 
 
Cuidado! Estando a ligação dos terminais do voltímetro invertida, sendo digital, o display 
indicará valor negativo; sendo analógico, o ponteiro tentará defletir no sentido contrário, o que 
poderá danificá-lo. 
 
 
Figura 33 - Ponteiras do voltímetro ligadas invertidas. 
 
Se a tensão a ser medida for alternada (CA), os pólos positivo e negativo do voltímetro 
podem ser ligados ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa medida sempre 
positiva. 
 
Observação: Um voltímetro ideal tem resistência interna infinita. Isto para que a corrente 
do circuito não circule pelo voltímetro e este não interfira no comportamento do circuito. Um 
voltímetro real possui uma resistência interna muito alta, mas não infinita, que causa um pequeno 
erro. Porém, esse erro, normalmente, pode ser desprezado, pois geralmente é menor que as 
tolerâncias dos componentes do circuito. 
Amperímetro: Este instrumento é utilizado para medir a corrente elétrica que atravessa 
um condutor ou um dispositivo. Para que o multímetro funcione como um amperímetro, basta 
 20 
selecionar uma das escalas para medida de corrente (CC ou CA). A simbologia utilizada para 
amperímetro é mostrada na figura 34. 
 
 
Figura 34 - Simbologia do amperímetro. 
 
Para medir uma corrente, o circuito deve ser aberto no ponto desejado, ligando o 
amperímetro em série, para que a corrente elétrica passe por ele. A corrente que passa por um 
dispositivo pode ser medida antes ou depois dele, já que a corrente que entra num bipolo é a mesma 
que sai. 
Se a corrente a ser medida for contínua (CC), o pólo positivo do amperímetro deve ser 
ligado ao ponto pelo qual a corrente convencional entra, e o pólo negativo ao ponto pelo qual ela 
sai. 
 
 
Figura 35 - Exemplo de uso do amperímetro. 
 
Cuidado! Se a ligação dos terminais do amperímetro for invertida, sendo digital, o display 
indicará valor negativo; sendo analógico, o ponteiro tentará defletir no sentido contrário, podendo 
danificá-lo. 
 
Cuidado! Caso a corrente a ser medida for alternada (CA), os pólos positivo e negativo do 
amperímetro podem ser ligados ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa 
medida sempre positiva. 
 
Observação: Um amperímetro ideal tem resistência interna zero. Isto para que o 
amperímetro não forneça resistência à passagem de corrente do circuito e este não interfira no 
comportamento do circuito. Um amperímetro real possui uma resistência interna muito baixa, mas 
não zero, que causa um pequeno erro. Porém, esse erro, normalmente, pode ser desprezado, pois 
geralmente é menor que as tolerâncias dos componentes do circuito. 
 
ATENÇÃO! NUNCA UTILIZE A ESCALA DE CORRENTE DO MULTÍMETRO 
PARA MEDIDAS DE TENSÃO! ISSO DANIFICARÁ O APARELHO. 
 
Ohmímetro: O instrumento que mede resistência elétrica é chamado de ohmímetro. Os 
multímetros possuem escalas apropriadas para a medida de resistência elétrica. 
Para medir a resistência elétrica de uma resistência fixa ou variável, ou ainda, de um 
conjunto de resistores interligados, é preciso que eles não estejam submetidos a qualquer tensão, 
pois isso poderia acarretar em erro de medida ou até danificar o instrumento. Por isso, é necessário 
desconectar o dispositivo do circuito para a medida de sua resistência. 
 21 
Para a medida, os terminais do ohmímetro devem ser ligados em paralelo com o dispositivo 
ou circuito a ser medido, sem importar-se com a polaridade dos terminais do ohmímetro. 
 
Cuidado! Nunca segure os dois terminais do dispositivo a ser medido com as mãos, pois a 
resistência docorpo humano pode interferir na medida, causando um erro. 
 
O ohmímetro analógico é bem diferente do digital, tanto no procedimento quanto na leitura 
de uma medida. No ohmímetro digital, após a escolha do valor de fundo de escala adequado, a 
leitura da resistência é feita diretamente no display. 
No ohmímetro analógico, a escala graduada é invertida e não linear, iniciando com 
resistência infinita (R = ) na extremidade esquerda (correspondendo aos terminais do ohmímetro 
em aberto e ponteiro na posição de repouso) e terminando com resistência nula (R = 0) na 
extremidade direita (correspondendo aos terminais do ohmímetro em curto e ponteiro totalmente 
defletido). 
Assim sendo, o procedimento para a realização da medida com o ohmímetro analógico 
deve ser: 
 
1. Escolhe-se a escala desejada, que é um múltiplo dos valores da escala graduada: x1, x10, 
x100, x10k e x 100k. 
2. Curto-circuitam-se os terminais do ohmímetro, provocando a deflexão total do ponteiro. 
3. Ajusta-se o potenciômetro de ajuste de zero até que o ponteiro indique R = 0. 
4. Abram-se os terminais e mede-se resistência. 
5. A leitura é feita multiplicando-se o valor indicado pelo ponteiro pelo múltiplo da escala 
selecionada. 
 
Observações: 
 
 Por causa da não-linearidade da escala, as leituras mais precisas no ohmímetro analógico 
são feitas na região central da escala graduada. 
 No procedimento de ajuste de zero (item 3), caso o ponteiro não atinja o ponto zero, 
significa que a bateria do multímetro está fraca, devendo ser substituída. 
 O procedimento de ajuste de zero deve ser repetido a cada mudança de escala. 
 
CUIDADOS! 
 
1. Atenção ao medir tensões elevadas: 
- Maiores escalas do aparelho de medição (1000VDC 750VAC); 
- Não tocar na parte metálica; 
- Verificar AC ou DC. 
2. Nunca medir circuitos com alta tensão. 
- Equipamentos e treinamentos especiais 
3. Colocação correta dos conectores e ponteiras. 
4. Não colocar os dedos (ou qualquer outra parte do corpo) nas partes metálicas. 
5. JAMAIS MEDIR A RESISTÊNCIA DA REDE ELÉTRICA. 
6. Na dúvida, iniciar pelas maiores escalas. 
 
 
RESISTORES E CÓDIGOS DE CORES 
 
 22 
 Os resistores são componentes que tem por finalidade oferecer uma oposição (resistência) à 
passagem de corrente elétrica, através de seu material. A essa oposição damos o nome de resistência 
elétrica, que possui como unidade o ohm (). 
A resistência de um condutor qualquer depende da sua resistividade do material, do seu 
comprimento e da sua área da seção transversal, de acordo com a fórmula: 
 
A
l
R  (2ª Lei de Ohm) 
 
onde, R = resistência do condutor, ohm [] 
 l = comprimento do condutor, metro [m] 
 A = área da seção transversal, m2 
  = resistividade, m 
 
 Outro fator que influencia na resistência de um material é a temperatura. Quanto maior a 
temperatura do material, maior é a sua agitação molecular. Devido a essa maior agitação molecular 
os elétrons terão mais dificuldade para passarem pelo condutor. 
 Os resistores são classificamos em dois tipos: fixos e variáreis. Os resistores fixos são 
aqueles cujo valor da resistência não pode ser alterada, enquanto que os variáveis podem ter sua 
resistência modificada dentro de uma faixa de valores, através de um cursor móvel. 
 Os resistores fixos são especificados por três parâmetros: 
 
1. O valor nominal da resistência elétrica. 
2. A tolerância, ou seja, a máxima variação em porcentagem do valor nominal. 
3. A sua máxima potência elétrica dissipada. 
 
Exemplo: Tomemos um resistor 100  5% - 0,33 W. 
1. O seu valor nominal é de 100 . 
2. A sua tolerância é de 5%, isso é, o seu valor pode ter uma diferença de até 5% para 
mais ou para menos do seu valor nominal. Como 5% de 100 é igual a 5 , o menor 
valor que este resistor pode ter é 95 , e o maior valor é 105 . 
3. Esse componente pode dissipar uma potência de até 0,33 watts. 
 
Nomenclatura usual para resistores: 2500 = 2,5k = 2k5 
 
Dentre os tipos de resistores fixos, destacamos os de fio, de filme de carbono e o de filme 
metálico. 
 
Resistor de fio: Consiste basicamente em um tubo cerâmico, que servirá de suporte para 
enrolarmos um determinado comprimento de fio, de liga especial para obter-se o valor de 
resistência desejado. Os terminais desse fio são conectados às braçadeiras presas ao tubo. Além 
desse, existem outros tipos construtivos, conforme mostra a figura 36. 
 
 23 
 
Figura 36 - Resistores de fio. 
 
Os resistores de fio são encontrados com valores de resistência de alguns ohms até alguns 
kilo-ohms, e são aplicados onde se exige altos valores de potência, acima de 5 W, sendo suas 
especificações impressas no próprio corpo. 
 
Resistor de filme de carbono (de carvão): Consiste de um cilindro de porcelana recoberto 
por um filme (película) de carbono. O valor da resistência é obtido mediante a formação de um 
sulco, transformando a película em uma fita helicoidal. Sobre esta fita é depositada uma resina 
protetora que funciona como revestimento externo. Geralmente esses resistores são pequenos, não 
havendo espaço para impressão das suas especificações, por isso são impressas faixas coloridas 
sobre o revestimento para a identificação do seu valor nominal e da sua tolerância. A sua dimensão 
física identifica a máxima potência dissipada. 
 
 
Figura 37 - Resistor de filme de carbono. 
 
Resistor de filme metálico: Sua estrutura é idêntica ao de filme de carbono. A diferença é 
que este utiliza liga metálica (níquel-cromo) para formar a película, obtendo valores mais precisos 
de resistência, com tolerâncias de 1% a 2%. 
 
O custo dos resistores está associado a sua tolerância, sendo que resistores com menores 
tolerâncias têm custo mais elevado. Um bom projeto eletrônico deve considerar a tolerância dos 
resistores a fim de diminuir o seu custo final. 
O código de cores utilizado nos resistores de película, é visto na tabela 3. 
 
 
 
 
 24 
 
Cor 
1ª Faixa 2ª Faixa 3ª Faixa 4ª Faixa 
1ª Algarismo 2ª Algarismo Fator Multiplicador Tolerância 
preto 0 0 x 100  
marrom 1 1 x 101  1% 
vermelho 2 2 x 102  2% 
laranja 3 3 x 103  
amarelo 4 4 x 104  
verde 5 5 x 105  
azul 6 6 x 106  
violeta 7 7   
cinza 8 8   
branco 9 9   
ouro   x 10-1  5% 
prata   x 10-2 10% 
Tabela 3 - Código de cores 
Observação: 
1. A ausência da faixa de tolerância indica que esta é de  20% 
2. Para os resistores de precisão encontramos cinco faixas, onde as três primeiras 
representam o primeiro, segundo o terceiro algarismo significativos e as demais, 
respectivamente, fator multiplicativo e tolerância. 
 
Valores padronizados para resistores de película. 
 
1 – Série: 5%, 10% e 20% de tolerância 
10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 
 
2 – Série: 2% e 5% de tolerância 
10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 
33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 
 
3 – Série: 1% de tolerância 
100 102 105 107 110 113 115 118 121 124 127 130 
133 137 140 143 147 150 154 158 162 165 169 174 
178 182 187 191 196 200 205 210 215 221 226 232 
237 243 249 255 261 267 274 280 287 294 301 309 
316 324 332 340 348 357 365 374 383 392 402 412 
422 432 442 453 464 475 487 499 511 523 536 549 
562 576 590 604 619 634 649 665 681 698 715 732 
750 768 787 806 825 845 866 887 909 931 953 976 
 25 
 
A seguir, são apresentados alguns exemplos de leitura, utilizando o código de cores: 
 
1) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
Além da resistência e da tolerância, o resistor recebe uma capacidade nominal em watts. Isto 
irá indicar quanto calor este resistor pode suportar em uso normal sem queimar. A figura 38 mostra 
a capacidade em watts de resistores de carbono. Observe que a capacidade é determinada pelo 
tamanho físico. 
 
 
Figura 38 - Tamanho físico dos resistores de carbono em relação a sua potência nominal. 
 
 
 
ouro 
vermelho 
violeta 
amarelo 
47 x 100  5% = 4,7k 5% = 4k7  5% 
prata 
preto 
preto 
marrom 
10 x 1  10% = 10  10% 
ouro 
ouro 
vermelho 
vermelho 
22 x 0,1  5% = 2,2  5% 
ouro 
verde 
azul 
verde 
56 x 105  5% = 5,6M  5% = 5M6  5% 
marrom 
preto 
cinza 
amarelo 
laranja 
348 x 1  1% = 348  1% 
 26 
Simbologia: 
 
Os símbolos de resistência elétrica utilizados em circuitos são mostrados na figura 39. 
 
 
Figura 39 - Simbologia para resistores fixos. 
 
 Resistências Variáveis: A resistência variável é aquela que possui uma haste variável para 
o ajuste manual da resistência. Comercialmente, podem ser encontrados diversos tipos de 
resistências variáveis, tais como os potenciômetros de fio e de carbono (com controle rotativo e 
deslizante), trimpot, potenciômetro multivoltas (de precisão), reostado (para altas correntes) e a 
década resistiva (instrumento de laboratório). 
 Os símbolos usuais para essas resistências variáveis estão mostrados na figura 40. 
 
 
Figura 40 - Simbologia para resistores variáveis. 
 
 As resistências variáveis possuem três terminais. A resistência entre as duas extremidades é 
o seu valor nominal (RN) ou resistência máxima, sendo que a resistência ajustada é obtida entre uma 
das extremidades e o terminal central, que é acoplado mecanicamente à haste de ajuste, conforme 
mostra a figura 41. 
 
 
Figura 41 - Resistência variável. 
 
 A resistência variável, embora possua três terminais, é também um bipolo, pois, após o 
ajuste, ele se comporta com um resistor de dois terminais como o valor desejado. 
 Uma resistência variável pode ser linear, logarítmica, exponencial ou outra conforme a 
variação de seu valor em função da haste de ajuste. 
 Os gráficos da figura 42 mostram a diferença de comportamento da resistência entre um 
potenciômetro rotativo linear e um potenciômetro rotativo logarítmico. 
 
 
Figura 42 - Curvas de um potenciômetro linear e um logaritmo. 
 
 27 
Exercícios: 
 
1. Determine a seqüência de cores para os resistores abaixo: 
a) 10k  5% 
b) 390  10% 
c) 5,6  2% 
d) 715  1% 
e) 0,82  2% 
 
2. O que determina o valor ôhmico em um resistor de filme de carbono? 
 
3. Qual é o parâmetro que é definido através das dimensões físicas de um resistor? 
 
4. Cite um exemplo de aplicação que você conhece do resistor de fio. 
 
 
 
 
 28 
LEIS DE OHM 
 
 A primeira Lei de Ohm diz: “A tensão aplicada através de um bipolo ôhmico é igual ao 
produto da corrente pela resistência”. Esta afirmação resulta em três importantes equações que 
podem ser utilizadas para calcular qualquer um dos três parâmetros – tensão, corrente e resistência – 
a partir de dois parâmetros. Essa lei é representada pela expressão: 
 
IRV . (1ª Lei de Ohm) 
 
onde, V = tensão aplicada, volts [V] 
 R = resistência elétrica, ohm [] 
 I = intensidade de corrente, ampère [A] 
 
 Levantando-se, experimentalmente, a curva da tensão em função da corrente para um bipolo 
ôhmico, teremos uma característica linear, conforme a figura 43. 
 
 
Figura 43 - Curva característica de um bipolo ôhmico. 
 
 Dessa curva, temos tg  = V/I, onde concluímos que a tangente do ângulo  representa a 
resistência elétrica do bipolo, portanto, podemos escrever que: tg  = R. Notar que o bipolo ôhmico 
é aquele que segue esta característica linear, sendo que qualquer outra não linear, corresponde a um 
bipolo não ôhmico. 
 Para levantar a curva característica de um bipolo, precisamos medir a intensidade de 
corrente que o percorre e a tensão aplicada aos seus terminais, para isso montamos o circuito da 
figura 44, onde utilizamos como bipolo um resistor R. 
 
 
Figura 44 - Circuito para levantar a característica de um bipolo ôhmico. 
 
 29 
 O circuito consiste de uma fonte variável, alimentando o resistor R. Para cada valor de 
tensão ajustado, teremos um respectivo valor de corrente, que colocamos numa tabela, 
possibilitando o levantamento da curva conforme mostra a figura 45. 
 
V(V) I(mA) 
 
0 0 
2 20 
4 40 
6 60 
8 80 
10 100 
 
Figura 45 - Tabela e curva característica do bipolo ôhmico. 
 
 Da curva temos: 
 
 
 








100
1060100
610
3I
V
Rtg 
 
Condutância 
 
 Chama-se de condutância (G) o inverso da resistência (R): 
R
1
G  
 G = condutância, siemens [S] ou mho [-1] 
 R = resistência [] 
 
 
Exercícios: 
 
1. Qual é a intensidade da corrente elétrica que passa por uma resistência de 1k submetida a uma 
tensão de 12 V? 
 
2. Por uma resistência de 150  passa uma corrente elétrica de 60 mA. Qual é a queda de tensão 
que ela provoca no circuito? 
 
3. Por uma resistência passa uma corrente de 150 A, provocando uma queda de tensão de 1,8 V. 
Qual é o valor dessa resistência? 
 
 
 
 
 
 
 30 
POTÊNCIA ELÉTRICA 
 
Aplicando-se uma tensão aos terminais de um resistor, estabelecer-se-á uma corrente que é o 
movimento de cargas elétricas através deste. O trabalho realizado pelas cargas elétricas, em um 
determinado intervalo de tempo, gera uma energia que é transformada em calor por Efeito Joule e é 
definida como Potência Elétrica. Numericamente, a potência é igual ao produto da tensão e da 
corrente, resultando em uma grandeza cuja unidade é o watt (W). Assim sendo, podemos escrever: 
 
IVP
t



 
 
onde:  = trabalho 
 t = intervalo de tempo (s) 
 P = potência elétrica (W) 
 
 Utilizando a definição da potência elétrica juntamente com a Lei de Ohm, obtemos outras 
relações usuais: 
 
IVP  IRV  
 
Substituindo, temos: 
 
IIRP   2IRP  
 
Analogamente: 
 
R
V
I   
R
V
VP   
R
V
P
2
 
 
 O efeito térmico, produzido pela geração de potência, é aproveitado por inúmeros 
dispositivos, tais como: chuveiro, secador, ferro elétrico, soldador, etc. Esses dispositivos são 
construídos basicamente por resistências, que alimentadas por tensões e conseqüentemente 
percorridas por correntes elétricas, transformam energia elétrica em térmica. 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. No circuito da figura abaixo, sabendo que a lâmpada está especificada para uma potência de 900 
mW quando alimentada por uma tensão de 4,5 V, determine: 
 
 
 
a) A corrente consumida pela lâmpada. 
 31 
b) A resistência da lâmpada nessa condição de operação. 
 
2. Considere um resistor com as seguintes especificações: 1k - ½ W 
 
a) Qual é a corrente Imáx e a tensão Vmáx que ele pode suportar? 
b) Que potência P’ ele dissipa caso a tensão aplicada V’ fosse metade de Vmáx? 
c) Quanto vale a relação Pmás/P’ e qual conclusão pode ser tirada? 
 32 
LEIS DE KIRCHHOFF 
 
As Leis de Kirchhoff também são conhecidas como Leis Fundamentais dos Circuitos. Estas 
fornecem um método direto para o estudo sistemático de circuitos elétricos. Antes de apresentar as 
leis, vejamos algumas definições relacionadas aos circuitos elétricos. 
 
 Ramo: Qualquer parte de um circuito elétrico composto por um ou mais dispositivos ligados 
em série. 
 
 
Figura 46 - Exemplo de um ramo. 
 
Nó: Qualquer ponto no circuito elétrico no qual há a conexão de três ou mais ramos. 
 
 
 
Figura 47 - Exemplo de nó. 
 
 
Malha: Qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos formam um caminho fechado 
para a corrente. 
 
 
 
Figura 48 - Exemplo de malha. 
 
 A primeira lei é conhecida como Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) ou Lei dos Nós ou 
Lei das Correntes e esta diz que: 
 
1.“A soma algébricas de todas as correntes em um nó deve ser Zero”. 
 
 33 
 Quando esta lei é utilizada, adota-se, arbitrariamente, as correntes que entram no nó como 
positivas e as correntes que saem do nó como negativas (ou vice-versa, desde que se seja 
consistente). Na figura 49 a equação para o nó a é: 
 
 
 
Figura 49 – Correntes entrando e saindo de um nó. 
 
+ I1 + I2 - I3 - I4 = 0  I1 + I2 = I3 + I4 
 
Exemplo:No circuito da figura 50, são conhecidos os valores de I1, I2 e I4. Determine I3, I5 e I6. 
 
 
Figura 50 – Circuito exemplo para LKC. 
 
I1 + I3 - I2 = 0  2 + I3 - 6 = 0  I3 = 4 A 
 
I2 - I4 - I5 = 0  6 - 3 - I5 = 0  I5 = 3 A 
 
I5 - I1 - I6 = 0  3 - 2 - I6 = 0  I6 = 1 A 
 
 
Receptores ativos 
 
 A segunda lei é conhecida como Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) ou simplesmente, Lei 
das Tensões, porém, antes de enunciar essa lei é necessário analisar um outro comportamento 
possível para as fontes de tensão num circuito elétrico. 
Num circuito elétrico formado por mais de uma fonte de alimentação, é possível que em 
alguma fonte a corrente entre pelo pólo positivo e saia pelo pólo negativo. Nesse caso, ao invés de 
elevar o potencial do circuito, a fonte estaria provocando a sua queda, isto é, ao invés de gerador, 
ela estaria funcionando como um receptor ativo. 
 
 34 
A Lei de Kirchhoff das Tensões diz que: 
 
2. "A soma algébrica de todas as tensões tomadas num sentido determinado, em torno de 
um caminho fechado, deve ser nula". 
 
 A segunda lei é uma conseqüência do princípio de conversação da energia e equivale igualar 
a energia de entrada à de saída. Ao escrever as equações LKT, podemos seguir o caminho em 
qualquer sentido (horário ou anti-horário) e somar as subidas ou as quedas de tensão (considerando 
positivas as que vão de - para + ou vice-versa desde que se seja consistente). 
 
 
Figura 51 - Lei de Kirchhoff das Tensões. 
 
 
+ E2 + E3 - V2 - V3 - E1 - V1 = 0  E2 + E3 = V2 + V3 + E1 + V1 
 
Exemplo: 
 
1- No circuito abaixo, são conhecimentos os valores de E1, E2, V3 e V4. Determine V1 e V2. 
 
 
 
Figura 52 - Circuito exemplo para LKT. 
 
Equações: 
 
+ E1 – V2 – V1= 0 (I) 
+ E1 + V3 – E2 + V4 – V1 = 0 (II) 
+ V3 – E2 + V4 + V2 = 0 (III) 
 
Substituindo os valores em (II), temos: + 10 + 5 – 20 + 8 – V1 = 0  V1 = 3 V 
 
Substituindo os valores em (I), temos: + 10 – V2 – V1 = 0  V2 = 7 V 
 
 35 
- Fazendo uma confirmação de resultados 
 
Substituindo os valores em (III), temos: + 5 – 20 + 8 + V2 = 0  V2 = 7 V 
 
 
2 – No circuito abaixo são conhecidos os valores de E1, E3, V1, V2 e V4. Determine E2 e V3 para que 
a Lei de Kirchhoff para Tensões seja válida. 
 
 
Figura 53 - Circuito exemplo. 
 
Obs. As polaridades de V1, V2 e V4 não são conhecidas. 
 
Equações: 
 
+ E1 - V1 – V2 + E2 = 0 (I) 
- E3 + V3 - E2 + V2 + V4 = 0 (II) 
- E1 – V3 + E3 – V4 + V1 = 0 (III) 
 
Substituindo os valores em (I), temos: + 15 – 17 - 8 + E2 = 0  E2 = 10V 
 
Substituindo os valores em (II), temos: - 25 + V3 - 10 + 8 + 5 = 0  V3 = 22 V 
 
 36 
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
 
 Associação Série: Neste tipo de associação os resistores estão ligados de forma que a 
corrente que passa por eles seja a mesma, e a tensão total aplicada aos resistores se subdivida entre 
eles proporcionalmente aos seus valores. Pela Lei de Kirchhoff das Tensões, a soma das tensões nos 
resistores é igual à tensão total aplicada E, conforme mostra a figura 54. 
 
 
Figura 54 - Associação série de resistores. 
 
E = V1 + V2 + ... + Vn 
 
Substituindo as tensões nos resistores pela Lei de Ohm (V = R.I), tem-se: 
 
E = R1I + R2I +  + RnI  E = I(R1 + R2 +  + Rn) 
 
 Dividindo a tensão E pela corrente I, chega-se a: nRRR
I
E
 21 
 O resultado E/I corresponde à resistência equivalente Req da associação série, isto é, a 
resistência que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga. 
 
 
 
 
 Caso particular: Se os n resistores da associação série forem todos iguais a R, a resistência 
equivalente pode ser calculada por: 
 
 
 
Em um circuito série, a potência total PE fornecida pela fonte ao circuito é igual à soma das 
potências dissipadas pelos resistores. Portanto, a potência total PE = E  I fornecida pela fonte é 
igual à potência dissipada pela resistência equivalente Peq = Req  I2 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por quatro resistores ligados em série, 
determine: 
 
Req = R1 + R2 +  + Rn 
Req = nR 
PE = P1 + P2 +  + Pn = E  I = Req  I2 
 37 
 
 
a) A resistência equivalente do circuito série. 
 
Req = R1 + R2 + R3 + R4 = 1k + 2k2 + 560 + 1k5  Req = 5260 = 5k26 
 
b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito. 
 
mA
R
E
I
eq
56,41056,400456,0
5260
24 3   
 
c) A queda de tensão provocada por cada resistor. 
 
ER1 = R1  I = 1k  4,5610
-3  ER1  4,56 V 
ER2 = R2  I = 2k2  4,5610
-3  ER2  10,03 V 
ER3 = R3  I = 560  4,5610
-3  ER3  2,55 V 
ER4 = R4  I = 1k5  4,5610
-3  ER4  6,84 V 
 
 
2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) se os resultados do item 1c estão corretos. 
 
LKT: A soma algébrica das tensões que elevam o potencial do circuito é igual à soma das 
tensões que causam a queda de potencial, logo: 
 
E = ER1 + ER2 + ER3 + ER4 = 4,56 + 10 + 2,55 + 6,84 = 23,98 
 
3) Mostre que: PE = P1+ P2 + P3 + P4 = PReq. 
 
PE = E  I = 24  4,56  10
-3 = 109,44 mW 
 
PReq = Req  I
2 = 5260  (4,56  10-3)2 = 109,37 mW 
 
Pi = P1 + P2 + P3 + P4 = R1  IR1
2 + R2  IR2
2 + R3  IR3
2 + R4  IR4
2 
 
Pi = 1k(4,56  10
-3)2 + 2k2(4,56  10-3)2 + 560(4,56  10-3)2 + 1k5(4,56  10-3)2= 
 
Logo, PE  PReq  Pi 
 
 
 38 
Associação Paralela: Neste tipo de associação os resistores estão ligados de forma que a 
tensão total E aplicada ao circuito seja a mesma em todos os resistores, e a corrente total do circuito 
se subdivida entre eles de forma inversamente proporcional aos seus valores. 
Pela Lei de Kirchhoff para Correntes, a soma das correntes nos resistores é igual à corrente 
total I fornecida pela fonte: 
 
 
Figura 55 - Associação paralela de resistores. 
 
I = I1 + I2 +  + In 
 
Substituindo as correntes nos resistores pela Lei de Ohm (I = E/R), tem-se: 
 









nn RRR
EI
R
E
R
E
R
E
I
111
2121
 
 
Dividindo a corrente I pela tensão E, chega-se a: 
nRRRE
I 111
21
  
 
Chama-se de condutância o inverso da resistência: 
R
G
1
 
 
O resultado I/E corresponde à condutância equivalente da associação paralela. Invertendo 
esse valor, obtém-se, portanto, a resistência equivalente REQ que a fonte de alimentação entende 
como sendo a sua carga. 
 
 
 
 
 
Isso significa que, se todos os resistores dessa associação forem substituídos por uma única 
resistência de valor Req, a fonte de alimentação E fornecerá a mesma corrente ao circuito. 
 
Assim, a relação entre as potências envolvidas é: PE = P1 + P2 +  + Pn = PReq 
 
Casos particulares: 
 
1 - Se os n resistores da associação paralela forem todos iguais a R, a resistência equivalente 
pode ser calculada por: 
 
 
 
 
 
neq RRRR
1111
21
  
n
R
Req  
 39 
2 – No caso específico de dois resistores ligados em paralelo, a resistência equivalente pode 
ser calculada por uma equação mais simples: 
 
21
21
1
 
2
111
RR
RR
R
RRR
eq
eq 

 
 
 Observação: Em textos sobre circuitos elétrico, é comum representar dois resistores em 
paralelos por: R1//R2. 
 
Exemplo: 
 
1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por três resistores ligados em paralelo, 
determine: 
 
 
 
a) A resistência equivalente do circuito paralelo. 
 
neq RRRR
1111
21
  
74
1
1
1
33
11
kkkREq
   72,659eqR 
 
b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito. 
 
 mA
R
E
I
eq
19,1801819,0
72,659
12
 
 
c) A corrente que passa por cada resistor: 
 
 mA
kR
E
I R 64,300364,0
33
12
1
1  
 
 mA
kR
E
I R 12012,0
1
12
2
2  
 
mA
kR
E
I R 55,200255,0
74
12
3
3  
 
2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) se os resultados do item 1c estão corretos. 
 
LKT: A soma algébrica das correntesque chegam a um nó é igual à soma das correntes que 
saem desse nó, logo: 
 
I = I1 + I2 + I3 
 40 
 
333 105,21012106,3
74
12
1
12
33
12  
kkk
I  I = 18,1mA 
 
 
3) Mostre que: PE = P1 + P2 + P3 = PReq 
 
PE = E  I = 12  18,19  10
-3 = 218,28 mW 
 
PReq = Req  I
2 = 659,72  (18,19  10-3)2 = 218,28 mW 
 

74
12
1
12
33
12 222
3
2
2
2
1
2
321
kkkR
V
R
V
R
V
PPPPi 
 
Logo, PE  PReq  Pi 
 
 
Associação mista: Este tipo de associação é formado por resistores ligados em série e em 
paralelo, não existindo uma equação geral para a resistência equivalente, pois ela depende da 
configuração do circuito. Assim, o cálculo deve ser feito por etapas, conforme as ligações entre os 
resistores. 
 
Exemplo: 
 
 Considerando o circuito da figura abaixo, formado por diversos resistores ligados em série e 
em paralelo, resolva os itens seguintes: 
 
 
 
1) Determine RA = R6 // R7: 
 
 
2) Determine RB = R4 + R5 + RA: 
 
 
3) Determine RC = R3 // RB: 
 
 
4) Determine RD = R2 + RC: 
 
 
5) Determine Req = R1 // RD: 
 
 41 
CONFIGURAÇÕES ESTRELA E TRIÂNGULO (Y-) 
 
 Existem certas configurações de circuitos que não podem ser resolvidas somente pelas 
combinações série-paralela. Estas configurações podem ser freqüentemente manuseadas pelo uso de 
uma transformação Y-. Esta transformação permite que três resistores que formam uma 
configuração Y sejam substituídos por outros três em configuração , ou vice-versa. Os circuitos 
das figuras 56 e 57 são redes  e Y, respectivamente. 
 
 
Figura 56 - Configuração estrela. 
 
Figura 57 - Configuração triângulo. 
 
Se estas redes são equivalentes, a resistência entre qualquer par de terminais deve ser a 
mesma, tanto em Y como em . Três equações simultâneas podem ser escritas expressando estas 
equivalências de resistências terminais, conforme mostra a tabela abaixo. 
 
Conversão Y- Conversão -Y 
3
323121
12
R
RRRRRR
R

 
231312
1312
1
RRR
RR
R


 
2
323121
13
R
RRRRRR
R

 
231312
2312
2
RRR
RR
R


 
1
323121
23
R
RRRRRR
R

 
231312
2313
3
RRR
RR
R


 
 
 
Exemplos: 
 
1. Converter a configuração abaixo de estrela para triângulo: 
 
 
 
 
 
 42 
2. Determine a resistência equivalente única que substituirá a rede da figura abaixo entre os 
terminais b e d. 
 
 
Solução: No circuito da figura acima, nenhuma resistência está diretamente em paralelo ou 
diretamente em série. Observe, todavia, que as seções bac e dac formam ambas uma rede ; 
qualquer uma delas pode ser convertida, numa equivalente Y, mostrada, na figura, por resistências 
cinzas para o caso da seção bac. Os valores equivalentes são: 
 
 
 
 



 1
844
44
2R 
 



 2
844
48
3R 
 
A rede que resulta da substituição da rede bac por uma equivalente Y é mostrada na figura 
abaixo. Nesta rede, Rea e Rad estão ligadas em série, como também as resistências Rec e Rcd. Logo, 
 
 
 
 
Read = 1 + 5 = 6 e Recd = 2 + 10 = 12 
 
 As resistências Read e Recd estão ligadas em paralelo, logo; 



 2
844
84
1R
 43 
 
 
 


 4
126
126
edR 
 
 A resistência de b para d é uma combinação série de Rbe e Red, portanto; 
 
 Rbd = 2 + 4 = 6
 44 
DIVISORES DE TENSÃO E DE CORRENTE 
 
 Na associação série de resistores, vimos que a tensão da fonte de alimentação se subdivide 
entre os resistores, formando um divisor de tensão. 
 Podemos deduzir uma equação geral para calcular a tensão Vi no resistor Ri é dada por: 
 
 Vi = Ri  I (I) 
 
 Mas a corrente I que passa pelos resistores em série vale: 
 
 
eqR
E
I  (II) 
 
 Substituindo a equação (II) na equação (I), obtém-se a equação geral do divisor de tensão: 
 
 
 
 
No caso de um divisor de tensão formado por dois resistores, conforme a figura 58, as 
expressões de V1 e V2 são: 
 
 
Figura 58 - Circuito divisor de tensão. 
 
E
RR
R
V 


21
1
1 e E
RR
R
V 


21
2
2 
 
 Em uma associação paralela de resistores, vimos que a corrente fornecida pela fonte de 
alimentação se subdivide entre os resistores, formando um divisor de corrente. 
 
 
Figura 59 – Circuito divisor de corrente. 
 
 Podemos deduzir uma equação geral para calcular a corrente Ii num determinado resistor Ri 
da associação em função da corrente total I ou da tensão E aplicada. Como os resistores estão em 
paralelo, a tensão E da fonte de alimentação é aplicada diretamente em cada resistor. Assim, a 
equação geral do divisor de corrente em função de E é: 
 
E
R
R
V
eq
i
i  
 45 
i
i
R
E
I  (I) 
 
Mas a tensão E aplicada à associação paralela vale: 
 
IRE eq  (II) 
 
Substituindo a equação (II) na equação (I), obtém-se a equação geral do divisor de 
corrente em função de I: 
 
I
R
R
I
i
eq
i . 
 
 No caso de um divisor de corrente formado por dois resistores, podem-se deduzir facilmente 
as equações de I1 e I2, que ficam como segue: 
 
 
Figura 60 – Circuito divisor de corrente formado por 2 resistores. 
 
I
RR
R
I 


21
2
1 e I
RR
R
I 


21
1
2 
 
 46 
PONTE DE WHEATSTONE 
 
 A Ponte de Wheatstone é um circuito muito utilizado em instrumentação eletrônica, pois por 
meio dela é possível medir diversas grandezas físicas como temperatura, força, pressão, etc. Para 
isto, basta utilizar um transdutor que converta as grandezas a serem medidas em resistência elétrica. 
O circuito que compõe a ponte é composto por resistores arranjados de tal forma, a obter-se 
em um determinado ramo uma corrente nula, ou seja, o equilíbrio da ponte. O desequilíbrio da 
ponte causa um fluxo de corrente e por conseqüência uma diferença de potencial que representa 
uma grandeza física. 
 O circuito básico da Ponte de Wheatstone é mostrado na figura 61. Ele é formado por dois 
divisores de tensão ligados em paralelo. Na ponte o interesse recai sobre a tensão VAB entre as 
extremidades que não estão ligadas à fonte de alimentação. 
 
 
Figura 61 - Ponte de Wheatstone. 
 
Para equacionar a Ponte, podemos dividi-la em duas partes, cada uma formando um divisor 
de tensão, conforme é mostrado na figura 62. As tensões VA e VB de cada ponte são dadas por: 
 
E
RR
R
VA .
21
2

 e E
RR
R
VB .
43
4

 
 
 
Figura 62 - Ponte de Wheaststone desmembrada. 
 
Quando VAB = VA – VB = 0, dizemos que a ponte encontra-se em equilíbrio. Para que VAB 
seja nulo, é necessário que VA = VB, ou seja: 
 
  



)( 214432
43
4
21
2 RRRRRRE
RR
R
E
RR
R
 
 
 42414232 RRRRRRRR 
 
 
4132. RRRR  
 47 
 Logo, a condição de equilíbrio da ponte é dada pela igualdade entre os produtos das suas 
resistências opostas. 
 
Ohmímetro em Ponte 
 
 A Ponte de Wheatstone pode ser utilizada para medir, com razoável precisão, resistências 
elétricas desconhecidas, adotando o seguinte procedimento: 
 
1. Liga-se um milivoltímetro de zero central entre os pontos A e B; 
2. Substitui-se um dos resistores da ponte pela resistência desconhecida RX como, por exemplo, o 
resistor R1; 
3. Substitui-se um outro resistor por uma década resistiva RD como, por exemplo, o resistor R3; 
4. Ajusta-se a década resistiva até que a ponte entre em equilíbrio, isto é, até que o milivoltímetro 
indique tensão zero (VAB = 0), anotando o valor de RD; 
5. Calcula-se RX pela expressão de equilíbrio da ponte, ou seja: 
 
RXR3 = R2RD 
 
6. Se R2 = R3, a expressão de RX se resume a: RX =RD. 
 
 
 
Figura 63 - Medida de uma resistência desconhecida através de uma ponte. 
 
Exercício: Na ponte de Wheatstone da figura 63, E = 10V, R2 = 10k, R4 = 20k. Qual é o valor 
de Rx, sabendo que no seu equilíbrio RD = 18k? 
 




 kR
k
kk
k
Rk
RxRkkR X
D
DX 9
20
1810
20
10
1020 
 
 
Instrumento de Medida de uma Grandeza Qualquer 
 
 Este tópico é a grande aplicação da Ponte de Wheatstone. Considere quea resistência 
desconhecida do exemplo anterior seja um sensor cuja resistência varie proporcionalmente a uma 
grandeza física qualquer, como por exemplo, um sensor de temperatura do tipo PT100 utilizado 
para medir a temperatura de um forno. 
Por meio da ponte, podemos relacionar o desequilíbrio causado pela resistência do sensor, 
medir a diferença de potencial elétrico causado pelo desequilíbrio e converter este valor para uma 
escala de temperatura. 
 48 
TEOREMA THEVENIN 
 
 O teorema de Thevenin consiste num método usado para transformar um circuito complexo 
num circuito simples equivalente. Esse teorema afirma que qualquer rede linear de fontes de tensão 
e resistências, se considerarmos dois pontos quaisquer da rede, pode ser substituída por uma 
resistência equivalente RTh em série com uma fonte equivalente VTh. A figura 64a mostra a rede 
linear original com os terminais a e b; a figura 64b mostra o equivalente Thevenin RTh e VTh, que 
pode ser substituído na rede linear nos terminais a e b. A polaridade de VTh é escolhida de modo a 
produzir uma corrente de a para b no mesmo sentido que na rede original. RTh é a resistência 
Thevenin vista através dos terminais a e b da rede com cada fonte de tensão interna curto-circuitada 
(se existirem fontes de correntes, estas são consideradas como circuitos abertos). VTh é a tensão 
Thevenin que apareceria através dos terminais a e b com as fontes de tensão (e/ou corrente) no 
lugar e sem nenhuma carga ligada através de a e b. 
 
 
Figura 64 - Equivalente Thevenin. 
 
Exemplo: Calcule o equivalente Thevenin visto dos terminais a e b do circuito da figura 65. 
 
 
Figura 65 - Circuito linear. 
 
 Solução: Para o cálculo de RTh devemos curto-circuitar a fonte de tensão e calcular o 
resistência equivalente vista dos terminais a e b. 
 
 
Figura 66 - Cálculo de RTh. 
 49 
 A tensão equivalente Thevenin é a tensão vista a partir dos terminais a e b. Portanto; 
 
V
kk
k
VTh 7,8
5110
10
10 

 
 
 
Figura 67 - Circuito linear e seu equivalente Thevenin. 
 
 
 50 
TEOREMA NORTON 
 
 O teorema Norton é usado para simplificar uma rede em termos de corrente em vez de 
tensão. Para a análise de correntes, este teorema pode ser usado para reduzir uma rede a um circuito 
simples em paralelo com uma fonte de corrente, que fornece uma corrente de linha total que pode 
ser subdividida em ramos paralelos. 
 O teorema de Norton afirma que qualquer rede ligada aos terminais a e b da figura 68a pode 
ser substiuída por uma única fonte de corrente IN em paralelo com uma única resistência RN, figura 
68b. IN é igual a corrente de curto-circuito através dos terminais ab (a corrente que a rede produziria 
através de a e b com um curto-circuito entre esses dois terminais). RN é a resistência nos terminais a 
e b, olhando por trás, a partir dos terminais abertos ab. O valor desse resistor único é o mesmo para 
os dois circuitos equivalentes: Norton e Thevenin. 
 
 
Figura 68 - Equivalente Norton. 
 
Exemplo: Calcule o equivalente Norton visto dos terminais a e b do circuito da figura 69. 
 
O primeiro passo para a solução do problema é fazer um curto-circuito entre os terminais a e 
b e após calcular a corrente que passa por esse curto. Observe pela figura que a resistência R2 foi 
curto-circuitada. 
 
Figura 69 - Curto-circuito entre os terminais a e b. 
 
O circuito fica reduzido a uma fonte de tensão e um resistor. Logo, a corrente IN é dada por: 
 
mAI
k
V
I NN 67,6 
51
10
 
 
A resistência RN é calculada da mesma forma que no teorema Thevenin, logo: 
 
 51 
 
Figura 70 - Cálculo de RN. 
 
O equivalente Norton é apresentado na figura 71. 
 
 
Figura 71 - Circuito linear e seu equivalente Norton. 
 
Exercício: Acrescente uma carga de 4k7 entre os terminas ab do circuito do equivalente Thevenin 
(figura 72) e calcule a corrente IL que passa pela carga. Repita o exercício para o circuito do 
equivalente Norton (figura 73). 
 
 
Figura 72 - Equivalente Thevenin. 
mAI
kK
V
I LL 45,1 
6000
7,8
7431
7,8


 
 
Figura 73 - Equivalente Norton. 
mAI
kk
k
I
RR
R
I
L
N
LN
N
L
45,1
 1067,6
7431
31 3





 
 
 
Observando os resultados do exercício acima (mesma corrente IL em ambos casos), 
concluímos que o circuito equivalente Thevenin (figura 72) corresponde ao circuito Norton 
equivalente (figura 73). Logo, uma fonte de tensão qualquer com uma resistência em série pode ser 
transformada em uma fonte de corrente equivalente com a mesma resistência em paralelo e vice-
versa, como mostra a figura 74. 
 52 
 
 
Figura 74 - Circuitos equivalentes. 
 
 Para transformar um circuito formado por uma fonte de tensão em série com uma resistência 
em um circuito equivalente com uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência, devemos 
dividir a fonte de tensão pela resistência. O inverso é conseguido multiplicando-se a fonte de 
corrente pela resistência, conforme mostra a figura 75. 
 
 
Figura 75 - Transformação de circuitos equivalentes. 
 
 53 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
 O teorema da superposição afirma que, numa rede com duas ou mais fontes, a corrente ou a 
tensão para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando 
independentemente. A fim de se usar uma fonte de cada vez, todas as outras fontes são retiradas do 
circuito. Ao se retirar uma fonte de tensão, faz-se no seu lugar um curto-circuito. Quando se retira 
uma fonte de corrente, ela é substituída por um circuito aberto. 
 
 
 
Figura 76 - Para eliminar o efeito causado num circuito por uma fonte de tensão, ela deve ser substituída por um 
curto-circuito. 
 
 
Figura 77 - Para eliminar o efeito causado num circuito por uma fonte de corrente, ela deve ser substituída por 
um curto aberto. 
 
Exemplo 1: No circuito da figura 78, determine a corrente e a tensão no resistor RX: 
 
 
 
 
Figura 78 - Circuito. 
 
Solução: Primeiramente, eliminaremos o efeito causado pela fonte de tensão E2 por meio da 
sua substituição por um curto-circuito e determinaremos a tensão VX1 e a corrente IX1 em RX 
 
 54 
 
Figura 79 - Fonte de tensão E2 curto-circuitada. 
 
 
 
 
4,07V 
5,68100
75,68
10
100220
100220
100
100220
100220
10
//
//
1
21
2
11 





















 X
X
X
X V
RRR
RR
EV 
logo: 
 
mA I
R
V
I X
X
X
X 70,40 
100
07,4
1
1
1  
 
 
Em seguida, eliminaremos o efeito causado pela fonte de tensão E1 e determinaremos a 
tensão VX2 e a corrente IX2 em RX, por efeito de E2. 
 
 
Figura 80 - Fonte de tensão E1 curto-circuitada. 
 
 
 
 
3,70V 
50220
50
20
100100
100100
220
100100
100100
20
//
//
2
12
1
22 





















 X
X
X
X V
RRR
RR
EV 
 
mA I
R
V
I X
X
X
X 37 
100
7,3
2
2
2  
 
Finalmente, podemos calcular a tensão VX e a corrente IX pela soma algébrica dos efeitos de 
E1 e E2. 
 
 
VX = VX1 – VX2 = 4,07 – 3,7  VX = 0,37V 
 
IX = IX1 – IX2 = 40,7010
-3 - 3710-3  IX = 3,7mA 
 55 
 
Exemplo 2: Calcule as correntes nos ramos I1, I2 e I3 do circuito da figura 81, através do teorema da 
superposição. 
 
 
Figura 81 - Circuito. 
 
Solução: Primeiramente calculamos o valor da corrente I1,E1, I2,E1 e I3,E1, produzidas pela 
fonte somente pela fonte E1. 
 
 
Figura 82 - Fonte de tensão E2 curto-circuitada. 
 
Para calcular as correntes, primeiramente calculamos a tensão no ponto a. 
 
 
 
 
V
RRR
RR
EVa 1
5,01
5,0
3
//
//
321
32
1 



 
 
 Cálculo das correntes: 
 
AI
R
Va
I EE 1 
1
1
1,3
3
1,3  
 
AI
R
Va
I EE 1 
1
1
1,2
2
1,2 



 
 
Observação: O sinal negativo é usado para mostrar que I2,E1 na verdade saido ponto a e não 
entra no pontoa como foi convencionado. 
 
 2A 1)1( 1,11,31,21,1  EEEE IIII 
 
 Após, eliminamos a fonte E1 e calculamos as correntes I1,E2, I2,E2 e I3,E2 produzidas somente 
pela fonte E2. 
 
 56 
 
Figura 83 - Fonte de tensão E1 curto-circuitada. 
 
 
 Cálculo de Va: 
 
 
 
 
V
RRR
RR
EVa 5,1
5,01
5,0
5,4
//
//
312
31
2 



 
 
Cálculo das correntes produzidas somente fonte E2: 
 
AI
R
Va
I EE 5,1 
1
5,1
2,1
1
2,1 



 
 
AI
R
Va
I EE 5,1 
1
5,1
2,3
2
2,3  
 
 A3 5,1)5,1( 2,22,32,12,2  EEEE IIII 
 
Para encontrar os valores das correntes I1, I2 e I3 produzidas pelas duas fontes, devemos 
somar as correntes individuais. 
 
I1 = I1,E1 + I1,E2 = 2 + (-1,5)  I1 = 0,5A 
I2 = I2,E1 + I2,E2 = -1 + 3  I2 = 2A 
I3 = I3,E1 + I3,E2 = 1 + 1,5  I3 = 2,5A 
 
 57 
DISPOSITIVOS REATIVOS - CAPACITOR 
 
 Um dispositivo resistivo como, por exemplo, o resistor, é aquele que resiste à passagem de 
corrente, mantendo o seu valor ôhmico constante tanto para a corrente contínua como para a 
corrente alternada. 
 Já, o dispositivo reativo, reage às variações de corrente, sendo que seu valor ôhmico muda 
conforme a velocidade da variação da corrente nele aplicada. Essa reação às variações de corrente é 
denominada reatância capacitiva XC (), no caso do capacitor e reatância indutiva XL (), para 
o caso de um indutor. 
 
Representação de Grandeza Elétrica Variantes no Tempo 
 
 Uma nomenclatura geralmente utilizada em eletricidade e eletrônica, para grandezas 
elétricas, como por exemplo: tensão, corrente e potência, quando analisadas em corrente contínua, 
são representadas por letras maiúsculas, respectivamente, V, I e P. Porém, quando tais grandezas 
variam no tempo, suas representações são feitas com letras minúsculas, a saber: tensão = v ou 
v(t); corrente = i ou i(t); potência = p ou p(t). 
 
Capacitor e Conceito de Capacitância 
 
Um dispositivo muito usado em circuitos elétricos é denominado capacitor. Este dispositivo 
é destinado a armazenar cargas elétricas e é constituído por dois condutores separados por um 
isolante: os condutores são chamados armaduras (ou placas) do capacitor e o isolante é o dielétrico 
do capacitor. O dielétrico pode ser um isolante qualquer como o vidro, a parafina, o papel e muitas 
vezes o próprio ar. O isolante dificulta a passagem das cargas de uma placa à outra, o que 
descarregaria o capacitor. Dessa forma, para uma mesma diferença de potencial, o capacitor pode 
armazenar uma quantidade maior de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considere o circuito da figura 85. Quando aplicamos uma diferença de potencial entre as 
placas que formam um capacitor, causamos um fluxo de elétrons representado pela corrente I. A 
placa positiva (+) do capacitor começa a ceder elétrons para o pólo positivo da fonte, carregando-se 
positivamente, simultaneamente a placa negativa (-) começa a atrair elétrons do pólo negativo da 
fonte, carregando-se negativamente. Uma vez que existe um material isolante entre as placas, não 
existe fluxo de elétrons entre as placas, fazendo com que as cargas fiquem armazenadas nas placas. 
 
dielétrico 
armadura 
Figura 84 - Capacitor de placas paralelas. 
 58 
 
 
Figura 85 - Capacitor armazenando cargas. 
 
 A medida em que for aumentando a quantidade de cargas armazenadas nas placas, a 
diferença de potencial entre as placas também aumenta, fazendo com que o fluxo de elétrons 
diminua. Esse fluxo de elétrons diminui progressivamente até o momento em que a diferença de 
potencial sobre o capacitor se iguale à tensão da fonte (E = VC) fazendo com que o fluxo de elétrons 
cesse (I = 0). 
 
 
Figura 86 - Circuito com capacitor. 
 
 A quantidade de cargas armazenadas entre as placas de um capacitor é diretamente 
proporcional à diferença de potencial aplicado nas placas. O quociente entre carga (Q) e diferença 
de potencial (E) é então uma constante para um determinado capacitor e recebe o nome de 
capacitância (C). Matematicamente a capacitância é dada por: 
 
Q
C
E
  Q = E.C 
 
onde, C = capacitância, Faraday [F] 
 Q = carga elétrica, Coulumb [C] 
 E = tensão elétrica, volt [V] 
 
 As simbologias mais utilizadas para representar um capacitor em circuitos elétricos são 
apresentadas na figura 87. 
 
 
 
Figura 87 - Simbologia para capacitores. 
 
 Na prática, encontramos diferentes tipos de capacitores, com aplicações específicas, 
dependendo de aspectos construtivos, tais como material utilizado como dielétrico, tipo de 
armadura e o tipo de encapsulamento. Dentre os vários tipos de capacitores, podemos destacar: 
 
1. Capacitores plásticos (poliestireno, poliéster): são formados por um material plástico 
como dielétrico, recoberto por folhas de alumínio ou por uma fina camada de óxido de 
alumínio vaporizado sobre ambas as faces do material plástico (metalização). O conjunto 
é bobinado e encapsulado formando um bloco compacto. 
 
 59 
2. Capacitores eletrolíticos: constituem-se em uma folha de alumínio anodizada como 
armadura positiva, onde por um processo eletrolítico, forma-se uma camada de óxido de 
alumínio que serve como dielétrico, e um fluído condutor, o eletrólito que impregnado 
em um papel poroso, é colocado em contato com outra folha de alumínio de maneira a 
formar a armadura negativa. O conjunto é bobinado, sendo a folha de alumínio 
anodizada, ligada ao terminal positivo e a outra ligada a uma caneca tubular, 
encapsulamento do conjunto, e ao terminal negativo. Os capacitores eletrolíticos, por 
apresentarem o dielétrico como uma fina camada de óxido de alumínio e em uma das 
armaduras um fluido, constituem uma série de altos valores de capacitância, mas com 
valores limitados de tensão de isolação e terminais polarizados. De forma idêntica, 
encontramos os capacitores eletrolíticos de tântalo, onde o dielétrico é formado por 
óxido de tântalo. 
 
3. Capacitores cerâmicos: este tipo de capacitor apresenta como dielétrico um material 
cerâmico, que é revestido por uma camada de tinta, que contém elemento condutor, 
formando as armaduras. 
 
 
Características físicas de um Capacitor 
 
 A capacitância de um capacitor formado por placas paralelas depende da área A [m2] das 
placas, da distância d [m] entre as placas e do material dietétrico, que é caracterizado pela sua 
permissividade absoluta, representada pela grega  (epsílon), cuja unidade é o farad/metro [F/m]. 
Matematicamente: 
 
d
A
.c  
 
 No vácuo, o valor de  é dado por o = 8,9x10
-12 F/m. Para os demais materiais, essa 
características pode ser dada em relação à permissividade do vácuo, conforme a tabela: 
 
Dielétrico Permissividade -  (F/m) 
Ar o 
Polietileno 2,3o 
Papel 3,5o 
baquelite 4,8o 
mica 6o 
porcelana 6,5o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
Comportamento Elétrico do Capacitor 
 
 
Figura 88 - Circuito de carga de um capacitor. 
 
 Considere o circuito da figura 88. Inicialmente a chave S está aberta e o capacitor 
descarregado. No instante t = t0 = 0, a chave S é fechada e o capacitor começa a ser carregado. A 
tensão sobre o capacitor cresce exponencialmente, até atingir o seu valor máximo no instante t = tc, 
isto é Vc = E. 
 O comportamento da corrente é o contrário da tensão, ou seja, inicialmente as placas estão 
descarregadas e o fluxo de corrente não encontra nenhuma resistência a sua passagem no instante 
inicial em que a chave S é fechada, i(t0) = I. A media em que o capacitor vai acumulando cargas a 
resistência a passagem da corrente vai aumentando e o seu valor vai decaindo exponencialmente até 
cessar, i(tc) = 0. O período entre o início da carga e a estabilização da tensão é chamado de 
transitório. O comportamento de carga de um capacitor pode ser visto na figura 89. 
 
 
Figura 89