Medidas Eletrica UFF - Aula 5

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Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Medidas Elétricas III
Prof. Marcos Riva Suhett
Aula 5
2
Conceitos Gerais em Medidas
INSTRUMENTO DE MEDIÇÃO
TENDÊNCIA Incerteza deMedição da
Calibração
CORREÇÃO
RESULTADO
CORRIGIDO
Parcela de Contribuição da
Incerteza (Tipo A ou Tipo B)
INCERTEZA DE 
MEDIÇÃO
3
Conceitos Gerais em Medidas
Tendência Vs. Incerteza
Valor 
Padrão
Incerteza
Tendência
Probabilidade
4
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Passo-a-passo para estimar a incerteza de medição
1) Especificar o mensurando
2) Identificar as fontes de incerteza
3) Quantificar as fontes de incerteza (Tipo A e Tipo B)
4) Atribuir a distribuição de probabilidade para cada fonte
5) Converter as componentes de incerteza em incertezas 
padrão (dividindo as componentes de incerteza pelo divisor 
correspondente à distribuição de probabilidade)
6) Calcular a incerteza padrão combinada (uc)
7) Determinar o fator de abrangência (k)
8) Calcular a incerteza expandida (U)
5
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Coeficiente de Sensibilidade (ci)
Relação entre a grandeza do mensurando e a grandeza da fonte de 
incerteza.
O ci é calculado pela derivada parcial da função (modelo matemático) em 
relação a variável para qual se deseja o ci, ou seja:
Obs: Quando a estimativa de entrada xi estiver na mesma unidade de 
medida da estimativa de saída yi, considerar ci igual a 1.
i
i x
fc



6
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo: Coeficiente de Sensibilidade (ci)
Cálculo do ci para a medição do comprimento de uma peça de aço, 
sabendo que o comprimento medido foi de 50 mm (0,05 m) onde a 
temperatura ambiente foi de (20 ± 3) ºC e o coeficiente de expansão 
térmica linear do aço é (11 ± 1) m/m ºC.
Modelo Matemático: Lfinal = Linicial + L.aço.T
7
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo: Coeficiente de Sensibilidade (ci)
Cálculo do ci para a medição do comprimento de uma peça de aço, 
sabendo que o comprimento medido foi de 50 mm (0,05 m) onde a 
temperatura ambiente foi de (20 ± 3) ºC e o coeficiente de expansão 
térmica linear do aço é (11 ± 1) m/m ºC.
Modelo Matemático: Lfinal = Linicial + L.aço.T
T
fc T 

 açoT Lc . Cmc T
/55,011.05,0 
8
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo: Coeficiente de Sensibilidade (ci)
Cálculo do ci para a medição do comprimento de uma peça de aço, 
sabendo que o comprimento medido foi de 50 mm (0,05 m) onde a 
temperatura ambiente foi de (20 ± 3) ºC e o coeficiente de expansão 
térmica linear do aço é (11 ± 1) m/m ºC.
Modelo Matemático: Lfinal = Linicial + L.aço.T
T
T
fc

 

 açoT Lc . Cmc T
/55,011.05,0 
 


fc
9
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo: Coeficiente de Sensibilidade (ci)
Cálculo do ci para a medição do comprimento de uma peça de aço, 
sabendo que o comprimento medido foi de 50 mm (0,05 m) onde a 
temperatura ambiente foi de (20 ± 3) ºC e o coeficiente de expansão 
térmica linear do aço é (11 ± 1) m/m ºC.
Modelo Matemático: Lfinal = Linicial + L.aço.T
T
T
fc

 

 açoT Lc . Cmc T
/55,011.05,0 

 


fc TLc  . Cmc
15,03.05,0 
10
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Incerteza Expandida (U)
A incerteza expandida é obtida pela multiplicação do fator de 
abrangência (k) pela incerteza padrão combinada (uc).
Caso a distribuição de probabilidade seja aproximadamente 
NORMAL, com graus de liberdade () tendendo ao infinito, 
teremos o fator de abrangência:
Caso geral (k=2) – Para um nível de confiança de aprox. 95%
Aplicações críticas (k=3) – Para um nível de confiança de aprox. 99%
cukU .
11
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Incerteza Expandida (U)
Caso a incerteza tipo A seja da mesma ordem de grandeza que as do 
tipo B, a incerteza expandida calculada pela forma citada (k=2 ou 
k=3) pode ser subestimada, a menos que um grande número de 
medições repetidas tenha sido feito.
Neste caso deverá ser obtido um fator de abrangência (k) baseado no 
número efetivo de graus de liberdade (eff) da incerteza padrão 
combinada.
Graus de liberdade (eff) é o valor que expressa a confiança no 
resultado. Quanto maior o eff, mais confiável é o resultado.
12
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Graus de Liberdade (eff) 
Usar a equação de WELCH SATTETHRWAITE para calcular os graus 
de liberdade efetivos (eff) associados a Incerteza Combinada:


 n
i i
i
c
eff u
u
1
4
4


Onde: 
ui – Representa cada uma das 
incertezas padrão i
i – Representa os graus de 
liberdade de cada uma das 
incertezas padrão i
13
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Graus de Liberdade (eff) 
Como calcular os graus de liberdade “i” de cada “ui”?
Tipo A: i = n – 1 (onde n é o número de medições realizadas);
Certificado de calibração: i pode ser obtido diretamente do 
certificado ou a partir do valor de k (pela Tabela de Coeficientes 
de Student);
Demais incertezas padrão: Se não houver conhecimento sobre 
os graus de liberdade, adotar valor infinito (i = ).
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Tabela de Coeficientes de Student
eff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28
eff 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k 2,25 2,23 2,21 2,20 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13
eff 25 30 35 40 45 50 100 
k 2,11 2,09 2,07 2,06 2,06 2,05 2,025 2,000
eff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 235,8 19,21 9,22 6,62 5,51 4,90 4,53 4,28 4,09 3,96
eff 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k 3,85 3,76 3,69 3,64 3,59 3,54 3,51 3,48 3,45 3,42
eff 25 30 35 40 45 50 100 
k 3,33 3,27 3,23 3,20 3,18 3,16 3,077 3,000
Valores de k para nível de confiança de 95,45%
Valores de k para nível de confiança de 99,73%
15
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo – Exercício aula passada
Determinar o resultado da medição (com sua respectiva 
incerteza) da seguinte balança:
X1 = 1014 g
X2 = 1016 g
X3 = 1015 g
Certificado de calibração (Td = 15 g, U = 0,1, k = 2)
Resolução = 1 g
Coeficiente de temperatura da balança = 0,2 g/ºC
Temperatura durante o ensaio = 22 ± 3 ºC
Usar fator de abrangência k = 2 (95%)
16
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo – Exercício aula passada
Fonte Tipo Valor Divisor u i
Estatística A 0,577 1 0,577
Calibração B 0,1 2 0,05
Resolução B 0,5 0,289
Var. Temperatura B 0,6 0,346
Incerteza Combinada 0,7339
Incerteza Expandida (U)
22
1 ... nc uuu 
cukU .
Resultado não corrigido 1015 g
Correção -15 g
Resultado corrigido 1000 g
Resultado Final:
3
3
17
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo – Exercício aula passada
Fonte Tipo Valor Divisor u i
Estatística A 0,577 1 0,577 2
Calibração B 0,1 2 0,05
Resolução B 0,5 0,289
Var. Temperatura B 0,6 0,346
Incerteza Combinada 0,7339
Incerteza Expandida (U)
22
1 ... nc uuu 
cukU .
Resultado não corrigido 1015 g
Correção -15 g
Resultado corrigido 1000 g
Resultado Final:
3
3
18
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo – Exercício aula passada
Fonte Tipo Valor Divisor u i
Estatística A 0,577 1 0,577 2Calibração B 0,1 2 0,05 
Resolução B 0,5 0,289 
Var. Temperatura B 0,6 0,346 
Incerteza Combinada 0,7339 eff = ?
Incerteza Expandida (U)
22
1 ... nc uuu 
cukU .
Resultado não corrigido 1015 g
Correção -15 g
Resultado corrigido 1000 g
Resultado Final:
3
3
19
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Cálculo do número de graus de liberdade:


 n
i i
i
c
eff u
u
1
4
4








 4444
4
346,0289,005,0
2
577,0
7339,0
eff
20
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Cálculo do número de graus de liberdade:


 n
i i
i
c
eff u
u
1
4
4


2345,5
346,0289,005,0
2
577,0
7339,0
4444
4







eff
0 00
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Tabela de Coeficientes de Student
eff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28
eff 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k 2,25 2,23 2,21 2,20 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13
eff 25 30 35 40 45 50 100 
k 2,11 2,09 2,07 2,06 2,06 2,05 2,025 2,000
eff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 235,8 19,21 9,22 6,62 5,51 4,90 4,53 4,28 4,09 3,96
eff 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k 3,85 3,76 3,69 3,64 3,59 3,54 3,51 3,48 3,45 3,42
eff 25 30 35 40 45 50 100 
k 3,33 3,27 3,23 3,20 3,18 3,16 3,077 3,000
Valores de k para nível de confiança de 95,45%
Valores de k para nível de confiança de 99,73%
22
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo – Exercício aula passada
Fonte Tipo Valor Divisor u i
Estatística A 0,577 1 0,577 2
Calibração B 0,1 2 0,05 
Resolução B 0,5 0,289 
Var. Temperatura B 0,6 0,346 
Incerteza Combinada 0,7339 eff = 5
Incerteza Expandida (U) 1,945 K = 2,65
22
1 ... nc uuu 
cukU .
Resultado não corrigido 1015 g
Correção -15 g
Resultado corrigido 1000 g
3
3
Resultado Final:
1000 ± 2 g (95%)
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Fontes de Incerteza
Incerteza do Sistema de Medição (Certificado de calibração)
Estabilidade do Sistema de Medição em função do tempo
Estabilidade do Sistema de Medição em função das 
condições ambientais
Resolução
Tensões termoelétricas
Repetitividade (tipo A)
Erros de aproximação ou simplificação dos dados
Efeito de temperatura sobre o mensurando
24
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Erro Absoluto Vs. Erro Relativo
Algumas vezes não é conveniente trabalhar diretamente 
com o erro absoluto da medição pois um erro de 0,2 m 
pode ser muito pequeno ou muito grande se comparado ao 
comprimento medido.
Exemplo:
0,2 m de erro em 20 m corresponde a 1% de erro;
0,2 m de erro em 2 m corresponde a 10% de erro;
0,2 m de erro em 0,2 m corresponde a 100% de erro.
25
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Erro Absoluto Vs. Erro Relativo
Dessa forma, o erro relativo fornece além do valor do erro, 
uma indicação de o quão grande é o erro.
Onde:
Xm = Resultado de uma medição;
Xv = Valor verdadeiro convencional (valor de um padrão);
%100%100
mv
vm
r X
X
X
XXE 
26
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Erro Absoluto Vs. Erro Relativo
Exemplo:
Xv = 100,00 V
Xm = 100,002 V
Obs: É muito comum o erro ser apresentado em ppm (partes por 
milhão):
%02,0%100
100
02,0%100 
m
vm
r X
XXE
ppm
X
XXE
m
vm
r 200000.000.1 


27
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Propagação de Incertezas
Nem sempre é possível a medição de uma grandeza 
diretamente. Neste caso, o valor da grandeza é 
determinado de forma indireta, isto é, a partir de operações 
matemáticas que combinem resultados previamente 
determinados de duas ou mais grandezas
Exemplos:
O volume de um paralelepípedo calculado a partir dos produtos dos 
lados;
A velocidade de um projétil determinada pela razão entre o tempo 
de vôo e a distância percorrida;
A potência elétrica a partir de medições de tensão e corrente.
28
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Incerteza Máxima
O maior valor possível da incerteza final.
Área de uma superfície retangular: A = p x q
p = (4,5 ± 0,1) m e q = (18,0 ± 0,3) m
Valor da incerteza máxima:
Amin = 4,4 x 17,7 = 77,88 m²
Amax = 4,6 x 18,3 = 84,18 m²
84,18 – 77,88 = 6,3 m²
Incerteza máxima: Umax = ± 3,1 m²
29
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
O exemplo anterior considerou os casos onde os lados do 
retângulo eram simultaneamente máximos num 
determinado momento e mínimo num outro momento.
Do ponto de vista estatístico, isso é muito pouco provável 
de acontecer.
30
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Equação Geral para Propagação da Incerteza
Seja a grandeza G calculada em função de diversas 
grandezas independentes:
G = f(a,b,c,d,...)
Aplicando-se a série de Taylor, eliminando os termos mais 
altos e reduzindo termos semelhantes:
...
2222
































 dcbaG Ud
fU
c
fU
b
fU
a
fU
31
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Exercício:
Determine o resultado da medição da resistência através 
dos valores de tensão e corrente abaixo:
V = (15,0 ± 0,1) V
i = (0,028 ± 0,003) A
R = V/i
R = (X ± Y) 
...
2222
































 dcbaG Ud
fU
c
fU
b
fU
a
fU
32
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Exercício
22
















 ivR Ui
RU
v
RU
 7,535
i
VR
2
2
21





 




 ivR Ui
VU
i
U
33
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Exercício
R = 535,7 ± 57,5  ???





 






 5,57003,0
028,0
151,0
028,0
1 2
2
2
RU
34
Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Exercício
V = (15,0 ± 0,1) V [3 algarismos significativos]
i = (0,028 ± 0,003) A [2 algarismos significativos]
R = (0,54 ± 0,06) k
35
Incerteza de MediçãoIncerteza de Medição
Como expressar a incerteza da medição?
No processamento matemático dos dados:
Arredondar somente no final
Na apresentação da Incerteza Expandida (U):
Usar 1 ou, no máximo 2, algarismos significativos
Compatibilizar U com a resolução do instrumento
Arredondar sempre para cima
Fator de abrangência (k):
Pegar sempre o maior valor de k na tabela de Student, em favor da 
segurança
36
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Recomendação
Fonte Tipo Valor Divisor ci u i
Incerteza Combinada eff=
Incerteza Expandida (U) K=
22
1 ... nc uuu 
cukU .
Resultado não corrigido
Correção
Resultado corrigido
Resultado Final: