MaestroMatematicas1Vol2

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

3 7 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 
8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 
7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 
1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 
7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 3 
3 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 1 
2 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 1 2 9 8 3 3 6 7 3 3 6 2 4 4 0 6 5 6 6 4 3 0 8 6 0 2 1 3 9 4 9 4 6 3 9 5 2 2 4 7 3 7 1 9 0 7 0 2 1 7 9 8 6 0 9 4 3 7 0 2 7 7 0 5 3 9 2 
17176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418 
15981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766 
91473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018 
52968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104 
71018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419 
92726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535 
66369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862 
51898356948556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560 
42419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205 
22489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683 
86894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388439045124413654976278079771569143599770012961608944169486855584840635 
34220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797 
10893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234 
36454285844479526586782105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350 
64302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316 
03881930142093762137855956638937787083039069792077346722182562599661501421503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453 
90579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043903975951567715770042033786993600723055876317635942187312514712053292819182618612586732 
15791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516 
39831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309924 
48895757128289059232332609729971208443357326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656180937734440307074692112019130203303801976211 
01100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092 
54711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614 
34443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053899456131407112700040785473326993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679 
54571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019 
38971311179042978285647503203198691514028708085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738 
98665494945011465406284336639379003976926567214638530673609657120918076383271664162748888007869256029022847210403172118608204190004229661711963779213375751149595015 
66049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413 
26047215695162396586457302163159819319516735381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416314965897940924323789690706977942236250822168895 
73837986230015937764716512289357860158816175578297352334460428151262720373431465319777741603199066554187639792933441952154134189948544473456738316249934191318148092 
77771038638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613323166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145 
17180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192 
77152807317679077071572134447306057007334924369311383504931631284042512192565179806941135280131470130478164378851852909285452011658393419656213491434159562586586557
MATEMÁTICAS
Li
br
o 
pa
ra
 e
l m
ae
st
ro
Li
br
o 
p a
ra
 e
l m
ae
st
ro
I
I
M
AT
EM
Á
TI
CA
S 1er Grado Volumen II
SUS
TITU
IR
Li
br
o 
pa
ra
 e
l m
ae
st
ro
1e
r G
ra
do
 
Vo
lu
m
en
 II
MAT1 LM Vol2 portada.indd 1 9/3/07 3:14:34 PM
Libro para el maestro
matemáticas I
1er Grado Volumen II 
MAT1	B3	S17	maestro.indd			1 8/25/07			3:00:32	PM
Matemáticas I. Libro para el maestro. Volumen II. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa 
del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de 
Educación Básica y el ILCE.
Autores
Ana Laura Barriendos Rodríguez
Ernesto Manuel Espinosa Asuar
Diana Violeta Solares Pineda
Asesoría académica
María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)
Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)
(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)
 
Apoyo técnico y pedagógico
María Catalina Ortega Núñez
María Padilla Longoria
Colaboración
Martha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña,
José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero,
Verónica Rosainz Bonilla
Coordinación editorial
Sandra Hussein Domínguez
Primera edición, 2006
Segunda edición, 2007
Sexta reimpresión, 2013 (ciclo escolar 2013-2014)
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006
 Argentina 28, Centro,
 06020, México, D.F.
ISBN: 978-968-01-1200-5 (obra completa)
ISBN:
978-968-01-1486-3 (volumen II)
Impreso en México
Distribución gratuita-ProhibiDa su venta 
Servicios editoriales
Dirección de arte
Rocío Mireles Gavito
Diseño
Zona gráfica
Diagramación
Bruno Contreras
Iconografía
Cynthia Valdespino
Ilustración
Imanimastudio, Curro Gómez, 
Gabriela Podestá, Cecilia Varela
Fotografía
Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba,
Pável Ramírez
LPM-MATE-1-V2-LEGAL-13-14.indd 2 15/02/13 13:31
Mapa-índice
Clave de logos
 BLOqUE 3
secuencia 17 División de números decimales
secuencia 18 Ecuaciones de primer grado
secuencia 19 Existencia y unicidad
secuencia 20 Áreas y perímetros
secuencia 21 Porcentajes
secuencia 22 Tablas de frecuencia
secuencia 23 Gráficas de barras y circulares
secuencia 24 Nociones de probabilidad
 BLOqUE 4
secuencia 25 Números con signo
secuencia 26 Raíz cuadrada y potencias
secuencia 27 Relación funcional
secuencia 28 Construcción de círculos y circunferencias
secuencia 29 El número Pi
secuencia 30 El área de los círculos
secuencia 31 Relaciones de proporcionalidad
secuencia 32 Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad
 BLOqUE 5
secuencia 33 Cuentas de números con signo
secuencia 34 Áreas de figuras planas
secuencia 35 Juegos equitativos
secuencia 36 Gráficas, tablas y expresiones algebraicas
secuencia 37 Proporcionalidad inversa
secuencia 38 Medidas de tendencia central
Propuesta de examen bimestral bloque 3
Propuesta de examen bimestral bloque 4
Propuesta de examen bimestral bloque 5
Bibliografía
4
9
12
22
32
40
50
60
72
84
104
114
126
140
150
158
164
172
184
200
204
218
224
232
241
255
265
280
Índice
MAT1	B3	S17	maestro.indd			3 8/25/07			3:00:35	PM
�
SE
C
U
EN
C
IA
SE
SI
Ó
N
 R
EC
U
R
SO
S 
TE
C
N
O
LÓ
G
IC
O
S
V
id
eo
s
In
te
ra
ct
iv
o
s
A
u
la
 d
e 
m
ed
io
s
H
o
ja
s 
d
e 
t r
a b
a j
o
A
r c
h
iv
o
1 .
	
S i
st
e m
a s
	d
e	
n u
m
e r
a c
ió
n .
• 	
Id
e n
ti
fi c
a r
	la
s	
p r
o p
ie
d a
d e
s	
d e
l	s
is
te
m
a	
d e
	n
u m
e r
a c
ió
n	
d e
c i
m
a l
	y
	
c o
n t
ra
st
a r
la
s	
c o
n	
la
s	
d e
	o
tr
o s
	s
is
te
m
a s
	n
u m
é r
ic
o s
	p
o s
ic
io
n a
le
s	
y	
n o
	
po
si
ci
on
al
es
.
1 .
1 	
Ac
e r
ti
jo
s	
a r
q u
e o
ló
g i
c o
s
1 .
2 	
O
tr
o	
si
st
e m
a	
d e
	n
u m
e r
a c
ió
n
L o
s	
n ú
m
e r
o s
	m
a y
a s
S i
st
e m
a	
d e
	n
u m
e r
a c
ió
n	
m
a y
a
1.
3	
El
	s
is
te
m
a	
de
ci
m
al
	
2.
	
Fr
ac
ci
on
es
	y
	d
ec
im
al
es
	e
n	
la
	re
ct
a	
nu
m
ér
ic
a.
•	
Re
pr
es
en
ta
r	
nú
m
er
os
	f
ra
cc
io
na
rio
s	
y	
de
ci
m
al
es
	e
n	
la
	re
ct
a	
nu
m
ér
ic
a	
a	
pa
rt
ir	
de
	d
is
ti
nt
as
	in
fo
rm
ac
io
ne
s,	
an
al
iz
an
do
	la
s	
co
nv
en
ci
on
es
	d
e	
es
ta
	
re
pr
es
en
ta
ci
ón
.
2.
1	
El
	s
al
to
	d
e	
al
tu
ra
El
	s
al
to
	d
e	
al
tu
ra
2.
2	
D
en
si
da
d	
y	
fr
ac
ci
on
es
La
	re
ct
a	
nu
m
ér
ic
a:
	
Fr
ac
ci
on
es
2.
3	
El
	s
al
to
	d
e	
lo
ng
it
ud
	y
	lo
s	
nú
m
er
os
	d
ec
im
al
es
La
	re
ct
a	
nu
m
ér
ic
a:
	
Fr
ac
ci
on
es
	d
ec
im
al
es
	
3.
	
Su
ce
si
on
es
	d
e	
nú
m
er
os
	y
	fi
gu
ra
s.
•	
Co
ns
tr
ui
r	
su
ce
si
on
es
	d
e	
nú
m
er
os
	a
	p
ar
ti
r	
de
	u
na
	re
gl
a	
da
da
.	
•	
D
et
er
m
in
ar
	e
xp
re
si
on
es
	g
en
er
al
es
	q
ue
	d
efi
ne
n	
la
s	
re
gl
as
	d
e	
su
ce
si
on
es
	
nu
m
ér
ic
as
	y
	fi
gu
ra
ti
va
s.
3.
1	
Fi
gu
ra
s	
qu
e	
cr
ec
en
Fi
gu
ra
s	
qu
e	
cr
ec
en
Pa
tr
on
es
	y
	s
ec
ue
nc
ia
s	
1
3.
2	
N
úm
er
os
	q
ue
	c
re
ce
n
Su
ce
si
on
es
3.
2	
	N
úm
er
os
	q
ue
	c
re
ce
n	
	
(H
oj
a 	
de
	c
ál
cu
lo
)
Su
ce
si
ón
3.
3	
Re
gl
as
	d
e	
su
ce
si
on
es
Pa
tr
on
es
	y
	s
ec
ue
nc
ia
s	
1
Pa
tr
on
es
	y
	s
ec
ue
nc
ia
s	
2
4.
	
G
eo
m
et
ría
	y
	e
xp
re
si
on
es
	a
lg
eb
ra
ic
as
.
•	
Ex
pl
ic
ar
	e
n	
le
ng
ua
je
	n
at
ur
al
	e
l	s
ig
ni
fic
ad
o	
de
	a
lg
un
as
	f
ór
m
ul
as
	
ge
om
ét
ric
as
,	i
nt
er
pr
et
an
do
	la
s	
lit
er
al
es
	c
om
o	
nú
m
er
os
	g
en
er
al
es
	c
on
	
lo
s	
qu
e	
es
	p
os
ib
le
	o
pe
ra
r.
4.
1	
Fó
rm
ul
as
	y
	p
er
ím
et
ro
s	
Fó
rm
ul
as
	y
	p
er
ím
et
ro
s
Cu
ad
ra
do
H
ex
ág
on
o
4.
2	
Fó
rm
ul
as
	y
	á
re
as
Re
ct
án
gu
lo
4.
2	
Fó
rm
ul
as
	y
	á
re
as
	
(H
oj
a 	
de
	c
ál
cu
lo
)
Cu
ad
ra
do
	1
Cu
ad
ra
do
5.
	
Si
m
et
ría
.
•	
Co
ns
tr
ui
r 	
fig
ur
as
	s
im
ét
ric
as
	re
sp
ec
to
	a
	u
n	
ej
e,
	a
na
liz
ar
la
s	
y	
ex
pl
ic
it
ar
	
la
s	
pr
op
ie
da
de
s	
qu
e	
se
	c
on
se
rv
an
	e
n	
fig
ur
as
	t
al
es
	c
om
o:
	t
riá
ng
ul
os
	
is
ós
ce
le
s	
y	
eq
ui
lá
te
ro
s,	
ro
m
bo
s,	
cu
ad
ra
do
s	
y	
re
ct
án
gu
lo
s.
5.
1	
Co
m
o	
si
	f
ue
ra
	u
n	
es
pe
jo
Si
m
et
ría
	d
e	
pu
nt
os
5.
2	
Pa
pe
l 	p
ic
ad
o
Si
m
et
ría
	d
e	
po
líg
on
os
5.
2.
	P
ap
el
	p
ic
ad
o	
	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Pa
pe
l
Si
m
ét
ric
o
5.
3	
Lo
s 	
vi
tr
al
es
Vi
tr
al
es
5.
4	
Al
go
	m
ás
	s
ob
re
	s
im
et
ría
5.
4	
Al
go
	m
ás
	s
ob
re
	s
im
et
ría
		
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Ap
re
nd
id
o
6.
	
Pr
op
or
ci
on
al
id
ad
.
•	
Id
en
ti
fic
ar
	y
	re
so
lv
er
	s
it
ua
ci
on
es
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
	d
ire
ct
a	
de
l	t
ip
o	
“v
al
or
	f
al
ta
nt
e”
,	u
ti
liz
an
do
	d
e	
m
an
er
a	
fle
xi
bl
e	
di
ve
rs
os
	p
ro
ce
di
m
ie
nt
os
.
6.
1	
La
s	
ca
nt
id
ad
es
	d
ire
ct
am
en
te
	p
ro
po
rc
io
na
le
s
6.
2	
El
	v
al
or
	u
ni
ta
rio
Es
ca
la
s	
y	
m
aq
ue
ta
s	
en
	
ar
qu
it
ec
tu
ra
6.
2	
Va
lo
r	
un
it
ar
io
		 	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
Es
ca
la
s
6.
3	
La
	p
ro
po
rc
io
na
lid
ad
	e
n	
ot
ro
s	
co
nt
ex
to
s
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	1
7.
	
Re
pa
rt
o 	
pr
op
or
ci
on
al
.
•	
El
ab
or
ar
	y
	u
ti
liz
ar
	p
ro
ce
di
m
ie
nt
os
	p
ar
a	
re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	d
e	
re
pa
rt
o	
pr
op
or
ci
on
al
.
7.
1	
La
	k
er
m
és
Re
pa
rt
o	
pr
op
or
ci
on
al
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	2
7.
2	
M
ás
	s
ob
re
	re
pa
rt
o	
pr
op
or
ci
on
al
8.
	
Pr
ob
le
m
as
	d
e	
co
nt
eo
.
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	d
e	
co
nt
eo
	u
til
iz
an
do
	d
iv
er
so
s	r
ec
ur
so
s	y
	e
st
ra
te
gi
as
,	
co
m
o	
ta
bl
as
,	d
ia
gr
am
as
	d
e	
ár
bo
l	y
	o
tr
os
	p
ro
ce
di
m
ie
nt
os
	d
e	
en
um
er
ac
ió
n.
8.
1	
¿C
uá
nt
os
	c
am
in
os
	h
ay
?
M
ap
a	
de
	c
al
le
s
8.
2	
¿D
e 	
cu
án
ta
s	
fo
rm
as
?
D
ia
gr
am
a	
de
	á
rb
ol
8.
3	
¿C
uá
nt
os
	v
ia
je
s	
ha
y…
?
¿S
ab
en
	c
uá
nt
os
	c
am
in
os
	h
ay
?
D
ia
gr
am
a	
de
	á
rb
ol
8.
4	
O
tr
os
	c
on
te
xt
os
D
ia
gr
am
a	
de
	á
rb
ol
E
V
A
L
U
A
C
IÓ
N
	
B
lo
q
u
e
 1
MAT1	B3	S17	maestro.indd			4 8/25/07			3:00:36	PM
�
B
lo
q
u
e
 2
SE
C
U
EN
C
IA
SE
SI
Ó
N
R
EC
U
R
SO
S 
TE
C
N
O
LÓ
G
IC
O
S
V
id
e o
s
In
t e
r a
c t
iv
o
s
H
o
ja
s 
d
e 
t r
a b
a j
o
9 .
	
P r
o b
le
m
a s
	a
d i
ti
v o
s	
c o
n	
n ú
m
e r
o s
	f
ra
c c
io
n a
rio
s	
y	
d e
c i
m
a l
e s
.
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	a
di
ti
vo
s	
co
n	
nú
m
er
os
	
fr
ac
ci
on
ar
io
s	
y	
de
ci
m
al
es
	e
n	
di
st
in
to
s	
co
nt
ex
to
s.	
9 .
1 	
E l
	f
e s
ti
v a
l	d
e	
fi n
	d
e	
c u
rs
o s
¿ D
ó n
d e
	se
	u
til
iz
a n
	fr
a c
c i
o n
e s
?
N
ú m
e r
o s
	f
ra
c c
io
n a
rio
s
9 .
1 	
E l
	f
e s
ti
v a
l	d
e	
fi n
	d
e	
c u
rs
o s
	(H
o j
a	
d e
	c
á l
c u
lo
)
9 .
2 	
M
a r
c a
s 	
a t
lé
ti
c a
s
9.
3	
Lo
s	
pr
ec
io
s	
de
	la
	c
af
et
er
ía
10
.	
M
ul
ti
pl
ic
ac
ió
n 	
y	
di
vi
si
ón
	d
e	
fr
ac
ci
on
es
.
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
la
	
m
ul
ti
pl
ic
ac
ió
n	
y	
di
vi
si
ón
	c
on
	n
úm
er
os
	
fr
ac
ci
on
ar
io
s	
en
	d
is
ti
nt
os
	c
on
te
xt
os
.
10
.1
	D
e	
co
m
pr
as
	e
n	
el
	m
er
ca
do
10
.2
	S
up
er
fic
ie
s	
y	
fr
ac
ci
on
es
	
M
ul
ti
pl
ic
ac
ió
n	
de
	f
ra
cc
io
ne
s	
1
10
.3
	¿
Có
m
o 	
se
ría
n	
la
s	
m
ar
ca
s	
at
lé
ti
ca
s	
en
	e
l	
es
pa
ci
o?
El
	s
is
te
m
a	
so
la
r	
	
y 	
la
	f
ue
rz
a	
de
	g
ra
ve
da
d
M
ul
ti
pl
ic
ac
ió
n	
de
	f
ra
cc
io
ne
s	
1
M
ul
ti
pl
ic
ac
ió
n	
de
	f
ra
cc
io
ne
s	
2
10
.4
	H
ay
	t
el
a	
de
	d
on
de
	c
or
ta
r
10
.5
	¿
Cu
án
ta
s	
bo
te
lla
s	
de
	ju
go
	s
e	
ne
ce
si
ta
n?
	
11
.	
M
ul
ti
pl
ic
ac
ió
n	
de
	n
úm
er
os
	d
ec
im
al
es
.
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
la
	
m
ul
ti
pl
ic
ac
ió
n 	
de
	n
úm
er
os
	d
ec
im
al
es
	e
n	
di
st
in
to
s 	
co
nt
ex
to
s.
11
.1
	
Tr
es
	v
ec
es
	y
	m
ed
ia
M
ás
	d
e	
tr
es
,	p
er
o 	
m
en
os
	d
e	
cu
at
ro
M
ul
tip
lic
ac
ió
n	
de
	n
úm
er
os
	d
ec
im
al
es
Es
ca
la
s 	
y	
nú
m
er
os
	d
ec
im
al
es
11
.2
	
El
	p
un
to
	e
s	
el
	a
su
nt
o
Ár
ea
s	
y	
nú
m
er
os
	d
ec
im
al
es
11
.3
	
¿E
n 	
dó
nd
e	
se
	u
sa
	la
	m
ul
tip
lic
ac
ió
n	
de
	d
ec
im
al
es
?
12
.	
M
ed
ia
tr
iz
	y
	b
is
ec
tr
iz
.
•	
U
ti
liz
ar
	la
s	
pr
op
ie
da
de
s	
de
	la
	m
ed
ia
tr
iz
	d
e	
un
	
se
gm
en
to
	y
	la
	b
is
ec
tr
iz
	d
e	
un
	á
ng
ul
o	
pa
ra
	
re
so
lv
er
	d
iv
er
so
s	
pr
ob
le
m
as
	g
eo
m
ét
ric
os
.
12
.1
	A
	la
	m
is
m
a	
di
st
an
ci
a
M
ed
ia
tr
iz
12
.1
	A
	la
	m
is
m
a	
di
st
an
ci
a	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
M
ed
ia
tr
ic
es
12
.2
	U
n 	
pr
ob
le
m
a	
ge
om
ét
ric
o
M
it
ad
es
	d
e	
án
gu
lo
s
Bi
se
ct
riz
12
.2
	U
n	
pr
ob
le
m
a	
ge
om
ét
ric
o	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Bi
se
ct
ric
es
12
.3
	A
pl
iq
ue
m
os
	n
ue
st
ro
s	
co
no
ci
m
ie
nt
os
	d
e	
m
ed
ia
tr
ic
es
	y
	b
is
ec
tr
ic
es
12
.3
	A
pl
iq
ue
m
os
	n
ue
st
ro
	c
on
oc
im
ie
nt
o	
de
	m
ed
ia
tr
ic
es
	
y	
bi
se
ct
ric
es
	(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
13
.	
Po
líg
on
os
	re
gu
la
re
s.
•	
Co
ns
tr
ui
r	
po
líg
on
os
	re
gu
la
re
s	
a 	
pa
rt
ir	
de
	d
is
ti
nt
as
	in
fo
rm
ac
io
ne
s.
13
.1
	T
ar
je
ta
s	
de
	f
el
ic
it
ac
ió
n
Fe
lic
id
ad
es
Po
líg
on
os
	re
gu
la
re
s	
án
gu
lo
	c
en
tr
al
13
.1
	T
ar
je
ta
s	
de
	f
el
ic
it
ac
ió
n	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
13
.2
	M
os
ai
co
s
Po
líg
on
os
	re
gu
la
re
s	
án
gu
lo
	in
te
rio
r
13
.2
	M
os
ai
co
s	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
13
.3
	M
ás
	s
ob
re
	p
ol
íg
on
os
	re
gu
la
re
s
13
.3
	M
ás
	s
ob
re
	p
ol
íg
on
os
	re
gu
la
re
s	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
14
.	
Fó
rm
ul
as
	p
ar
a	
ca
lc
ul
ar
	e
l	á
re
a	
de
	p
ol
íg
on
os
.
•	
Ju
st
ifi
ca
r 	
la
s	
fó
rm
ul
as
	p
ar
a	
ca
lc
ul
ar
	e
l	
pe
rím
et
ro
	y
	e
l	á
re
a	
de
	t
riá
ng
ul
os
,	c
ua
dr
ilá
te
ro
s	
y 	
po
líg
on
os
	re
gu
la
re
s.
14
.1
	R
om
pe
ca
be
za
s	
1
14
.2
	R
om
pe
ca
be
za
s 	
2
14
.3
	D
es
co
m
po
si
ci
ón
	d
e	
fig
ur
as
	
14
.3
	D
es
co
m
po
si
ci
ón
	d
e	
fig
ur
as
	(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
14
.4
	O
tr
as
	f
or
m
as
	d
e	
ju
st
ifi
ca
r	
la
s	
fó
rm
ul
as
Ju
st
ifi
ca
ci
ón
Fó
rm
ul
as
	g
eo
m
ét
ric
as
14
.4
	O
tr
as
	f
or
m
as
	d
e	
ju
st
ifi
ca
r	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
15
.	
La
	c
on
st
an
te
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
.
•	
Id
en
ti
fic
ar
	s
it
ua
ci
on
es
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
	
di
re
ct
a 	
en
	d
iv
er
so
s	
co
nt
ex
to
s,	
y	
re
so
lv
er
la
s	
m
ed
ia
nt
e	
pr
oc
ed
im
ie
nt
os
	m
ás
	e
fic
ie
nt
es
.
15
.1
	L
a	
ca
nc
ha
	d
e	
bá
sq
ue
tb
ol
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	3
15
.1
	L
a	
ca
nc
ha
	d
e	
bá
sq
ue
tb
ol
	(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
15
.2
	M
ap
as
	y
	e
sc
al
as
Ce
nt
ro
	H
is
tó
ric
o	
	
de
	la
	C
iu
da
d	
de
	M
éx
ic
o
15
.3
	R
ut
as
	y
	t
ra
ns
po
rt
e
16
.	
Ap
lic
ac
ió
n 	
su
ce
si
va
	d
e	
co
ns
ta
nt
es
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
.
•	
In
te
rp
re
ta
r 	
el
	e
fe
ct
o	
de
	la
	a
pl
ic
ac
ió
n	
su
ce
si
va
	d
e	
fa
ct
or
es
	c
on
st
an
te
s	
de
	p
ro
po
rc
io
na
lid
ad
	e
n	
di
ve
rs
os
	
co
nt
ex
to
s.
16
.1
	M
ic
ro
sc
op
io
s	
co
m
pu
es
to
s
M
ic
ro
sc
op
io
s	
co
m
pu
es
to
s
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	4
16
.1
	M
ic
ro
sc
op
io
s	
co
m
pu
es
to
s	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
16
.2
	E
sc
al
as
	y
	re
du
cc
io
ne
s
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	5
16
.3
	C
on
so
m
é 	
ra
nc
he
ro
	
E
V
A
L
U
A
C
IÓ
N
A
u
la
 d
e 
m
ed
io
s
A
r c
h
iv
o
s 
F r
a c
c i
o n
e s
Se
gm
en
to
M
ed
ia
tr
ic
es
Fi
gu
ra
	1
Án
gu
lo
	1
Bi
se
ct
ric
es
Ej
es
Ce
nt
ro
s
M
ed
id
a
Án
gu
lo
	2
Án
gu
lo
	3
Po
líg
on
o
Ce
nt
ra
l
H
ex
ág
on
o
Ap
ot
em
a
Fó
rm
ul
as
Ca
nc
ha
M
ic
ro
sc
op
io
s
MAT1	B3	S17	maestro.indd			5 8/25/07			3:00:38	PM
�
SE
C
U
EN
C
IA
SE
SI
Ó
N
R
EC
U
R
SO
S 
TE
C
N
O
LÓ
G
IC
O
S
V
id
e o
s
In
t e
r a
c t
iv
o
s
A
u
la
 d
e 
m
ed
io
s
H
o
ja
s 
d
e 
t r
a b
a j
o
A
r c
h
iv
o
s
1 7
.	
D
iv
is
ió
n	
d e
	n
ú m
e r
o s
	d
e c
im
a l
e s
.	
(1
2 
- 
2 1
)
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
la
	d
iv
is
ió
n	
de
	n
úm
er
os
	d
ec
im
al
es
	
en
	d
is
ti
nt
os
	c
on
te
xt
os
.
1 7
.1
	E
l	m
e t
ro
b ú
s
E l
	m
e t
ro
b ú
s
Di
v i
sió
n	
d e
	n
ú m
e r
o s
	d
e c
im
a l
e s
17
.2
	C
am
bi
o 	
de
	d
in
er
o
17
.3
	N
úm
er
os
	d
ec
im
al
es
	e
n	
la
	c
ie
nc
ia
18
.	
Ec
ua
ci
on
es
	d
e	
pr
im
er
	g
ra
do
.	
(2
2 
- 
31
)
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
el
	p
la
nt
ea
m
ie
nt
o	
y	
la
	re
so
lu
ci
ón
	
de
	e
cu
ac
io
ne
s	
de
	p
rim
er
	g
ra
do
	d
e	
la
s	
fo
rm
as
	x
	+
	a
	=
	b
;	a
x	
=	
b;
	a
x	
+	
b	
=	
c,
	u
ti
liz
an
do
	la
s	
pr
op
ie
da
de
s	
de
	la
	ig
ua
ld
ad
,	c
ua
nd
o	
a,
	b
	y
	c
	s
on
	
nú
m
er
os
	n
at
ur
al
es
	y
	d
ec
im
al
es
.
18
.1
	A
	re
pa
rt
ir	
na
ra
nj
as
Ec
ua
ci
on
es
	1
18
.1
	A
	re
pa
rt
ir	
na
ra
nj
as
		(
H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
Ec
ua
ci
ón
18
.2
	E
l 	p
as
eo
	e
sc
ol
ar
El
	t
er
re
no
	y
	e
l	r
ío
Ec
ua
ci
on
es
	2
18
.3
	R
es
ol
uc
ió
n 	
de
	e
cu
ac
io
ne
s	
m
ix
ta
s
Ec
ua
ci
on
es
	d
e	
pr
im
er
	g
ra
do
19
.	
Ex
is
te
nc
ia
	y
	u
ni
ci
da
d.
	
(3
2 
- 
39
)	
•	
Co
ns
tr
ui
r	
tr
iá
ng
ul
os
	y
	c
ua
dr
ilá
te
ro
s.	
•	
An
al
iz
ar
	la
s	
co
nd
ic
io
ne
s	
de
	e
xi
st
en
ci
a	
y	
un
ic
id
ad
.
19
.1
	¿
Ex
is
te
	o
	n
o	
ex
is
te
?
D
es
ig
ua
ld
ad
	t
ria
ng
ul
ar
19
.2
	¿
Es
	u
no
	o
	s
on
	m
uc
ho
s?
¿E
s 	
un
o	
o	
so
n	
m
uc
ho
s?
19
.2
		
¿E
s	
un
o	
o	
so
n	
m
uc
ho
s?
	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Ro
m
bo
s
Co
ns
tr
uc
ci
on
es
20
.	
Ár
ea
s 	
y	
pe
rím
et
ro
s.	
(4
0 
- 
49
)
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
ca
lc
ul
ar
	e
l	p
er
ím
et
ro
	y
	e
l	á
re
a	
de
	
tr
iá
ng
ul
os
,	r
om
bo
id
es
	y
	t
ra
pe
ci
os
,	y
	e
st
ab
le
ce
r	
re
la
ci
on
es
	e
nt
re
	lo
s	
el
em
en
to
s	
qu
e	
se
	u
ti
liz
an
	p
ar
a	
ca
lc
ul
ar
	e
l	á
re
a	
de
	c
ad
a	
un
a	
de
	e
st
as
	
fig
ur
as
.	
•	
Re
al
iz
ar
	c
on
ve
rs
io
ne
s	
de
	m
ed
id
as
	d
e	
su
pe
rfi
ci
e.
20
.1
	P
ro
bl
em
as
	d
e	
ap
lic
ac
ió
n
20
.2
	R
el
ac
io
ne
s	
im
po
rt
an
te
s
20
.3
	M
ed
id
as
	d
e	
su
pe
rfi
ci
e
M
ed
id
as
	d
e	
su
pe
rfi
ci
e
21
.	
Po
rc
en
ta
je
s. 	
(5
0 
- 
59
)
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
el
	c
ál
cu
lo
	d
e	
po
rc
en
ta
je
s	
ut
ili
za
nd
o	
de
	m
an
er
a	
ad
ec
ua
da
	la
s	
ex
pr
es
io
ne
s	
fr
ac
ci
on
ar
ia
s	
o	
de
ci
m
al
es
.
21
.1
	M
éx
ic
o	
en
	e
l	I
N
EG
I
Po
rc
en
ta
je
s	
1
21
.2
	E
l 	I
VA
21
.2
	E
l	I
VA
	(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
IV
A	
21
.3
	M
is
ce
lá
ne
a	
de
	p
or
ce
nt
aj
es
Lo
s	
m
ig
ra
nt
es
Po
rc
en
ta
je
s	
2
22
.	
Ta
bl
as
	d
e	
fr
ec
ue
nc
ia
.	
(6
0 
- 
71
)	
•	
In
te
rp
re
ta
r	
y	
co
m
un
ic
ar
	in
fo
rm
ac
ió
n	
m
ed
ia
nt
e	
la
	le
ct
ur
a,
	d
es
cr
ip
ci
ón
	
y	
co
ns
tr
uc
ci
ón
	d
e	
ta
bl
as
	d
e	
fr
ec
ue
nc
ia
	a
bs
ol
ut
a	
y	
re
la
ti
va
.
22
.1
	¿
Q
ui
én
	ll
eg
ó	
pr
im
er
o?
U
n	
re
co
rr
id
o	
po
r	
el
	o
rig
en
		
de
	la
	e
st
ad
ís
ti
ca
22
.1
	¿
Q
ui
én
	ll
eg
ó	
pr
im
er
o?
	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
At
le
ti
sm
o
Ed
ad
es
22
.2
	T
ab
la
	d
e	
fr
ec
ue
nc
ia
	re
la
ti
va
22
.2
	T
ab
la
	d
e	
fr
ec
ue
nc
ia
	
re
la
tiv
a	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
Fr
ec
ue
nc
ia
s
22
.3
	L
a 	
ta
bl
a	
re
pr
es
en
ta
…
22
.3
	L
a	
ta
bl
a	
re
pr
es
en
ta
…
	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
M
at
ríc
ul
as
23
.	
G
rá
fic
as
	d
e	
ba
rr
as
	y
	c
irc
ul
ar
es
.	
(7
2 
- 
83
)
•	
In
te
rp
re
ta
r 	
in
fo
rm
ac
ió
n	
re
pr
es
en
ta
da
	e
n	
gr
áfi
ca
s	
de
	b
ar
ra
s	
y	
ci
rc
ul
ar
es
	d
e	
fr
ec
ue
nc
ia
	a
bs
ol
ut
a	
y	
re
la
ti
va
,	p
ro
ve
ni
en
te
	d
e	
di
ar
io
s	
o	
re
vi
st
as
	y
	d
e	
ot
ra
s	
fu
en
te
s.	
•	
Co
m
un
ic
ar
	in
fo
rm
ac
ió
n	
pr
ov
en
ie
nt
e	
de
	e
st
ud
io
s	
se
nc
ill
os
,	e
lig
ie
nd
o	
la
	f
or
m
a	
de
	re
pr
es
en
ta
ci
ón
	m
ás
	a
de
cu
ad
a.
23
.1
	Q
ué
	d
ic
en
	la
s	
gr
áfi
ca
s
23
.2
	G
rá
fic
as
	d
e	
ba
rr
as
23
.3
	G
rá
fic
a	
ci
rc
ul
ar
El
	ra
ti
ng
	e
n	
la
	t
el
ev
is
ió
n
24
.	
N
oc
io
ne
s 	
de
	p
ro
ba
bi
lid
ad
.	
(8
4 
- 
10
1)
•	
En
um
er
ar
	lo
s	
po
si
bl
es
	re
su
lt
ad
os
	d
e	
un
a	
ex
pe
rie
nc
ia
	a
le
at
or
ia
.	
U
ti
liz
ar
	la
	e
sc
al
a	
de
	p
ro
ba
bi
lid
ad
	e
nt
re
	0
	y
	1
	y
	v
in
cu
la
r	
di
fe
re
nt
es
	
fo
rm
as
	d
e	
ex
pr
es
ar
la
.	
•	
Es
ta
bl
ec
er
	c
uá
l	d
e	
do
s	
o	
m
ás
	e
ve
nt
os
	e
n	
un
a	
ex
pe
rie
nc
ia
	a
le
at
or
ia
	
ti
en
e	
m
ay
or
	p
ro
ba
bi
lid
ad
	d
e	
oc
ur
rir
;	j
us
ti
fic
ar
	la
	re
sp
ue
st
a.
24
.1
	P
ro
ba
bi
lid
ad
	f
re
cu
en
ci
al
La
nz
a	
m
on
ed
as
24
.1
	P
ro
ba
bi
lid
ad
	f
re
cu
en
ci
al
	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
La
	r
ul
et
a
24
.2
	P
ro
ba
bi
lid
ad
	c
lá
si
ca
Bo
ls
a	
co
n	
ca
ni
ca
s
24
.3
	C
om
pa
ra
ci
ón
	d
e	
pr
ob
ab
ili
da
de
s	
I
¿Q
ué
	e
s	
m
ás
	p
ro
ba
bl
e?
24
.4
	C
om
pa
ra
ci
ón
	d
e	
pr
ob
ab
ili
da
de
s	
II
E
V
A
L
U
A
C
IÓ
N
B
lo
q
u
e
 3
MAT1	B3	S17	maestro.indd			6 8/25/07			3:00:40	PM
�
S E
C
U
E N
C
IA
S E
S I
Ó
N
R
E C
U
R
S O
S 
T E
C
N
O
L Ó
G
IC
O
S
V
id
e o
s
In
t e
r a
c t
iv
o
s
A
u
la
 d
e 
m
e d
io
s
H
o
ja
s 
d
e 
t r
a b
a j
o
A
r c
h
iv
o
s
25
.	
N
úm
er
os
	c
on
	s
ig
no
.	
(1
04
 -
 1
13
)
•	
Pl
an
te
ar
	y
	re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
la
	u
ti
liz
ac
ió
n	
de
	n
úm
er
os
	c
on
	s
ig
no
.
25
.1
	N
iv
el
	d
el
	m
ar
25
.2
	D
is
ta
nc
ia
	y
	o
rd
en
Te
m
pe
ra
tu
ra
s	
am
bi
en
ta
le
s
Te
m
pe
ra
tu
ra
s
25
.3
	V
al
or
	a
bs
ol
ut
o	
y	
si
m
ét
ric
os
		
26
.	
Ra
íz
	c
ua
dr
ad
a	
y	
po
te
nc
ia
s.	
(1
14
 -
 1
25
)	
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
el
	c
ál
cu
lo
	d
e	
la
	
ra
íz
	c
ua
dr
ad
a	
y	
la
	p
ot
en
ci
a	
de
	e
xp
on
en
te
	n
at
ur
al
,	
am
ba
s	
de
	n
úm
er
os
	n
at
ur
al
es
	y
	d
ec
im
al
es
.
26
.1
	C
ua
dr
os
	y
	m
ás
	c
ua
dr
os
26
.1
	C
ua
dr
os
	y
	m
ás
	c
ua
dr
os
	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
Cu
ad
ra
do
	2
26
.2
	C
ál
cu
lo
	d
e	
ra
íc
es
	c
ua
dr
ad
as
Lo
s	
ba
bi
lo
ni
os
	y
	la
	ra
íz
	
cu
ad
ra
da
M
ét
od
o	
ba
bi
ló
ni
co
26
.3
	¿
Cu
án
to
s 	
ta
ta
ra
bu
el
os
?
D
ia
gr
am
a	
de
	á
rb
ol
27
.	
Re
la
ci
ón
	f
un
ci
on
al
.	
(1
26
 -
 1
39
)
•	
An
al
iz
ar
	e
n	
si
tu
ac
io
ne
s	
pr
ob
le
m
át
ic
as
	la
	p
re
se
nc
ia
	d
e	
ca
nt
id
ad
es
	re
la
ci
on
ad
as
	y
	re
pr
es
en
ta
r	
es
ta
	re
la
ci
ón
	
m
ed
ia
nt
e 	
un
a	
ta
bl
a	
y	
un
a	
ex
pr
es
ió
n	
al
ge
br
ai
ca
.
27
.1
	L
a	
ex
pa
ns
ió
n	
de
l	u
ni
ve
rs
o
La
	e
xp
an
si
ón
	d
el
	u
ni
ve
rs
o
27
.2
	L
os
	h
us
os
	h
or
ar
io
s
27
.3
	C
oc
in
a 	
na
vi
de
ña
27
.3
.	C
oc
in
a	
na
vi
de
ña
	
(H
oj
a	
de
	c
ál
cu
lo
)
Pa
vo
27
.4
	E
l 	r
ec
ib
o	
de
	t
el
éf
on
o
28
.	
Co
ns
tr
uc
ci
ón
	d
e	
cí
rc
ul
os
	y
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
s.	
(1
40
 -
 1
49
)
•	
Co
ns
tr
ui
r 	
cí
rc
ul
os
		q
ue
	c
um
pl
an
	c
on
di
ci
on
es
	d
ad
as
	a
	
pa
rt
ir 	
de
	d
if
er
en
te
s	
da
to
s.
28
.1
	L
as
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
s	
qu
e	
pa
sa
n	
po
r	
do
s	
pu
nt
os
La
s	
ci
rc
un
fe
re
nc
ia
s	
qu
e	
pa
sa
n	
	
po
r	
do
s	
pu
nt
os
28
.2
	C
ue
rd
as
	y
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
s
Co
ns
tr
uc
ci
ón
	d
e	
ci
rc
un
fe
re
nc
ia
s
28
.3
	T
re
s 	
pu
nt
os
	y
	u
na
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
Co
ns
tr
uc
ci
ón
	d
e	
ci
rc
un
fe
re
nc
ia
s	
co
n	
la
	m
ed
ia
tr
iz
28
.3
	T
re
s	
pu
nt
os
	y
	u
na
	
ci
rc
un
fe
re
nc
ia
	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Co
m
un
id
ad
es
Co
m
un
id
ad
Ap
lic
ac
ió
n
29
.	
El
	n
úm
er
o	
Pi
.	
(1
50
 -
 1
57
)
•	
D
et
er
m
in
ar
	e
l	n
úm
er
o	
	c
om
o	
la
	ra
zó
n	
en
tr
e	
la
	
lo
ng
it
ud
	d
e	
la
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
	y
	e
l	d
iá
m
et
ro
.
•	
Ju
st
ifi
ca
r 	
y	
us
ar
	la
	f
ór
m
ul
a	
pa
ra
	e
l	c
ál
cu
lo
	d
e	
la
	
lo
ng
it
ud
	d
e	
la
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
.	
29
.1
	L
a	
re
la
ci
ón
	e
nt
re
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
	y
	d
iá
m
et
ro
Re
la
ci
ón
	e
nt
re
	c
irc
un
fe
re
nc
ia
		
y 	
di
ám
et
ro
¿D
e	
dó
nd
e	
sa
lió
	P
i?
29
.1
	R
el
ac
ió
n	
en
tr
e	
ci
rc
un
fe
re
nc
ia
	y
	
di
ám
et
ro
	(G
eo
m
et
ría
	
di
ná
m
ic
a)
El
	n
úm
er
o	
Pi
29
.2
	P
er
ím
et
ro
	d
el
	c
írc
ul
o
30
.	
El
	á
re
a	
de
	lo
s	
cí
rc
ul
os
.	
(1
58
 -
 1
63
)
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
ca
lc
ul
ar
	e
l	
ár
ea
	y
	e
l	p
er
ím
et
ro
	d
e	
un
	c
írc
ul
o.
30
.1
	Á
re
a	
de
l	c
írc
ul
o
Ár
ea
	d
el
	c
írc
ul
o
Cá
lc
ul
o	
de
l	á
re
a	
de
l	c
írc
ul
o	
	
de
	A
rq
uí
m
ed
es
30
.1
	Á
re
a 	
de
l
c
írc
ul
o	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Cí
rc
ul
os
Po
líg
on
os
Ár
ea
	d
el
	c
írc
ul
o
30
.2
	Á
re
as
	y
	p
er
ím
et
ro
s
31
.	
Re
la
ci
on
es
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
.	
(1
64
 -
 1
71
)
•	
Fo
rm
ul
ar
	la
	e
xp
re
si
ón
	a
lg
eb
ra
ic
a	
qu
e	
co
rr
es
po
nd
a	
a	
la
	re
la
ci
ón
	e
nt
re
	d
os
	c
an
ti
da
de
s	
qu
e	
so
n	
di
re
ct
am
en
te
	p
ro
po
rc
io
na
le
s.
•	
As
oc
ia
r	
lo
s	
si
gn
ifi
ca
do
s	
de
	la
s	
va
ria
bl
es
	e
n	
la
	e
xp
re
si
ón
	y
	=
	k
x	
co
n	
la
s	
ca
nt
id
ad
es
	q
ue
	in
te
rv
ie
ne
n	
en
	d
ic
ha
	re
la
ci
ón
.
31
.1
	C
am
bi
o	
de
	m
on
ed
a
H
is
to
ria
	d
e	
la
	m
on
ed
a
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	6
31
.2
	E
xp
re
si
on
es
	a
lg
eb
ra
ic
as
	y
	re
la
ci
on
es
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
	e
n	
di
st
in
to
s	
co
nt
ex
to
s
32
.	
G
rá
fic
as
	a
so
ci
ad
as
	a
	s
it
ua
ci
on
es
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
.	
(1
72
 -
 1
81
)
•	
Ex
pl
ic
ar
	la
s	
ca
ra
ct
er
ís
ti
ca
s	
de
	u
na
	g
rá
fic
a	
qu
e	
re
pr
es
en
te
	
un
a 	
re
la
ci
ón
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
	e
n	
el
	p
la
no
	c
ar
te
si
an
o.
32
.1
	G
rá
fic
as
	y
	s
us
	c
ar
ac
te
rís
ti
ca
s
G
rá
fic
as
32
.2
	C
om
pa
ra
ci
ón
	d
e	
gr
áfi
ca
s
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	y
	g
rá
fic
as
E
V
A
L
U
A
C
IÓ
N
B
lo
q
u
e
 4
MAT1	B3	S17	maestro.indd			7 8/25/07			3:00:42	PM
�
S E
C
U
E N
C
IA
S E
S I
Ó
N
R
EC
U
R
SO
S 
TE
C
N
O
LÓ
G
IC
O
S
V
id
e o
s
In
t e
r a
c t
iv
o
s
A
u
la
 d
e 
m
e d
io
s
H
o
ja
s 
d
e 
t r
a b
a j
o
A
r c
h
iv
o
s
3 3
.	
C u
e n
ta
s 	
d e
	n
ú m
e r
o s
	c
o n
	s
ig
n o
.	
(1
8 4
 -
 1
9 9
)
•	
U
ti
liz
ar
	p
ro
ce
di
m
ie
nt
os
	in
fo
rm
al
es
	y
	a
lg
or
ít
m
ic
os
	d
e	
ad
ic
ió
n	
y	
su
st
ra
cc
ió
n	
de
	n
úm
er
os
	c
on
	s
ig
no
	e
n	
di
ve
rs
as
	s
it
ua
ci
on
es
.
3 3
.1
	L
o s
	á
to
m
o s
L o
s	
á t
o m
o s
L o
s	
á t
o m
o s
	1
33
.2
	S
um
as
	d
e	
nú
m
er
os
	c
on
	s
ig
no
Lo
s	
át
om
os
	2
33
.3
	R
es
ta
s	
de
	n
úm
er
os
	c
on
	s
ig
no
Lo
s	
át
om
os
	3
33
.4
	D
e 	
to
do
	u
n	
po
co
34
.	
Ár
ea
s 	
de
	fi
gu
ra
s	
pl
an
as
.	
(2
00
 -
 2
03
)
•	
Re
so
lv
er
	p
ro
bl
em
as
	q
ue
	im
pl
iq
ue
n	
el
	c
ál
cu
lo
	d
e	
ár
ea
s	
de
	d
iv
er
sa
s	
fig
ur
as
	p
la
na
s.
34
.1
	Á
re
as
	d
e	
fig
ur
as
	f
or
m
ad
as
	
po
r	
re
ct
as
G
eo
m
et
ría
	a
nd
al
uz
a
34
.1
	Á
re
as
	d
e	
fig
ur
as
	
fo
rm
ad
as
	p
or
	re
ct
as
	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Fi
gu
ra
	2
Fi
gu
ra
s
34
.2
	Á
re
as
	d
e	
fig
ur
as
	f
or
m
ad
as
	
po
r	
cí
rc
ul
os
34
.2
.	Á
re
as
	d
e	
fig
ur
as
	
fo
rm
ad
as
	p
or
	c
írc
ul
os
	
(G
eo
m
et
ría
	d
in
ám
ic
a)
Re
gi
ón
35
.	
Ju
eg
os
	e
qu
it
at
iv
os
.		
(2
04
 -
 2
17
)
•	
Re
co
no
ce
r 	
la
s	
co
nd
ic
io
ne
s	
ne
ce
sa
ria
s	
pa
ra
	q
ue
	u
n	
ju
eg
o	
de
	a
za
r	
se
a	
ju
st
o,
	c
on
	b
as
e	
en
	la
	n
oc
ió
n	
de
	re
su
lt
ad
os
	e
qu
ip
ro
ba
bl
es
	y
	n
o	
eq
ui
pr
ob
ab
le
s.	
35
.1
	¿
Cu
ál
	e
s	
la
	m
ej
or
	o
pc
ió
n?
35
.2
	R
ul
et
as
La
	r
ul
et
a
35
.3
	J
ue
go
s 	
co
n	
da
do
s
35
.4
	Q
ui
ni
el
as
Pr
on
ós
ti
co
s	
na
ci
on
al
es
La
nz
a	
m
on
ed
as
36
.	
G
rá
fic
as
, 	t
ab
la
s	
y	
ex
pr
es
io
ne
s	
al
ge
br
ai
ca
s.	
(2
18
 -
 2
23
)
•	
Ca
lc
ul
ar
	v
al
or
es
	f
al
ta
nt
es
	a
	p
ar
ti
r	
de
	v
ar
ia
s	
re
pr
es
en
ta
ci
on
es
		
re
la
ci
on
an
do
	la
s	
qu
e	
co
rr
es
po
nd
en
	a
	la
	m
is
m
a	
si
tu
ac
ió
n,
	e
	id
en
ti
fic
ar
	
la
s	
qu
e	
so
n	
de
	p
ro
po
rc
io
na
lid
ad
	d
ire
ct
a.
36
.1
	G
rá
fic
as
,	t
ab
la
s	
y	
ex
pr
es
io
ne
s	
al
ge
br
ai
ca
s	
as
oc
ia
da
s	
a	
pr
ob
le
m
as
	
de
	p
ro
po
rc
io
na
lid
ad
	d
ire
ct
a
El
em
en
to
s 	
de
	la
	 	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
	d
ire
ct
a
36
.1
	G
rá
fic
as
,	t
ab
la
s	
y	
ex
pr
es
io
ne
s	a
lg
eb
ra
ic
as
	
as
oc
ia
da
s	
a	
pr
ob
le
m
as
	
de
	p
ro
po
rc
io
na
lid
ad
	
di
re
ct
a	
(H
oj
a	
de
	
cá
lc
ul
o)
Añ
os
36
.2
	D
e 	
la
	g
rá
fic
a	
al
	p
ro
bl
em
a
37
.	
Pr
op
or
ci
on
al
id
ad
	in
ve
rs
a.
	
(2
24
 -
 2
31
)
•	
Id
en
ti
fic
ar
	y
	re
so
lv
er
	s
it
ua
ci
on
es
	d
e	
pr
op
or
ci
on
al
id
ad
	in
ve
rs
a	
m
ed
ia
nt
e	
di
ve
rs
os
	p
ro
ce
di
m
ie
nt
os
.
37
.1
	E
l		
ag
ua
37
.2
	L
a 	
ve
lo
ci
da
d
La
	v
el
oc
id
ad
	c
on
st
an
te
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	
in
ve
rs
a	
y	
gr
áfi
ca
s	
1
37
.3
	L
a 	
hi
pé
rb
ol
a
Va
ria
ci
ón
	p
ro
po
rc
io
na
l	
in
ve
rs
a	
y	
gr
áfi
ca
s	
2
37
.3
	L
a	
hi
pé
rb
ol
a	
(H
oj
a 	
de
	c
ál
cu
lo
)
Re
ct
án
gu
lo
s
Pi
nt
or
es
38
.	
M
ed
id
as
	d
e	
te
nd
en
ci
a	
ce
nt
ra
l.	
(2
32
 -
 2
39
)
•	
Co
m
pa
ra
r 	
el
	c
om
po
rt
am
ie
nt
o	
de
	d
os
	o
	m
ás
	c
on
ju
nt
os
	d
e	
da
to
s	
re
fe
rid
os
	a
	u
na
	m
is
m
a	
si
tu
ac
ió
n	
o	
fe
nó
m
en
o	
a	
pa
rt
ir	
de
	s
us
	m
ed
id
as
	
de
	t
en
de
nc
ia
	c
en
tr
al
.
38
.1
	P
ro
m
ed
io
s
Pr
om
ed
io
s
38
.2
	¿
Q
ué
	p
re
fie
re
n	
co
m
er
?
E
V
A
L
U
A
C
IÓ
N
B
lo
q
u
e
 5
E
J
E
 1
:
Se
nt
id
o	
nu
m
ér
ic
o	
y	
pe
ns
am
ie
nt
o	
al
ge
br
ai
co
E
J
E
 2
:
Fo
rm
a,
	e
sp
ac
io
	y
	m
ed
id
a
E
J
E
 3
:
M
an
ej
o	
de
	la
	in
fo
rm
ac
ió
n
MAT1	B3	S17	maestro.indd			8 8/25/07			3:00:43	PM
�
Clave de logos
Trabajo individual
En parEjas
En Equipos
Todo El grupo
ConExión Con oTras asignaTuras
glosario
ConsulTa oTros maTErialEs
Cd dE rECursos
siTios dE inTErnET
biblioTECa
vidEo
programa inTEgrador EdusaT
inTEraCTivo
audioTExTo
aula dE mEdios
oTros TExTos
MAT1	B3	S17	maestro.indd			9 8/25/07			3:00:44	PM
MAT1	B3	S17	maestro.indd			10 8/25/07			3:00:46	PM
BLOQUE 3
MAT1	B3	S17	maestro.indd			11 8/25/07			3:00:48	PM
12
secuencia 17
12
EL mEtrOBús
Para empezar
En la Ciudad de México hay un transporte llamado metrobús. Es un autobús más largo
que lo normal, que transita por una avenida llamada Insurgentes.
Para subirse al metrobús se usan tarjetas, las cuales se pasan por un aparato que permi­
te el acceso.
En el aparato se marca el dinero disponible en la tarjeta, es decir, el saldo. El costo por
viaje en el metrobús es de $3.50.
sEsión 1
División de números 
decimales
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen la división de 
números decimales en distintos contextos.
Propósitos de la secuencia 
Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.
Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos
1
El metrobús 
Dar sentido a lo que significa dividir entre un número 
con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre 
es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de 
resolver algunas divisiones entre números decimales.
Video 
El metrobús 
Interactivo 
“División de 
números decimales”
2
Cambio de dinero 
Conocer y practicar la técnica para dividir entre un 
número con punto decimal.
3
Números decimales en la ciencia 
Resolver diversos problemas que implican operaciones 
de números con punto decimal.
Eje 
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Significado y uso de los números.
Antecedentes
Los alumnos aprendieron en la escuela 
primaria a resolver divisiones:
- en las que dividendo y divisor son 
naturales, hallando el cociente hasta 
centésimos; y 
- en las que el dividendo tiene cifras 
decimales. 
En esta secuencia los alumnos aprenderán a 
resolver divisiones en las que el dividendo o el 
divisor tengan cifras decimales.
Propósito de la sesión. Dar sentido 
a lo que significa dividir entre un 
número con punto decimal, descubrir 
que el cociente no siempre es mayor 
que el dividendo y que hay varias 
maneras de resolver algunas 
divisiones entre números decimales.
Organización del grupo. Se sugiere 
trabajar en parejas durante toda la 
sesión, con algunos momentos de 
confrontación grupal.
MAT1	B3	S17	maestro.indd			12 8/25/07			3:00:54	PM
13
13
MATEMÁTICAS I
Platiquen con su grupo los resultados y la manera en que llegaron a ellos. Si utilizaron
operaciones digan cuáles y cómo las usaron.
Manos a la obra
I. Hallar el número de viajes que se puede hacer con cierta cantidad de dinero, equiva­
le a dividir esa cantidad entre el costo de un viaje.
	 Utilicen los resultados que encontraron en el problema anterior y completen la tabla.
División Cociente (número de viajes) Residuo (lo que sobra)
24.00 ÷ 3.50
37.50 ÷ 3.50
75.00 ÷ 3.50
115.50 ÷ 3.50
Observen que al calcular el número de viajes, están calculando cuántas veces cabe el
costo de cada viaje en el saldo.
Consideremos lo siguiente
En cada caso anoten para cuántos viajes alcanza el saldo de la tarjeta y cuánto sobra.
Recuerden que el costo de un viaje es $3.50.
Saldo $24.00
Número de viajes:
Sobra:
Saldo $37.50 Saldo $75.00 Saldo $115.50
Número de viajes:
Sobra:
Número de viajes:
Sobra:
Número de viajes:
Sobra:
Propósito de la actividad. La 
finalidad es que los alumnos 
interpreten la división como la 
operación que permite saber cuántas 
veces cabe un número en otro. En este 
caso, deberán calcular “cuántas veces 
cabe” el número 3.50 en cada una de 
las cantidades indicadas como saldo. 
Es importante que en este momento 
los alumnos no utilicen la calculadora 
para que puedan hacer uso de otras 
estrategias.
Posibles procedimientos. 
- Sumar varias veces 3.50 hasta 
llegar al número más cercano al 
saldo indicado.
- Restar 3.50 al saldo indicado las 
veces que sea necesario hasta 
agotarlo o hasta que ya no alcance 
el dinero para un viaje más.
- Multiplicar 3.50 por diferentes 
números hasta obtener un producto 
que se aproxime al saldo indicado.
- Dividir el saldo entre 3.50.
Sugerencia didáctica. Mientras las 
parejas resuelven, trate de identificar 
qué procedimientos utilizan para, 
posteriormente, recuperar 
algunos de ellos durante la 
confrontación.
	 6 
$3.00
	 10 
$2.50
	 21 
$1.50 
	 33	
0
3
Sugerencia didáctica. Es importante 
que el algoritmo de la división sea 
considerado como una manera más de 
resolver el problema, no es la única y 
no siempre la mejor; por ejemplo, si el 
saldo es $37.50	se puede calcular más 
rápidamente sabiendo que de 10	viajes 
son $35.00 y sobran $2.50.
Propósito de la actividad. Se 
pretende que los alumnos identifiquen 
que la actividad que resolvieron en el 
apartado Consideremos lo siguiente 
puede solucionarse mediante una 
división. Por eso es importante que 
utilicen los datos que encontraron 
anteriormente para completar la tabla. 
MAT1	B3	S17	maestro.indd			13 8/25/07			3:00:58	PM
1�
Sugerencia didáctica. Mientras 
las parejas resuelven, usted puede 
plantear algunas preguntas para que 
los alumnos vayan reflexionando 
sobre aspectos interesantes que 
revisarán en las siguientes 
actividades; por ejemplo, para que 
identifiquen cómo varía el cociente en 
función del divisor: si el saldo es de $4 
¿a cuál destino se puede ir más veces, 
a uno cuyo viaje cuesta 
$0.50 o a otro que cuesta $0.20? 
Posibles procedimientos. Los 
alumnos podrían ir completando 
cantidades “redondas”: si el costo 
del viaje es de $2.50, con $5.00 se 
hacen 2 viajes; si el costo es 
de $0.20, con $1.00, se hacen 5 viajes.
También pueden recurrir al cálculo 
mental para resolver varias de las 
divisiones, pues los números que se 
ponen en juego son relativamente 
sencillos de manejar.
Invite a los alumnos a que completen 
la tabla utilizando los procedimientos 
que ellos quieran; en este momento 
no es necesario que todos usen el 
algoritmo de la división, aunque sí 
es importante que sepan que están 
resolviendo divisiones.
Recuerde que.
	 		4	
6	 27	
	 		3 Propósito de la actividad. Hay dos 
aspectos interesantes que los alumnos 
trabajan:
- Reconocer que al dividir no siempre 
el cociente resulta menor que el 
dividendo; por ejemplo, al dividir 4 
entre 0.50 el resultado es 8 (8 > 4).
- Al analizar en qué casos el cociente 
es mayor o menor que el dividendo, 
los alumnos podrán desarrollar, 
gradualmente, estrategias para 
estimar resultados. 
Respuestas. 
a) Cuando el costo del viaje (divisor) 
es mayor que uno.
b) Cuando el costo del viaje (divisor) 
es menor que uno.
secuencia 17
14
ii. Imaginen ahora un lugar donde el precio de cada viaje varía y hay costos muy bajos.
Completen la tabla.
Saldo ($)
(dividendo)
Costo del viaje ($)
(divisor) División
Número de viajes
(cociente)
9 4.50 90 ÷ 4.50
15 2.50
4.50 1.50
4.80 1.20
9 1.80
4 0.50
8.50 0.50
4 0.25
5.25 0.25
4 0.20
4.30 0.10
iii.	Analicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas:
a)	 ¿En cuáles casos el cociente es menor que el dividendo?
b)	 ¿En cuáles casos el cociente es mayor que el dividendo?
c)	 Encuentren qué tienen en común aquellas divisiones en las que el cociente es
mayor que el dividendo y anoten sus observaciones:
iV. Anoten el resultado
al que llegaron al dividir
4 ÷ 0.50 =
Observen que este resultado equivale a multiplicar 4 por un número, ¿por cuál número?
Divisor
Dividendo
Residuo
Cociente
MAT1	B3	S17	maestro.indd			14 8/25/07			3:01:00	PM
1�
Propósito del interactivo: Mostrar 
gráficamente la división de decimales 
por medio de la idea "cuántas veces 
cabe en".
Propósito de la actividad. Que 
los alumnos se den cuenta de que el 
resultado de una división también 
puede obtenerse multiplicando por el 
inverso del divisor. Por ejemplo, para 
hallar el resultado de dividir 4 ÷ 0.1 se 
puede también multiplicar 4 × 10.
En algunos casos, una manera es 
más sencilla que otra, y se espera 
que los alumnos vayan adquiriendo 
habilidades para decidir cuál les 
conviene, dependiendo de las 
circunstancias. Este tipo de prácticas 
son muy importantes porque 
desarrollan el sentido numérico de 
los alumnos.
Sugerencia didáctica. Invite a 
los alumnos a que multipliquen los 
números de la primera y segunda 
columnas. Por ejemplo, 0.5 × 2; 0.25 
× 4; 0.125 × 8. En todos los casos se 
obtiene 1. Pregunte: ¿Por qué creen 
que sucede esto?
Integrar al portafolios. Recupere 
esta actividad y analice las respuestas 
de los alumnos. Si lo considera 
necesario, revisen la secuencia 11, 
en ella se llena una tabla en la que 
se observa que dividir una fracción 
es lo mismo que multiplicarla por su 
recíproco. 
Sugerencia didáctica. El cálculo 
mental es una herramienta que 
permite, además de obtener algunos 
resultados de manera rápida, 
desarrollar habilidades, como el 
establecimiento de relaciones entre los 
datos y la anticipación de resultados. 
Invite a los alumnos a que resuelvan 
mentalmente estas operaciones, se 
darán cuenta de lo eficaz que es este 
tipo de cálculo y de las múltiples 
relaciones que pueden darse entre los 
números. 
15
MATEMÁTICAS I
Algunas divisiones entre un número con punto decimal pueden calcularse más fácilmen­
te con una multiplicación. Completen la siguiente tabla.
Dividir entre: Es lo mismo que multiplicar por:
Ejemplo resuelto 
con división
Ejemplo resuelto 
con multiplicación
0.50 2 3 ÷ 0.5 = 6 3 × 2 = 6
0.25
0.20
0.10
0.125
0.01
V. Resuelvan mentalmente las siguientes divisiones:
2 ÷ 0.5 = 1 ÷ 0.125 =
3 ÷ 0.01 = 4 ÷ 0.25 =
1.5 ÷ 0.5 = 3 ÷ 0.1 =
12. 5 ÷ 2.5 = 9 ÷ 0.2 =
VI.	Platiquen a sus compañeros cómo resolvieron mentalmente alguna de las operacio­
nes de la actividad anterior. Elijan una operación y anoten en el pizarrón varios pro­
cedimientos para resolverla mentalmente. Comenten cuál procedimiento es mejor y
por qué.
Dividir una cantidad entre un número equivale a calcular cuántas veces cabe ese 
número en dicha cantidad.
Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse más rápida-
mente con una multiplicación, por ejemplo, 10 ÷ 0.25 puede escribirse como 10 ÷ �I, ,
que como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 10 × 4 = 40.
Al dividir una cantidad entre un número menor que la unidad, el resultado será mayor 
que la cantidad, por ejemplo, 5 ÷ 0.2 = 25, 25 es mayor que 5.
A lo que llegamos
Sugerencia didáctica. Pida a los 
alumnos que escriban en su cuaderno 
2 ejemplos diferentes a los que se 
plantean en el recuadro de cada uno 
de los puntos.
	 4	 3	÷	0.25	=	12	 3	×	4	=	12
	 5	 3	÷	0.20	=	15	 3	×	5	=	15
	 10	 3	÷	0.10	=	30	 3	×	10	=	30
	 8	 3	÷	0.125	=	24	 3	×	8	=	24
	 100	 3	÷	0.01	=	300	3	×	100	=	300
MAT1	B3	S17	maestro.indd			15 8/25/07			3:01:02	PM
1�
Propósito del video. Observar 
el planteamiento y la solución de 
problemas que involucren la división 
entre un número decimal. Observar 
qué sucede cuando se divide entre un 
número menor o mayor que la unidad.
Propósito de la sesión. Conocer y 
practicar la técnica para dividir entre 
un número con punto decimal.
Organización del grupo. Inicie la 
sesión trabajando con el grupo en 
conjunto; posteriormente organice 
parejas para resolver el apartado 
Consideremos lo siguiente.
Sugerencia didáctica. Dé tiempo 
para que los alumnos lean el apartado 
Para empezar y después comente 
con el grupo la información que se 
presenta. Repasen las divisiones 
con punto decimal en el dividendo 
resolviendo algunas en el pizarrón. 
Es necesario que los alumnos sepan 
resolver este tipo de divisiones para 
que puedan continuar con la sesión.
3
Sugerencia didáctica. Anime a 
los alumnos para que expliquen sus 
intentos y escuchen los de otros. En 
caso de que alguna pareja sí haya 
podido resolver la división, pida a sus 
integrantes que muestren al grupo 
cómo lo hicieron. Si nadie logró 
resolverla, invítelos a que continúen 
trabajando la sesión.
Sugerencia didáctica. Es probable que 
los alumnos no sepan cómo resolverlas. 
Invítelos a que lo intenten, recuerde 
que en estos momentos se trata de 
crear en los alumnos un conflicto al 
darse cuenta de que estas divisiones 
son distintas a las que ya conocen, así 
como la necesidad de hallar la manera 
de resolverlas.
secuencia 17
16
El metrobús
Vean el video y realicen lo que ahí se pide. Cuando terminen, reúnanse en parejas y jun­
tos hagan un resumen que se titule “La división con números decimales”. Después lean el
resumen ante su grupo.
CamBiO dE dinErO
Para empezar
Se van a repartir $29.60 entre 4 amigos, ¿cuánto le toca a cada uno? En la primaria
aprendiste que este problema se resuelve con la siguiente división:
 7.40
4 29.60
 16
 00
El resultado es $7.40. Estas divisiones se resuelven igual que con números enteros, pero
al momento de bajar el 6 "se sube el punto". ¿Saben por qué se hace así?
a) 	Cuando se divide 29 entre 4 se están dividiendo 29 enteros, por eso el resultado es
entero.
b) 	Al bajar el 6 junto al 1 ya se están dividiendo 16 décimos entre 4, por eso hay que
poner un punto, para indicar que el resultado corresponde a décimos.
Ahora aprenderás cómo se resuelve una división cuando el punto decimal está en el
divisor.
Consideremos lo siguiente
Araceli tiene $19.40 y le va a dar a cada uno de sus amigos $2.50. ¿Para cuántos amigos
le alcanza y cuánto le sobra?
Esta situación también se resuelve con una división. Encuentren una manera de hallar el
resultado de la siguiente división que resuelve el problema.
2.5 19.4
Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicie­
ron así.
sEsión 2
1
Propósito de la actividad. Se 
pretende que los alumnos manejen la 
técnica para dividir números con punto 
decimal. Por ello deberán resolver el 
problema utilizando una división y no 
mediante otros procedimientos (aunque 
sean correctos). 
MAT1	B3	S17	maestro.indd			16 8/25/07			3:01:05	PM
1�
Sugerencia didáctica. Los alumnos 
ya estudiaron esta propiedad en 
la escuela primaria, por lo que la 
actividad puede ser considerada como 
un repaso; no obstante, usted puede 
enriquecerla comentando al grupo que, 
si se parte de que una división puede 
escribirse como fracción, al multiplicar 
dividendo y divisor por el mismo 
número, lo que se está haciendo 
es calcular fracciones equivalentes. 
Observe:
17
MATEMÁTICAS I
a)	 ¿Cómo son los resultados entre sí?
b)	 Observen que el dividendo (8) y el divisor (4) de la primera división se multi­
plicaron por 10 para obtener la segunda división (80 y 40).
c)	 ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división
para obtener la tercera división?
d)	 ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división
para obtener la cuarta división?
II.	 Consideren que se tiene esta división
2.5 20
	 Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y re­
suélvanla.
Esta división es más sencilla que 20 ÷ 2.5 y, por la propiedad que recordaron en la
actividad I, saben
que el resultado de esta división es el mismo para ambas.
Manos a la obra
I. Resuelvan las siguientes divisiones:
Al multiplicar
 un 
número con p
unto 
decimal por 10
, se 
recorre el pun
to un 
lugar a la der
echa.
Recuerden qu
e: 
Si en una divi
sión se 
multiplica el d
ividendo 
y el divisor po
r el 
mismo númer
o, el 
resultado de l
a 
división no ca
mbia.
4 8 40 80
400 800 4 000 8 000
Sugerencia didáctica. 
Puede pedir a los alumnos que:
1. Estimen el resultado antes de que 
pasen al inciso a). Por ejemplo, si 
está entre 1 y 10, entre 10 y 100 o 
entre 100 y 1	000.
2. Calculen mentalmente el resultado 
antes de que pasen al inciso a).
3. Resuelvan la división y verifiquen 
su resultado en la calculadora.
4. Una vez resuelta, inventen un 
problema que se resuelva con esa 
operación.
Si lo considera necesario, plantee más 
operaciones de este tipo para que los 
alumnos las resuelvan en su cuaderno. 
2			4		= 	wR = wR T = qW p P = 10 20
Esto implica que:
2			4			=	10	 20
×
×
MAT1	B3	S17	maestro.indd			17 8/25/07			3:01:09	PM
1�
Respuestas. 
• Se multiplica por 10, 
480 ÷ 12 = 40 y no sobra.
• Se multiplica por 1	000, 
3	500 ÷ 125 = 28 y no sobra.
• Se multiplica por 100, 
450 ÷ 32 = 14 y sobra. 2. Si algunos 
alumnos continúan dividiendo 
obtendrán 14.0625.
Si lo considera pertinente, comente 
con sus alumnos lo que sucede con 
el residuo en esta división. Si bien es 
cierto que al multiplicar por un mismo 
número el dividendo y el divisor, 
el cociente no se altera, no pasa lo 
mismo con el residuo. Éste aumenta 
tantas veces como el número por 
el cual se multiplicó. Por ejemplo, 
mientras que en la división original 
(4.5 ÷ 0.32) el residuo es 0.02, en la 
división transformada (450 ÷ 32) el 
residuo es 2. El residuo de la división 
transformada es 100 veces mayor que 
el de la división original. 
Propósito de la actividad. Esta 
actividad permite que los alumnos 
validen el resultado que obtuvieron 
en el problema inicial. Si es necesario 
pídales que corrijan. 
Puede haber discrepancia en los 
resultados si algunos alumnos dejaron 
el residuo y si otros continuaron la 
división. Es buen momento para que 
los anime a terminar la división.
Sugerencia didáctica. Resuelvan en 
el pizarrón más divisiones y aclare las 
posibles dudas.
secuencia 17
18
iii.	Transformen cada división en una cuyo divisor no tenga punto decimal y resuélvanla;
elijan bien el número por el que tienen que multiplicar cada una.
1.2 48
0.125 3.5
0.32 4.5
iV. Resuelvan la división del problema inicial (19.4 2.5) transformándola en una divi­
sión sin punto en el divisor. Comparen este resultado con el que obtuvieron al princi­
pio de la sesión.
Comenten los resultados que han obtenido hasta este momento. Pasen al pizarrón a re­
solver las 3 divisiones de la actividad III y expliquen por cuál número multiplicaron el
dividendo y el divisor de cada una y por qué.
A lo que llegamos
Para resolver una división con punto decimal en el divisor:
1. Primero se transforma la división en otra que no tenga punto 
decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el 
divisor por 10, 1 00, 1 000, ... según el divisor tenga 1, 2, 3, ... 
cifras decimales. 
2. Después se resuelve.
Por ejemplo, para resolver:
0.12 2.4
se multiplican por 100 el dividendo y el 
 divisor para transformar la división en
 12 240
Y se resuelve: 20
 12 240
 000
El resultado de dividir 240 ÷ 12 es el mismo que el resultado de 
dividir 2.4 ÷ 0.12. Compruébenlo con una calculadora.
MAT1	B3	S17	maestro.indd			18 8/25/07			3:01:12	PM
1�
Respuestas. Araceli tiene 100 
monedas (50.00 ÷ 0.50). Necesita 5 
monedas para hacer cada montón 
de $2.50, así que puede hacer 20 
montones. 
Luis tiene 100 monedas 
(500.00 ÷ 5.00). Necesita 5 monedas 
para hacer cada montón de $25.00, 
así que también puede hacer 20 
montones. 
Entonces la respuesta correcta es c).
Respuestas. El número de envases 
siempre debe ser 14, entonces la 
cantidad de litros de leche a repartir 
hay que dividirla entre 14 para obtener 
la capacidad de cada envase. 
Si lo que conocemos es la capacidad 
de cada envase, entonces ese número 
se multiplica por 14 para hallar la 
cantidad de litros a repartir.
Respuestas. El resultado es 4.6. 
Se obtendría el mismo cociente con 
números como: 
92 entre 20,
920 entre 200,
9 200 entre 2 000,
92 000 entre 20 000,
920 000 entre 200 000,
etcétera.
19
MATEMÁTICAS I
Lo que aprendimos
1. 	Araceli tiene $50.00 en monedas de $0.50 y quiere hacer montones de $2.50; Luis
tiene $500.00 en monedas de $5.00 y quiere hacer montones de $25.00.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a)	 Araceli hará más montones.
b)	 Luis hará más montones.
c)	 Ambos harán el mismo número de montones.
d)	 No puede calcularse quién hará más montones.
Justifica la respuesta que elijas.
2. 	Don Fernando va a repartir 7 de leche en envases de 0.5 . ¿Cuántos envases ocu­
pará?
Completa la tabla de tal manera que el número de envases siempre sea el mismo que los
que ocupará don Fernando.
Litros a repartir Capacidad de cada envase( ) Número de envases
14
1.5
28
5
10
3.	 Resuelve la división 9.2 entre 2 =		
Inventa 5 divisiones que, partiendo de los mismos números que la anterior, tengan igual
cociente.
 1	 14
	 21	 14 
 2 14
	 70 14
	140 14
MAT1	B3	S17	maestro.indd			19 8/25/07			3:01:15	PM
20
Propósito de la sesión. Resolver 
diversos problemas que implican 
operaciones de números con punto 
decimal.
Organización del grupo. Forme 
equipos para que resuelvan los 
problemas.
1
Propósito de la actividad. Aunque 
la secuencia se refiere a la división de 
números con punto decimal, en la serie 
de problemas que aquí se presentan 
no siempre usarán 
la división, también harán uso de 
otras operaciones que ya han 
estudiado.
Sugerencia didáctica. En algunos 
problemas puede solicitar a los 
alumnos que antes de hacer 
operaciones, den una respuesta 
aproximada del resultado y la anoten 
en una hoja. Al término, compararán 
sus estimaciones con los resultados 
obtenidos.
Respuestas. 
El diamante es 4 veces más duro que 
la plata y 6.6666666… veces más 
duro que el azufre (se divide 10 entre 
2.5 y 10 entre 1.5). 
La diferencia de temperatura es de 
22.5 ˚C. Es la distancia de 4.5 a 
18.5	˚C bajo cero. Aun cuando el 
problema involucra números con 
signo, se espera que los alumnos 
puedan resolverlo mediante sus 
conocimientos sobre las temperaturas 
bajo cero. Si nota dificultades, puede 
auxiliarlos. 
La ballena es 22 veces más larga que 
una salamandra gigante y 117.857 
veces más larga que una araña Goliat 
(se divide 33 entre 1.5 y 33 entre 
0.28). 
Invite a los alumnos a que lean 
atentamente la pregunta del problema 
de la estrella Sirio; no se pide el 
resultado, sino las operaciones que 
resuelven el problema. Hay varias 
maneras de expresar la respuesta, una 
posible es:
- Multiplicar 60 × 60 × 24 × 365 × 
8.8 para saber cuántos segundos 
hay en 8.8 años y el resultado 
multiplicarlo por 300 000 para 
saber la distancia que se pide.
Si surgen varias respuestas será 
interesante analizarlas en la 
confrontación y determinar si son o no 
equivalentes. 
secuencia 17
20
sEsión 3
La estrella más brillante que vemos en el cielo es
Sirio, que se ve durante las noches de invierno. ¡La
luz de Sirio tarda 8.8 años en llegar a la Tierra!
Si la luz viaja a 300 000 km/s, ¿qué operaciones
tendríamos que hacer para conocer la distancia a la
que está Sirio?
El animal más grande del mundo es la ballena azul,
llega a medir hasta 33 m de largo. El anfibio más
grande es la salamandra gigante de Japón, con
1.5 m de largo. La araña más grande es la Goliath,
puede medir 0.28 m de longitud. ¿Cuántas veces
es más larga una ballena azul que una salamandra
gigante? 
,
¿Y que una araña
Goliath?
El crecimiento de las bacterias a menos de 10 oC
es muy lento, por ello los alimentos en el refrige­
rador se conservan más tiempo. La temperatura
del congelador se conserva alrededor de los 18 oC
bajo cero y en el refrigerador puede estar alrede­
dor de 4.5 oC. ¿Cuál
es la diferencia entre
la temperatura del
congelador y la del
refrigerador?
La dureza de un mineral puede medirse de acuerdo
con la facilidad para rayarlo. El mineral más duro
es el diamante y su dureza es de 10. La mínima
dureza de la plata es 2.5 y la del azufre es 1.5.
¿Cuántas veces es más duro el diamante que la
plata?
¿Y que el azufre?
númErOs dECimaLEs En La CiEnCia
Lo que aprendimos
En esta sesión aplicarán varios de los conocimientos que han adquirido a lo largo de
todas las secuencias sobre números con punto decimal. En cada caso, respondan la pre­
gunta planteada.
MAT1	B3	S17	maestro.indd			20 8/25/07			3:01:20	PM
21
Respuestas. 
Los porcentajes de los elementos 
que forman el cuerpo humano suman 
97.4, hace falta 2.6%, que es lo que 
corresponde a otros elementos. 
La Tierra recorre 1	830	km en un 
minuto (60 segundos). Se divide 1	830 
entre 30.5. 
Neptuno tarda 165 años, 4 meses y 26 
días (porque 0.4 de año son 146 días). 
Urano tarda 83 años, 8 meses y 12.5 
días (porque 0.7 de año son 255.5 
días). 
La persona pesa 65	kg (se divide 6.305 
entre 0.097); y tendría que caminar 
durante 79.302 minutos (se divide 500 
entre 6.305).
Integrar al portafolios. Seleccione 
3 problemas de esta sesión y pida 
a los alumnos que los resuelvan en 
una hoja aparte. En caso de haber 
errores, analice si tienen que ver con 
las divisiones con decimales, con 
la comprensión del problema o con 
ambas.
21
MATEMÁTICAS I
Al caminar rápidamente se queman
0.097 calorías por cada kilogramo de
pesoporminuto. Si unapersonacami­
nando rápidamente quemó 6.305
calorías en un minuto, ¿cuánto pesa?
 
¿Cuánto tiempo, aproximadamente,
tendría que caminar rápido esa per­
sona para quemar 500 calorías?
Comenten con otros equipos los resultados de estos problemas. Comparen los proce­
dimientos que muestren los diferentes equipos y elijan aquellos que les parezcan más
fáciles.
Para saber más
Si el tiempo que tardan los planetas en dar la vuelta al Sol
se mide en años, se tiene que: Neptuno tarda 165.4 años y
Urano 83.7 años. ¿Cuál es la duración en años, meses y días
del tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol?
¿Y Urano?
La Tierra, al viajar alrededor del Sol, re­
corre 30.5 kilómetros en un segundo.
¿En cuánto tiempo recorre 1 830 kiló­
metros?
El cuerpo humano está formado
por varios elementos: 63% de hi­
drógeno, 23.5% de oxígeno, 9.5%
de carbono, 1.4% de nitrógeno
y el resto de otros elementos.
¿Cuál es el porcentaje que corres­
ponde en total a esos otros ele­
mentos?
Sobre la división de números decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm
[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en "Relacionando multiplicación y división".
MAT1	B3	S17	maestro.indd			21 8/25/07			3:01:25	PM
22
Propósitos de la secuencia 
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer 
grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, 
cuando a, b y c son números naturales y decimales.
Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos
1
A repartir naranjas 
Interpretar la ecuación como una expresión que 
sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad 
desconocida del problema. 
Resolver problemas que implican plantear y resolver 
ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b. 
Interactivo 
“Ecuaciones” 
Aula de medios 
“A repartir naranjas” 
(Hoja de cálculo)
2
El paseo escolar 
Resolver problemas que implican plantear y resolver 
ecuaciones algebraicas del tipo ax = b. 
Video 
 “El terreno y el río” 
Interactivo 
“Ecuaciones”
3
Resolución de ecuaciones mixtas 
Resolver problemas que implican plantear y resolver 
ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.
Interactivo 
“Ecuaciones de 
primer grado”
Eje 
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Significado y uso de las operaciones.
Antecedentes
En las secuencias 3 y 4 los alumnos se 
iniciaron con la utilización de literales para 
expresar patrones y fórmulas geométricas. En 
esta secuencia usarán literales para traducir el 
texto de un problema al código algebraico y 
para resolver ecuaciones.
Propósito de la sesión. Interpretar la 
ecuación como una expresión que sintetiza 
las relaciones entre los datos y la cantidad 
desconocida del problema. 
Resolver problemas que implican plantear 
y resolver ecuaciones algebraicas aditivas 
del tipo x + a = b.
Organización del grupo. Se sugiere que 
trabajen todas las actividades organizados 
en parejas.
Propósitos de la actividad. Se trata 
de un problema sencillo que se resuelve 
con la suma 24 + 8. Se espera que los 
alumnos identifiquen cuáles son los 
datos conocidos y cuál es la operación 
que resuelve el problema. Es importante 
que identifiquen como una igualdad la 
expresión en la que aparece el signo 
igual. En este momento no es necesario 
que definan el concepto de igualdad, 
sino sólo que empiecen a reconocer y a 
utilizar el término. 
Posibles dificultades. Dado que 
aparecen las palabras “tenía”, “vendió”, 
algunos alumnos podrían pensar que 
el problema se resuelve con la resta 
24 – 8. Si bien está implícita una resta, 
el problema se resuelve mediante una 
suma (cantidad final de naranjas más 
cantidad de naranjas vendidas).
Sugerencia didáctica. En caso de 
que algunos alumnos presenten una 
respuesta distinta a 32 kg, pídales 
que comenten cómo lo obtuvieron. 
Posteriormente invite al grupo a que 
resuelvan la actividad I del apartado 
Manos a la obra para verificar si la 
respuesta que dieron es correcta o no. 
secuencia 18
22
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamien-
to y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; 
ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, 
b y c son números naturales o decimales.
A RepARtiR nARAnjAs
Para empezar
En la primaria resolviste problemas en los que tenías que encontrar la solución haciendo 
operaciones aritméticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia 
aprenderás una nueva manera de resolver problemas: usarás expresiones algebraicas 
para representar y encontrar valores desconocidos.
Consideremos lo siguiente
Un comerciante de naranjas quiere saber cuántos kilogramos de naranjas tenía al princi-
pio del día si vendió 24 kg y al final se quedó con 8 kg.
a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo:
• Los kilogramos de naranjas que vendió.
• Los kilogramos de naranjas que tenía al principio.
• Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.
b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?
 
En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un número que debe estar 
en el recuadro azul:
− 24 = 8
c) ¿Cuál es el número que debe estar en el recuadro azul? 
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Qué operación hicieron para encontrar el número que va en el recuadro azul?
b) ¿Cuántos kilogramos tenía el comerciante al principio del día?
sesión 1
Ecuaciones de 
primer grado
MAT1 B3 S18 maestro.indd 22 8/25/07 3:01:46 PM
23
Propósito de la actividad. Que los 
alumnos logren expresar mediante 
una igualdad, un problema que se 
les presenta